Về sự tồn tại điểm bất động bộ bốn trong không gian d mê tric có thứ tự bộ phận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÝ PHÚ VINH VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ BỐN TRONG KHƠNG GIAN D*- MÊ TRIC CĨ THỨ TỰ BỘ PHẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÝ PHÚ VINH VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ BỐN TRONG KHÔNG GIAN D*- MÊ TRIC CĨ THỨ TỰ BỘ PHẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS ĐINH HUY HOÀNG Nghệ An, 2018 MỤC LỤC Nội dung Trang LỜI CẢM ƠN LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG KHÔNG GIAN D*-MÊTRIC 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Không gian D*-mêtric .8 1.3 Tôpô không gian D*-mêtric .11 CHƯƠNG MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ BỐN TRONG KHƠNG GIAN D*-MÊTRIC CĨ THỨ TỰ BỘ PHẬN 17 2.1 Về tồn điểm bất động bốn khơng gian mêtric có thứ tự phận 17 2.2 Một số kết tồn điểm bất động bốn khơng gian D*mêtric có thứ tự phận 23 KẾT LUẬN .44 TÀI LIỆU THAM KHẢO .45 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành Trường Đại Học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo Thầy PGS TS Đinh Huy Hồng Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán thầy TS Nguyễn Văn Đức q thầy khoa Tốn Trường Đại Học Vinh nhiệt tình truyền đạt kiến thức Toán học quý báu, phong phú Tác giả xin cảm ơn quý thầy cô Trường Đại Học Kỹ thuật Vĩnh Long tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trình học tập Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, đồng nghiệp bạn Cao học K24 Vĩnh Long, chuyên ngành Giải tích tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả để tác giả hoàn thành khóa học thực luận văn Mặc dù có nhiều nổ lực, cố gắng, nhiên luận văn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Nghệ An, ngày 30 tháng năm 2018 Lý Phú Vinh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động chủ đề nghiên cứu quan trọng Giải tích Nó có nhiều ứng dụng toán học số ngành kỹ thuật khác Một số kết tồn điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỷ XX, phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) nguyên lý ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ Banach (1922) Các kết kinh điển mở rộng cho lớp ánh xạ lớp không gian khác Năm 2006, G Bhaskar V Laksmikantham ([4]) đưa khái niệm điểm bất động đôi chứng minh số định lý tồn điểm bất động đôi không gian mêtric đầy đủ có thứ tự phận Khái niệm điểm bất động ba giới thiệu nghiên cứu V Berinde M Borcut ([3]) vào năm 2011 Gần đây, E Karapinar ([5], [6]) đưa khái niệm điểm bất động bốn ánh xạ từ khơng gian tích X vào X nghiên cứu số Định lý tồn điểm bất động bốn không gian mêtric đầy đủ có thứ tự phận Năm 2007, Shaban Sedghi cộng ([7]) đưa khái niệm không gian D*-mêtric đạt số kết tính chất tơpơ tồn điểm bất động khơng gian D*-mêtric Sau đó, số kết điểm bất động không gian D*-mêtric đưa tác giả ([8]) Một câu hỏi đặt mở rộng kết tồn điểm bất động bốn không gian mêtric cho