23 CHUYÊN đề bồi DƯỠNG học SINH GIỎI lớp 9

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 23 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP Tài liệu sưu tầm, ngày 31 tháng năm 2021 Website:tailieumontoan.com Mục Lục Trang Chủ đề Căn bậc 2, thức bậc Chủ đề Liên hệ phép nhân, phép chia phép khai phương Chủ đề Biến đổi đơn giản biểu thức chứa bậc hai Chủ đề Căn bậc 3, bậc n Chủ đề Bất đẳng thức Cô - si Chủ đề Giải phương trình chứa ẩn Chủ đề Khái niệm hàm số đồ thị Chủ đề Hàm số bậc đồ thị Chủ đề Ứng dụng hàm số bậc để chứng minh bất đẳng thức Chủ đề 10 Phương trình bậc hai ẩn, hệ phương trình bậc hai ẩn Chủ đề 11 Phương pháp giải hệ phương trình bậc hai ẩn Chủ đề 12 Giải toán cách lập hệ phương trình Chủ đề 13 Hệ phương trình bậc nhiều ẩn Chủ đề 14 Hệ phương trình quy hệ phương trình bậc Chủ đề 15 Hệ phương trình chứa tham số Chủ đề 16 Phương trình bậc hai công thức nghiệm Chủ đề 17 Hệ thức Vi-et Chủ đề 18 Phương trình quy phương trình bậc hai Chủ đề 19 Giải toán cách lập phương trình Chủ đề 20 Vị trí tương giao parabol đường thẳng Chủ đề 21 Hệ phương trình bậc cao Chủ đề 22 Phương trình vơ tỷ Chủ đề 23 Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình khơng mẫu mực Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com Chương CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA Chuyên đề CĂN BẬC HAI, CĂN THỨC BẬC HAI A Kiến thức cần nhớ Căn bậc hai số học • Căn bậc hai số học số thực a không âm số khơng âm x mà x = a • Với a ≥ x ≥  a⇔ 2 x a a = =  x = ( ) Phép tốn tìm bậc hai số học số gọi phép khai phương Với hai số a, b khơng âm, ta có: a < b ⇔ a < b Căn thức bậc hai • Cho A biểu thức đại số, người ta gọi A thức bậc hai A, A gọi biểu thức lấy hay biểu thức dấu • A ≥ xác định (hay có nghĩa) A ≥ • Hằng đẳng thức A2 = A Chú ý • Với a ≥ thì: x = a ⇒ x = a2 x2 = a⇒x= ± a • • = A  A ≥ ( hay B ≥ ) B⇔  A = B A + B =0 ⇔ A = B =0 B Một số ví dụ Ví dụ 1: So sánh cặp số sau mà khơng dùng máy tính a) 10 3; b) 17 ; c) d) 35 + 15 + 123 ; + Giải Tìm cách giải Khi so sánh hai số • a b khơng dùng số máy tính, ta có thể: So sánh a b Liên hệ tài liệu word toán zalo SĐT: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ( a) ( b) • So sánh • Sử dụng kĩ thuật làm trội Trình bày lời giải a) Ta có 10 > ⇒ 10 > nên 10 > ) ( ( ) ( ) 2 b) Xét = 3= 18; = 17 17 ( 18 > 17 nên c) ) >( 17 ) ⇒ > 17 35 + 15 + < 36 + 16 + = + + = 11 , 123 > 121 = 11 suy d) Ta có 35 + 15 + < 123 2< 4= 2⇒ 2+ < 4⇒ 2+ < = Ví dụ 2: Tìm điều kiện để biểu thức sau có nghĩa: a) + 2x ; b) x − + 11 − x ; c) x + x+3 x −9 Giải Tìm cách giải Để tìm điều kiện biểu thức có ý nghĩa, bạn lưu ý: • A có nghĩa A ≥ • A có nghĩa M ≠ M Trình bày lời giải a) + 2x có nghĩa + x ≥ ⇔ x ≥ −4 b) x − + 11 − x có nghĩa x − ≥ 11 − x ≥ ⇔ ≤ x ≤ 11 c) x + x + có nghĩa x + ≥ x − ≠ ⇔ x > −3; x ≠ x −9 Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sau: a) A = + − − ; b) B = a + − a − 2a + với a < Giải Tìm cách giải Để rút gọn biểu thức chứa dấu căn, bạn nhớ rằng: Liên hệ tài liệu