Về sự tồn tại điểm bất động bộ bốn trong không gian b mêtric có thứ tự bộ phận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN THỊ LỆ HẰNG VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ BỐN TRONG KHƠNG GIAN b-MÊTRIC CĨ THỨ TỰ BỘ PHẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN THỊ LỆ HẰNG VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ BỐN TRONG KHƠNG GIAN b-MÊTRIC CĨ THỨ TỰ BỘ PHẬN CHUN NGÀNH: TỐN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS ĐINH HUY HOÀNG Nghệ An - 2018 Lời cảm ơn Luận văn thực trường đại học Vinh hướng dẫn PGS.TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo Bộ mơn Tốn Giải Tích Thầy giáo, Cơ giáo Viện Sư Phạm Tự Nhiên phòng đào tạo sau đại học Trường Đại Học Vinh nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt trình học tập Đồng thời, Tác giả xin chân thành cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo trường Đại Đọc Sư Phạm Kỹ Thuật Vĩnh Long, xin cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo trường THCS - THPT Hiếu Nhơn tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả q trình học tập hồn thành khóa học Cuối cùng, Tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè bạn học viên cao học khóa 24 - chun ngành Tốn Giải Tích Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Kính mong nhận ý kiến đóng góp q báu q Thầy Cơ giáo để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Về tồn điểm bất động bốn khơng gian mêtric có thứ tự phận 1.1 Một số khái niệm kết 1.2 Một số kết tồn điểm bất động bốn khơng gian mêtric có thứ tự phận 10 Về tồn điểm bất động bốn khơng gian b-mêtric có thứ tự phận 2.1 Không gian b-mêtric 2.2 Về tồn điểm bất động bốn không gian b-mêtric có thứ tự phận 13 13 17 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Mở đầu Lí chọn đề tài Việc mở rộng nguyên lý Banach tồn điểm bất động ánh xạ có không gian mêtric đầy đủ chủ đề quan tâm nghiên cứu giải tích nói chung lý thuyết điểm bất động nói riêng Một hướng mở rộng mở rộng lớp khơng gian mêtric cách thay đổi điều kiện định nghĩa mêtric Sau đó, người ta nghiên cứu tồn điểm bất động lớp không gian vừa định nghĩa Khái niệm điểm bất động đôi đưa nghiên cứu vào năm 2006 Bhashkar Lakshmikantham [5] Khái niệm điểm bất động ba giới thiệu nghiên cứu V Berinde M Borcut [4] vào năm 2011 Gần đây, E Karapinar [7], [8] đưa khái niệm điểm bất động bốn ánh xạ từ không gian X vào X nghiên cứu số định lý tồn điểm bất động bốn khơng gian mêtric đầy đủ có thứ tự phận Vào năm 1993, S Czerwek [6] đưa khái niệm không gian b-mêtric nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ không gian Mới đây, Lê Xuân Thành [2], giới thiệu số kết tồn điểm bất động đôi không gian b-mêtric Một vấn đề đặt là, kết tồn