Trọn Bộ Bài Tập Toán 10

Tài liệu [WWW toancapba net] LTBT hinh hoc 10 NCCBDay du có kèm theo bài tập sẽ giúp các bạn nâng cao trình độ giải toán.HÌNH HỌCChương I : VECTƠ §1: CÁC ĐỊNH NGHĨA TÓM TẮT LÝ THUYẾTĐịnh nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng có hướng .+ Vectơ có điểm đầu (gốc) là A, điểm cuối (ngọn) là B được kí hiệu là ( đọc là vectơ AB).+ Một vectơ xác định còn được kí hiệu là (Chú ý: )+ Vectơ – không (có gạch nối giữa 2 từ): Vectơ có điểm đầu và điểm cuối cuối trùng nhau gọi là vectơkhông, kí hiệu Ví dụ: ,....+ Giá của vectơ : Mỗi vectơ ≠ , đường thẳng AB gọi là giá của vectơ . Còn vectơ không thì mọi đường thẳng qua A đều là giá của nó.+ Hướng của vectơ: là hướng từ gốc đến ngọn của vectơ. + Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau. Chú ý: + Độ dài của vectơ: đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài kí hiệu là | |, • Hai vectơ bằng nhau: nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài Nếu bằng thì ta viết = . = , | |= 0.Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Tìma) Tất các vectơ khác ;b) Các vectơ cùng phương;c) Các vectơ bằng nhau.Các kí hiệu thường gặp cùng phương kí hiệu: // cùng hướng kí hiệu:  ngược hướng kí hiệu:  CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢNDạng 1. Xác một vectơ, sự cùng phương cùng hướngChú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ là Ví dụ 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đó.GiảiCó 10 cặp điểm khác nhau {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E}, {D,E}. Do đó có 20 vectơ khác Ví dụ 2: Cho điểm A và vectơ khác . Tìm điểm M sao cho: cùng phương GiảiGọi  là giá của Nếu cùng phương thì đường thẳng AM//  Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua A và // Ngược lại, mọi điểm M thuôc m thì cùng phương Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhauTa có thể dùng một trong các cách sau:+ Sử dụng định nghĩa: + Sử dụng tính chất của các hình . Nếu ABCD là hình bình hành thì ,…(hoặc viết ngược lại)+ Nếu Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh: GiảiCách 1: EF là đường trung bình của  ABC nên EF//CD, EF= BC=CD EF=CD (1) cùng hướng (2)Từ (1),(2)  Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hànhEF= BC=CD và EF//CD EFDC là hình bình hành Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN. Chứng minh: GiảiTa có MC//AN và MC=ANMACN là hình bình hành Tương tự MCDN là hình bình hành nên K là trung điểmcủa MD = . Tứ giá IMKN là hình bình hành,suy ra =  Ví dụ 3: Chứng minh rằng hai vectơ bằng nhau có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) thì chúng có chung điểm cuối (hoặc điểm đầu).GiảiGiả sử . Khi đó AB=AC, ba điểm A, B, C thẳng hàng và B, C thuôc nửa đường thẳng góc A BC.(trường hợp điểm cuối trùng nhau chứng minh tương tự)Ví dụ 4: Cho điểm A và vectơ . Dựng điểm M sao cho:a) = ;b) cùng phương và có độ dài bằng | |.GiảiGiả sử  là giá của . Vẽ đường thẳng d đi qua A và d// (nếu A thuộc  thì d trùng ). Khi đó có hai điểm M1 và M2 thuộc d sao cho:AM1=AM2=| |...............