word toán zalo SĐT: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ( a ± a += ) a ±1  A − B neáu A ≥ B lưu ý: A − B =   B − A A < B Trình bày lời giải a) Ta có A = + − − A= + +1 − − +1 A= ( A= ( ) ( +1 − ) ( +1 − ) −1 ) −1 = b) B = a + − a − 2a + với a < B = a +1− ( a − 1) B = a + − a − = a + − (1 − a ) = 2a Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A =3 + x − x + 33 ; b) B = x − x + 18 − ; c) C = x + y − xy + x − y + 10 + y − y + 2020 Giải a) Ta có: A = + x − x + 33 = + ( x − ) + 25 ≥ + 25 = Vậy giá trị nhỏ biểu thức A x = b) Ta có: B = x − x + 18 − 1= ( x − 4) Vậy giá trị nhỏ biểu thức B c) Ta có: C = ⇒ C= + −1 ≥ −1 − x = x + y − xy + x − y + 10 + y − y + 2020 ( x − y + 1) + + ( y − ) + 2012 ⇒ C ≥ + 2012 = 2015 Vậy giá trị nhỏ C 2015 y +1 =  x −= x Khi  ⇔ = y − = y Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Liên hệ tài liệu word toán zalo SĐT: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com a) A = x − 12 x + 36 + x − 16 x + 64 ; b) B = ( x − 2) + ( x − 9) + ( x − 1945) Giải Tìm cách giải Thống nhìn biểu thức ta bỏ đưa biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Để tìm giá trị nhỏ biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta sử dụng: • A − B = B − A A ≥ • A + B ≥ A + B Dấu xảy A.B ≥ Trình bày lời giải a) Ta có: A= x − 12 x + 36 + x − 16 x + 64 = ( x − 6) ( x − 8) + A = x −6 + x −8 = x −6 + 8− x ≥ x −6+8− x = Vậy giá trị nhỏ A ( x − )( − x ) ≥ hay ≤ x ≤ b) Ta có: B= ( x − 2) + ( x − 9) ( x − 1945) + B = x − + x − + x − 1945 B = x − + 1945 − x + x − ≥ x − + 1945 − x + = 1943 Vậy giá trị nhỏ B 1943 ( x − )(1945 − x ) ≥ x − = tức x = Ví dụ 6: Cho a, b, c số hữu tỉ thỏa mãn ab + bc + ca = 2020 Chứng minh biểu thức A= (a + 2020 )( b + 2020 ) c + 2020 số hữu tỉ Giải • Ta có: a + 2020 = a + ab + bc + ca ⇒ a + 2020 = ( a + b )( a + c ) • (1) Tương tự, ta có: b + 2020 = ( b + a )( b + c ) c + 2020 = ( c + a )( c + b ) Từ (1) ,(2), (3) suy A = ( 2) ( 3) ( a + b )( a + c )( b + c )( b + a ) = a + b ( ) ( c + a )( c + b ) Liên hệ tài liệu word toán zalo SĐT: 039.373.2038 =a + b Website: tailieumontoan.com ⇒ A = a+b Vì a, b số hữu tỉ nên a + b số hữu tỉ Vậy A số hữu tỉ Lưu ý: Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa số hữu tỉ có kết số hữu tỉ Ví dụ 7: Cho a, b, c số thực thỏa mãn a + b = Chứng minh rằng: a + 8b + b + 8a = (1) Giải Tìm cách giải Quan sát phần kết luận giả thiết Định hướng chung nghĩ tới biến đổi phần thức phần kết luận thành dạng bình phương Với suy nghĩ ấy, khai thác phần giả thiết Chúng ta có hai hướng suy luận: Hướng thứ Dùng thừa số để cân bậc Hướng thứ hai Từ giả thiết suy ra: b = − a2 ; a2 = − b , dùng phương pháp thế, để thức cịn biến Trình bày lời giải Cách Thay a + b = vào (1) ta có: a + 4b ( a + b ) + b + 4a ( a + b ) Vế trái: = a + 4a 2b + 4b + b + 4a 2b + 4a = (a + 2b ) + (b + 2a ) = a + 2b + b + 2a 2 = ( a + b ) = 3.2 = Vế trái vế phải Suy điều phải chứng minh Cách Từ giả thiết suy ra: b = − a2 ; a2 = − b thay vào (1) ta được: a + ( − a ) + b4 + ( − b2 ) = (a − 4) + (b − 4) = a − + b − (do a < 4; b < ) = − a + − b = Vế trái vế phải Suy điều phải chứng minh Ví dụ 8: Tính tổng: S = + 8.12 − 8.22 − 8.10032 − + + + + + 12.32 32.52 20052.2007 (Thi Olympic Toán học, Hy Lạp – năm 2007) Liên hệ tài liệu word toán zalo SĐT: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Giải Ta có + 8n − ( 2n − 1) ( 2n + 1) 8n − 16n − 8n + + 8n − = = 1+ 2 ( 4n2 − 1) ( 4n2 − 1) 2  4n  4n 1 1  1+  = = = −    với n ≥  2n − 2n +  ( 2n − 1)( 2n + 1)  4n −  Suy + 8n − ( 2n − 1) ( 2n + 1) 2 1 1  = − 1+   ( *)  2n − 2n +  Thay n từ đến 1003 vào đẳng thức (*) ta được: 1  11 1 1 1  S = +  −  + +  −  + + +  −  1  23 5  2005 2007  1  1003 S = 1003 + 1 −  = 1003  2007  2007 C Bài tập vận dụng 1.1 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa: a)= A x2 − ; c) C = e) E = x 2x −1 x+ b) B = ; d) D = x + 5x − 1 − x2 − ; ; + −2 x x Hướng dẫn giải – đáp số a) Điều kiện để A có nghĩa x − ≥ ⇔ x ≥ b) Điều kiện để biểu thức B có nghĩa x + x − > ⇔ ( x + )( x − 1) > ⇔ x + x − dấu x + >  x > −6 Trường hợp  ⇔ ⇔ x >1 x −1 > x > x + <  x < −6 Trường hợp  ⇔ ⇔ x < −6 x −1 < x < Vậy điều kiện để biểu thức B có nghĩa x > 1; x < −6 c) Điều kiện để biểu thức C có nghĩa là: Liên hệ tài liệu word toán zalo SĐT: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com  1   2 x − ≥ x ≥ x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ 2   x − x − >  x > x − ( x − 1)2 >  x ≠     Vậy điều kiện để biểu thức C có nghĩa là: S =  x / x ≥ ; x ≠ 1   d) Điều kiện để biểu thức D có nghĩa là: 2  x − ≥  x ≥  x ≥ ⇔ ⇔   x − ≠  x ≠ ±2 1 − x − ≠  x ≥ Vậy với  biểu thức D có nghĩa  x ≠ ±2  x2 +  + ≥ x x > ≥0   e) Điều kiện để biểu thức E có nghĩa là:  ⇔ x ⇔ x x ≤ −2 x ≥ x ≤  không tồn x để biểu thức E có nghĩa 1.2 a) Cho x, y, z khác thỏa mãn x + y + z = Chứng minh rằng: 1 1 1 + 2+ = + + x y z x y z b) Tính giá trị biểu thức: A = 1+ 1 1 1 1 + + + + + + + + + + + 2 3 4 199 2002 Hướng dẫn giải – đáp số 1 1  1 1 1 a) Xét:  + +  = + + +  + +  x y z x y z  xy yz zx  Mà 1 z+x+ y + += = xy yz zx xyz 1 1 1 ⇒ + +  = + + ⇒ x y z x y z 1 1 1 + 2+ = + + x y z x y z b) Áp dụng câu a, ta có: + K + ( −1 − K ) =0 nên: + 1 1 1 1 + = 2+ 2+ =+ + 2 K K ( − K − 1) K − K − ( K + 1) Liên hệ tài liệu word toán zalo SĐT: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 1 1 + =+ − 2 K K K +1 ( K + 1) Suy ra: + Thay k 2,3,…, 199, ta được: 1 1 1 1 99 A = + − + + − + + + − = 198 + − = 198 3 199 200 200 200 1.3 Tìm số nguyên dương k thỏa mãn 1 1 1 20092 − = + + + + + + + + + k 2 2009 ( k + 1) (thi học sinh giỏi toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2007 – 2008) Hướng dẫn giải – đáp số Áp dụng công thức + 1 1 ta có: + =1 + − 2 n ( n + 1) n n +1 1 1 1 20092 − = + − + + − + + + − 2 k k −1 2009 k + 1) − 20092 − ( 20092 − ⇔ k + 1= − ⇔ = k +1 2009 k +1 2009 ⇔k= 2008 1.4 Tìm số x, y, z thỏa mãn đẳng thức: ( 2x − y ) + ( y − 2) 2 + ( x + y + z) = Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: ( x − y ) + ( y − ) + x + y + z = ( *) Mà ( x − y ) ≥ 0; 2 ( y − 2) ≥ 0; x + y + z ≥ ; 2x − y = = x   Nên đẳng thức (*) xảy  y −= ⇔ = y  x + y + z =0  z =−3   1.5 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: = P 25 x − 20 x + + 25 x − 30 x + Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: P = (5x − 2) + ( x − 3) = 5x − + 5x − P = 5x − + − 5x ≥ 5x − + − 5x = Liên hệ tài liệu word toán zalo SĐT: 039.373.2038 Đặt x + y = t , ta được: ( − t )( t − ) − = ⇔ t − 6t + = ⇔ t = Website: tailieumontoan.com Suy x + y = ⇒ x = − y thay vào phương trình (1) ta được: (3 − y) y1 2; = y2 + y + ( − y ) y + 1= 4y ⇔ y − y + 10 = Giải ta được:= * Với y = ta x = – = * Với y = ta x = – = -2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) là: ( 1;2 ) ; ( −2;5 ) Cách * Xét y = thay vào phương trình (1) ta được: x + = Phương trình vơ nghiệm * Xét y ≠ hệ phương trình có dạng: ( (      x2 + + ( y + x − 2) =  2y x + + y ( x + y − 2) =  y ⇔ x + ( x + y − ) = y x +1 x + y −2 = )  y ( ) ) x2 + Đặt = u, x + y − 2= v hệ phương trình có dạng: y u + v =  u.v = Suy u, v nghiệm phương trình x − 2x + = ⇔ x1 = x2 =  x2 + x2 + = y x2 + = − x x2 + x − = =1  Do u = 1, v = ⇒  y ⇔ ⇔ ⇔ y= 3−x 3−x 3−x y = y = x + y − =   Giải hệ phương trình ta nghiệm hệ phương trình ( x; y ) là: ( 1;2 ) ; ( −2;5 ) 2x y + y x = 4y − Ví dụ Giải hệ phương trình  2y x + x y = 4x − Giải Tìm cách giải Bài tốn có dạng đối xứng loại Suy luận tự nhiên ta có hai cách giải: - Cách Đánh giá ẩn, để chứng tỏ x = y - Cách Vế trừ vế, chứng tỏ x = y Trình bày lời giải Cách Điều kiện x ≥ 3 ;y ≥ 4 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 ( ( ) ) Website: tailieumontoan.com  xy x + y = 4y − 2x y + y x = 4y −  ⇔  2y x + x y = 4x −  xy y + x = 4x −  * Nếu x > y suy ( 4x − > 4y − dẫn đến: ) ( ) xy y + x > xy x + y ⇒ y > x mâu thuẫn * Nếu x < y tương tự dẫn đến mâu thuẫn Do x = y suy ra: 2x x + x = x 4x − ⇔ 3x = x 4x − ⇔ x − 4x += Giải ra, ta được:= x1 1;= x2 −1 − 13 −1 + 13 = ; x3 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) là:  −1 − 13 −1 − 13   −1 + 13 −1 + 13  (1;1),  ; ;  ;   2 2     Cách Từ phương trình (1) (2), vế trừ vế ta được: x y − y x + 4x − − 4y − = ) ( 4x − − 4y + ) ) 12 ⇔ xy ( x− y + ⇔ xy ( x− y + ⇔ ( 4x − + 4y − ( x− y )( = x+ y 4x − + 4y − )=   12 x − y  xy + =   4x 4y − + −   ) ⇔ x − y =0 ⇔ x =y Suy ra: 2x x + x = x 4x − ⇔ 3x = x 4x − ⇔ x − 4x += Giải ra, ta được:= x1 1;= x2 −1 − 13 −1 + 13 = ; x3 2  −1 − 13 −1 − 13   −1 + 13 −1 + 13  Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) là: ( 1;1) ;  ; ;  ;      2 2     Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com  xz= x + (1)  Ví dụ Giải hệ phương trình: 2y = xz − 3x − 14 (2)  x + z2 = 35 − y  3 ( )  Giải Từ phương trình (1) = x xz − thay vào phương trình (2) ta được: 2y = xz − ( xz − ) − 14 ⇔ y = 2xz − Thay vào phương trình (3) ta được: x + z = x + z2 = 35 − ( 2xz − 1) ⇔ ( x + z ) = 36 ⇔   x + z =−6 • Trường hợp Xét x + z = ⇔ z = − x thay vào phương trình (1) ta được: x.