0

chuyên đề tam giác Toán 7

18 9 0
  • Loading ...
    Loading ...
    Loading ...

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 22/07/2021, 10:24

Chuyên đề: TAM GIÁC I - Một số phương pháp chứng minh hình học Tam giác, trường hợp tam giác 1.1 Tam giác Hệ thức Hình vẽ * Tổng ba góc tam giác: � C �  1800  ABC có �A  B * Góc ngồi tam giác góc kề với góc tam giác: � ACx góc ngồi tam giác, ta có: � � A � ACx  B * Tam giác vuông: - Tam giác vuông tam giác có góc vng  ABC vng A ( �A  900 ); AB, AC hai cạnh góc vng, BC cạnh huyền - B�  C�  900 1.2 Các dạng tam giác Tam giác cân * Định nghĩa: ABC cân A � AB = AC * Tính chất: � C � - ABC cân A � B - Tam giác cân có: Đường cao vừa đường phân giác vừa đường trung trực vừa đường trung tuyến * Dấu hiệu nhận biết tam giác cân Hình vẽ + Tam giác có hai cạnh tam giác cân + Tam giác hai góc tam giác cân + Tam giác có đường thẳng hai đường nêu tam giác cân * Tam giác vng cân tam giác vng có hai cạnh góc vuông * Tam giác vuông cân tam giác vng có góc 450 Tam giác đầu Hình vẽ * Định nghĩa: ABC � AB = AC = CB * Tính chất: Tam giác có góc 600 * Dấu hiệu nhận biết tam giác + Tam giác cân có góc 600 tam giác + Tam giác có hai góc 600 tam giác + Tam giác có ba đường cao nhau, ba đường phân giác nhau, ba đường trung tuyến nhau, ba đường trung trực tam giác tam giác 1.3 Các trường hợp tam giác Các trường hợp tam giác Hệ thức  ABC =  A’B’C’ Định nghĩa � �AB  A ' B ', BC  B ' C ', CA  C ' A ' �� �B �'; C �C �'; A '; B ��A  �  ABC  A’B’C’ có: C.C.C AB  A ' B ' BC  B ' C ' �  ABC =  A’B’C’ (c.c.c) CA  C ' A ' Hình vẽ  ABC  A’B’C’ có: C.G.C AB  A ' B ' �B �' B �  ABC =  A’B’C’ (c.g.c) BC  B ' C '  ABC  A’B’C’ có: G.C.G �B �' B BC  B ' C ' �  ABC =  A’B’C’ (c.g.c) �C �' C Các trường hợp tam giác vng  ABC  DEF có: Hai cạnh góc vng �A  D �  900 AB  DE �  ABC=  DEF (c.g.c) AC  DF  ABC  DEF có: Cạnh huyềngóc nhọn �A  D �  900 BC  EF �  ABC=  DEF (ch.gn) �E � B  ABC  DEF có: Cạnh huyềncạnh góc vng �A  D �  900 BC  EF �  ABC=  DEF (ch.gn) AB  DE Chứng minh hai đoạn thẳng nhau: - Chứng minh hai tam giác chứa hai đoạn thẳng - Chứng minh hai đoạn thẳng hai cạnh bên tam giác cân - Dựa vào tính chất đường trung tuyến, đường trung trực đoạn thẳng - Dựa vào định lí Py-ta- go để tính độ dài đoạn thẳng Chứng minh hai góc nhau: - Chứng minh hai tam giác chứa hai góc - Chứng minh hai góc hai góc đáy tam giác cân, - Chứng minh hai đường thẳng song song mà hai góc cặp góc so le trong, đồng vị - Dựa vào tính chất đường phân giác tam giác - Chứng minh góc có số đo Chứng minh ba điểm thẳng hàng: - Dựa vào số đo góc bẹt (Hai tia đối hay tổng góc cộng tuyến 180 ba điểm thẳng hàng) - Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ điểm - Hai đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng thứ - Dựa vào tính chất đường trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao Chứng minh hai đường thẳng song song - Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song + Hai góc so le + Hai góc đồng vị + Hai góc phía bù - Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng - Hai đường thẳng song song với đường thẳng - Tiên đề Ơclit “Qua điểm đường thẳng có đường thẳng song với đường thẳng song song với đường thẳng đó” - Tính chất tam giác vng, định lí Py – ta – go đảo - Qua hệ đường thẳng song song đường thẳng vng góc - Tính chất đường trung trực, ba đường cao Chứng minh hai đường thẳng vng góc - Góc tạo hai đường thẳng 900 - Tính chất tam giác vng, định lí Py – ta – go đảo - Qua hệ đường thẳng song song đường thẳng vuông góc - Tính chất đường trung trực, ba đường cao Chứng minh đường thẳng đồng quy (đi qua điểm): Dựa vào tính chất đường tam giác gồm: - Giao điểm ba đường trung tuyến tam giác + Đi qua trung điểm canh đối diện + Khoảng cách đỉnh đến trọng tâm 2/3 độ dài trung tuyến - Giao điểm ba đường trung trực tam giác + Vuông góc với cạnh đối diện trung điểm + Cách hai đầu mút + Giao điểm ba đường trung trực cách ba đỉnh tam giác - Giao điểm ba đường phân giác + Giao điểm ba đường phân giác + Giao điểm ba đường phân giác cách ba cạnh tam giác - Giao điểm ba đường cao tam giác (ba đường vng góc) So sánh hai đoạn thẳng, hai góc: - Gắn hai đoạn thẳng, hai góc vào tam giác từ vận định lí quan hệ cạnh góc đối diện tam giác, BĐT tam giác - Dựa vào định lí quan hệ đường xiên hình chiếu, đường xiên đường vng góc II Bài tập vận dụng Bài 1: Cho tam giác ABC có  < 90 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB; AE vng góc AC Chứng minh: a) DC = BE b) DC  BE Hướng dẫn phân tích tìm hướng giải * Để chứng minh DC = BE cần chứng minh ∆ABE = ∆ ADC (c.g.c) �  BAE � Có: BAE �  900  BAC �  DAC � Có: AB = AD, AC = AE (gt) � Chứng minh DAC * Gọi I giao điểm AB CD �  900 Để chứng minh DC  BE cần chứng minh I�2  B �  900 Có I�1  I�2 (Hai góc đối đỉnh) I�1  D �D � (vì ∆ABE = ∆ ADC) � Cần chứng minh B 1 Lời giải �  900  BAC �  DAC � �  BAE � , mặt khác AB = AD, AC = AE (gt) � DAC a) Ta có BAE � ∆ABE = ∆ ADC (c.g.c) � DC = BE b) Gọi I giao điểm AB CD, ta có I�1  I�2 (Hai góc đối đỉnh) �  900 (∆ ADI vng A) B �D � (vì ∆ABE = ∆ ADC) Và I�1  D 1 �  900 � DC  BC � I�2  B * Khai thác 1: Từ ta thấy: DC = BE DC  BE ∆ABD ∆ ACE vng cân, có ∆ABD ∆ ACE vuông cân, Từ B kẻ BK  CD D ba điểm E, K, B thẳng hàng Ta có tốn 1.2 Bài 1.1: Cho tam giác ABC có  < 90 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB; AE vng góc AC Từ B kẻ BK  CD K Chứng minh ba điểm E, K, B thẳng hàng Hướng dẫn: Từ chứng minh DC  BE mà BK  CD K suy ba điểm E, K, B thẳng hàng *Khai thác 1.1 Từ 1.1 gọi M trung điểm DE kẻ tia M A MA  BC từ ta có tốn 1.2 Bài 1.2: Cho tam giác ABC có  < 90 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB; AE vng góc AC Gọi M trung điểm DE kẻ tia MA Trên tia đối AM, lấy điểm N Chứng minh rằng: a) BE = CD b) AE//DN c) MA  BC Phân tích tìm hướng giải Gọi H giao điểm tia MA