Chỉ số chính quy của lũy thừa iđêan cạnh của đồ thị được phủ rất tốt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN THỊ TUYẾT HỒNG CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA LŨY THỪA IĐÊAN CẠNH CỦA ĐỒ THỊ ĐƯỢC PHỦ RẤT TỐT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN THỊ TUYẾT HỒNG CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA LŨY THỪA IĐÊAN CẠNH CỦA ĐỒ THỊ ĐƯỢC PHỦ RẤT TỐT Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS THIỀU ĐÌNH PHONG Nghệ An - 2018 MỤC LỤC Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford iđêan 1.2 Các khái niệm đồ thị Chương Chỉ số quy lũy thừa iđêan cạnh đồ thị phủ tốt 13 2.1 Chặn số quy trường hợp đơn thức khơng phương 13 2.2 Chặn số quy trường hợp đơn thức có phương 18 2.3 Chỉ số quy lũy thừa iđêan cạnh đồ thị phủ tốt 28 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 MỞ ĐẦU Cho R = K[x1 , , xn ] vành đa thức phân bậc chuẩn trường K (tức deg(xi ) = với i = 1, , n) Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford R-mơđun M , kí hiệu reg(M ), số nguyên m nhỏ cho j , môđun xoắn thứ j M sinh phần tử có bậc ≤ m + j Đối với iđêan đơn thức I R, nghiên cứu tính chất I s , với s ≥ 2, thu hút nhiều quan tâm nhà toán học Theo chứng minh Cutkosky, Herzog Trung ([6]) chứng minh độc lập Kodiyalam [13], ta có reg(I s ) hàm tuyến tính với s 0, tức tồn số nguyên không âm a, b, s0 cho reg(I s ) = as + b với s ≥ s0 Kodiyalam ([13]) chứng minh a ≤ deg(I), deg(I) bậc lớn phần tử sinh tối tiểu I Việc tìm xác giá trị a, b s0 điều không đơn giản, iđêan đơn thức Cho G đồ thị đơn hữu hạn (khơng chứa vịng cạnh kép) tập đỉnh V (G) = {x1 , , xn } Khi iđêan đơn thức I(G) = (xi xj | {xi , xj } ∈ E(G)) ⊂ K[x1 , , xn ] gọi iđêan cạnh G Khi trường hợp đặc biệt kết trên, tồn số nguyên b s0 cho reg(I(G)s ) = 2s + b với s ≥ s0 Trong [7], Gitler Valencia chứng minh G đồ thị đơn không |V (G)| Nếu dấu "=" bất đẳng thức xảy có đỉnh lập, ht(I(G)) ≥ G gọi đồ thị phủ tốt, nghĩa G đồ thị đơn khơng có |V (G)| Tính Cohen-Macaulay số quy đồ thị phủ tốt nghiên cứu nhiều tác giả công đỉnh lập thỏa mãn ht(I(G)) = trình [14], [16] Do lớp đồ thị phủ tốt chứa lớp đồ thị đơn hai phần, đồ thị ghép đồ thị rẽ nhánh, nên có nhiều ý nghĩa mặt đại số Mahmoudi cộng ([14]) chứng minh đồ thị G phủ tốt, reg(I(G)) = ν(G) + 1, ν(G) số đối sánh cảm sinh G Chỉ số quy lũy thừa iđêan cạnh đồ thị đơn hai phần nghiên cứu Jayanthan cộng [11] Họ chứng minh G đồ thị đơn hai phần, reg(I(G)s ) = 2s + ν(G) − với s ≥ Do đồ thị đơn hai phần đồ thị phủ tốt, nên vấn đề đặt kết tương tự có tổng quát hóa cho đồ thị phủ tốt hay không Gần đây, Norouzi cộng chứng minh G đồ thị phủ tốt với odd-girth(G) ≥ 2k + 1, reg(I(G)s ) = 2s + ν(G) − 1, với ≤ s ≤ k − (xem [16]) Trên sở vấn đề trên, chọn đề tài "Chỉ số quy lũy thừa iđêan cạnh đồ thị phủ tốt" để trình bày lại kết A.V Jayanthan S.Selvaraja [12] nhằm chứng minh đẳng thức reg(I(G)s ) = 2s + ν(G) − 1, với s ≥ 1, cho đồ thị phủ tốt Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức sở Đại số giao hoán nhằm chuẩn bị nội dung cho chương sau Các nội dung chương bao gồm số quy Castelnuovo-Mumford, đồ thị, khái niệm đồ thị, iđêan cạnh đồ thị, Chương Chỉ số quy lũy thừa iđêan cạnh đồ thị phủ tốt Nội dung chương trình bày chứng minh chi tiết số kết [12] số quy lũy thừa iđêan cạnh đồ thị phủ tốt Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS Thiều Đình Phong tận tình hướng dẫn tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo Viện Sư phạm Tự nhiên trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy cho tác giả bạn học viên lớp Để hoàn thành luận văn này, tác giả nhận tình cảm, động viên, hỗ trợ, tạo điều kiện lớn từ gia đình, người thân bạn bè gần xa Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tới tình cảm, hỗ trợ quý báu Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận góp ý, sửa chữa, bổ sung thầy cô giáo bạn học viên Nghệ An, tháng năm 2018 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong toàn luận văn ta giả thiết K trường, R = K[x1 , , xn ] vành đa thức phân bậc chuẩn n ẩn K Nội dung chương trình bày kiến thức sở số quy Castelnuovo-Mumford đồ thị để chuẩn bị cho nội dung chương sau Các khái niệm chương chúng tơi trình bày lại trích dẫn từ tài liệu tham khảo [2], [8], [9] 1.1 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford iđêan Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford iđêan R bất biến quan trọng Đại số giao hốn định nghĩa theo nhiều cách Chúng tơi trình bày lại định nghĩa số quy dựa vào số Betti phân bậc sau: 1.1.1 Định nghĩa Cho I iđêan phân bậc hữu hạn sinh R Khi giải tự phân bậc tối tiểu I có dạng R(−j)βp,j (I) → · · · → 0→ j∈Z R(−j)β0,j (I) → I → j∈Z Số βi,j (I) gọi số Betti phân bậc vị trí thứ i với bậc j I Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford I xác định reg(I) = max{j − i | βi,j (I) = 0} 1.1.2 Ví dụ Giả sử R = K[x, y] I = (x, y ) Giải tự phân bậc tối tiểu I xây dựng sau: Giả sử giải tự có dạng ∂ ∂ ∂ ∂ ··· − → F2 − → F1 − → F0 − → I Khi đó, Im∂0 = I = (x, y ) Suy rankR (Im∂0 ) = rankR (I) = Bởi tính tối tiểu tính bảo tồn bậc đồng cấu phân bậc, ta chọn F0 sinh hai phần tử e1 , e2 với deg e1 = deg x = deg e2 = deg y = Khi F0 = Re1 ⊕Re2 ∼ = R[−1]⊕R[−2] ∂0 (e1 ) = x, ∂0 (e2 ) = y Suy dãy khớp (x y ) F1 − → R[−1] ⊕ R[−2] −−−−−→ I ∂1 Ta có Im∂1 = Ker∂0 Suy Im∂1 = {α1 e1 + α2 e2 ∈ F0 | αi ∈ R, ∂0 (α1 e1 + α2 e2 ) = 0} = {α1 e1 + α2 e2 ∈ F0 | αi ∈ R, α1 ∂0 (e1 ) + α2 ∂0 (e2 ) = 0} = α1 e1 + α2 e2 ∈ F0 | αi ∈ R, α1 x + α2 y = = R(y e1 − xe2 ) Vì giải tự tối tiểu, ta có rankR (F1 ) = rankR (Im∂1 ) = F1 = Rf ∼ = R[−3] với deg f = deg(y e1 − xe2 ) = ∂1 (f ) = (y e1 − xe2 ) Suy y2 (x y ) −x ∂2 F2 − → R[−3] −−−−→ R[−1] ⊕ R[−2] −−−−−→ I Ta có Im∂2 = Ker∂1 = {γf ∈ F1 | γ ∈ R, ∂1 (γf ) = 0} = {γf ∈ F1 | γ ∈ R, γ∂1 (f ) = 0} = γf ∈ F1 | γ ∈ R, γ(y e1 − xe2 ) = = {0} Suy F2 = Vì giải tự phân bậc tối tiểu I có dạng: y2 (x y ) −x → R[−3] −−−−→ R[−1] ⊕ R[−2] −−−−−→ I Suy số Betti phân bậc khác I là: β0,1 (I) = 1, β0,2 (I) = 1, β1,3 (I) = Do reg(I) = max{j − i | βi,j = 0} = − = 1.2 Các khái niệm đồ thị 1.2.1 Định nghĩa Đồ thị G khái niệm tổ hợp bao gồm tập đỉnh V tập cạnh E nối cặp đỉnh (nếu có), viết G = (V, E) Ta sử dụng ký hiệu VG EG để tập đỉnh tập cạnh tương ứng đồ thị G cho trước Một đỉnh v ∈ VG không thuộc cạnh G, hay v không nối với đỉnh khác gọi đỉnh lập Một cạnh đồ thị G nối hai đỉnh trùng gọi khuyên G Một cạnh G gọi cạnh kép tồn cạnh khác G có chung đỉnh với Đồ thị G = (V, E) gọi đồ thị đơn G khơng có khun khơng có cạnh kép Trong tồn luận văn, khơng nói thêm, ta ln giả thiết G đồ thị đơn, khơng có đỉnh lập 1.2.2 Định nghĩa Cho đồ thị G = (V, E) Cho u ∈ V đỉnh G Tập tất đỉnh kề u, ký hiệu NG (u), tập hợp đỉnh xác định NG (u) = {v ∈ V | uv ∈ E} Ký hiệu NG [u] := NG (u) ∪ {u} Một cạnh e liên thuộc tới đỉnh u u ∈ e Bậc đỉnh u ∈ V , ký hiệu degG (u), số cạnh liên thuộc tới u Nếu không nói thêm, để gọn ký hiệu ta lược bỏ G viết N (u), N [u] deg(u) Một tập đỉnh U ⊂ V G gọi tập độc lập hai đỉnh thuộc U không nối với cạnh Tập độc lập mà không tập tập độc lập khác gọi tập độc lập tối đại Một đồ thị H gọi đồ thị G VH ⊆ VG EH ⊆ EG Đồ thị H gọi đồ thị cảm sinh G thỏa mãn điều kiện: với đỉnh u v H , {u, v} cạnh H {u, v} cạnh G Đồ thị cảm sinh G tập W ⊆ V đạt cách xóa đỉnh khơng thuộc W từ G (và cạnh liên thuộc với đỉnh đó) Cho e ∈ E cạnh đồ thị G, ta định nghĩa G \ e đồ thị G với cạnh e xóa bỏ (nhưng giữ nguyên đỉnh nó) Cho tập W ⊆ V tập đỉnh G, ta định nghĩa G \ W đồ thị G đỉnh thuộc W cạnh liên thuộc với đỉnh bị xóa Nếu W = {u} bao gồm đỉnh đơn, viết G \ u thay cho G \ {u} Nếu e = {u, v} tập NG [e] = NG [u] ∪ NG [v] ta định nghĩa Ge đồ thị G \ NG [e] G 1.2.3 Ví dụ Cho đồ thị G = (V, E) gồm tập đỉnh V = {a, b, c, d, e, f } tập cạnh E = {ab, bc, cd, de, ef, af, bf, ce, ac} i) Tập tất đỉnh kề a N (a) = {b, c, f }, N [a] = {a, b, c, f } bậc a deg(a) = ii) Đồ thị G \ ac G đồ thị G sau xóa bỏ cạnh ac giữ nguyên hai đỉnh a c Xét tập đỉnh W1 = {b, d} ⊂ V , ta có G \ W1 đồ thị G gồm tập đỉnh {a, c, e, f } tập cạnh {ac, ce, ef, f a} iii) Xét tập đỉnh W2 = {b, c, e, f } ⊂ V tập cạnh G chứa đỉnh W2 EW2 = {bc, ce, ef, bf } Khi đó, GW2 = (W2 , EW2 ) đồ thị cảm sinh G W2 Hình 1.1: Đồ thị G, G \ ac, G \ W1 , GW2 1.2.4 Định nghĩa Cho G = (V, E) đồ thị 20 thế, {ti , xk } ∈ E(G ) Tương tự, chứng minh rằng, {ti , xj } ∈ E(G ) \ E(G) {yj , xk } ∈ E(G), {ti , xk } ∈ E(G ) Giả sử {ti , xj }, {yj , xk } ∈ E(G ) \ E(G) Với r1 ≥ r2 ≥ 1, cho (ti = q0 )q1 · · · q2r1 (q2r1 +1 = xj ) (yj = s0 )s1 · · · s2r2 (s2r2 +1 = xk ) liên thông chẵn ứng với e1 · · · es G Giả sử {s2α+1 , s2α+2 } {q2β+1 , q2β+2 } khơng có đỉnh chung, với ≤ α ≤ r2 − ≤ β ≤ r1 − Nếu q2r1 = yj s1 = xj , có liên thơng chẵn (ti = q0 )q1 · · · (q2r1 = yj = s0 )s1 · · · s2r2 (s2r2 +1 = xk ) (ti = q0 )q1 · · · (q2r1 +1 = xj = s1 )s2 · · · s2r2 (s2r2 +1 = xk ) ứng với e1 · · · es G Giả sử q2r1 = yj s1 = xj Vì {q2r1 , xk }, {yj , s1 } ∈ E(G), {q2r1 , s1 } ∈ E(G) Do có liên thơng chẵn (ti = q0 )q1 · · · q2r1 s1 · · · s2r2 (s2r2 +1 = xk ) ứng với e1 · · · es G Nếu với ≤ α ≤ r2 − 1, ≤ β ≤ r1 − 1, {s2α+1 , s2α+2 } {q2β+1 , q2β+2 } có đỉnh chung, theo [2, Bổ đề 6.13], ti liên thơng chẵn yj xk ứng với e1 · · · es G Do đó, {ti , yj } ∈ E(G ) {ti , xk } ∈ E(G ) 2.2.3 Mệnh đề Với giả thiết kí hiệu Giả thiết 2.2.1 Giả sử P ⊆ V (G), ký hiệu NG (P ) \ Z = Q Khi E(G \ Q) = E(G \ [Q]) Đặc biệt, reg(I(G \ Q)) = reg(I(G \ [Q])) Chứng minh Rõ ràng E(G \ Q) ⊇ E(G \ [Q]) Giả sử {u, v} ∈ E(G \ Q), tức u, v ∈ / Q Do uv ∈ I(G) uv ∈ I0 uv ∈ (u1 z1 , , ur zr ) Nếu u, v ∈ / [Q], {u, v} ∈ E(G \ [Q]) Giả sử u = [q] \ q , với q ∈ Q (ví dụ, q = xi , [q]\q = yi ) tồn p P cho {p, q} ∈ E(G ) Nếu uv ∈ I(G), theo Bổ đề 2.2.2, {p, v} ∈ E(G ) Do v ∈ Q Điều mâu thuẫn với {u, v} ∈ E(G \ Q) Nếu uv ∈ I0 , theo Bổ đề 2.2.2, {p, u} ∈ E(G ) {p, v} ∈ E(G ) Do v ∈ Q u ∈ Q Điều mâu thuẫn với {u, v} ∈ E(G \ Q) 21 Giả sử uv ∈ (u1 z1 , , ur zr ) Cho uv = u z , với ≤ ≤ r Với µ ≥ 1, cho (p0 = u )p1 · · · (p2µ+1 = u ) liên thông chẵn ứng với e1 · · · es G Bây tiếp tục phép chứng minh Bổ đề 2.2.2, ta chứng minh {p, u} ∈ E(G ) Do đó, u ∈ Q Điều mâu thuẫn với {u, v} ∈ E(G \ Q) Do đó, E(G \ Q) = E(G \ [Q]) Vì vậy, đồ thị G \ Q G \ [Q] khác số đỉnh bị lập Vì vậy, reg(I(G \ Q)) = reg(I(G \ [Q])) 2.2.4 Bổ đề Với khái niệm kí hiệu Giả thiết 2.2.1 Cho (u = p0 )p1 · · · (p2k+1 = v) liên thông chẵn ứng với e1 · · · es G ab ∈ I(G) + I0 Nếu pi ∈ [b], với ≤ i ≤ 2k + 1, ua ∈ I(G ) va ∈ I(G ) Chứng minh Giả sử pi = b, với ≤ i ≤ 2k + Nếu i = 0, 2k + 1, ta có điều phải chứng minh Chúng ta giả sử i ≥ số lẻ i = 2γ + 1, với γ ≥ Nếu {a, pi } ∈ E(G), có liên thơng chẵn api pi+1 · · · (p2k+1 = v) ứng với e1 · · · es G Do đó, {a, v} ∈ E(G ) Giả sử a liên thông chẵn pi ứng với e1 · · · es G Với k1 ≥ 1, cho (a = q0 )q1 · · · (q2k1 +1 = pi ) liên thông chẵn ứng với e1 · · · es G Nếu {q2α+1 , q2α+2 } {p2β+1 , p2β+2 } khơng có đỉnh chung, với ≤ α ≤ k1 − 1, γ < β ≤ k − 1, (a = q0 )q1 · · · (q2k1 +1 = pi )pi+1 · · · (p2k+1 = v) liên thông chẵn ứng với e1 · · · es G Nếu {q2α+1 , q2α+2 } {p2β+1 , p2β+2 } có đỉnh chung, với ≤ α ≤ k1 − 1, γ < β ≤ k − 1, theo [2, Bổ đề 6.13], a liên thông chẵn với u v G Do đó, {u, a} ∈ E(G ) {v, a} ∈ E(G ) Nếu i = 2γ với γ ≥ 1, ta tiến hành phần đầu chứng minh, để chứng minh ua ∈ I(G ) va ∈ I(G ) Bây giờ, giả sử pi = [b] \ b Giả sử i = 2γ + với γ ≥ Thì ta có liên thông chẵn (u = p0 )p1 · · · p2γ+1 ứng với chập e1 · · · es G Do 22 {u, p2γ+1 } ∈ E(G ) Giả sử {a, b} ∈ E(G) Vì {a, b} ∈ E(G) {[b] \ b, u} ∈ E(G ), theo chứng minh Bổ đề 2.2.2, a liên thông chẵn u G Giả sử a liên thông chẵn b ứng với e1 · · · es G Với k2 ≥ 1, cho (a = t0 )t1 · · · (t2k2 +1 = b) liên thông chẵn ứng với e1 · · · es G Giả sử {t2α+1 , t2α+2 } {p2β+1 , p2β+2 } khơng có đỉnh chung, với ≤ α ≤ k2 − 1, ≤ β ≤ γ − Vì {a, b}, {[b] \ b, u} ∈ E(G ), theo chứng minh Bổ đề 2.2.2, a liên thông chẵn ứng với u G Nếu {t2α+1 , t2α+2 } {p2β+1 , p2β+2 } có đỉnh chung, với ≤ α ≤ k2 −1, γ ≤ β ≤ k−1, theo [2, Bổ đề 6.13], a liên thông chẵn với u v G Bây giờ, i = 2γ với γ ≥ 1, ta có {p2γ+1 , v} ∈ E(G ) tiếp tục trình phần đầu trên, ta suy điều phải chứng minh 2.2.5 Mệnh đề Với giả thiết kí hiệu Giả thiết 2.2.1 Giả sử P ⊆ V (G) NG (P ) \ Z = Q i) Nếu {e1 , , es } ∩ E(G \ [Q]) = ∅, E(G \ [Q]) = E(G \ [Q]) Cụ thể, reg(I(G \ [Q])) = reg(I(G \ [Q])) ii) Nếu {e1 , , es } ∩ E(G \ [Q]) = {ei1 , , eis }, E(G \ [Q]) = E((G \ [Q]) ), (G \ [Q]) đồ thị liên kết với (I(G \ [Q])s +1 : ei1 · · · eis ) Cụ thể, reg((I(G \ [Q])s +1 : ei1 · · · eis )) = reg(I(G \ [Q])) Chứng minh (1) Giả sử {e1 , , es } ∩ E(G \ [Q]) = ∅ Rõ ràng E(G \ [Q]) ⊆ E(G \ [Q]) Nếu {u, v} ∈ E(G \ [Q]), uv ∈ I(G) uv ∈ I0 uv ∈ (u1 z1 , , ur zr ) Nếu uv ∈ I(G), {u, v} ∈ E(G \ [Q]) Giả sử uv ∈ I0 Với k ≥ 1, cho (u = p0 )p1 · · · (p2k+1 = v) liên thông chẵn ứng với e1 · · · es G Vì {e1 , , es } ∩ E(G \ [Q]) = ∅, p1 ∈ [Q] p2 ∈ [Q] Vì vậy, {p1 , p} ∈ E(G ) {p2 , p} ∈ E(G ), với p ∈ P , theo Bổ đề 2.2.4, {u, p} ∈ E(G ) {v, p} ∈ E(G ) Điều mâu thuẫn với {u, v} ∈ E(G \ [Q]) Trường hợp tương tự uv ∈ (u1 z1 , , ur zr ) (2) Bây giả sử {e1 , , es } ∩ E(G \ [Q]) = ∅ Cho uv (u v ) phần tử sinh tối tiểu (I(G \ [Q])s +1 : ei1 · · · eis ) Theo Định lý 1.2.12, 23 {u, v} ∈ I(G \ [Q]) u v liên thông chẵn ứng với ei1 · · · eis G \ [Q] Do đó, theo Định lý 1.2.12, uv ∈ I(G \ [Q]) Cho uv phần tử sinh tối tiểu I(G \ [Q]) Theo Định lý 1.2.12, uv ∈ I(G) uv ∈ I0 uv ∈ (u1 z1 , , ur zr ) Nếu uv ∈ I(G), uv ∈ (I(G \ [Q])s +1 : ei1 · · · eis ) Giả sử uv ∈ I0 Với k ≥ 1, cho (u = p0 )p1 · · · p2k (p2k+1 = v) liên thông chẵn ứng với e1 · · · es Nếu pi ∈ / [Q], với ≤ i ≤ 2k , u v liên thông chẵn ứng với ei1 · · · eis G \ [Q] Do đó, uv ∈ (I(G \ [Q])s +1 : ei1 · · · eis ) Giả sử, pi ∈ [Q], với ≤ i ≤ 2k + Theo Bổ đề 2.2.4, ta có u ∈ Q v ∈ Q Điều mâu thuẫn với uv phần tử sinh tối tiểu I(G \ [Q]) Trường hợp tương tự uv ∈ (u1 z1 , , ur zr ) Trong hai trường hợp (1) (2), đồ thị có liên quan khác số đỉnh bị lập, nên số quy chúng giống Từ ta suy điều phải chứng minh 2.2.6 Nhận xét Cho H đồ thị tương ứng với phân cực (I(G \ [Q])s +1 : ei1 · · · eis ) Mệnh đề 2.2.5 Khi đó, ý H G \ [Q], ngoại trừ số đỉnh bị lập Cịn Q khơng NG (P ) với P ⊆ V (G), chứng minh Ví dụ 2.2.8 Bây cập nhật lại số kí hiệu cần thiết sử dụng phần chứng minh định lý 2.2.7 Ký hiệu Với giả thiết kí hiệu Giả thiết 2.2.1 Giả sử G đồ thị liên kết với (I(G)s+1 : e1 · · · es ) Viết I(G ) = I(G) + I0 + (u1 z1 , , ur zr ), {u1 , , ur } ⊆ {x1 , , xh , y1 , , yh } z1 , , zr đỉnh Giả sử NG ([u1 ] \ u1 ) \ Z = {u1,1 , , u1,k1 } i−1 (NG ([ui ] \ ui ) \ Z) \ ( NG ([uj ] \ uj ) \ Z) = {ui,1 , , ui,ki }, với ≤ i ≤ r j=1 Giả sử U = {u1,1 , , u1,k1 , , ur,1 , , ur,kr } Chú ý NG ([u1 ] \ u1 , , [ur ] \ ur ) \ Z = U {u1 , , ur } ⊆ U 24 Với ui1 ,j1 ∈ U , ký hiệu Ω(i1 , j1 ) = {up,q ∈ U | i1 < p up,q ∈ V (G \ NG [ui1 ,j1 ]) ∩ U } Với ui ,j ∈ Ω(i −1 , j −1 ), ≤ ≤ n, ký hiệu Ω(i , j ) = {up,q ∈ U | i < p up,q ∈ V (G \ NG [ui1 ,j1 , , ui ,j ]) ∩ U } Chú ý Ω(i , j ) ⊆ Ω(i −1 , j −1 ) với Đặt i0 = 0, in+1 = r ký hiệu Sii01 = {up,q ∈ U | p < i1 }; i Si +1 = {up,q ∈ Ω(i , j ) | i < p < i +1 }, ≤ ≤ n − 1; i Sinn+1 = Ω(in , jn ) Ký hiệu S iđêan sinh ij+1 n j=0 Sij Sau ví dụ để mơ tả tập hợp định nghĩa 2.2.8 Ví dụ Cho G đồ thị {x1 , , x9 , y1 , , y9 } vẽ hình bên Tập e1 = x1 x2 , e2 = x3 x4 e3 = x7 x8 Cho G đồ thị liên kết với (I(G)4 : e1 e2 e3 ) Chú ý x23 , x26 , x29 ∈ (I(G)4 : e1 e2 e3 ) Các cạnh liên thông chẵn vẽ đường chấm chấm Cho u1 = x3 , u2 = x6 ,u3 = x9 Z = {z1 , z2 , z3 } Hình 2.2: Đồ thị G G 25 Trước tiên, chọn lân cận {y3 , y6 , y9 }, NG ([u1 ] \ u1 ) \ Z = {x3 , y4 , x5 }, (NG ([u2 ] \ u2 ) \ Z) \ (NG ([u1 ] \ u1 ) \ Z) = {x6 , x9 } (NG ([u3 ] \ u2 ) \ Z) \ ((NG ([u1 ] \ u1 ) \ Z) ∪ (NG ([u2 ] \ u2 ) \ Z)) = {x9 } Đặt u1,1 = x3 , u1,2 = y4 , u1,3 = x5 , u2,1 = x6 , u2,2 = x9 Khi U = {x3 , y4 , x5 , x6 , x9 } Cho (i1 , j1 ) = (2, 1) Ω(2, 1) = ∅ Chú ý x9 lân cận x6 G , x9 ∈ / Ω(2, 1) Chúng ta có Sii01 = {x3 , y4 , x5 }, Sii12 = Si32 = ∅ Giả sử Q = {x4 } Chú ý Q = NG (P ) với P ⊆ V (G) Khi {y4 , y3 } ∈ E(G \ Q) \ E(G \ [Q]) Hơn nữa, (G \ [Q]) đồ thị liên kết với (I(G \ [Q])3 : e1 e3 ) nên {x5 , y3 } ∈ E(G \ [Q]) \ E((G \ [Q]) ) Do vậy, Q = NG (P ) giả thiết quan trọng Mệnh đề 2.2.3 2.2.5 2.2.9 Bổ đề Với giả thiết kí hiệu 2.2.7 Nếu, với ≤ i ≤ r, a ∈ NG ([ui ] \ ui ) \ Z b ∈ NG ([ui ]), {a, b} ∈ E(G ) Chứng minh Vì u2i ∈ (I(G)s+1 : e1 · · · ss ), có liên thông chẵn (p0 = ui )p1 · · · p2k (p2k+1 = ui ) ứng với e1 · · · es G, với k ≥ Nếu b ∈ NG ([ui ] \ ui ), p1 = b p2k = b {p1 , ui }, {p2k , ui } ∈ E(G) Chúng ta giả sử a = ui Nếu b ∈ NG (ui ), {a, b} ∈ E(G) Giả sử b ∈ NG ([ui ] \ ui ) Vì p1 = b p2k = b, {p1 , b}, {p2k , b} ∈ E(G) Khi đó, ta có liên thơng chẵn (ui = p0 )p1 · · · p2k b (ui = p0 )p2k · · · p1 b ứng với e1 · · · es G Do {a, b} ∈ E(G ) Chúng ta giả sử a = ui Giả sử {a, [ui ] \ ui } ∈ E(G) Nếu b ∈ NG (ui ), {a, b} ∈ E(G) Giả sử b ∈ NG ([ui ] \ ui ) Vì ta có {ui , b} ∈ E(G ), theo chứng minh Bổ đề 2.2.2, {a, b} ∈ E(G ) Giả sử {a, [ui ] \ ui } ∈ E(G ) \ E(G) Với t ≥ 1, cho (q0 = a)q1 · · · (q2t+1 = [ui ] \ ui ) liên thông chẵn ứng với e1 · · · es G Nếu {ui , b} ∈ E(G), theo Bổ đề 2.2.2, {a, b} ∈ E(G) Giả sử {[ui ] \ ui , b} ∈ E(G) Vì ui liên thơng chẵn b (ui = 26 p0 )p1 · · · p2k b (ui = p0 )p2k · · · p1 b ứng với e1 · · · es G Nếu {p2λ+1 , p2λ+2 } = {q2λ +1 , q2λ +2 }, với ≤ λ ≤ k − 1, ≤ λ ≤ t − 1, theo chứng minh Bổ đề 2.2.2, {a, b} ∈ E(G ) Giả sử {p2λ+1 , p2λ+2 } = {q2λ +1 , q2λ +2 }, với ≤ λ ≤ k − 1, ≤ λ ≤ t − Chọn λ nhỏ cho {p2λ+1 , p2λ+2 } = {q2λ +1 , q2λ +2 } với ≤ λ ≤ k − Nếu p2λ+1 = q2λ +1 p2λ+2 = q2λ +2 , có liên thơng chẵn (a = q0 )q1 · · · (q2λ +1 = p2λ+1 )(q2λ +2 = p2λ+2 )p2λ+3 · · · p2k (p2k+1 = ui ) ứng với e1 · · · es G Nếu p2λ+1 = q2λ +2 p2λ+2 = q2λ +1 , có liên thơng chẵn (a = q0 )q1 · · · (q2λ +1 = p2λ+2 )(q2λ +2 = p2λ+1 )p2λ · · · p1 (p0 = ui ) ứng với e1 · · · es G Do đó, {a, b} ∈ E(G ) 2.2.10 Hệ Với giả thiết kí hiệu 2.2.7 Nếu [ui ] ⊆ {u1 , , ur } tức là, u2i , ([ui ] \ ui )2 ∈ (I(G)s+1 : e1 · · · es ), cách thiết lập uj = [ui ] \ ui với ≤ i < j ≤ r, ta có j−1 (NG ([uj ] \ uj ) \ Z) \ ( NG ([u ] \ u ) \ Z) ⊆ {uj } =1 Chứng minh Giả sử α ∈ NG ([uj ]\uj )\Z Ta giả sử α = uj Vì {α, ui } ∈ E(G ) {ui , uj } ∈ E(G), theo Bổ đề 2.2.9, {α, uj } ∈ E(G ) Do α ∈ NG ([ui ] \ ui ) \ Z Để trình bày chứng minh chặn số quy I(G ), trước tiên, trích dẫn bổ đề sau 2.2.11 Bổ đề ([12, Bổ đề 4.11]) Với giả thiết kí hiệu Ký hiệu 2.2.7 Khi ta có reg(((I(G ) + S) : ui1 ,j1 · · · uin ,jn )) + n ≤ reg(I(G)) 2.2.12 Ví dụ Cho đồ thị ký hiệu Ví dụ 2.2.8, ta có S = {x3 , y4 , x5 } W1 = NH [x6 ] = {x5 , x6 , x7 , x8 , x9 , y6 , y7 , y8 , z2 } 27 Từ thấy E(G \ (S ∪ W1 )) = {{x1 , y1 }, {x2 , y2 }, {x1 , x2 }, {y1 , y2 }}, đồ thị phủ tốt với số quy Chú ý G đồ thị phủ tốt với ν(G) = Khi đó, reg(I(G)) = ta có bất đẳng thức Bổ đề 2.2.11 2.2.13 Bổ đề ([12, Bổ đề 4.12]) Với giả thiết kí hiệu Ký hiệu 2.2.7 Khi reg((I(G ) + Sii01 ) : ui1 ,j1 ) + ≤ reg(I(G)) 2.2.14 Ví dụ Cho G đồ thị {x1 , , x13 , y1 , , y13 } cho hình bên Đặt e1 = x1 x2 , e2 = x6 x7 e3 = x11 x12 Cho G đồ thị liên kết với (I(G)4 : e1 e2 e3 ) Ta thấy ν(G) = Hơn nữa, reg(I(G)) = Chú ý y32 , x25 , y13 ∈ (I(G)4 : e1 e2 e3 ) Các cạnh liên thông chẵn cho đường chấm chấm Trước hết chọn đỉnh liền kề với {x3 , y5 , x13 }, NG (x3 ) = {y3 }, NG (y5 ) = {x5 }, NG (x13 ) = {y13 } Cho u1,1 = y3 , u2,1 = x5 , u3,1 = y13 Do đó, U = {y3 , x5 , y13 } Cho (i1 , j1 ) = (1, 1) Khi Ω(1, 1) = {u2,1 , u3,1 } Sii01 = ∅ Bây ta tìm reg(I(G ) : u1,1 ) Cho H đồ thị liên kết với (I(G ) : u1,1 ) 28 Cho G1 , G2 G3 tương ứng đồ thị liên kết với (I(G ) : u1,1 u2,1 ), ((I(G ), u2,1 ) : u1,1 u3,1 ) ((I(G ), u2,1 , u3,1 ) : u1,1 ) Chúng ta thấy G2 G3 đồ thị phủ tốt với ν(G2 ) = ν(G3 ) = Do reg(I(G2 )) = reg(I(G3 )) = Cho (i2 , j2 ) = (2, 1) Ω(2, 1) = {u3,1 } Giả sử G4 G5 tương ứng đồ thị liên kết với (I(G ) : u1,1 u2,1 u3,1 ) ((I(G ), u3,1 ) : u1,1 u2,1 ) Ta thấy G4 G5 đồ thị phủ tốt với ν(G4 ) = ν(G5 ) = Do đó, reg(I(G4 )) = reg(I(G5 )) = Cho nên reg(I(G1 )) = Từ reg(I(G1 )) = 3, reg(I(G2 )) = reg(I(G3 )) = 4, reg(I(H)) ≤ 4, ta có reg(I(H)) + ≤ reg(I(G)) 2.3 Chỉ số quy lũy thừa iđêan cạnh đồ thị phủ tốt Trong phần này, ta trình bày chứng minh