không gian D*- mêtric khơng? Vì chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu “ Về tồn điểm bất động bốn khơng gian D*- mêtric có thứ tự phận ” Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu tồn điểm bất động bốn khơng gian D*-mêtric có thứ tự phận Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu không gian D*- mêtric, ánh xạ có tính đơn điệu trộn, điểm bất động bốn điểm chung bốn không gian D*- mêtric có thứ tự phận Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm điều kiện ánh xạ có tính đơn điệu trộn khơng gian D*- mêtric có điểm bất động điểm bất động chung bốn Mở rộng số kết tồn điểm bất động bốn không gian mêtric cho không gian D*- mêtric Phương pháp nghiên cứu Hiểu rõ kết có khơng gian mêtric dùng phương pháp tương tự hóa, khái quát hóa để tìm kết tồn điểm bất động bốn không gian D*- mêtric Cấu trúc luận văn Luận văn chúng tơi trình bày thành hai chương Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị không gian mêtric, khơng gian tơpơ định nghĩa, ví dụ số tính chất khơng gian D*mêtric để làm sở cho việc trình bày chương Chương 2, chúng tơi trình bày lại vài kết có tài liệu tham khảo tồn điểm bất động bốn điểm chung bốn khơng gian mêtric có thứ tự phận Sau đó, chúng tơi đưa số kết tồn điểm bất động bốn điểm chung bốn ánh xạ có tính đơn điệu trộn khơng gian D*- mêtric có thứ tự phận, tất kết mục 2.2 CHƯƠNG KHƠNG GIAN D*-MÊTRIC Chương trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất không gian D*- mêtric 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong mục chúng tơi trình bày số khái niệm kết không gian tôpô, không gian mêtric, ánh xạ liên tục, mà ta cần dùng luận văn 1.1.1 Định nghĩa ( [1] ) Giả sử X tập hợp, hàm d : X × X → R gọi mêtric X thỏa mãn điều kiện sau: 1) d (x, y) ≥  x, y ∈ X d (x, y) = ⇔ x = y; 2) d (x, y) = d ( y, x), ∀x, y ∈ X; 3) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y), ∀x, y, z ∈ X Tập hợp X với mêtric d gọi khơng gian mêtric kí hiệu ( X, d ) hay X 1.1.2 Định nghĩa ( [1] ) Cho không gian mêtric ( X, d ) tập M X Ta xác định hàm dM : M → R cho dM (x, y) = d (x, y) với x, y ∈ M Khi dM mêtric M Ta gọi không gian mêtric (M, dM) không gian không gian ( X, d ) Mêtric dM gọi mêtric cảm sinh mêtric d M 1.1.3 Định nghĩa ( [1] ) Dãy {xn} không gian mêtric ( X, d ) gọi hội tụ tới x ∈ X kí hiệu xn → x lim xn  x d (x,xn) → n → ∞ n 1.1.4 Nhận xét 1) Trong không gian mêtric ( X, d ) dãy hội tụ hội tụ tới điểm 2) Nếu xn → x yn → y d (xn , yn) → d (x, y) 1.1.5 Mệnh đề ( [1] ) Giả sử xi ∈ (X, d ) với i = 1,2, ,n Khi đó, d (x1 , xn)  d (x1 , x2) + d (x2 , x3) + + d (xn−1 , xn) 1.1.6 Định nghĩa ( [1] ) Giả sử ( X, d ) không gian mêtric Dãy {(xn)} ⊂ X gọi dãy Cauchy( dãy bản) lim d ( xn , xm )  , nghĩa là: m ,n ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : d (xn, xm) ≤ ε, ∀n ≥ n0, ∀m ≥ m0 Không gian mêtric ( X, d ) gọi đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ 1.1.7 Định nghĩa ( [1] ) Cho không gian mêtric ( X, d ), (Y, ρ) ánh xạ f : X → Y Ta nói ánh xạ f liên tục điểm x0 ∈ X ∀ε > 0, ∃δ > : ∀x ∈ X, d (x, x0) < δ suy ρ ( f(x), f(x0) ) < ε Ta nói f liên tục X f liên tục x ∈ X 1.1.8 Định lý ( [1] ) Giả sử f : (X, d) → (Y, ρ) f liên tục x  X dãy { xn }  X mà xn → x f(xn) → f(x) 1.1.9 Định nghĩa ( [2] ) Giả sử X tập rỗng τ họ tập X Khi đó, τ gọi tôpô X (X, τ) gọi không gian tôpô nếu: 1) Ø X thuộc τ; 2) Hợp số tùy ý phần tử thuộc τ thuộc τ; 3) Giao hai phần tử thuộc τ thuộc τ Mỗi phần tử thuộc τ gọi tập mở X Một tập Y X gọi đóng X X \ Y mở X 1.1.10 Định nghĩa ( [2] ) Giả sử (X, τ) không gian tôpô, x ∈ X U ⊂ X U gọi lân cận x tồn G ∈ τ cho x ∈ G ⊂ U Họ υ tập hợp X gọi sở lân cận x phần tử υ lân cận x V lân cận x tồn U ∈ υ cho U ⊂ V Không gian (X, τ) gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ x ∈ X tồn sở lân cận đếm Không gian (X, τ) gọi Hausdorff với x, y ∈ X mà x  y tồn lân cận U x lân cận V y cho U ∩ V = ∅ 1.1.11 Định nghĩa ( [2] ) Giả sử (Xi, τi) không gian tôpô (i = 1, n) X = X1 × X2 × × Xn Đặt τ = {G ⊂ X : ∀(x1, x2, , xn) ∈ G ∃ Ui ∈ τ1, i  1, n ; (x1, x2, , xn) ∈ U1 × U2 × × Un ∈ G} 31 Chứng minh Vì  1    3    nên với ( x , y , z , w ), (u ,v ,r ,t ) thuộc X ta có 1D *( x, x, u)   D *( y, y, v)  3 D *( z, z, r )   D *( w, w, t )  (1       ) max{D *( x, x, u ), D *( y, y, v), D *( z, z, r ), D *( w, w, t )}  max{D *( x, x, u ), D *( y, y, v), D *( z, z, r ), D *( w, w, t )} Từ bất đẳng thức tính khơng giảm  suy điều kiện 2) Hệ 2.2.3 thỏa mãn điều kiện 2) Định lí 2.2.2 thỏa mãn Do sử dụng Định lí 2.2.2 ta có điều phải chứng minh 2.2.4 Hệ Giả sử F : X  X ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau 1) F có tính đơn điệu trộn; 2) Tồn   [0,1) cho với ( x , y , z , w ), (u ,v ,r ,t )thuộc X mà chúng so sánh với ta có D *( F ( x, y, z, w), F ( x, y, z, w), F (u, v, r , t ))   max{D *( x, x, u ), D *( y, y, v), D *( z, z, r ), D *( w, w, t )}) 3) Tồn ( x0 , y0 , z0 , w0 )  X cho x0  F ( x0 , y0 , z0 , w0 ), y0  F ( x0 , w0 , z0 , y0 ), z0  F ( z0 , y0 , x0 , w0 ), w0  F ( z0 , w0 , x0 , y0 ) 4) F liên tục X có tính chất (2.13) 32 4’) Nếu  xn  dãy tăng ( tương ứng, giảm ) X xn  x  X xn  x ( tương ứng x  xn ) với n=1,2, Khi đó, F có điểm bất động bốn X Hơn điểm bất động bốn F so sánh với điểm bất động bốn F Chứng minh Ta xác định hàm  :[0, )  [0, ) công thức  (t )   t t  [0, ) Vì   [0,1) nên   Khi (2.13) trở thành D *( F ( x, y, z, w), F ( x, y, z, w), F (u, v, r , t ))   (max{D *( x, x, u ), D *( y, y, v), D *( z, z, r ), D *( w, w, t )}) Điều chứng tỏ điều kiện Định lí 2.2.2 thỏa mãn Do sử dụng Định lí 2.2.2 ta có điều phải chứng minh 2.2.5 Hệ Giả sử F : X  X ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau 1) F có tính đơn điệu trộn; 2) Tồn số 1 ,  ,  ,   [0,1) cho 1        với ( x, y, z, w), (u, v, r , t ) thuộc X mà chúng so sánh với ta có D *( F ( x, y, z, w), F ( x, y, z, w), F (u, v, r , t ))  1D *( x, x, u )   D *( y, y, v)   D *( z, z, r )   D *( w, w, t ) 3) Tồn ( x0 , y0 , z0 , w0 )  X cho (2.14) 33 x0  F ( x0 , y0 , z0 , w0 ), y0  F ( x0 , w0 , z0 , y0 ), z0  F ( z0 , y0 , x0 , w0 ), w0  F ( z0 , w0 , x0 , y0 ) 4) F liên tục X có tính chất 4’) Nếu  xn  dãy tăng ( tương ứng, giảm ) X xn  x  X xn  x ( tương ứng x  xn ) với n=1,2, Khi đó, F có điểm bất động bốn X Hơn điểm bất động bốn F so sánh với điểm bất động bốn F Chứng minh Đặt   1       Ta có   [0,1) Khi từ (2.14) suy D *( F ( x, y, z, w), F ( x, y, z, w), F (u, v, r , t ))  1D *( x, x, u )   D *( y, y, v)  3 D *( z, z, r )   D *( w, w, t )  (1       ) max{D *( x, x, u ), D *( y, y, v), D *( z, z, r ), D *( w, w, t )}   (max{D *( x, x, u ), D *( y, y, v), D *( z, z, r ), D *( w, w, t )}) Điều chứng tỏ điều kiện (2.13) Hệ 2.2.4 thỏa mãn Như điều kiện Hệ 2.2.4 thỏa mãn Do điều phải chứng minh suy từ Hệ 2.2.4 Trong Hệ 2.2.5 , lấy 1         với   [0,1) ta nhận Hệ sau 2.2.6 Hệ Giả sử F : X  X ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau 34 1) F có tính đơn điệu trộn; 2) Tồn   [0,1) cho với ( x, y, z, w),( u, v, r, t) thuộc X mà chúng so sánh với ta có D *( F ( x, y, z, w), F ( x, y, z, w), F (u, v, r , t ))   [ D *( x, x, u )  D *( y, y, v)  D *( z, z, r )  D *( w, w, t )] 4 3) Tồn ( x0 , y0 , z0 , w0 )  X cho x0  F ( x0 , y0 , z0 , w0 ), y0  F ( x0 , w0 , z0 , y0 ), z0  F ( z0 , y0 , x0 , w0 ), w0  F ( z0 , w0 , x0 , y0 ) 4) F liên tục X có tính chất 4’) Nếu  xn  dãy tăng ( tương ứng, giảm ) X xn  x  X xn  x ( tương ứng x  xn ) với n=1,2, Khi đó, F có điểm bất động bốn X Hơn điểm bất động bốn F so sánh với điểm bất động bốn F 2.2.7 Hệ ( [6] ) Giả sử ( X,d ) không gian mêtric đầy đủ F : X  X ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau 1) F có tính đơn điệu trộn; 2) Tồn   [0,1) cho với ( x, y, z, w),( u, v, r, t) thuộc X mà chúng so sánh với ta có d ( F ( x, y, z, w), F (u, v, r , t ))   [ d ( x, u )  d ( y, v)  d ( z, r )  d ( w, t )] (2.15) 35 3) Tồn ( x0 , y0 , z0 , w0 )  X cho x0  F ( x0 , y0 , z0 , w0 ), y0  F ( x0 , w0 , z0 , y0 ), z0  F ( z0 , y0 , x0 , w0 ), w0  F ( z0 , w0 , x0 , y0 ) 4) F liên tục X có tính chất 4’) Nếu  xn  dãy tăng ( tương ứng, giảm ) X xn  x  X xn  x ( tương ứng x  xn ) với n=1,2, Khi đó, F có điểm bất động bốn X Hơn điểm bất động bốn F so sánh với điểm bất động bốn F Chứng minh Ta xác định hàm D*: X  R công thức D *( x, y, z )  d ( x, y )  d ( y, z )  d ( z, x) x, y, z  X Khi đó, theo Bổ đề 1.3.5 ( X, D*) khơng gian D*-mêtric đầy đủ Mặt khác, sử dụng (2.15) với ( x, y, z, w),( u, v, r, t) thuộc X mà chúng so sánh với ta có D *( F ( x, y, z , w), F ( x, y, z , w), F (u, v, r , t ))  2d ( F ( x, y, z , w), F (u, v, r , t ))   [d ( x, u)  d ( y, v)  d ( z, r)  d ( w, t )   [ D *( x, x, u )  D *( y, y, v)  D *( z, z, r )  D *( w, w, t )] Bất đẳng thức chứng tỏ điều kiện 2) Hệ 2.2.6 thỏa mãn Từ suy điều phải chứng minh suy từ Hệ 2.2.6 36 Trong mệnh đề tiếp theo, ta giả thiết  :[0, )  [0, ) hàm không  giảm cho chuỗi  n 1 n (t ) hội tụ với t  [0,1) , 1 (t )  (t ),  (t )  ((t )) , … 