điểm bất động bốn không gian mêtric mở rộng cho khơng gian b-mêtric đầy đủ hay không? Để giải vấn đề này, chúng tơi chọn đề tài luận văn "Về tồn điểm bất động bốn khơng gian b-mêtric có thứ tự phận" Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu tồn điểm bất động bốn khơng gian b-mêtric có thứ tự phận Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu khơng gian b-mêtric, ánh xạ có tính đơn điệu trộn, điểm bất động bốn điểm chung bốn khơng gian b-mêtric có thứ tự phận Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm điều kiện ánh xạ có tính đơn điệu trộn khơng gian b-mêtric có điểm bất động điểm bất động chung bốn Mở rộng số kết tồn điểm bất động bốn không gian mêtric cho không gian b-mêtric Phương pháp nghiên cứu Hiểu rõ kết có không gian mêtric dùng phương pháp tương tự hóa, khái qt hóa để tìm kết tồn điểm bất động bốn khơng gian b-mêtric có thứ tự phận Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn trình bày thành chương Chương trình bày lại số kết tồn điểm chung bốn điểm bất động bốn ánh xạ có tính đơn điệu trộn khơng gian mêtric có thứ tự phận có tài liệu tham khảo Trong chương 2, chúng tơi trình bày lại Định nghĩa, ví dụ số tính chất khơng gian b-mêtric Sau chúng tơi đưa số kết tồn tồn điểm chung bốn điểm bất động bốn ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn khơng gian b-mêtric có thứ tự phận, Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.5, Định lý 2.2.6 Hệ 2.2.2, Hệ 2.2.3, Hệ 2.2.4 Các kết mở rộng vài kết không gian mêtric có tài liệu tham khảo Nghệ An,tháng năm 2018 Tác giả Trần Thị Lệ Hằng Chương Về tồn điểm bất động bốn khơng gian mêtric có thứ tự phận Chương trình bày lại số kết tồn điểm bất động bốn ánh xạ khơng gian mêtric có thứ tự phận, có tài liệu tham khảo 1.1 Một số khái niệm kết Mục trình bày số khái niệm kết không gian mêtric, thứ tự phận, ánh xạ đơn điệu trộn, điểm bất động bốn, điểm chung bốn, mà cần luận văn 1.1.1 Định nghĩa ([1]) Cho tập hợp X Họ T tập X gọi tôpô X thoả điệu kiện sau (i) ∅, X ∈ T ; (ii) Nếu Gi ∈ T , i ∈ I (iii) Nếu G1 , G2 ∈ T G1 i∈T Gi ∈ T ; G2 ∈ T Tập hợp X với tơpơ T gọi khơng gian tơpơ kí hiệu (X, T ) hay đơn giản X Các phần tử X gọi điểm không gian tôpô Các phần tử thuộc T gọi tập mở Giả sử A ⊂ X , tập A gọi tập đóng X \ A mở 1.1.2 Định nghĩa ([1]) Cho không gian tôpô X , tập U ⊂ X , gọi lân cận x tồn tập mở V ⊂ X cho x ∈ V ⊆ U Cho không gian tôpô X , x ∈ X , U(x) họ tất lân cận x Họ B(x) ⊂ U(x) gọi sở lân cận x với U ∈ U(x) tồn V ∈ B(x) cho V ⊆ U 1.1.3 Định nghĩa ([1]) Dãy {xn } không gian tôpô X gọi hội tụ tới x ∈ X với lân cận U x tồn n0 ∈ N cho xn ∈ U với n ≥ n0 Khi đó, ta kí hiệu xn → x lim xn = x n→∞ 1.1.4 Định nghĩa ([1]) Giả sử X , Y hai không gian tôpô f : X → Y , f