( − x ) = x + ⇔ x − 5x + = ⇔ x1 = 1; x2 = Với x = ⇒ z = − = ; thay vào phương trình (3): + 25 = 35 − y ⇔ y = ±3 Vói x = ⇒ z = − = ; thay vào phương trình (3): 16 + =35 − y ⇔ y =± 15 Vậy tập nghiệm hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y; z ) là: ( 1;3;5 ) ; ( 1; −3;5 ) ; ( 4; )( ) 15 ;2 ; 4; − 15 ;2 • Trường hợp Xét x + z =−6 ta có: x ( −6 − x ) = x + ⇔ x + x + = ⇔ x = −7 ± 33 Với x = −7 − 33 −5 + 33 thay vào (3) ta phương trình vơ nghiệm = ⇒z 2 Với x = −7 + 33 −5 − 33 thay vào (3) tìm y = ± 33 = ⇒z 2 Vậy tập nghiệm hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y; z ) là:  −7 + 33 −5 − 33   −7 − 33 −5 + 33  ; 33; ; − 33;  ;      2 2     x + xy + y = 1(1)  2 4(2) Ví dụ Giải hệ phương trình y + yz + z = z + zx + x = 7(3)  Giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Tìm cách giải Vế trái phương trình, biến có vai trị nhau, cịn vế phải ba số 1; 4; cách Do tự nhiên nghĩ tới việc vế trừ vế hai phương trình để hai phương trình có vế phải - 3, từ so sánh vế trái Chúng ta biểu diễn hai ẩn theo ẩn cịn lại, từ giải phương trình Trình bày lời giải Trừ vế phương trình (1); (2) trừ vế phương trình (2); (3) ta được: x − z + xy − yz = −3 ( x − z )( x + y + z ) =−3 ⇔  2 −3 ( y − x )( x + y + z ) =−3 y − x + yz − zx = Suy ra: x − z = y − x ⇔ 2x = y + z (4) Từ phương trình (1) (3) vế trừ vế ta được: y − z + xy − zx =−6 ⇔ ( y − z )( x + y + z ) =−6 kết hợp với (4): ( y − z ) 3x =−6 ⇔ y − z =− x Mặt khác y + z = 2x 1 Suy ra: y = x− ; z = x + thay vào phương trình (2) ta được: x x 2  1   1  1  x +  +  x +   x −  +  x −  =4 ⇔ 3x − 4x + =0 x  x  x  x  3 Giải ta được: x1 = 1; x = −1; x3 =; x = − 3 • Với x = suy ra: y = − = 0; z = + = • Với x = - suy ra: y = + = 2; z = − = • Với x = 3 −2 3 3 suy ra: y = − = ; z= + = 3 3 3 • Với x = − − 3 −4 3 3 suy ra: y = + = ; z= − = 3 3 3 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y; z )  −2   − 3 −4  ; ; ; ; ;     3 3     (1; 0; ) ; ( −1; 2; ) ;  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com  x − 2x y + 2y = x  Ví dụ Giải hệ phương trình y − 2y z + 2z = y  z z − 2z x + 2x = (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Bắc Ninh, năm học 2009-2010) Giải Tìm lời giải: Bài tốn dạng hốn vị vịng quanh nên dùng kỹ thuật đánh giá ẩn Vế trái phương trình có bóng dáng đẳng thức nên dựa vào để đánh giá ẩn Trình bày lời giải Điều kiện: x ≥ 0; y ≥ 0;z ≥ ( ( (   x− y   Hệ phương trình tương đương với  y − z   z− x  x − y(1) )= y − z(2) )= z − x(3) )= 2 Từ phương trình (1);(2);(3) ta có: x − y ≥  y − z ≥ ⇒ x ≥ y ≥ z ≥ x ⇒ x = y = z z − x ≥  x= y= z ≥ Suy  ⇔ x = y = z = x= y= z= x − x = Thử lại thấy thỏa mãn Vậy tập nghiệm hệ phương trình ( x; y; z ) ( 0; 0; ) ; (1;1;1) B Bài tập vận dụng  x − 2xy + x − y + = 1.1 Giải hệ phương trình:  2  y − x + 2xy + 2x − = Hướng dẫn giải – Đáp số 2 = −4y +6 x − 2y + (1)  x − 2xy += 2x − 4xy + 2x Ta có:  ⇔  = + 2x − ( )  y − x + 2xy = + 2x −  y − x + 2xy Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ⇒ x + y − 2xy + 4x − y + = 2 ⇔ ( x − y + 2) = ⇔ y = x + 2 Thay vào