Phương pháp chiếu luân phiên giải bài toán tìm điểm chung của hai tập hợp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ LIỄU PHƯƠNG PHÁP CHIẾU LUÂN PHIÊN GIẢI BÀI TỐN TÌM ĐIỂM CHUNG CỦA HAI TẬP HỢP LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ LIỄU PHƯƠNG PHÁP CHIẾU LN PHIÊN GIẢI BÀI TỐN TÌM ĐIỂM CHUNG CỦA HAI TẬP HỢP LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 46 01 02 Cán hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Quỳnh Trang NGHỆ AN - 2019 MỤC LỤC Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khoảng cách, hình chiếu nón pháp tuyến 1.2 Độ dốc vi phân 11 PHƯƠNG PHÁP CHIẾU LUÂN PHIÊN 2.1 Thuật toán chiếu luân phiên tìm điểm chung hai tập lồi 13 13 2.2 Thuật tốn chiếu ln phiên tìm điểm chung hai tập khơng lồi 21 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành lịng kính trọng sâu sắc giáo TS Nguyễn Thị Quỳnh Trang tận tâm hướng dẫn thực luận văn Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô giáo chuyên ngành Giải tích, tồn thể thầy giáo Viện Sư phạm Tự nhiên, Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh giảng dạy, tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập Đặc biệt tơi vô biết ơn cô giáo TS Nguyễn Thị Quỳnh Trang nhiệt tình cung cấp tài liệu liên quan đến đề tài cho Xin cảm tạ ba mẹ, người thân gia đình, bạn bè chia sẻ, động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực đề tài Mặc dù tơi cố gắng nỗ lực luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót nên mong q thầy góp ý, bổ sung Cuối cho tơi nói lời tri ân tất cả! MỞ ĐẦU Chiếu ln phiên thuật tốn tìm điểm nằm giao hai tập hợp cho trước dựa vào việc xây dựng dãy lặp cách chiếu lên tập hợp Đây phương pháp để giải tốn tìm điểm chung hai tập hợp Nó nghiên cứu từ lâu nhiều tác giả hội tụ tốc độ hội tụ phương pháp thiết lập nhiều giả thiết khác Năm 1933, với hai tập affin không gian Hilbert, J von Neumann chứng minh dãy lặp sinh thuật toán chiếu luân phiên hội tụ mạnh điểm thuộc giao hai tập hợp; tốc độ hội tụ tuyến tính trường hợp thiết lập N Aronszajn năm 1950 Với hai tập lồi đóng, năm 1965 L M Bregman cho thấy dãy lặp sinh thuật toán chiếu luân phiên hội tụ yếu điểm thuộc giao chúng Năm 1967, L G Gubin cộng sự hội tụ tuyến tính điều kiện tập có phần giao Ngay với hai tập hợp tập siêu phẳng tập cịn lại nón lồi đóng khơng gian vơ hạn chiều, dãy lặp sinh thuật toán chiếu luân phiên khơng hội tụ mạnh [xem H S Hundal (2002)] Khảo sát điều kiện đảm bảo hội tụ mạnh dãy lặp sinh thuật tốn chiếu ln phiên giải tốn tìm điểm chung hai tập lồi chủ để có tính thời sự, nhiều tác giả quan tâm thời gian gần [xem J M