gọi liên tục x ∈ X với lân cận V f (x), tồn lân cận U x cho f (U ) ⊂ V Ánh xạ f gọi liên tục X (nói gọn liên tục) liên tục điểm X 1.1.5 Định nghĩa ([1]) Giả sử X tập hợp khác rỗng d: X × X → R Hàm d gọi mêtric X điều kiện sau thỏa mãn (i) d(x; y) ≥ với x, y ∈ X d(x; y) = ⇔ x = y ; (ii) d(x; y) = d(y; x) với x; y ∈ X ; (iii) d(x; y) ≤ d(x; z) + d(z; y) với x, y, z ∈ X Tập X với mêtric gọi khơng gian mêtric kí hiệu (X; d) X 1.1.6 Định nghĩa ([1]) Cho X không gian mêtric Một dãy {xn } X gọi dãy Cauchy với ε>0, tồn n0 ∈ N cho với n, m ∈ N mà m > n ≥ n0 d(xn ; xm ) < ε Mọi dãy hội tụ dãy Cauchy Không gian mêtric gọi đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ Tập A ⊂ X gọi tập đầy đủ đầy đủ với mêtric cảm sinh từ khơng gian mêtric (X, d) Mọi tập đầy đủ khơng gian mêtric tập đóng Mọi tập đóng không gian mêtric đầy đủ tập đầy đủ 1.1.7 Định nghĩa ([1]) Cho (X, d) không gian mêtric Ánh xạ g :X → X gọi liên tục x ∈ X {xn } dãy X hội tụ tới x g(xn ) → g(x) 1.1.8 Định nghĩa ([1]) Cho tập hợp X ” X Quan hệ ” ” quan hệ hai ” gọi quan hệ thứ tự phận X thỏa mãn điều kiện sau (i) x x với x ∈ X ; (ii) Nếu x (iii)Từ x y y y y x x = y với x, y ∈ X ; z suy x z với x, y, z ∈ X Tập X với thứ tự phận gọi tập thứ tự phận kí hiệu (X, ) Kí hiệu X khơng gian tích X × X × X × X Giả sử (X, ) tập thứ tự phận, (X, d) không gian mêtric Giả sử (u, v, r, t), (x, y, z, w) phần tử thuộc X , xét quan hệ thứ tự X sau   u v (u, v, r, t) ≤ (x, y, z, w) ⇔ r  t ta viết a b thay b a x y z w 25 2) Tồn (x0 , y0 , z0 , w0 ) ∈ X cho x0 F (x0 , y0 , z0 , w0 ), y0 F (x0 , w0 , z0 , y0 ), z0 F (z0 , y0 , x0 , w0 ), w0 F (z0 , w0 , x0 , y0 ); 3) F ánh xạ liên tục X có tính chất sau i) Từ {xn } dãy tăng xn → x suy xn x với n ∈ N, ii)Từ {yn } dãy giảm yn → y suy yn y với n ∈ N Khi đó, F có điểm bất động bốn 2.2.5 Định lí Cho F : X → X g : X → X ánh xạ thỏa mãn tính chất Định lí 2.2.1 Giả sử với (x, y, z, w), (u, v, r, t) ∈ X tồn a, b, c, d ∈ X cho (g(x), g(y), g(z), g(w)) (g(u), g(v), g(r), g(t)) (g(a), g(b), g(c), g(d)), (g(a), g(b), g(c), g(d)) g(a) F (a, b, c, d), g(b) F (a, d, c, b), g(c) F (c, b, a, d), g(d) F (c, d, a, b) (2.16) Khi đó, ánh xạ F g có điểm bất động chung bốn, tức tồn (x0 , y0 , z0 , w0 ) ∈ X thỏa mãn F (x0 , y0 , z0 , w0 ) = g(x0 ) = x0 , F (x0 , w0 , z0 , y0 ) = g(y0 ) = y0 , F (z0 , y0 , x0 , w0 ) = g(z0 ) = z0 , F (z0 , w0 , x0 , y0 ) = g(w0 ) = w0 (2.17) 26 Chứng minh Rõ ràng theo chứng minh Định lí 2.2.1 tập hợp điểm chung bốn F g khác rỗng Khi giả sử (x, y, z, w), (u, v, r, t) hai điểm chung bốn F g Ta có F (x, y, z, w) = g(x), F (u, v, r, t) = g(u), F (x, w, z, y) = g(y), F (u, t, r, v) = g(v), F (z, y, x, w) = g(z), F (r, v, u, t) = g(r), (2.18) F (z, w, x, y) = g(w), F (r, t, u, v) = g(t) Theo giả thiết, tồn (a, b, c, d) ∈ X cho (g(a), g(b), g(c), g(d)) so sánh với hai điểm (g(x), g(y), g(z), g(w)), (g(u), g(v), g(r), g(t)) theo quan hệ thứ tự X thỏa mãn (2.16) nên ta giả thiết (g(x), g(y), g(z), g(w)) ≤ (g(a), g(b), g(c), g(d)) (2.19) Chúng ta thiết lập dãy {an }, {bn }, {cn }, {dn } X sau Với n = 0, 1, a0 = a, b0 = b, c0 = c, d0 = d, g(an+1 ) = F (an , bn , cn , dn ), g(bn+1 ) = F (an , dn , cn , bn ), (2.20) g(cn+1 ) = F (cn , bn , an , dn ), g(dn+1 ) = F (cn , dn , an , bn ) Từ (2.19) suy (g(x), g(y), g(z), g(w)) ≤ (g(an ), g(bn ), g(cn ), g(dn )), ∀n = 0, 1, (2.21) Tương tự Định lí 2.2.1, ta chứng minh dãy {g(an )}, {g(bn )}, {g(cn )}, {g(dn )} hội tụ tới a , b , c , d n → +∞ 27 Suy với ε > 0, tồn số tự nhiên nε cho với n ≥ nε ta có ε d(g(an ), a ) < , ε d(g(bn ), b ) < , ε d(g(cn ), c ) < , ε d(g(dn ), d ) < (2.22) Đặt δ0 := d(g(x), g(a0 )) + d(g(y), g(b0 )) + d(g(z), g(c0 )) + d(g(w), g(d0 )) Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh với n = 1, 2, d(g(x), g(an )) ≤ q n δ0 , d(g(y), g(bn )) ≤ q n δ0 , d(g(z), g(cn )) ≤ q n δ0 , (2.23) d(g(w), g(dn )) ≤ q n δ0 Trong q := α1 + α2 + α3 + α4 Thật vậy, từ (2.1) (2.18), ta có d(g(x), g(a1 )) = d(F (x, y, z, w), F (a0 , b0 , c0 , d0 )) ≤ α1 d(g(x), g(a0 )) + α2 d(g(y), g(b0 )) + α3 d(g(z), g(c0 )) + α4 d(g(w), g(d0 )) ≤ qd(g(x), g(a0 )) + qd(g(y), g(b0 )) + qd(g(z), g(c0 )) + qd(g(w), g(d0 )) = qδ0 Suy d(g(x), g(a1 )) ≤ qδ0 28 Tương tự, ta có d(g(y), g(b1 )) ≤ qδ0 , d(g(z), g(c1 )) ≤ qδ0 , d(g(w), g(d1 )) ≤ qδ0 Vậy (2.23) với n = Giả sử (2.23) với n ≥ 1, nghĩa d(g(x), g(an )) ≤ q n δ0 , d(g(y), g(bn )) ≤ q n δ0 , d(g(z), g(cn )) ≤ q n δ0 , (2.24) d(g(w), g(dn )) ≤ q n δ0 Ta chứng minh (2.23) với n + Từ (2.1), (2.18), (2.20), (2.24) ta có d(g(x), g(an+1 )) = d(F (x, y, z, w), F (an , bn , cn , dn ) ≤ α1 d(g(x), g(an )) + α2 d(g(y), g(bn )) + α3 d(g(z), g(cn )) + α4 d(g(w), g(dn )) ≤ α1 q n δ0 + α2 q n δ0 + α3 q n δ0 + α4 q n δ0 = (α1 + α2 + α3 + α4 )q n δ0 = q n+1 δ0 Suy d(g(x), g(an+1 )) ≤ q n+1 δ0 Tương tự, ta có d(g(y), g(bn+1 )) ≤ q n+1 δ0 , d(g(z), g(cn+1 )) ≤ q n+1 δ0 , d(g(w), g(dn+1 )) ≤ q n+1 δ0 29 Vậy (2.23) với n = 1, 2, Vì q ∈ [0; 1) nên q n → n → +∞ suy q n δ0 → n → +∞ Khi đó, với ε > 0, tồn số tự nhiên n0 cho với n ≥ n0 > ta có ε q n δ0 < (2.25) Chọn m = max{nε , n0 } Khi đó, với số tự nhiên n ≥ m, từ (2.22) (2.25) ta có d(g(x), a ) ≤ [d(g(x), g(an+1 )) + d(g(an+1 ), a )]s = [d(g(x), F (an , bn , cn , dn )) + d(g(an+1 ), a )]s = [d(F (x, y, z, w), F (an , bn , cn , dn )) + d(g(an+1 ), a )]s ≤ [α1 d(g(x), g(an )) + α2 d(g(y), g(bn )) + α3 d(g(z), g(cn )) + α4 d(g(w), g(dn )) + d(g(an+1 ), a )]s ≤ [α1 q n δ0 + α2 q n δ0 + α3 q n δ0 + α4 q n δ0 + d(g(an+1 ), a )] = q n+1 δ0 + d(g(an+1 ), a ) ε ε < + = ε 2 Từ suy d(g(x), a ) = 0, tức g(x) = a Tương tự, ta chứng minh g(y) = b , g(z) = c , g(w) = d Vậy, ta có (a , b , c , d ) = (g(x), g(y), g(z), g(w)) (2.26) Bằng phương pháp chứng minh ta chứng minh (a , b , c , d ) = (g(u), g(v), g(r), g(t)) (2.27) 30 Từ (2.26) (2.27) ta suy (g(x), g(y), g(z), g(w)) = (g(u), g(v), g(r), g(t)) Đặt x1 := g(x), y1 := g(y), z1 := g(z), w1 := g(w) (2.28) Khi đó, từ tính chất giao hốn F g ta có g(x1 ) =g(g(x)) = g(F (x, y, z, w)) =F (g(x), g(y), g(z), g(w)) (2.29) =F (x1 , y1 , z1 , w1 ) Tương tự, ta có g(y1 ) = F (x1 , w1 , z1 , y1 ), g(z1 ) = F (z1 , y1 , x1 , w1 ), (2.30) g(w1 ) = F (z1 , w1 , x1 , y1 ) Suy (x1 , w1 , z1 , y1 ) điểm chung bốn F g Theo chứng minh ảnh điểm chung bốn F g qua ánh xạ g Do đó, từ (2.28), (2.29), (2.30) ta có x1 = g(x) = g(x1 ) = F (x1 , y1 , z1 , w1 ), y1 = g(y) = g(y1 ) = F (x1 , w1 , z1 , y1 ), z1 = g(z) = g(z1 ) = F (z1 , y1 , x1 , w1 ), w1 = g(w) = g(w1 ) = F (z1 , w1 , x1 , y1 ) Do (x1 , w1 , z1 , y1 ) điểm bất động chung bốn F g Vậy tồn điểm bất động chung bốn F g Nếu (x, y, z, w), (x , y , z , w ) hai điểm bất động chung bốn F 31 g x = g(x) = g(x ) = x , y = g(y) = g(y ) = y , z = g(z) = g(z ) = z , w = g(w) = g(w ) = w Suy ra, ta có (x, y, z, w) = (z , y , z , w ) Vậy tồn điểm bất động chung bốn F g 2.2.6 Định lí Giả sử F : X → X ánh xạ có tính đơn điệu trộn thỏa mãn điều kiện sau 1) Tồn q ∈ [0; ) cho với (x, y, z, w), (u, v, r, t) ∈ X mà s (x, y, z, w) ≤ (u, v, r, t) ta có d(F (x, y, z, w), F (u, v, r, t)) ≤ q max{d(x, u), d(y, v), d(z, r), d(w, t)}; (2.31) 2) Tồn (x0 , y0 , z0 , w0 ) ∈ X cho x0 F (x0 , y0 , z0 , w0 ), F (x0 , w0 , z0 , y0 ) y0 , z0 F (z0 , y0 , x0 , w0 ), F (z0 , w0 , x0 , y0 ) w0 ; (2.32) 3) F liên tục X có tính chất (i) Từ {xn } dãy tăng X xn → x ∈ X suy xn x với n = 1, 2, (ii)Từ {yn } dãy giảm X yn → y ∈ X suy yn y với n = 1, 2, Khi đó, F có điểm bất động bốn Hơn thêm giả thiết điểm bất động bốn F so sánh với điểm bất động động bốn F 32 Chứng minh Đặt xn+1 = F (xn , yn , zn , wn ), yn+1 = F (xn , wn , zn , yn ), zn+1 = F (zn , yn , xn , wn ), wn+1 = F (zn , wn , xn , yn ) (2.33) với n= 0,1,2, Khi đó, từ (2.32) tính đơn điệu trộn F suy ra, với n = 0, 1, 2, ta có xn xn+1 , yn yn+1 , zn zn+1 , wn wn+1 (2.34) Với n = 0, 1, 2, đặt max{d(xn , xn+1 ), d(yn , yn+1 ), d(zn , zn+1 ), d(wn , wn+1 )} = αn Từ (2.33) (2.34) suy với n = 1, 2, ta có (xn−1 , yn−1 , zn−1 , wn−1 ) ≤ (xn , yn , zn , wn ), (xn−1 , wn−1 , zn−1 , yn−1 ) ≤ (xn , wn , zn , yn ), (zn−1 , yn−1 , xn−1 , wn−1 ) ≤ (zn , yn , xn , wn ), (zn−1 , wn−1 , xn−1 , yn−1 ) ≤ (zn , wn , xn , yn ) Do đó, sử dụng điều kiện (2.31) ta có d(xn , xn+1 ) = d(F (xn−1 , yn−1 , zn−1 , wn−1 ), F (xn , yn , zn , wn )) ≤ q max{d(xn−1 , xn ), d(yn−1 , yn ), d(zn−1 , zn ), d(wn−1 , wn )} = qαn−1 , ∀n = 1, 2, Tương tự, ta có d(yn , yn+1 ) ≤ qαn−1 , d(zn , zn+1 ) ≤ qαn−1 , d(wn , wn+1 ) ≤ qαn−1 , ∀n = 1, 2, 33 Từ suy αn ≤ qαn−1 , ∀n = 1, 2, Do αn ≤ qαn−1 ≤ q αn−2 ≤ ≤ q n α0 , ∀n = 1, 2, Tiếp theo, ta chứng minh {xn } dãy Cauchy Từ cách xác định αn suy d(xn , xn+1 ) ≤ αn ≤ q n α0 , ∀n = 1, 2, Do đó, với n = 1, 2, với p = 0, 1, 2, sử dụng bất đẳng thức tam giác nhiều lần ta có d(xn , xn+p ) ≤ sd(xn , xn+1 ) + s2 d(xn+1 , xn+2 ) + + sp−1 d(xn+p−1 , xn+p ) ≤ (sq n + s2 q n+1 + + sp q n+p−1 )α0 p sq n n − (sq) α0 ≤ α0 , = sq − sq − sq (2.35) (vì ≤ sq < 1) Do q ∈ [0; 1) nên vế phải (2.35) dần tới n → ∞ Kết hợp với (2.35) suy {xn } dãy Cauchy Tương tự, ta chứng minh {yn }, {zn } {wn } dãy Cauchy Vì (X, d) khơng gian đầy đủ nên tồn điểm x, y, z, w ∈ X cho xn → x, yn → y, zn → z, wn → w, n → ∞ (2.36) Bây ta chứng minh (x, y, z, w) điểm bất động bốn F Giả sử F liên tục Khi đó, từ (2.36) ta có xn+1 = F (xn , yn , zn , wn ) → F (x, y, z, w) n → ∞ Sử dụng Bổ đề 2.1.5, từ xn+1 → x xn+1 → F (x, y, z, w) suy x = F (x, y, z, w) Tương tự ta chứng minh y = F (x, w, z, y), z = F (z, y, x, w), w = F (z, w, x, y) 34 Do (x, y, z, w) điểm bất động bốn F Giả sử X có tính chất i) ii) điều kiện 3) Định lí Khi đó, từ (2.34) (2.36) suy (xn , yn , zn , wn ) ≤ (x, y, z, w) ∀n = 1, 2, Do sử dụng (2.31) ta có ≤ d(x, F (x, y, z, w)) ≤ sd(x, xn+1 ) + sd(F (xn , yn , zn , wn ), F (x, y, z, w)) ≤ sd(x, xn+1 ) + sq max{d(xn , x), d(yn , y), d(zn , z), d(wn , w)}, (2.37) với n = 1,2, Từ (2.36) Bổ đề 2.1.5, 2.1.6 suy vế phải (2.37) dần tới n → ∞ Do d(x, F (x, y, z, w)) = 0, tức x = F (x, y, z, w) Tương tự ta chứng minh y = F (x, w, z, y), z = F (z, y, x, w), w = F (z, w, x, y) Như (x, y, z, w) điểm bất động bốn F Cuối cùng, giả sử điểm bất động bốn F so sánh với Ta chứng minh điểm bất động bốn F Giả sử (x, y, z, w) (u, v, r, t) hai điểm bất động bốn F Khi hai điểm so sánh với Khơng tính tổng qt, giả sử (x, y, z, w) ≤ (u, v, r, t) Vì (x, y, z, w) (u, v, r, t) hai điểm bất động bốn F nên x = F (x, y, z, w), u = F (u, v, r, t) y = F (x, w, z, y), v = F (u, t, r, v) z = F (z, y, x, w), r = F (r, v, u, t) w = F (z, w, x, y), t = F (r, t, u, v) 35 Vì (x, y, z, w) ≤ (u, v, r, t) nên theo điều kiện 1) ta có d(u, x) = d(F (x, y, z, w), F (u, v, r, t)) ≤ q max{d(x, u), d(y, v), d(z, r), d(w, t)} Tương tự ta có d(y, v) ≤ q max{d(x, u), d(y, v), d(z, r), d(w, t)}, d(z, r) ≤ q max{d(x, u), d(y, v), d(z, r), d(w, t)}, d(w, t) ≤ q max{d(x, u), d(y, v), d(z, r), d(w, t)} Do max{d(x, u), d(y, v), d(z, r), d(w, t)} ≤ q max{d(x, u), d(y, v), d(z, r), d(w, t)}, Vì q < nên bất đẳng thúc chứng tỏ max{d(x, u), d(y, v), d(z, r), d(w, t)} = Do