phương trình (1) ta được: x + 5x + = ⇔ x = −5 ± 21  −5 − 21 −1 − 21   −5 + 21 −1 + 21  Vậy hệ có hai nghiệm ( x; y )  ; ;  ;   2 2      x − y + = 0( ) 1.2 Giải hệ phương trình  (2)  y + x − y + = (Thi học sinh Giỏi Toán 9, tỉnh Đồng Nai, năm học 2012 – 2013) Hướng dẫn giải – Đáp số Từ phương trình (1) (2) vế trừ vế ta x − y = x − y − x + y = ⇔ ( x − y ) ( x + y − 1) = ⇔  x + y − = Trường hợp Xét x − y = ⇔ x = y thay vào phương trình (1) ta được: x − 2x + = ⇔ x = suy y = Trường hợp Xét x + y − = ⇔ y = − x thay vào phương trình (1) ta được: x − ( − x ) + = ⇔ x + 2x − = ( ) Giải ta được: x1 =−1 + ⇒ y1 =1 − −1 + =2 − ; ( ) x2 =−1 − ⇒ y2 =1 − −1 − =2 + ( )( Vậy tập nghiệm hệ phương trình ( x; y ) ( 1;1) ; −1 + 2;2 − ; −1 − 2;2 +  (1) 2 + 3x = y3  1.3 Giải hệ phương trình:   x3 − = (2)  y (Thi học sinh giỏi Tốn 9, tỉnh Thanh Hóa, Năm học 2012-2013) Hướng dẫn giải – Đáp số Từ phương trình (1) (2) cộng vế với vế ta x + 3x =   8 2  2x + ⇔ x − + 3x − =0 ⇔  x −   x + + +  =0 y y y y y  y y   Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 ) Website: tailieumontoan.com Ta có x +  2x 1 2 thay vào phương trình (1) ta + + =  x +  + + > nên x − = ⇔ x = y y y y y y  được: 2+ y −1 = = y = ⇔ y + y − = ⇔ ( y − 1) ( y + ) = ⇔  ⇔ y y y + =  y =−2 - Với y = ⇒ x = = 2 - Với y =−2 ⇒ x = =−1 −2 Vậy tập nghiệm hệ phương trình ( x; y ) ( 2;1) ; ( −1; −2 )   y = x2 ( )  1.4 Giải hệ phương trình:  z = xy ( ) 1  − =( )  x y z (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2011-2012) Hướng dẫn giải – Đáp số Từ phương trình (1) (2) thay vào phương trình (3) ta được: 1 − = ⇒ x2 − x = ⇔ x2 − x − = x x x Giải ta x1 = −2; x2 = - Với x1 = −2 thay vào phương trình (1); (2) ta y = 4; z = −8 - Với x2 = thay vào phương trình (1); (2) ta được= y 9; = z 27 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y; z ) ( −2;4; −8 ) ; ( 3;9;27 )   x + y − =x ( ) 1.5 Giải hệ phương trình:  ( x + y )2 + =3 ( )  x2 (Thi học sinh giỏi Tốn 9, tỉnh Quảng Bình, năm học 2011-2012) Hướng dẫn giải – Đáp số Từ phương trình (1) suy x + y =1 + thay vào phương trình (2) ta được: x Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 2 4   +  + = ⇔ + + + = ⇔ 3x + 4x + = x x x x x   Giải ta x1 = −1; x2 = − - Với x1 = −1 thay vào phương trình (1) ta −1 + y − =−2 ⇔ y =0 - Với x2 = − 1 −14 thay vào phương trình (2) ta + y − =−6 ⇔ y = 3  −1 −14  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) ( −1;0 ) ;  ;   3  2 1( )  x − x y + x y = 1.6 Giải hệ phương trình:  1( )  x y − x + xy = Hướng dẫn giải – Đáp số Từ phương trình (1) (2) vế trừ vế ta được: x − 2x y + x y + x − xy =0 ⇔ ( x − xy ) + ( x − xy ) =0 x =  ⇔ x ( x − y ) ( x − xy + 1) = ⇔  x − y =  x − xy + = - Với x = thay vào phương trình (1), phương trình vơ nghiệm - Với x − y = ⇔ x = y thay vào phương trình (1) ta x − x + x =1 ⇔ x =±1 ⇔ y =±1 - Với x − xy + =0 ⇔ x − xy =−1 hệ phương trình viết dạng:  x − xy ( x − xy ) =  x + xy =  ⇔   x y =  x y − ( x − xy ) = - Nếu x= ⇒ phương trình vơ nghiệm - Nếu x ≠ y = thay vào phương