Borwein, B Sims, M K Tam (2015)] Đối với trường hợp tập khơng lồi, việc phát triển thuật tốn khảo sát hội tụ dãy lặp sinh thuật tốn chiếu ln phiên vấn đề khó Những kết ban đầu chủ yếu giải cho trường hợp đặc biệt Gần đây, A S Lewis, D R Luke, J Malick thu số kết hội tụ tuyến tính phương pháp chiếu luân phiên cho hai tập không lồi khơng gian Euclid (xem [4]) Theo hướng đó, D Drusvyatskiy, A D Ioffe, A S Lewis ([3]) sử dụng điều kiện chất hoành để khảo sát hội tụ tuyến tính cho trường hợp hai tập khơng lồi hai tập nửa đại số Vấn đề nhà toán học tiếp tục nghiên cứu, mở rộng cải tiến kết (xem [2], [3]) Với mong muốn hiểu rõ thuật toán chiếu luân phiên, chọn đề tài nghiên cứu “Phương pháp chiếu ln phiên giải tốn tìm điểm chung hai tập hợp” Mục đích luận văn tổng hợp, phân tích, trình bày chi tiết có hệ thống kết quan trọng hội tụ tốc độ hội tụ phương pháp chiếu ln phiên giải tốn tìm điểm chung hai tập lồi, hai tập khơng lồi không gian Euclid hữu hạn chiều Sau phần mở đầu, kết luận vặn trình bày hai chương Chương dành cho kiến thức chuẩn bị Mục 1.1 trình bày chi tiết kết khoảng cách, hình chiếu trực giao nón pháp tuyến, sử dụng việc nghiên cứu thuật toán chiếu luân phiên chương sau Mục 1.2 dành để trình bày khái niệm độ dốc vi phân, dùng để nghiên cứu điều kiện đảm bảo hội tụ tuyến tính thuật tốn chiếu ln phiên Chương trình bày kết hội tụ hội tụ tuyến tính thuật tốn chiếu ln phiên Mục 2.1 cho thấy thuật tốn chiếu ln phiên tìm điểm chung hai tập lồi đóng có giao khác rỗng không gian Euclid hữu hạn chiều hội tụ, với điều kiện quy tuyến tính bị chặn, thuật tốn hội tụ r-tuyến tính Mục 2.2 dành cho thuật tốn chiếu ln phiên tìm điểm chung hai tập khơng lồi Kết hội tụ r-tuyến tính chứng minh chi tiết với giả thiết hai tập liên quan thỏa mãn điều kiện chất hoành Cuối phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Dù có nhiều cố gắng, hạn chế sức khỏe, kiến thức thời gian, luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp q Thầy Cơ, bạn bè đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng năm 2019 Nguyễn Thị Liễu CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày khái niệm, tính chất đối tượng nghiên cứu đề cập luận văn (xem [3],[5]) 1.1 Khoảng cách, hình chiếu nón pháp tuyến Trong luận văn này, giả sử E không gian Euclid hữu hạn chiều, có tích vơ hướng chuẩn ký hiệu ·, · · 1.1.1 Định nghĩa ([1, 3]) Cho X ⊂ E tập khác rỗng y ∈ E (i) Khoảng cách từ y đến X số d(y, X) xác định d(y, X) := inf d(u, y) | u ∈ X (ii) Hình chiếu y lên X tập PX (y) xác định PX (y) := x ∈ X : d(x, y) = d(y, X) 1.1.2 Chú ý Trong trường hợp PX (y) = {x} đồng tập {x} với x Kết sau gọi tiêu chuẩn Kolmogorov hình chiếu 1.1.3 Mệnh đề ([1, p 186]) Cho C tập lồi đóng khác rỗng E y ∈ E Khi đó, điều kiện cần đủ để x = PC (y) x∈C u − x, y − x ≤ ∀u ∈ C Chứng minh Giả sử x = PC (y) Theo định nghĩa, ta có x∈C d(y, x) = d(y, C) Lấy u ∈ C t ∈ (0, 1) Vì C lồi, x, u ∈ C t ∈ (0, 1) nên x + t(u − x) = (1 − t)x + tu ∈ C Do y−x ≤ y − x + t(u − x) = y−x 2 − 2t y − x, u − x + t2 u − x Từ suy u − x, y − x ≤ t u − x 2 Cho t → 0+ ta có u − x, y − x ≤ Vậy x = PC (y) x∈C u − x, y − x ≤ ∀u ∈ C (1.1) Ngược lại, giả sử (1.1) thỏa mãn Lấy u ∈ C Vì u−x, y−x ≤ nên y−u = = y − x − (u − x) y−x 2 − u − x, y − x + x − u ≥ y − x ✷ Kết hợp với x ∈ C ta suy x = PC (y) 1.1.4 Mệnh đề ([1, p 188]) Cho C tập lồi đóng khác rỗng E Khi đó, với x ∈ E, tập PC (x) có phần tử ánh xạ x → PC (x) (gọi phép chiếu trực giao từ E lên C) ánh xạ không giãn chắn (firmly nonexpansive), tức PC (u) − PC (x) + (IE − PC )(u) − (IE − PC )(x) ≤ u−x ∀u, x ∈ E, IE ánh xạ đồng E Chứng minh Vì C tập lồi đóng khác rỗng không gian Euclid hữu hạn chiều E nên với x ∈ E hình chiếu x lên C nhất, kí hiệu PC (x) Lấy x, u ∈ E Ta có (IE − PC )(u) − (IE − PC )(x) = (u − x) − PC (u) − PC (x) = u − x + PC (u) − PC (x) −2 u − x, PC (u) − PC (x) 2 (1.2) Bây ta chứng minh PC (u) − PC (x) ≤ u − x, PC (u) − PC (x) Theo Mệnh đề 1.1.3, ta có PC (u) − PC (x), x − PC (x) ≤ PC (x) − PC (u), u − PC (u) ≤ Cộng vế hai bất đẳng thức ta có PC (u) − PC (x), x − u + PC (u) − PC (x) ≤ Do PC (u) − PC (x) ≤ u − x, PC (u) − PC (x) (1.3) Kết hợp (1.2) (1.3) suy PC (u) − PC (x) = u−x 2 + (IE − PC )(u) − (IE − PC )(x) + PC (u) − PC (x) 2 − u − x, PC (u) − PC (x) ≤ u − x Điều chứng tỏ PC (·) không giãn chắn ✷ 1.1.5 Mệnh đề ([1, p 186]) Giả sử X, Y hai tập lồi đóng có giao khác rỗng Ký hiệu Fix(PX PY ) tập điểm bất động ánh xạ PX PY := PX ◦ PY , tức Fix(PX PY ) = {x ∈ E | x = (PX PY )(x)} Khi đó, ta có Fix(PX PY ) = X ∩ Y 16 với n ∈ N c ∈ C 2.1.5 Định lý ([1, Theorem 3.3]) Cho {xn } ⊂ E dãy đơn điệu Fejér tập lồi đóng khác rỗng C ⊂ E Khi đó, ta có khẳng định sau đây: (i) Dãy {xn } bị chặn d(xn+1 , C) ≤ d(xn , C) với n ∈ N (ii) Nếu int(C) = ∅ dãy {xn } có nhiều điểm tụ (iii) Dãy {xn } hội tụ đến điểm x ∈ C tất điểm tụ {xn } thuộc C (iv) Dãy {xn } hội tụ đến điểm x ∈ C lim d(xn , C) = n→∞ Trong trường hợp này, ta có xn − x ≤ 2d(xn , C) ∀n (v) Nếu tồn α ∈ (0, 1] cho αd2 (xn , C) ≤ d2 (xn , C) − d2 (xn+1 , C) ∀n, tồn x ∈ C thỏa mãn xn − x ≤ 2(1 − α)n/2 d(x0 , C) ∀n Từ suy {xn } hội tu r-tuyến tính tới x ∈ C với hệ số κ = (1 − α)1/2 Chứng minh (i) Vì {xn } dãy đơn điệu Fejér C nên d(xn+1 , c) ≤ d(xn , c), (2.5) với n ∈ N