BC Để chứng minh MA  BC � ∆AHC vuông H � ∆AHC vuông H ta cần tạo tam giác vuông ∆AHC Trên tia AM lấy điểm N cho AM = MN Kẻ DQ  AM Q � ∆AHC = ∆DQN (g.c.g) � � � � � ACB , BAC ND = AC, N ADN � ∆ABC = ∆DNA (c.g.c) � Có AD = AB (gt) � � ND = AE (= AC) BAC ADN � ∆MDN = ∆MEA (c.g.c) �  ADN � BAC � � �  BAC �  1800 EAD  � ADN  1800 EAD � Chứng minh AE // DN (∆MDN = ∆MEA) Lời giải: Gọi H giao điểm tia MA BC, tia AM lấy điểm N cho AM = MN, kẻ DQ  AM Q Ta có ∆MDN = ∆MEA (c.g.c) vì: �  DMN � (hai góc đối đỉnh) AM = MN; MD = ME (gt) EMA �  MAE � � DN = AE (= AC) AE // DN N (cặp góc so le trong) � � �  BAC �  1800 � EAD ADN  1800 (cặp góc phía) mà EAD �  ADN � � BAC �  ADN � Xét ∆ABC ∆DNA có: AB = AD (gt), AC = DN BAC (chứng minh trên) � � � ∆ABC = ∆DNA (c.g.c) � N1  ACB � � � � ACB Xét ∆AHC ∆DQN có: AC = DN, BAC ADN N � ∆AHC = ∆DQN (g.c.g) � ∆AHC vuông H hay MA  BC * Khai thác toán 1.3: Từ 1.2 ta thấy với M trung điểm DE tia MA  BC, ngược lại AH  BC H tia HA qua trung điểm M DE, ta có tốn 1.4 Bài 1.3: Cho tam giác ABC có  < 90 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB; AE vng góc AC Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến BC Chứng minh tia HA qua trung điểm đoạn thẳng DE Hướng dẫn: Từ 1.2 ta có định hướng giải sau: Kẻ DQ  AM Q, ER  AM R �  HBH � � ) Ta có: + DAQ (Cùng phụ BAH AD = AB (gt) � ∆AHB = ∆DQA (Cạnh huyền – góc nhọn) � DQ = AH (1) � (cùng phụ CAH � ); AC = AE (gt) +� ACH  EAR � ∆AHB = ∆DQA (Cạnh huyền – góc nhọn) � ER = AH (1) Từ (1) (2) � ER = DQ � M � (hai góc đối đỉnh) Lại có M � ∆QDM = ∆REM (g.c.g) � MD = ME hay M trung điểm DE Từ 1.3, ta thấy với M trung điểm DE tia MA  DE , ngược lại H trung điểm BC tia KA vng góc với DE, ta có tốn 1.4 Bài 1.4: Cho tam giác ABC có  < 90 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB; AE vng góc AC Gọi H trung điểm BC Chứng minh tia HA vng góc với DE Hướng dẫn: Từ 1.3 ta dễ dạng giải toán 1.4 Trên tia AH lấy điểm A’ cho AH = HA’ Dễ chứng minh ∆AHC = ∆A’HB (g.c.g) �  HA � 'B � A’B = AC (= AE) HAC � AC // A’B � � � BAC ABA '  1800 (cặp góc phía) �  BAC �  1800 � DAE � � Mà DAE ABA ' Xét ∆DAE ∆ABA’ có: AE = A’B, AD = AB (gt) � � DAE ABA ' � ∆DAE = ∆ABA’(c.g.c) �AA ' �� ADE  B �AA '  900 � � �  900 Mà � ADE  B ADE  MAD Suy HA vuông góc với DE Bài 2: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB, AC M, N Chứng minh rằng: a) DM = EN b) Đường thẳng BC cắt MN trung điểm I MN c) Đường thẳng vng góc với MN I qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC * Phân tích tìm lời giải a) DM = EN � ∆BDM = ∆CEN (g.c.g) � � � BD = CE (gt), D  E  900 (MD, NE  BC) �  CBA � (∆ABC cân A) BCA b) Để chứng minh đường thẳng BC cắt MN trung điểm I MN IM = IN � ∆MDI = ∆NEI (g.c.g) c) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A xuống BC, O giao điểm AH với đường thẳng vng góc với MN kẻ từ I � Cần chứng minh O điểm cố định O điểm cố định � OC  AC � � � OAC  OCN  900 � �  OCA � �  OCM � OBM OBA � ∆OBM = ∆OCN (c.c.c) ∆OAB = ∆OAC (c.g.c) * Khai thác 2: Từ ta thấy BM = CN, ta phát biểu lại tốn sau: Bài 2.1 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh AB lấy điểm M, tia AC lấy điểm N cho BM = CN Đường thẳng BC cắt MN I Chứng minh rằng: a) I trung điểm MN b) Đường thẳng vng góc với MN I qua điểm cố định D thay đổi Lời giải: Từ lời giải để giải 2.1 ta cần kẻ MD  BC (D �BC) NE  BC (E �BC) Bài 3: Cho ∆ABC vuông A, K trung điểm cạnh BC Qua K kẻ đường thẳng vng góc với AK, đường thẳng cắt đường thẳng AB AC D E Gọi I trung điểm DE a) Chứng minh rằng: AI  BC b) Có thể nói DE nhỏ BC khơng? *Phân tích tìm lời giải a) Gọi H giao điểm BC AI AI  BC � � A1  � ACK  900 � �  900 Có � AEK  EAK � � � A1  � AEK � ACK  CAK � ∆AIE cân I ∆AKC cân K b) Để so sánh DE với BC � cần so sánh IE với CK (vì 2.IE = DE, 2CK = BC) � So sánh AI với AK (vì AI = IE, AK = CK) Có AI �AK Lời giải : a) Dễ dàng chứng ∆AIE cân I ∆AKC cân K � �  900 � cần chứng minh � A1  � AEK � mà � ACK  CAK AEK  EAK �� A1  � ACK  900 � AI  BC b) ta có BC = CK = 2AK (CK = AK), DE = 2IE = 2.AI (AI = IE) Mà AI �AK  DE BC , DE = BC K trùng với I ∆ABC vng cân A Bài 4: Cho tam giác ABC (AB > AC), M trung điểm BC Đường thẳng qua M vng góc với tia phân giác góc A H cắt hai tia AB, AC E F Chứng minh rằng: a) EF  AH  AE � � b) 2BME � ACB  B c) BE = CF Lời giải a) Áp dụng định lý Py –ta-go cho tam giác vuông AFH, ta có: HF2 + AH2 = AF2 Mà  AHE =  AHF (g-c-g) nên HF = EF  AH  AE EF; AF = AE Suy ra: �F � b) Từ AEH  AFH Suy E � � � Xét CMF có � ACB góc ngồi suy CMF ACB  F � góc ngồi suy BME � E �B � BME có E 1 �  BME �  (� �)  ( E � B �) ACB  F Vậy CMF � � � () hay 2BME ACB  B �F � c) Từ AHE  AHF Suy AE = AF E Từ C vẽ CD // AB (D � EF) => BME  CMD( g  c  g ) � BE  CD (1) �  CDF � � F � � CDF cân Lại có: E (cặp góc đồng vị) Do CDF � CF = CD (2) Từ (1) (2) suy BE = CF Bài 5: Cho tam giác ABC có góc B góc C hai góc nhọn Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AB, tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AC a) Chứng minh rằng: BE = CD b) Gọi M trung điểm BE, N trung điểm CB Chứng minh M, A, N thẳng hàng c) Ax tia nằm hai tia AB AC Gọi H,K hình chiếu B C tia Ax Chứng minh BH + CK � BC d) Xác định vị trí tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn *Phân tích tìm lời giải a) Để chứng minh BE = CD � Cần chứng minh  ABE =  ADC (c.g.c) b) Để chứng minh M, A, N thẳng hàng � �  BAM �  1800 Cần chứng minh BAN � �  NAD �  1800 � Cần chứng minh MAB �  NAD � Có BAN �  NAD � Để chứng minh MAB � Cần chứng minh  ABM =  ADN (c.g.c) c) Gọi giao điểm BC Ax � Để chứng minh BH + CK �BC � Cần chứng minh BH �BI ; CK �CI Vì BI + IC = BC d) BH + CK có giá trị lớn = BC K,H trùng với I, Ax vng góc với BC Bài 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH miền tam giác ABC ta vẽ tam giác vuông cân ABE ACF nhận A làm đỉnh góc vng Kẻ EM, FN vng góc với AH (M, N