biểu thức gần số quy đồ thị phủ tốt Như đề cập trước đó, mục đích thu gọn đồ thị G cách xóa bỏ số đỉnh cho số 29 quy bé số quy G 2.3.1 Bổ đề Với giả thiết kí hiệu 2.2.7, ta có reg(I(G \ U )) ≤ reg(I(G)) Chứng minh Vì NG ([u1 ] \ u1 , , [ur ] \ ur ) \ Z = U , theo Mệnh đề 2.2.3 2.2.5, reg(I(G \ U )) = reg(I(G \ [U ])) = reg(I(G \ [Q])) {e1 , , es } ∩ E(G \ [U ]) = ∅ Vì G \ [U ] đồ thị cảm sinh G, theo [10, Mệnh đề 4.1.1], ta có reg(I(G \ U )) = reg(I(G \ [Q])) ≤ reg(I(G)) Giả sử {ei1 , , eis } = {e1 , , es } ∩ E(G \ [U ]) Theo Mệnh đề 2.2.3 2.2.5, reg(I(G \ U )) = reg(I(G \ [U ])) = reg((I(G \ [U ])s +1 )) : ei1 · · · eis ) Chú ý (I(G \ [U ])s +1 )) : ei1 · · · eis ) iđêan đơn thức khơng phương Giả sử (G \ [U ]) đồ thị liên kết với (I(G \ [U ])s +1 )) : ei1 · · · eis ) Vì G đồ thị phủ tốt nên G \ [U ] đồ thị phủ tốt Khi đó, theo Hệ 2.1.9, (G \ [U ]) đồ thị phủ tốt Do đó, reg(I((G \ [U ]) )) = ≤ ≤ = ν((G \ [U ]) ) + ν(G \ [U ]) + ν(G) + reg(I(G)) (bởi [14, Định lý 4.12]) (bởi [11, Mệnh đề 4.4]) (bởi [14, Định lý 4.12]) Vậy reg(I(G \ U )) ≤ reg(I(G)) Bây ta trình bày chứng minh số quy G bị chặn số quy G 2.3.2 Định lý Cho G đồ thị phủ tốt e1 , , ss cạnh G, với s ≥ Khi đó, reg((I(G)s+1 : e1 · · · es )) ≤ reg(I(G)) 30 Chứng minh Giả sử G đồ thị liên kết với (I(G)s+1 : e1 · · · es ) Nếu (I(G)s+1 : e1 · · · es ) iđêan đơn thức khơng phương, theo Hệ 2.1.10, reg(I(G )) ≤ reg(I(G)) Giả sử (I(G)s+1 : e1 · · · es ) iđêan đơn thức phương Theo Thiết lập ??, 2.2.7, ta thấy  R1 R1    reg I(G ):u1,1 + 1, reg (I(G ),u1,1 ):v1,2 + 1, reg(R1 /I(G )) ≤ max   R1 R1  reg (I(G ),u1,1 , ,ur,k −1 :ur,k ) + 1, reg (I(G ),U ) r r Với ≤ p ≤ r ≤ q ≤ kp , đặt up,q = ui1 ,j1 Bổ đề 2.2.13 Sii01 = {u1,1 , , up−1,kp−1 } Hơn nữa, reg R1 I(G ) + (u1,1 , , up,q−1 ) : up,q ≤ reg R1 I(G ) + (Sii01 ) : up,q Do đó, từ Hệ 2.2.13 dẫn đến reg R1 I(G ) + (u1,1 , , up,q−1 ) : up,q Bất đẳng thức reg R1 (I(G ),U ) ≤ reg R I(G) R1 I(G ) + (Sii01 ) : up,q R ≤ reg I(G) + ≤ reg +1 theo Bổ đề 2.3.1 Vì reg(I(G )) ≤ reg(I(G)) Bây ta trình bày chứng minh định lý dựa kết sau: 2.3.3 Định lý Cho G đồ thị phủ tốt Khi đó, với s ≥ 1, reg(I(G)s ) = 2s + ν(G) − Chứng minh Với s ≥ 1, theo [4, Định lý 4.5], ta có 2s + ν(G) − ≤ reg(I(G)s ) 31 Ta chứng minh quy nạp s Nếu s = 1, khẳng định theo [14, Định lý 4.12] Giả sử s > Bằng cách áp dụng Định lý 1.2.13 sử dụng quy nạp, ta cần chứng minh với cạnh e1 , , es G, ta ln có reg(I(G)s+1 : e1 · · · es ) ≤ reg(I(G)) với s ≥ Điều suy trực tiếp từ Định lý 2.3.2 2.3.4 Nhận xét Từ Định lý 2.3.3 dẫn đến G đồ thị phủ tốt reg(I(G)s ) = 2s + reg(I(G)) − với s ≥ Điều không thiết cho đồ thị khơng trộn lẫn Ví dụ, G = C5 , theo [4, Định lý 5.2], ta có reg(I(G)s ) < 2s + reg(I(G)) − với s ≥ Vì đồ thị hai phần khơng trộn lẫn đồ thị phủ tốt, nên suy kết [11, Hệ 5.1(1)] từ Định lý 2.3.3 2.3.5 Hệ ([11, Hệ 5.1(1)]) Nếu G đồ thị đơn hai phần, với s ≥ 1, ta có reg(I(G)s ) = 2s + ν(G) − Với đồ thị G với n đỉnh, giả sử W (G) đồ thị rẽ nhánh với 2n đỉnh thu cách thêm vào đỉnh G cạnh nối đỉnh với đỉnh Moghimian cộng [15, Định lý 2.5] chứng minh reg(I(W (Cn )s )) = 2s + ν(W (G)) − với s ≥ Jayanthan cộng [11, Hệ 5.1(2)] chứng minh G đồ thị hai phần, reg(I(W (G))s ) = 2s + ν(W (G)) − với s ≥ Vì đồ thị rẽ nhánh đồ thị phủ tốt, nên ta thu biểu thức ổn định số quy cho lớp đồ thị 2.3.6 Hệ Cho G đồ thị Khi với s ≥ 1, ta có reg (I(W (G))s ) = 2s + ν(W (G)) − 32 KẾT LUẬN Với mục đích tìm hiểu trình bày lại số kết tài liệu tham khảo [12], luận văn hồn thành nội dung sau: Trình bày kiến thức số quy Castelnuovo-Mumford, đồ thị, đồ thị phủ tốt khái niệm tổ hợp khác với số ví dụ minh họa Trình bày chứng minh chặn số quy lũy thừa iđêan cạnh số trường hợp cụ thể Trình bày chứng minh tường minh biểu thức số quy lũy thừa iđêan cạnh đồ thị phủ tốt 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO Danh mục tài liệu tham khảo luận văn gồm 16 tài liệu, tài liệu tham khảo [12] [1] A Alilooee and A Banerjee (2017) Powers of edge ideals of regularity three bipartite graphs J Commut Algebra, 9, no 4, 441–454 [2] A Banerjee (2015) The regularity of powers of edge ideals J Algebraic Combin., 41(2): 303–321 [3] D Berlekamp (2012) Regularity defect stabilization of powers of an ideal Math Res Lett., 19(1): 109–119 [4] S Beyarslan, H T Hà, and T N Trung (2015) Regularity of powers of forests and cycles J Algebraic Combin., 42(4): 1077–1095 [5] M Crupi, G Rinaldo, and N Terai (2011) Cohen-Macaulay edge ideal whose height is half of the number of vertices Nagoya Math J., 201: 117–131 [6] S D Cutkosky, J Herzog, and N V Trung (1999) Asymptotic behaviour of the Castelnuovo-Mumford regularity Compositio Math., 118(3): 243–261 [7] I Gitler and C E Valencia (2005) Bounds for invariants of edge-rings Comm Algebra, 33(5): 1603–1616 [8] I Gitler and C E Valencia (2010) On bounds for some graph invariants Bol Soc Mat Mexicana (3) 16, no 2, 73–94 [9] J Herzog and T Hibi (2011) Monomial ideals, volume 260 of Graduate Texts in Mathematics Springer-Verlag London, Ltd., London 34 [10] S Jacques (2004) Betti numbers of graph ideals PhD thesis, University of Sheffield [11] A V Jayanthan, N Narayanan, and S Selvaraja (2018) Regularity of powers of bipartite graphs J Algebraic Combin., 47, no 1, 17–38 [12] A V Jayanthan and S Selvaraja (2017) Asymptotic behavior of Castelnuovo-Mumford regularity of edge ideals of very well - covered graphs ArXiv e-prints (https://arxiv.org/abs/1708.06883) [13] V Kodiyalam (2000) Asymptotic behaviour of Castelnuovo-Mumford regularity Proc Amer Math Soc., 128(2): 407–411 [14] M Mahmoudi, A Mousivand, M Crupi, G Rinaldo, N Terai, and S Yassemi (2011) Vertex decomposability and regularity of very well-covered graphs J Pure Appl Algebra, 215(10): 2473–2480 [15] M Moghimian, S A S Fakhari, and S Yassemi (2017) Regularity of powers of edge ideal of whiskered cycles Comm Algebra, 45(3): 1246–1259 [16] P Norouzi, S A Seyed Fakhari, and S Yassemi (2017) of powers of edge ideal of very well-covered graphs (https://arxiv.org/abs/1707.04874) Regularity ArXiv e-prints ... CHƯƠNG CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA LŨY THỪA IĐÊAN CẠNH CỦA ĐỒ THỊ ĐƯỢC PHỦ RẤT TỐT Trong chương chúng tơi trình bày lại kết [12] chặn số quy áp dụng vào tính tốn số quy lũy thừa iđêan cạnh đồ thị phủ tốt. .. ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN THỊ TUYẾT HỒNG CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA LŨY THỪA IĐÊAN CẠNH CỦA ĐỒ THỊ ĐƯỢC PHỦ RẤT TỐT Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN... reg(I(G)) 2.3 Chỉ số quy lũy thừa iđêan cạnh đồ thị phủ tốt Trong phần này, ta trình bày chứng minh biểu thức gần số quy đồ thị phủ tốt Như đề cập trước đó, mục đích thu gọn đồ thị G cách xóa bỏ số đỉnh