c ∈ C Do đó, cố định n ∈ N lấy infimum hai vế theo c ∈ C, ta có d(xn+1 , C) ≤ d(xn , C) Mặt khác, C = ∅ nên chọn c0 ∈ C Từ (2.5) suy xn − c0 ≤ x0 − c0 ∀n ∈ N 17 Vì xn ≤ xn − c0 + c0 ≤ x0 − c0 + c0 ∀n ∈ N Điều chứng tỏ {xn } dãy bị chặn (ii) Giả sử int(C) = ∅ Cố định c0 ∈ int(C) Giả sử u, v hai điểm tụ dãy {xn }, tức tồn hai dãy {xni } {xmj } dãy {xn } cho lim xni = u i→∞ lim xmj = v j→∞ Lấy x ∈ C Với i ∈ N∗ , tồn j0 cho mj > ni với j ≥ j0 nhờ tính chất đơn điệu Fejér C dãy {xn } ta suy d(xni , x) ≥ d(xmj , x) ∀j ≥ j0 Cho j → ∞ ta thu d(xni , x) ≥ d(v, x) ∀i Tiếp theo, cho i → ∞, ta có d(u, x) ≥ d(v, x) Hồn tồn tương tự ta chứng minh d(v, x) ≥ d(u, x) Như vậy, v−x = u−x ∀x ∈ C Bình phương hai vế sử dụng tính chất chuẩn Euclid ta suy v−u + v − u, u − x = ∀x ∈ C Điều kết hợp với c0 ∈ int(C) chứng tỏ c0 điểm cực tiểu địa phương hàm f (x) := v − u + v − u, u − x với x ∈ E Vì vậy, sử dụng quy tắc Fermat, ta có ∇f (c0 ) = hay u = v Vậy dãy {xn } có nhiều điểm tụ 18 (iii) Nếu xn → x ∈ C rõ ràng điểm tụ {xn } thuộc C Ngược lại, giả sử điểm tụ {xn } thuộc C Theo (i), ta có dãy {xn } bị chặn Vì vậy, theo định lý Bolzano-Weierstrass tập điểm tụ {xn } khác rỗng, để chứng minh {xn } hội tụ điểm thuộc C ta cần chứng minh {xn } có khơng q điểm tụ Giả sử u v hai điểm tụ {xn }, tức tồn hai dãy {xni } {xmj } dãy {xn } cho lim xni = u i→∞ lim xmj = v j→∞ Theo giả thiết u, v ∈ C Với i ∈ N∗ , tồn j0 cho mj > ni với j ≥ j0 Vì u ∈ C nên nhờ tính chất đơn điệu Fejér C dãy {xn } ta suy d(xni , u) ≥ d(xmj , u) ∀j ≥ j0 Cho j → ∞ ta thu d(xni , u) ≥ d(v, u) ∀i Cho i → ∞ ta suy d(v, u) = u = v ∈ C Vây dãy {xn } hội tụ điểm thuộc C (iv) Giả sử xn → x ∈ C Khi đó, ta có ≤ d(xn , C) ≤ d(xn , x) → n → ∞ Do đó, theo nguyên lý kẹp, lim d(xn , C) = n→∞ Ngược lại, giả sử lim d(xn , C) = Theo (iii) để chứng minh dãy {xn } hội n→∞ tụ đến điểm thuộc C ta cần chứng minh điểm tụ {xn } thuộc C Gọi x điểm tụ {xn }, tức tồn dãy {xni } dãy {xn } cho lim xni = x i→∞ (2.6) 19 Ta chứng minh x ∈ C Vì C tập đóng khác rỗng khơng gian Euclid hữu hạn chiều E nên tồn x¯ni ∈ C thỏa mãn xni − x¯ni = d(xni , C) ∀i ∈ N∗ Kết hợp với (2.6) giả thiết lim d(xn , C) = ta suy lim x¯ni = x Mặt n→∞ i→∞ khác, x¯ni ∈ C với i C tập đóng Do x ∈ C Vậy điểm tụ dãy {xn } thuộc C Sử dụng (iii) ta suy dãy {xn } hội tụ đến điểm thuộc C Tiếp theo, giả sử xn → x ∈ C Ta chứng minh xn − x ≤ 2d(xn , C) ∀n (2.7) Lấy c ∈ C Sử dụng tính chất đơn điệu Fejér {xn } ta suy xn+k − c ≤ xn − c ∀n, k ∈ N∗ Cố định n ∈ N∗ cho k → ∞ ta có x − c ≤ xn − c Từ suy xn − x ≤ xn − c + c − x ≤ xn − c ∀n ∈ N∗ , ∀c ∈ C Do ta có (2.7) (v) Giả sử tồn α ∈ (0, 1] cho αd2 (xn , C) ≤ d2 (xn , C) − d2 (xn+1 , C) ∀n (2.8) Từ (i) ta có {d(xn , C)} dãy giảm bị chặn nên tồn lim d(xn , C) = β ∈ R+ Kết hợp với (2.8) suy β = 0, tức n→∞ lim d(xn , C) = n→∞ Vì thế, theo (iv), tồn x ∈ C cho xn → x xn − x ≤ 2d(xn , C) ∀n ∈ N∗ (2.9) 20 Từ (2.8) suy d(xn+1 , C) ≤ (1 − α)1/2 d(xn , C) ∀n Do đó, quy nạp ta có d(xn , C) ≤ (1 − α)n/2 d(x0 , C) ∀n Kết hợp với (2.9) suy xn − x ≤ 2(1 − α)n/2 d(x0 , C) ∀n Vậy {xn } hội tu r-tuyến tính tới x ∈ C với hệ số κ = (1 − α)1/2 ✷ 2.1.6 Bổ đề ([1, Example 3.2]) Giả sử {xn } {yn } hai dãy sinh thuật toán chiếu luân phiên Khi đó, {xn } {yn } hai dãy đơn điệu Fejér X ∩ Y Chứng minh Ta chứng minh {xn } dãy đơn điệu Fejér X ∩ Y (phép chứng minh {yn } đơn điệu Fejér X ∩ Y tương tự) Lấy u ∈ X ∩ Y Từ thuật toán chiếu luân phiên ta có xn+1 = PX (yn ) yn = PY (xn ) Do đó, sử dụng Mệnh đề 1.1.4, ta có xn+1 − u = PX (yn ) − PX (u) ≤ yn − u = PY (xn ) − u = PY (xn ) − PY (u) ≤ xn − u ∀n Điều chứng tỏ {xn } dãy đơn điệu Fejér X ∩ Y ✷ 2.1.7 Định nghĩa ([1, Definition 3.11]) Hai tập X Y gọi quy tuyến tính bị chặn (boundedly linearly regular) với tập bị chặn S ⊂ E tồn κ > cho d(u, X ∩ Y ) ≤ κ max d u, X), d(u, Y ) ∀u ∈ S Kết sau cung cấp điều kiện đủ để dãy von Neumann (các dãy sinh thuật toán chiếu luân phiên) hội tụ tuyến tính 21 2.1.8 Định lý ([1, Theorem 3.12]) Nếu X, Y hai tập quy tuyến tính bị chặn, dãy von Neumann hội tụ r-tuyến tính Chứng minh Giả sử hai tập X Y quy tuyến tính bị chặn Theo Định lý 2.1.5, dãy {xn } bị chặn Lấy S = {xn | n ∈ N} Khi đó, nhờ tính chất quy tuyến tính bị chặn hai tập X Y , tồn κ > cho d(xn , X ∩ Y ) ≤ κ max d xn , X), d(xn , Y ) = κd(xn , Y ) ∀n ∈ N∗ Cố định e ∈ X ∩Y Vì PY (e) = e nên, nhờ Mệnh đề 1.1.4 Mệnh đề 1.1.5, ta có d2 (xn , Y ) ≤ xn − yn = (xn − e) − PY (xn ) − PY (e) ≤ xn − e − PY (xn ) − PY (e) 2 ≤ xn − e − PY (xn ) − PY (e) + PY (xn ) − PY (e) − PX PY (xn ) − PX PY (e) = xn − e 2 − xn+1 − e , với n ∈ N Từ suy với e := PX∩Y (xn ) ta có κ2 d (xn , X ∩ Y ) ≤ d2 (xn , Y ) ≤ xn − PX∩Y (xn ) − xn+1 − PX∩Y (xn ) ≤ d2 (xn , X ∩ Y ) − d2 (xn+1 , X ∩ Y ) ∀n Do đó, nhờ Định lý 2.1.5 Bổ đề 2.1.6, ta suy {xn } hội tụ r-tuyến tính điểm thuộc X ∩ Y 2.2 ✷ Thuật tốn chiếu ln phiên tìm điểm chung hai tập khơng lồi Mục trình bày số kết cho thấy thuật toán chiếu ln phiên áp dụng để tìm điểm chung hai tập khơng lồi Trước hết ta xét ví dụ sau đây, dãy von Neumann hội tụ tới điểm chung hai tập khơng lồi 22 2.2.1 Ví dụ Giả sử X = R × {0} Y = {(x, y) | x2 + (y − 1)2 = 1} Khi đó, thuật tốn chiếu ln phiên xuất phát từ điểm x0 := (1, 0) cho dãy điểm {xn } {yn } sau: x0 = (1, 0), x1 = (1, 0), y1 = y2 = yn = √ √ ,1 − √ ,1 − ,1 − n+1 1 + 1/1 1 + 1/2 1 + 1/n) √ ,0 , , x2 = , x3 = √ , , , , xn+1 = √ , , n+1 Như vậy, trường hợp này, dãy lặp sinh thuật toán chiếu luân phiên {xn } = √1 , n , hội tụ đến điểm (0, 0) thuộc giao hai tập X Y 2.2.2 Định nghĩa ([3, p 1641]) Cho X Y hai tập đóng E z ∈X ∩Y (i) Ta nói (X, Y ) hoành z NX (z) ∩ [−NY (z)] = {0} (ii) Ta nói (X, Y ) chất hoành (intrinsically transversal) z tồn κ ∈ (0, 1] (số κ gọi hệ số hoành) r > cho với x ∈ X ∩ Y c ∩ Br (z) y ∈ Y ∩ X c ∩ Br (z) ta có max d u, NY (y) , d u, −NX (x) u = x − y := x−y x−y ≥ κ, (2.10) , Y c := E\Y X c := E\X 2.2.3 Mệnh đề ([3, Proposition 3.2]) Nếu (X, Y ) hoành z ∈ X ∩ Y (X, Y ) chất hồnh z Chứng minh Giả sử (X, Y ) hoành z ∈ X ∩ Y , tức NX (z) ∩ [−NY (z)] = {0} 23 Khi đó, NX (z) −NY (z) tập đóng nên, với u = x − y := max d u, NY (z) , d u, −NX (z) x−y x−y , > Mặt khác, hàm u → max d u, NY (z) , d u, −NX (z) liên tục tập compact {u ∈ E : u = 1} Do đó, sử dụng định lí Weierstrass, ta có κ ˆ := max d u, NY (z) , d u, −NX (z) > u =1 Bây ta chứng minh tồn r > cho (2.10) với κ := κ ˆ /2 Giả sử ngược lại, với r > tồn x ∈ X ∩ Y c ∩ Br (z) y ∈ Y ∩ X c ∩ Br (z) cho max d u, NY (y) , d u, −NX (x) u = x − y := x−y x−y < κ, Từ suy với k ∈ N∗ tồn xk ∈ X ∩ Y c ∩ B k1 (z) yk ∈ Y ∩ X c ∩ B k1 (z) cho max d uk , NY (yk ) , d uk , −NX (xk ) uk = xk − yk := xk −yk xk −yk < κ, (2.11) Bằng cách thay dãy cần, ta giả sử uk → u với u = Kết hợp với (2.11)và xk → z, yk → z, ta suy κ ˆ ≤ max d u, NY (z) , d u, −NX (z) ≤κ α < f (x) thỏa mãn K := inf |∇f |(w) : α < f (w) ≤ f (x), w − x ≤ δ > w∈E f (x) − α (2.12) δ Khi đó, tập mức [f ≤ α] := {u ∈ E : f (u) ≤ α} khác rỗng d x, [f ≤ α] ≤ f (x) − α K Chứng minh Lấy γ thỏa mãn f (x) − α < γ < K, δ 24 đặt W := w ∈ E : f (w) ≤ f (x) − γ w − x Ta có β := inf f ≤ f (x) {wk } ⊂ W mà f (wk ) → β bị chặn W w¯ điểm tụ {wk } β = f (w) ¯ ≤ f (x) − γ w¯ − x Tiếp theo ta chứng minh β ≤ α Thật vậy, β > α α < f (w) ¯ ≤ f (x) w¯ − x ≤ f (x) − f (w) ¯ f (x) − α < < δ γ γ Vì vậy, K ≤ |∇f |(w) ¯ Từ suy tồn w ∈ E cho f (w) < f (w) ¯ − γ w¯ − w < β Hơn nữa, f (w) ¯ − γ w¯ − w ≤ f (x) − γ w¯ − x + w¯ − w ) ≤ f (x) − γ w¯ − x Do w ∈ W Điều mâu thuẫn với cách xác định điểm w, ¯ f (w¯ = β := inf f ≤ f (x) Vì β ≤ α Suy w¯ ∈ [f ≤ α] Bằng cách thay f W max{f, α} cần, ta giả thiết f ≥ α Trong trường hợp ta chứng minh β = α w¯ − x ≤ f (x) − α γ Cho γ → K − ta có điều phải chứng minh ✷ 2.2.5 Bổ đề ([3, Theorem 5.2]) Giả sử X tập đóng E, x ∈ X, y ∈ X, ρ := y − x δ > Khi đó, inf w∈X d y − w, NX (w) : w ∈ Bρ (y) ∩ Bδ (x) = µ > 0, 25 d(y, X) ≤ y − x − µδ Chứng minh