thuộc AH) a) Chứng minh: EM + HC = NH b) Chứng minh: EN // FM *Phân tích tìm lời giải a) Để chứng minh EM + HC = NH � Cần chứng minh EM = AH HC = AN + Để chứng minh EM = AH � cần chứng minh ∆AEM =∆BAH (cạnh huyền – góc nhon) + Để chứng minh HC = AN � cần chứng minh ∆AFN =∆CAH (cạnh huyền – góc nhon) b) Để chứng minh EN // FM � � � N (cặp góc so le trong) AEF  EF Gọi I giao điểm AN EF �N � để chứng minh � AEF  EF � Cần chứng minh ∆MEI = ∆NFI (g.c.g) Bài 7: Cho tam ABC vuông A, đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E Chứng minh: a) ∆AFI = ∆ ACI b) AE = BC * Phân tích tìm lời giải : Gọi F giao điểm BA IE � để Chứng minh AE = BC cần chứng minh: ∆AFE = ∆ CAB Để chứng minh: ∆AFE = ∆ CAB � � C  BAC �  900 (1); EAF � � Cần chứng minh AF = AC (2); AF ACB (3) � C  BAC �  900 + Để chứng minh (1): AF � �  900 Chứng minh CI // AE có FI // AC BAC � Để chứng minh CI // AE � Chứng minh ∆AMB = ∆ DMC (c.g.c) + Để chứng minh (2): AF = AC � C/m ∆AFI = ∆ ACI (Cạnh huyền – góc nhọn) � � � ) + Chứng minh (3): EAF ACB (vì phụ HAC *Khai thác toán: Từ ta thấy AH �AM � HE �AM + BC = 3AM (vì AM = MB = MC) Vậy HE lớn = 3AM = BC H trùng M tam giác ABC vuông cân Bài 8: Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC, từ M kẻ đường thẳng vng góc với tia phân giác góc A, cắt tia N, cắt tia AB E cắt tia AC F Chứng minh rằng: a) AE = AF b) BE = CF c) AE  AB  AC * Phân tích tìm lời giải a) Để chứng minh AE = AF � ∆ANE = ∆ ANF (c g c) Hoặc ∆AEF cân A (Có AH vừa tia phân giác, vừa đương cao) b) Để chứng minh BE = CF � cần tạo tam giác chứa BE(hoặc có cạnh = BE) mà tam giác MCF + Kẻ BI // AC � ∆MBI = ∆MCF (c g c) �  BEI � � � � Để chứng minh BE = CF � ∆ BEI cân B � E � Có BIE ABF (cặp góc �  AF � E ∆AEF cân A đồng vị) mà E c) AB + AC = AB + AF + CF =(AB + FC) + AF mà CF = BC AE = AF � 2AE = AB + AC hay AE  AB  AC Bài 9: Cho tam giác ABC có góc A khác 90 0, góc B C nhọn, đường cao AH Vẽ điểm D, E cho AB trung trực HD, AC trung trực HE Gọi I, K giao điểm DE với AB AC a) Chứng minh: Tam giác ADE cân A b) Tính số đo góc AIC AKB ? *Phân tich tìm hướng giải - Xét TH góc A < 900 a) Để chứng minh ∆ ADE cân A � cần chứng minh: AD = AH = AE (Áp dụng tính chất đường trung trực) b) Dự đoán CI  IB, BK  KC Do IB, KC tia phân giác góc ngồi ∆ HIK nên HA tia phân giác Do � AHC  900 nên HClà tia phân giác đỉnh H Các tia phân giác góc ngồi đỉnh H K ∆ HIK cắt C nên IC tia phân giác góc HIK, IB  IC, Chứng minh tượng tự Zta có BK  KC - Xét TH góc A > 900 * Khai thác toán: Gọi M điểm thuộc cạnh BC, qua M lấy điểm D’, E’ cho AB trung trực D’M, AC trung trực ME’ Khi ta có ∆ AD’E’ cân A góc DAC có Từ ta có tốn sau: Bài 10 Cho tam giác ABC nhọn Tìm điểm M cạnh BC cho vẽ điểm D, E AB đường trung trực MD, AC đường trung trực ME DE có độ dài nhỏ HD Tự nhận xét dễ dàng tìm vị trí điểm M cạnh BC �  200 , vẽ tam giác Bài 11 Cho tam giác ABC cân A có A DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD phân giác góc BAC b) AM = BC Hướng dẫn: a) Chứng minh  ADB =  ADC (c.c.c) �  DAC � Do DAB �  200 :  100 suy DAB b)  ABC cân A, mà � ABC  (1800  200 ) :  800 A  200 (gt) nên � �  600 Tia BD nằm hai tia BA BC  ABC nên DBC suy � ABD  800  600  200 Tia BM phân giác góc ABD nên � ABM  100 � � �  100 Xét tam giác ABM BAD có:AB cạnh chung ; BAM ABD  200 ; � ABM  DAB Vậy:  ABM =  BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Bài 12 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC) Tia phân giác góc B cắt AC D Kẻ DH vng góc với BC Trên tia AC lấy điểm E cho AE = AB Đường thẳng vng góc với AE E cắt tia DH K Chứng minh : a) BA = BH �  450 b) DBK c) Cho AB = chứng minh, tính chu vi tam giác DEK Hướng dẫn: a) Chứng minh ∆ABD = ∆HBD (cạnh huyền – góc nhọn) b) Qua B kẻ đường thẳng vng góc với EK, cắt EK I Ta có: � ABI  900 , chứng minh ∆HBK = ∆IBK (cạnh huyền – cạnh góc vng) �B � mà B �B � � DBK �  450 � B c) Chu vi tam giác DEK = DE + EK + KD = … = 2.4 = chứng minh �  450 chu vi ∆DEK = AB có chu vi ∆DEK = * Từ ta thấy DBK �  450 Ta có tốn sau: ta chứng minh DBK Bài 12.1 Cho cạnh hình vng ABCD có độ dài Trên cạnh AB, AD lấy điểm P, Q cho chu vi APQ Chứng minh góc PCQ 450 Hướng dẫn Bài 13: Cho tam giác ABC cân A, BH vng góc AC H Trên cạnh BC lấy điểm M (khác B C) Gọi D, E, F chân đường vng góc hạ từ M đến AB, AC, BH a) Chứng minh ∆DBM = ∆FMB b) Chứng minh M chạy cạnh BC tổng MD + ME có giá trị khơng đổi c) Trên tia đối tia CA lấy điểm K cho CK = EH Chứng minh BC qua trung điểm DK Chứng minh ∆DBM = ∆FMB (ch-gn) Theo câu a ta có: ∆DBM = ∆FMB (ch-gn)  MD = BF (2 cạnh tương ứng) (1) +) Chứng minh: ∆MFH = ∆HEM  ME = FH (2 cạnh tương ứng) (2) Từ (1) (2) suy ra: MD + ME = BF + FH = BH BH không đổi  MD + ME không đổi (đpchứng minh) Vẽ DPBC P, KQBC Q, gọi I giao điểm DK BC +) Chứng minh: BD = FM = EH = CK +) Chứng minh: ∆BDP = ∆CKQ (ch-gn)  DP = KQ(cạnh tương ứng) �  IKQ � ∆DPI = ∆KQI (g-c-g) ID = IK(điều phải chứng minh) +) Chứng minh: IDP �  750 , � � cắt cạnh Bài 14: Cho tam giác ABC có BAC ABC  350 Phân giác góc BAC BC D Đường thẳng qua A vng góc với AD cắt tia BC E Gọi M trung điểm DE Chứng minh rằng: a) Tam giác ACM tam giác cân b) AB  AD  AE c) Chu vi tam giác ABC độ dài đoạn thẳng BE Lời giải: �  CAD �  75  37030' � � �  72030' Ta có: BAD ADM  � ABD  BAD (Góc ngồi tam giác ABD ); Tam giác DAE vng có AM trung tuyến nên MAD cân M , � AMD  1800  2.� ADM  1800  1450  350 (1) Trong tam giác ABC , ta lại có �  750 , � � � BAC ABC  350 � � ACB  700 � CAM ACB  � AMC  350 (2) Từ (1) (2) suy tam giác ACM cân b) Theo ý a, ta có: � ABM  � AMB  350 � AB  AM (3) Mặt khác: AM  DE (Trung tuyến thuộc cạnh huyền tam giác vuông) Mà AD  AE (4) AD  AE Từ (3) (4) � AB  (đpchứng minh) c) Ta có: AC  CM ( ACM cân), MA  ME (AME cân) Và AM  AB (ABM cân): BE  BC  CA  AB DE  AD  AE � AM  Bài 15 Do Cho Δ ABC nhọn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng đoạn thẳng AD vuông góc với AB AD = AB.Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B dựng đoạn thẳng AE vng góc với AC AE = AC 1) Chứng minh BE = CD 2) Gọi M trung điểm DE, tia MA cắt BC H Chứng minh MA  BC 3) Nếu AB = c, AC = b, BC = a Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c ? 1) (1,5 điểm) Chứng minh : BE = CD �  DAB �  BAC � + Ta có DAC (Vì tia AB nằm tia AD AC) �  900 Mà BAD (Vì AB  AD A) �  900  BAC � Nên DAC (1) �  CAE �  BAC � + Ta có BAE (Vì tia AC nằm tia AB AE) � Mà CAE  90 (Vì AE  AC A) �  900  BAC � Nên BAE (2) � � Từ (1) (2) suy BAE  DAC Xét ∆ ABE ∆ ADC có : �  DAC � AB = AD (GT); BAE (chứng minh trên) AE = AC (GT) Do ∆ABE = ∆ ADC (c – g - c) � BE = CD (vì hai cạnh tương ứng) 2) Chứng minh: MA  BC +Trên tia đối tia MA lấy điểm N cho M trung điểm AN Từ D kẻ DF vng góc với MA F Xét ∆ MAE ∆ MDN có : �  DMN � MN = MA (Vì M trung điểm AN); AME (chứng minh trên) ME = MD (Vì M trung điểm DE) Do ∆ MAE = ∆ MND (c – g - c) Suy AE = DN (vì hai cạnh tương ứng) � � NDM (vì hai góc tương ứng)  MEA � � vị trí so le hai đường thẳng AE DN Mà NDM MEA Nên AE // DN (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song) �  DAE �  1800 (Vì hai góc phía) (3) Suy ADN � +DAB � +� � = 3600 + Ta lại có : DAE BAC + EAC � + BAC � = 1800 (Vì DAB �  EAC �  900 ) (4) Hay DAE � Từ (3) (4) � ADN = � BAC + Ta có AE = DN (chứng minh trên) AE = AC (GT) Nên AC = DN � Xét ∆ ABC ∆ DAN có : AB = AD (GT); ADN = � BAC (chứng minh trên) AC = DN (chứng minh trên) Do ∆ ABC = ∆ DAN (c – g - c) � = ACB � � = ACB � Suy DNA (vì hai góc tương ứng) hay DNF � + BAD � +� Ta có DAF BAH = 1800 (Vì ba điểm F, A, H thẳng hàng) � +� �  900 ) Hay DAF (5) BAH = 900 (Vì BAD Trong ∆ ADF vng F có : � +� (6) FDA DAF = 900 (Vì hai góc phụ nhau) � Từ (5) (6) � FDA =� BAH � � � + Ta có ADN = NDF + FDA (Vì tia DF nằm tia DA DN) � = HAC � + BAH � (Vì tia AH nằm tia AB AC) BAC � � � Mà ADN = BAC FDA =� BAH (chứng minh trên) � = HAC � Nên NDF � = HAC � Xét ∆ AHC ∆ DFN có : NDF (chứng minh trên) � = ACB � AC = DN (chứng minh trên) DNF (chứng minh trên) Do đó∆ AHC =∆ DFN (g - c - g) � = AHC � Suy DFN (vì hai góc tương ứng) � = 90 (Vì DE  MA F) nên AHC �  900 Mà DFN Suy MA  BC H (đpcm) 3) Nếu AB = c, AC = b, BC = a Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c + MA  BC H (chứng minh trên) nên ∆ AHB vuông H; ∆ AHC vuông H Đặt HC = x � HB = a - x (Vì H nằm B C) + Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông AHB AHC ta có: AH2 = AB2 - BH2 AH2 = AC2 - CH2 � AB2 - BH2 = AC2 - CH2 � c2 - (a - x)2 = b2 - x2 Từ tìm HC = x = a2  b2  c2 2a III Bài tập tự giải Bài Cho  ABC vuông cân A, M trung điểm BC, lấy điểm I năm M C Kẻ BE CH vng góc với đường thẳng AI (H, E  AI) Chứng minh a) BE = AH b) ΔMAE = ΔMCH c) ΔMEH vuông cân Bài Cho M, N trung điểm cạnh AB AC tam giác ABC Các đường phân giác phân giác tam giác kẻ từ B cắt đường thẳng MN D E tia AD AE cắt đường