d(x, u) = d(y, v) = d(z, r) = d(w, t) = 0, tức (x, y, z, w) = (u, v, r, t) Vậy điểm bất động bốn F 2.2.7 Chú ý 1) Ta có α1 d(x, u) + α2 d(y, v) + α3 d(z, r) + α4 d(w, t) ≤ (α1 + α2 + α3 + α4 ) max{d(x, u), d(y, v), d(z, r), d(w, t)} = q max{d(x, u), d(y, v), d(z, r), d(w, t)}, q := (α1 + α2 + α3 + α4 ) ∈ [0, ) s 36 Do đó, từ Định lí 2.2.6 trực tiếp suy Hệ 2.2.3 Hệ 2.2.4 2) Vì không gian mêtric trường hợp đặc biệt không gian b-mêtric nên từ Hệ 2.2.4 suy Hệ 1.2.2 37 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau Trình bày lại số kết có tài liệu tham khảo tồn điểm bất động bốn ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn khơng gian mêtric có thứ tự phận Trình bày lại định nghĩa, ví dụ số tính chất khơng gian b-mêtric Đưa số kết tồn tồn điểm bất động bốn, điểm bất động chung bốn ánh xạ có tính đơn điệu trộn khơng gian b-mêtric có thứ tự phận, Định lí 2.2.1, Định lí 2.2.5, Định lí 2.2.6 Hệ 2.2.2, Hệ 2.2.3, Hệ 2.2.4 38 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải (2002), Cơ sở lý thuyết giải tích hàm tập 2, NXB Giáo Dục [2] Lê Xuân Thành (2016), Về tồn điểm bất động đôi khơng gian b-mêtric có thứ tự phận, Luận văn thạc sĩ Toán học, Trường đại học Vinh [3] J Kelly (1973), Tơpơ đại cương, Hà Huy Khối, Hồ Thuần Đinh Mạnh Tường (dịch) NXB Đại học Trung Học Chuyên Nghiệp, Hà Nội [4] V Berinde and M Borcut (2011), Tripled fixed poits theorems for contractive type mapping in partially ordered metric space, Nonlinear Analysis, Vol 74, No 15, pp 4889-4897 [5] G Bhaskar and V Lakmikantham (2006), Fixed poits theorems in partially ordered metric spaces and applications, Nonlinear Analysis, Appl 332, No.2, pp 1468-1476 [6] S Czerwik (1993), Contraction mappings in b-metric spaces, Acta Math Inform Univ Ostrav 1,5-11 [7] E Karapinar (2011), Quartet fixed point theorems for nonlinear contractions in partially ordered metric spaces, Arxiv: 1106.5472vl [math.GN] 39 [8] E Karapinar (2011), Quadruple fixed point theorems for weak φ- contractions, Internationl Scholarly Research Network, ISRN Mathematical Analysis, volume 2011, Article ID 989423, 15 pages, doi: 10.5402/2011/989423 ... 10 Về tồn điểm bất động bốn khơng gian b -mêtric có thứ tự phận 2.1 Khơng gian b -mêtric 2.2 Về tồn điểm bất động bốn không gian b -mêtric có thứ tự phận ... bất động bốn không gian b -mêtric có thứ tự phận Mục đưa số kết tồn điểm bất động bốn, điểm chung bốn ánh xạ khơng gian b -mêtric có thứ tự phận Trong mục này, ta giả thiết (X, ) tập thứ tự phận, ... bất động bốn khơng gian b -mêtric có thứ tự phận Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu không gian b -mêtric, ánh xạ có tính đơn điệu trộn, điểm bất động bốn điểm chung bốn khơng gian b -mêtric có