Đặt f (u) := u − y + δX (u), u ∈ E Theo Mệnh đề 1.2.5và Mệnh đề 1.2.6, ta có |∇f |(w) ≥ |∇f |(w) = d y − w, NX (w) Với ký hiệu Bổ đề 2.2.4, giả sử α < f (x), ta có µ ≤ K := inf w∈X |∇f |(w) : α < w − y ≤ x − y , w − x ≤ δ Do đó, miễn µ > 1δ ( x − y − α , nhờ Bổ đề 2.2.4, [f ≤ α] = ∅ Khi tồn u ∈ [f ≤ α], u ∈ X cho d(y, X) ≤ y − u = f (u) ≤ α Như vậy, α thỏa mãn µ> ( x−y −α δ d(y, X) ≤ α Lấy αn := x − y − µδ + n1 , n = 1, 2, , ta có µ > ( x − y − αn δ d(y, X) ≤ αn = x − y − µδ + n Cho n → ∞, ta có d(y, X) < x − y − µδ Từ suy điều phải chứng minh ✷ 26 2.2.6 Định lý ([3, Theorem 6.1]) Giả sử (X, Y ) chất hoành z ∈ X ∩ Y với hệ số κ ∈ (0, 1] Khi đó, với c ∈ (0, 1), dãy von Neumann luân phiên x0 , x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , hội tụ r-tuyến tính với hệ số − c2 tới điểm thuộc X ∩ Y điểm x0 đủ gần z Chứng minh Ta chứng minh hội tụ tuyến tính dãy {xn } (sự hội tụ tuyến tính dãy {yn } chứng minh tương tự) Vì (X, Y ) chất hoành z ∈ X ∩ Y với hệ số κ ∈ (0, 1] nên tồn r > cho max d u, NY (y) , d u, −NX (x) ≥ κ, (2.13) với x ∈ X ∩ Y c ∩ Br (z) y ∈ Y ∩ X c ∩ Br (z), u = x − y := x−y x−y Trước hết ta chứng minh tồn r0 > cho d(y, X) ≤ (1 − c2 ) y − x , với x ∈ X ∩ Br0 (z) y ∈ PY (x) Đặt r0 := (2.14) r 2(1+κ) Lấy x ∈ X ∩ Br0 (z) y ∈ PY (x) Nếu y ∈ X (2.14) (do − c2 > 0) Bây giả sử y ∈ X đặt ρ := x − y > Vì y ∈ PY (x) z ∈ X nên x − y ≤ x − z Từ suy x − z + κρ = x − z + κ x − y ≤ (1 + κ) x − z ≤ (1 + κ)r0 = r < r, y − z + κρ ≤ y − x + x − z + κ x − y ≤ x−z + ≤ r0 + r = r r 2(1+κ) + r < r Điều chứng tỏ x, y ∈ intBr−κρ (z) (2.15) Lấy w ∈ X ∩ intBκρ (x) Vì y ∈ PY (x) κ ∈ (0, 1] nên w − x < κρ = κ x − y ≤ κd(x, Y ) ≤ d(x, Y ) (2.16) 27 Do w ∈ Y w = y Ta có d w − y, NY (y) ≤ d w − y, R+ (x − y) (do x − y ∈ NY (y)), w − y := w−y w−y (2.17) Lưu ý với p, q ∈ E\{0} ta có p−q , q d(ˆ p, R+ q) ≤ pˆ := p p qˆ := q q (2.18) Thật vậy, p, q < d2 (ˆ p, R+ q) ≤ pˆ =1 p −2 p,q + q q ≤ p−q q = d(ˆ p, R+ q) ≤ 2 , p−q q (2.19) Nếu p, q ≥ d2 (ˆ p, R+ q) ≤ pˆ − pˆ, qˆ qˆ = − 2( pˆ, qˆ )2 + ( pˆ, qˆ )2 =1− p−q q ( p,q )2 p q 2, p, q p =1−2 + q q Mặt khác, [1 − p,q q + p q 2 ] − [1 − ( p,q )2 p q 2] = ( p,q )2 p q = p,q p q −2 − p q p,q q + p q 2 ≥ Do đó, p, q ≥ ta có d(ˆ p, R+ q) ≤ p−q q (2.20) 28 Từ (2.19) (2.20) suy (2.18) Áp dụng (2.18) cho p = w − y q = x − y sử dụng (2.16) ta suy d w − y, R+ (x − y) ≤ (w−y)−(x−y) x−y = w−x x−y < κ Kết hợp với (2.17) ta có d w − y, NY (y) < κ (2.21) d y − w, NX (w) ≥ κ (2.22) Từ (2.13) (2.21) suy Áp dụng Bổ để 2.2.5 với δ := cρ ta suy d(y, X) ≤ ρ − µcρ ≤ (1 − c2 ) y − x , µ := inf w∈X d y − w, NX (w) : w ∈ Bρ (y) ∩ Bδ (x) ≥ κ > c > Hoàn tồn tương tự ta có d(x, Y ) ≤ (1 − c2 ) y − x , với y ∈ Y đủ gần z x ∈ PX (y) Từ suy xn+1 − yn = d(yn , X) ≤ (1 − c2 ) yn − xn , yn − xn = d(xn , Y ) ≤ (1 − c2 ) yn−1 − xn = (1 − c2 )d(yn−1 , X), với n ∈ N∗ đủ lớn Vì vậy, dãy von Neumann luân phiên x0 , x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , hội tụ r-tuyến tính với hệ số − c2 ✷ 29 KẾT LUẬN Dựa việc nghiên cứu, tìm hiểu từ tài liệu tham khảo, luận văn trình bày lại cách có hệ thống chi tiết vấn đề sau: Các kiến thức khoảng cách, hình chiếu, nón pháp tuyến, độ dốc vi phân, làm sở cho việc khảo sát thuật toán chiếu luân phiên Kết tụ hội tụ r-tuyến tính phương pháp chiếu ln phiên giải tốn tìm điểm chung hai tập lồi không gian Euclid hữu hạn chiều (Định lý 2.1.2, Định lý 2.1.5 Định lý 2.1.8) Kết hội tụ r-tuyến tính phương pháp chiếu luân phiên giải tốn tìm điểm chung hai tập khơng lồi không gian Euclid hữu hạn chiều (Định lý 2.2.6) Theo hướng nghiên cứu luận văn, khảo sát phép chiếu luân phiên không gian vô hạn chiều nghiên cứu điều kiện khác đảm bảo hội tụ tuyến tính, tuyến tính, tuyến tính, thuật tốn chiếu luân phiên tìm điểm chung hai tập lồi Ngồi ra, tìm hiểu mở rộng thuật tốn chiếu ln phiên tìm điểm chung hữu hạn tập hợp 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] H.H Bauschke, J.M Borwein (1993), "On the convergence of von Neumann’s alternating projection algorithm for two sets", Set-Valued Anal., (1), 185-212 [2] D Drusvyatskiy (2013), Slope and Geometry in Variational Mathematics, PhD thesis, School of Operations Reseach and Information Engineering, Cornell University [3] D Drusvyatskiy, A.D Ioffe, A.S Lewis (2015), "Transversality and Alternating Projections for Nonconvex Sets", Found Comput Math., (15), 1637-1651 [4] A.S Lewis, D.R Luke, J Malick (2009), "Local linear convergence for alternating and averaged nonconvex projections", Found Comput Math., (9), 485-513 [5] B S Mordukhovich (2018), Variational Analysis and Applications, Springer Monographs in Mathematics ... E 13 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP CHIẾU LUÂN PHIÊN Chương dành để trình bày kết hội tụ thuật toán chiếu luân phiên tìm điểm chung hai tập hợp 2.1 Thuật tốn chiếu ln phiên tìm điểm chung hai tập lồi Từ sau... dãy von Neumann luân phiên Ví dụ sau minh họa cho thuật tốn chiếu ln phiên tìm điểm chung hai tập lồi Trường hợp này, dãy lặp sinh thuật toán chiếu luân phiên hội tụ điểm chung hai tập lồi cho 2.1.1... hình chiếu nón pháp tuyến 1.2 Độ dốc vi phân 11 PHƯƠNG PHÁP CHIẾU LUÂN PHIÊN 2.1 Thuật toán chiếu luân phiên tìm điểm chung hai tập lồi 13 13 2.2 Thuật tốn chiếu