thẳng BC theo thứ tự P Q Chứng minh: a) BD  AP; BE  AQ; b) B trung điểm PQ c) AB = DE Bài Trong hình học, bạn Qua đề tốn sau: Cho hai cạnh góc vng tam giác vng tỉ lệ với 4, cạnh huyền có độ dài 20 chứng minh Em bạn tính hai cạnh góc vng tam giác ? Bài Cho ABC có Aˆ > 900 Gọi I trung điểm cạnh AC Trên tia đối tia IB lấy điểm D cho IB = ID Nối C với D a) Chứng minh AIB CID b) Gọi M trung điểm BC; N trung điểm CD Chứng minh I trung điểm MN � c) Chứng minh: � AIB  BIC d) Tìm điều kiện ABC để AC  CD Bài Cho tam giác cân AB A Trên cạnh BC lấy điểm D Trên Tia tia BC lấy điểm E cho BD = BE Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB AC M N Chứng minh: a) DM = ED b) Đường thẳng BC cắt MN điểm I trung điểm MN c) Đường thẳng vng góc với MN I ln ln qua điểm cố định D thay đổi BC �=C � = 500 Gọi K điểm tam giác cho Bài 6: Cho tam giác ABC có B � = 100 KBC � = 30 KCB a) Chứng minh BA = BK b) Tính số đo góc BAK Bài Cho  ABC có góc nhỏ 120 Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD, ACE Gọi M giao điểm DC BE Chứng minh rằng: �  1200 a) BMC �  1200 b) AMB Bài 8: Cho tam giác ABC vuông A Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi I giao điểm BE CD Chứng minh rằng: a) BE = CD b) V BDE tam giác cân �  600 IA tia phân giác DIE � c) EIC Bài 9: Cho tam giác ABC cân (AB = AC ; góc A tù) Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối CB lấy điểm E cho BD = CE Trên tia đối CA lấy điểm I cho CI = CA Câu 1: Chứng minh: a) ABD  ICE b) AB + AC < AD + AE Câu 2: Từ D E kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AB; AI theo thứ tự M; N Chứng minh BM = CN Câu 3: Chứng minh chu vi tam giác ABC nhỏ chu vi tam giác AMN Bài 10 (4.5 điểm) Cho ABC có ba góc nhọn, trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, vẽ đoạn thẳng AE vng góc AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B, vẽ đoạn thẳng AD vng góc AC a) Chứng minh: BD = CE b) Trên tia đối tia MA lấy N cho MN = MA Chứng minh: ADE = CAN AD  IE c) Gọi I giao điểm DE AM Chứng minh: 1 DI  AE Bài 11: Cho tam giác ABC (AB > AC), M trung điểm BC Đường thẳng qua M vng góc với tia phân giác góc A H cắt hai tia AB, AC E F Chứng � � minh: a) EH = HF b) 2BME � ACB  B c) EF  AH  AE EIC 60và IA tia phân giác củ d) BE = CF ...+ Tam giác có hai cạnh tam giác cân + Tam giác hai góc tam giác cân + Tam giác có đường thẳng hai đường nêu tam giác cân * Tam giác vuông cân tam giác vuông có hai cạnh góc vng * Tam giác. .. cân tam giác vng có góc 450 Tam giác đầu Hình vẽ * Định nghĩa: ABC � AB = AC = CB * Tính chất: Tam giác có góc 600 * Dấu hiệu nhận biết tam giác + Tam giác cân có góc 600 tam giác + Tam giác. .. góc 600 tam giác + Tam giác có ba đường cao nhau, ba đường phân giác nhau, ba đường trung tuyến nhau, ba đường trung trực tam giác tam giác 1.3 Các trường hợp tam giác Các trường hợp tam giác Hệ
- Xem thêm -

Xem thêm: chuyên đề tam giác Toán 7, chuyên đề tam giác Toán 7