trình (2) suy x = −1 (loại) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) ( 1;1) ; ( −1; −1)  x ( y + 1)( x + y + 1)= x − 4x + 1.7 Giải hệ phương trình:  x2  xy + x + = Hướng dẫn giải – Đáp số 2 2  x ( y + 1)( x + y + 1)= x − 4x + ( xy + x ) ( x + xy + x ) = x − 4x + 1( ) ⇔  x2  xy + x + =  xy + x = x − 1( ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Từ phương trình (2) thay vào phương trình (1) ta được: (x − 1)( x + x − 1) =3 x − 4x + ⇔ 2x − x + 4x =0 ⇔ 2x ( x − 1) ( x − 2x − ) =0 - Với x = thay vào phương trình (2) ta 0.y + = − ⇒ vô nghiệm - Với x = thay vào phương trình (2) ta 1.y + =1 − ⇔ y =−1 - Xét x − 2x − = + 3; x2 = 1− giải ta x1 = + Với x= + thay vào phương trình (2) ta tính y = 2+ 1+ + Với x= − thay vào phương trình (2) ta tính y = 2− 1−  1+   1−  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) ( 1; −1) ;  + 3;  ;  − 3;  2+   −    x + 2x y + x y = 2x + 9( ) 1.8 Giải hệ phương trình:   x + 2xy =6 x + ( ) Hướng dẫn giải – Đáp số Từ phương trình (2) ta có: xy = x + − x2 thay vào phương trình (1) ta được: 2  x + − x2  ⇔ ( x + xy ) = 2x + ⇔  x +  = 2x +    x 0= x 3= ⇔ x + 12x + 48x + 64x =0 ⇔ x.( x + ) =0 ⇔  ⇔ x + =  x =−4 2 - Với x = thay vào phương trình (1) ta phương trình vơ nghiệm - Với x = -4 thay vào phương trình (2) ta y = 4,25 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) ( −4;4,25 ) 3  x − 8x = y + y 1.9 Giải hệ phương trình:  3 ( y + 1)  x −= Hướng dẫn giải – Đáp số 3  x − 8x = y + y  x − y = ( 4x + y ) ( ) ⇔ Ta có:   2 3 ( y + 1) 6(2)  x − y =  x −= Từ phương trình (2) ta có: = x2 − y thay vào phương trình (1) ta được: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 3( x − y 3 ) = (x − 3y ) ( 4x + y ) ⇔ x Website: tailieumontoan.com + x y − 12xy = 2 x = ⇔ x ( x − y )( x + y ) =0 ⇔  x − y =0  x + y = - Trường hợp Xét x = thay vào phương trình (2) ta được: −3 y = ⇒ Vô nghiệm - Trường hợp Xét x − y = ⇔ x = y thay vào phương trình (2) ta được: y − y = 6⇔ y= ±1 - Trường hợp Xét x + y = 0⇔x= −4 y thay vào phương trình (2) ta được: 16 y − y = 6⇔ y= ± 6 ⇔x= 4 13 13  6   6  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) ( 3;1) ; ( −3; −1) ;  ;− ;  ;  −4  13   13 13   13  x + y − xy = 3( ) 1.10 Giải hệ phương trình:  4( )  x + + y + = Hướng dẫn giải – Đáp số * Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: x + y = + xy ≤ + x+ y ⇔ x+ y ≤ 6(3) *Áp dụng bất đẳng thức ax + by ≤ a + b x + y ta có: x + + y + ≤ x + + y + 1 + ⇔ ≤ x + y + 2 ⇔ x + y ≥ ( ) Từ (3) (4) suy x + y = Đẳng thức xảy x = y = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) ( 3;3 )  x y + y x = 3x 2x − 1.11 Giải hệ phương trình:   y x + 2x y = y y − Hướng dẫn giải – Đáp số Điều kiện x ≥ 1 ;y ≥ 2  xy  Hệ phương trình có dạng:   xy  ( ( ) x )= x + y = 3x 2x − y +2 3y 2y −1 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 - Nếu x > y suy 3x 2x − > y y − dẫn đến: xy ( ) Website: tailieumontoan.com x + y > xy ( thuẫn - Nếu x < y tương tự dẫn đến mâu thuẫn Do x = y suy ra: x x + 2x x= 3x 2x − ⇔ x= 2x − ⇔ = x Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) ( 1;1)  x + y = z2 1.12 Tìm nghiệm nguyên dương hệ phương trình sau:  z2 3xy + z = Hướng dẫn giải – Đáp số  x 3=  x 3=  x 3= + y3 z2 + y3 z2 + y3 z2 ( ) Ta có:  ⇔ ⇔ = = + z2 z3 = x3 + y z ( ) 3xyz 3xy + z z 3xyz + Từ phương trình (2): x + y − z + 3xyz = ⇔ ( x + y − z ) ( x + y + z − xy + yz + zx ) = * Mà x + y + z − xy + yz + zx = 0,5 ( x − y ) + 0,5 ( y + z ) + 0,5 ( z + x ) > 2 Suy x + y − z = ⇔ x + y = z Vậy với x; y; z thỏa mãn x + y = z hệ phương trình có nghiệm Thay x + y = z vào phương trình (1) ta được: x + y =( x + y ) ⇔ x − xy + y =x + y ( x + y > 0) ⇔ y − ( x + 1) y + x − x = Phương trình bậc hai (ẩn y) có nghiệm khi: ∆ = ( x + 1) − ( x − x ) ≥ ⇔ ( x − 1) ≤ 2 Do x nguyên dương nên x = x = Với x = suy y = 2; z = Với x = suy y1 = 1; z1 = y2 = 2; z2 = Vậy hệ phương trình có nghiệm ngun dương ( x; y; z ) ( 1;2;3 ) ; ( 2;1;3 ) ; ( 2;2;4 )  x + y = 1.13 Giải hệ phương trình:   x − 20 + y + = (Thi học sinh giỏi tốn 9, tỉnh Bình Định, năm học 2008 - 2009) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 ) y + x ⇒ y > x mâu Website: tailieumontoan.com Hướng dẫn giải – Đáp số Điều kiện x ≥ 20; y ≥ Đặt u = x − 20 ;v = y + ( u ≥ 0;v ≥ ) Suy x = u + 20; y = v2 −  u + 20 + v − = 7( ) Hệ phương trình cho có dạng  u ≤ 6;v ≤ 6( ) u + v = Từ phương trình (1) bình phương hai vế ta được: u + 20 + v − + (u + 20 )( v − ) = 49 (3) Từ phương trình (2): v= − thay vào phương trình (3) ta được: u + 20 + (6 − u ) − + (u + 20)(u − 12 u + 33) = 49 ⇔ (u + 20 ) (u − 12u + 33 = −u + 6u − ⇔ ( u + 20 )( u − 12u + 33) =− ( u + 6u − ) ⇔ 13u − 216u + 656 = 164 > (loại) 13 Giải ta được= u1 4;u =  x − 20 =  x = 36 Với u = v = suy  ⇔ y =  y + = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) ( 36;1)  x + y = 4( ) 1.14 Cho hệ phương trình với ẩn x:  2  x + ( y + ) x + y + y < 0( ) Tìm y cho hệ có nghiệm x (Thi học sinh giỏi tốn 9, TP Hồ Chí Minh, năm học 1992 – 1993 – Vòng 2) Hướng dẫn giải – Đáp số Từ (1) có y =4 − x ≤ −2 ≤ y ≤ Ta có x = ± − y với −2 ≤ y ≤ Hệ có nghiệm ( ( )  − y + (5 y + 2) − y2 + y2 + y <  ⇔  − − y2 + (5 y + 2) − − y2 + y2 + y <  ) ( ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ( y + ) − y < −3 y − y − ⇔ ( y + ) − y > y + y +  ⇔ y + − y2 > y2 + y + ⇔ (5 y + 2) (4 − y2 ) > (3 y2 + y + ) 2 ⇔ 34 y + 32 y − 68 y − 64 y < ⇔ y ( y − ) ( 17 y + 16 ) < ⇔− 16 < y < − < y < Do giá trị y để hệ có nghiệm x < y < − 16 < y B ⇒ A > A + B • Xét A= +B 1 1 + + + + + 1+ 3+ 5+ 7 + 11 99 + 101 ⇔ A= +B 3− 5− 7− 9? ?? 101 − 99 + + + + + −1 5−3 7−5 9? ??7 101 − 99 ⇔=... toán zalo SĐT: 0 39. 373.2038 Website: tailieumontoan.com 1 1 + =+ − 2 K K K +1 ( K + 1) Suy ra: + Thay k 2,3,…, 199 , ta được: 1 1 1 1 99 A = + − + + − + + + − = 198 + − = 198 3 199 200 200 200... 200 1.3 Tìm số nguyên dương k thỏa mãn 1 1 1 20 092 − = + + + + + + + + + k 2 20 09 ( k + 1) (thi học sinh giỏi toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2007 – 2008) Hướng dẫn giải – đáp số Áp dụng