2.2.8 Định lí Giả sử F : X  X g : X  X ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau 1) g( X ) tập đầy đủ ( X, D*) ; 2) g liên tục giao hoán với F ; 3) F có tính g-đơn điệu trộn F ( X )  g ( X ) ; 4) Tồn số 1 ,  ,  ,   [0,1) cho 1        ( x, y, z, w) (u, v, r , t ) thuộc X mà ( g ( x), g ( y), g ( z ), g ( w)) , ( g (u ), g (v), g (r ), g (t )) so sánh với ta có D *( F ( x, y, z, w), F ( x, y, z, w), F (u, v, r , t ))  (1 D *(g( x), g( x), g(u ))   D *(g( y ), g( y ), g(v))  3 D *(g( z ), g( z ), g(r ))   D *(g( w), g( w), g(t )) ; (2.16) 5) Tồn ( x0 , y0 , z0 , w0 )  X cho g ( x0 )  F ( x0 , y0 , z0 , w0 ), g ( y0 )  F ( x0 , w0 , z0 , y0 ), g ( z0 )  F ( z0 , y0 , x0 , w0 ), g ( w0 )  F ( z0 , w0 , x0 , y0 ) 6) F liên tục ; (2.17) 37 6’) g có tính đơn điệu X có tính chất i) Từ {xn } dãy tăng X xn  x  X suy xn  x với n=1,2, ii) Từ { yn } dãy giảm X yn  y  X suy yn  y với n=1,2, Khi đó, F g có điểm chung bốn X Chứng minh Từ F ( X )  g ( X ) ta xây dựng dãy {xn }, { yn }, {zn } {wn } X cho g ( xn 1 )  F ( xn , yn , zn , wn ), g ( yn1 )  F ( xn , yn , zn , wn ), g ( zn1 )  F ( xn , yn , zn , wn ), g ( wn 1 )  F ( xn , yn , zn , wn ) n  0,1 (2.18) Khi đó, từ (2.32), (2.33) tính g-đơn điệu trộn F ta có g ( xn )  g ( xn1 ) , g ( yn )  g ( yn 1 ) , g ( zn )  g ( zn 1 ) , g ( wn )  g ( wn 1 ) n  0,1 (2.19) Với n = 0, 1,… đặt an  g ( xn ) , bn  g ( yn ) , cn  g (z n ) , d n  g ( wn ) (2.20)  n  1D *(an , an , an 1 )   D *(bn , bn , bn 1 )   D *(cn , cn , c n 1 )   D *( dn , dn , dn 1 ) Từ (2.15), (2.18), (2.19) (2.20), với n = 0, 1,… ta có 38 D *(an 1 , an 1 , an  )  D *( g ( xn 1 ), g ( xn 1 ), g ( xn  ))  D *( F ( xn , yn , zn , wn ), F ( xn , yn , zn , wn ), F ( xn 1 , yn 1 , zn 1 , wn 1 ))   (1 D *( g ( xn ), g ( xn ), g ( xn 1 ))   D *( g ( yn ), g ( yn ), g ( yn 1 ))  D *( g ( zn ), g ( zn ), g ( zn 1 ))   D *( g ( wn ), g ( wn ), g ( wn 1 ))   (1 D *(an , an , an 1 )   D *(bn , bn , bn 1 )  D *(c n , cn , cn 1 )   D *( d n , d n , d n 1 )   ( n ) (2.21) Tương tự ta có D *(bn 1 , bn 1 , bn  )  ( n ), D *(c n 1 , c n 1 , c n  )  ( n ), D *(d n 1 , d n 1 , d n  )  ( n ) , với n = 0,1,… (2.22) Từ (2.20), (2.21), (2.22) suy  n 1  (1       ) ( n )  ( n ) Vì n  0,1, (2.23) n  1, 2, (2.24)  ánh xạ không giảm nên từ (2.23) suy  n  ( n1 )   n ( ) Bây giờ, ta chứng minh {an } , {bn } , {cn } , {d n } dãy cauchy Với n = 1,2,… p = 0,1,…sử dụng bất đẳng thức tứ giác (2.21), (2.22) ta có D *(an , an , an p )  D *(an , an , an1 )  D *(an1, an1, an2 )   39 D *(an  p 1 , an  p 1 , an  p 1 )  ( n 1 )  ( n )   ( n  p  )   n 1 ( )   n ( )    n  p  ( )    j  n 1 j ( )  Theo điều kiện 1) ,   j ( ) hội tụ Do j 1 (2.25)    ( )  j j  n 1 n   kết hợp với (2.25) suy {an } dãy Cauchy Tương tự ta chứng minh {bn } , {cn } , {d n } dãy cauchy g(X) Vì ( g(X), D*) không gian đầy đủ nên tồn điểm a, b, c, d  g  X  cho an  a , bn  b , c n  c , d n  d n   (2.26) Vì g liên tục nên g (an )  g (a) , g (bn )  g (b) , g (cn )  g (c) , g (d n )  g (d ) n   (2.27) Mặt khác, F g giao hoán với nên g (an 1 )  g ( g ( xn 1 ))  g ( F ( xn , yn , zn , wn )  F (g( xn ), g( yn ), g( zn ), g( wn ))  F (an , bn , cn , d n ) Tương tự ta có n  0,1, (2.28) 40 g (bn 1 )  F (an , bn , cn , d n ), g (cn 1 )  F (an , bn , cn , d n ), g (d n1 )  F (an , bn , cn , d n ) n  0,1, Tiếp theo ta chứng minh ( a, b, c, d ) điểm chung bốn F g Giả sử F liên tục Khi đó, từ (2.26), (2.27), (2.28) ta có g (a)  lim g (an1 )  lim F (an , bn , cn , d n )  F (a, b, c, d ) n  n Tương tự ta có g (b)  F (a, b, c, d ) , g (c)  F (a, b, c, d ) , g (d )  F (a, b, c, d ) Do ( a, b, c, d ) điểm chung bốn F g Giả sử g có tính đơn điệu tăng X có tính chất i) ii) Khi từ (2.19) (2.20) suy {an } {cn } dãy tăng hội tụ; {bn } , {d n } dãy giảm hội tụ Kết hợp với (2.26) ta có an  a , bn  b , cn  c , d n  d n  0,1, Do đó, {g (an )} {g (c n )} hai dãy tăng, {g (bn )} {g (d n )} hai dãy giảm Vì g liên tục nên dãy {g (an )} , {g (bn )} , {g (c n )} {g (d n )} hội tụ tới g(a), g(b), g(c) , g(d) n   Sử dụng tính chất i) ii) ta có g(an )  g (a), g(bn )  g (b), g(cn )  g (c), g(d n )  g (d ) Do đó, với n = 0,1,… ta có D *(g(a), g(a), F (a, b , c , d ))  D *(g(a), g(a), g(an 1 )) (2.29) 41  D *(g(an 1 ), g(an 1 ), F (a, b, c , d ))  D *(g(a), g(a), g(an 1 )  D *( F (a n , bn , c n , d n ), F (a n , bn , c n , d n ), F ( a , b, c , d ))  D *(g(a), g(a), g(an 1 ) (1 D *(g(an ), g(an ), g(a)   D *(g(bn ), g(bn ), g(b)  D *(g(cn ), g(cn ), g(c)   D *(g( d n ), g( d n ), g( d ) (2.30) Vì D* liên tục nên từ (2.29) suy vế phải (2.30) tiến tới không n   Do đó, từ (2.30) suy D *( g (a), g (a), F (a, b, c , d ))  tức g (a)  F (a, b, c, d ) Tương tự ta có g (b)  F (a, b, c, d ) , g (c)  F (a, b, c, d ) , g (d )  F (a, b, c, d ) Vậy (a, b, c, d ) điểm chung bốn F g Trường hợp g có tính đơn điệu giảm chứng minh tương tự Sau vài Hệ Định lí 2.2.8 2.2.9 Hệ Giả sử F : X  X ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau 1) F có tính đơn điệu trộn; 2) Tồn   số 1 ,  ,  ,   [0,1) cho 1        với ( x, y, z, w),(u, v, r, t) thuộc X mà chúng so sánh với ta có 42 D *( F ( x, y, z, w), F ( x, y, z, w), F (u, v, r , t ))  (1 D *( x, x, u )   D *( y, y, v)   D *( z, z, r )   D *( w, w, t )}) 3) Tồn ( x0 , y0 , z0 , w0 )  X cho x0  F ( x0 , y0 , z0 , w0 ), y0  F ( x0 , w0 , z0 , y0 ), z0  F ( z0 , y0 , x0 , w0 ), w0  F ( z0 , w0 , x0 , y0 ) 4) F liên tục X có tính chất 4’) Nếu  xn  dãy tăng ( tương ứng, giảm ) X xn  x  X xn  x ( tương ứng x  xn ) với n=1,2, Khi đó, F có điểm bất động bốn X Hơn điểm bất động bốn F so sánh với điểm bất động bốn F Chứng minh Trong Định lí 2.2.8 lấy g : X  X ánh xạ đồng , tức g ( x )  x với x  X ta nhận Hệ 2.2.9 2.2.10 Chú ý Sử dụng Định lí 2.2.8 Hệ 2.2.9 ta chứng minh Hệ 2.2.5 sau Giả sử điều kiện 2) Hệ 2.2.5 thỏa mãn Khi tồn   cho  : 1          Đặt  i  i , i = 1,2,3,4 Ta có  1 ,  , 3 ,   [0,1), 1    3    1         Ta xác định hàm  : [0, )  [0, ) công thức (t )   t t [0, ) 43 Rõ ràng  hàm không giảm   n 1  n (t )    n (t ) hội tụ tới t  [0, ) n 1 (   [0,1) ) Theo (2.14) ta có D *( F ( x, y, z, w), F ( x, y, z, w), F (u, v, r , t ))  1 D *( x, x, u )   D *( y, y, v)   D *( z, z, r )   D *( w, w, t )   [ 1 D *( x, x, u )   D *( y, y, v)  3 D *( z, z, r )   D *( w, w, t )]  ( 1D *( x, x, u )   D *( y, y, v)  3 D *( z, z, r )   D *( w, w, t )) (2.31) Vì 1 ,  , 3 ,   [0,1) 1    3    Nên (2.31) chứng tỏ điều kiện 2) Hệ 2.2.9 thỏa mãn Do từ Hệ 2.2.9 ta có điều phải chứng minh 2.2.11 Nhận xét Vì Hệ 2.2.6 Hệ 2.2.7 suy từ Hệ 2.2.5 mà Hệ 2.2.5 suy từ Hệ 2.2.9 nên Hệ 2.2.6 2.2.7 Hệ Định lí 2.2.8 44 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau - Trình bày lại định nghĩa, ví dụ số tính chất khơng gian D*- mêtric - Trình bày lại số kết có tài liệu tham khảo [5] [6] tồn điểm chung bốn điểm bất động chung bốn khơng gian mêtric có thứ tự phận - Đưa số kết tồn điểm bất động bốn ánh xạ có tính đơn điệu trộn khơng gian D*- mêtric có thứ tự phận, Định lí 2.2.2, 2.2.8 Hệ hai Định lý Các Hệ mở rộng vài kết tương tự không gian mêtric 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2002), Cơ sở lí thuyết hàm giải tích hàm Tập 2, NXB Giáo Dục [2] J Kelley, Tôpô đại cương Hà Huy Khoái, Hồ Thuần Đinh Mạnh Tường dịch, NXB Đại học Trung học Chuyên nghiệp, Hà Nội [3] V Berinde and M Borcut (2011), Tripled fixed point theorems for contractive type mapping in partially ordered metric space, Nonlinear Analysis, vol.74, no.15, pp 4889-4897 [4] G Bhaskar and V Laksmikantham (2006), Fixed point theorems in partially ordered metric spaces and applications, Nonlinear Analysis, Appl 332, no.2, pp 1468-1476 [5] E Karapinar (2011), Quartet Fixed Point Theorems For Nonlinear Contractions In Partially Ordered Metric Spaces, arXiv : 1106.5472vl [math.GN] [6] E Karapinar (2011), Quadruple fixed point theorems for weak  contractions, International Scholarly Research Netword, ISRN Mathematical Analysis, volume 2011, Article ID 989423, 15 pages, doi :10.5402/2011/ 989423 [7] S Sedghi, N Shobe and H Zhou (2007), A common fixed point theorem in D*- metric spaces, Fixed point theory and Application, 1-14 [8] T Veepandi and A M Pillai (2011), A common fixed point theorem and some fixed point theorem in D*- metric spaces, African Journal of Mathematics and Science Research Vol.4 (8), 273-280 ... ĐỘNG BỘ BỐN TRONG KHƠNG GIAN D*-M? ?TRIC CĨ THỨ TỰ BỘ PHẬN 17 2.1 Về tồn điểm bất động bốn khơng gian m? ?tric có thứ tự phận 17 2.2 Một số kết tồn điểm bất động bốn khơng gian D*m? ?tric. .. m? ?tric không gian D*- m? ?tric có thứ tự phận 2.1 Về tồn điểm bất động bốn khơng gian m? ?tric có thứ tự phận Mục trình bày lại số kết có tài liệu tham khảo tồn điểm chung bốn điểm bất động bốn khơng gian. .. QUẢ VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ BỐN TRONG KHƠNG GIAN D*- M? ?TRIC CĨ THỨ TỰ BỘ PHẬN Chương trình bày số Định lý tồn điểm bất động bốn điểm chung bốn ánh xạ có tính đơn điệu trộn không gian mêtric