WWW.ToanCapBa.Net HÌNH HỌC Chương I : VECTƠ §1: CÁC ĐỊNH NGHĨA TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Vectơ đoạn thẳng có hướng + Vectơ có điểm đầu  (gốc) A, điểm cuối (ngọn) B kí hiệu AB ( đọc vectơ AB)     + Một vectơ xác định cịn kí hiệu a, b, x, y, B a A  b  (Chú ý: AB  BA ) + Vectơ – khơng (có gạch nối từ):  Vectơ có điểm đầu điểm cuối cuối trùng gọi vectơkhơng, kí hiệu   Ví dụ: MM , AA ,    + Giá vectơ : Mỗi vectơ AB ≠ , đường thẳng AB gọi giá vectơ AB Còn vectơ  khơng AA đường thẳng qua A giá + Hướng vectơ: hướng từ gốc đến vectơ + Hai vectơ phương hai vectơ có giá song song trùng Chú ý:  + Độ dàicủa vectơ: khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ Độ dài a kí  hiệu | a |, | AB | AB BA  Hai vectơ nhau:   chúng   hướng độ dài Nếu a b ta viết a = b     AA BB = , | |= Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD  Tìm A B a) Tất vectơ khác ; o b) Các vectơ phương; D c) Các vectơ C Các kí hiệu thường gặp     phương kí hiệu: // CD AB  AB CD hướng CD    kí hiệu: AB AB  CD AB ngược hướng CD kí hiệu: AB  CD -1- WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN Dạng Xác vectơ, phương hướng   Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ AB, BA Ví dụ 1: Cho điểm A, B, C, D, E Có vectơ khác vectơ - khơng có điểm đầu điểm cuối điểm Giải Có 10 cặp điểm khác {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E},  {D,E} Do có 20 vectơ khác   Ví dụ 2: Cho điểm A vectơ a khác Tìm điểm M cho:   AM phương a  Giải m   Gọi  giá a   a Nếu AM phương a đường thẳng AM//  Do M thuộc đường thẳng m qua A //   Ngược lại, điểm M thuôc m AM phương a Dạng 2: Chứng minh hai vectơ Ta dùng cách sau:      | a || b |   + Sử dụng định nghĩa:    a b a, b hướng  + Sử dụng bình hành  tính  chất hình Nếu ABCD hình A B AB DC , BC  AD ,… o (hoặc  viếtngược  lại)  D + Nếu a b, b c  a c C Ví dụ 1: Cho tam giác ABC  có  D, E, F trung điểm BC, CA, AB A Chứng minh: EF CD Giải Cách 1: EF đường trung bình  ABC nên EF//CD, E   F EF= BC=CD EF=CD EF  CD (1)   CD EF hướng   (2) C B D Từ (1),(2)  EF CD Cách 2: Chứng minh EFDC hình bình hành   EF= BC=CD EF//CD EFDC hình bình hành EF CD Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M N trung điểm BC AD Điểm I giao điểm AM BN, K giao  điểm  DM CN M D C Chứng minh: AM  NC , DK  NI Giải I Ta có MC//AN K   MC=ANMACN hình bình hành  AM  NC Tương tự MCDN  là hình bình hành nên K trung điểm A B N MD = Tứ giá IMKN hình bình hành, DK KM     suy NI = KM  DK  NI Ví dụ 3: Chứng minh hai vectơ có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) chúng có chung điểm cuối (hoặc điểm đầu) -2- WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Giải   Giả sử AB  AC Khi AB=AC, ba điểm A, B, C thẳng hàng B, C thc nửa đường thẳng góc A BC (trường hợp điểm cuối trùngnhau chứng minh tương tự) Ví dụ 4: Cho điểm A vectơ a Dựng điểm M cho:   a) AM = a ;    b) AM phương a có độ dài | a | Giải  Giả sử  giá a Vẽ đường thẳng d qua A d//  (nếu A thuộc  d trùng cho:  ) Khi có hai điểm M1 M2 thuộc d  AM1=AM2=| a | d Khi ta có:   a) AM = a a A    b) AM = AM phương với a Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có  Hlà trực tâm O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B’ điểm đối xứng B qua O Chứng minh: AH B ' C Giải BÀI TẬP §1 Bài 1: Cho tam giác ABC Có thể xác định véctơ ( khác vectơ-khơng ) có điểm đầu điểm cuối đỉnh tam giác?   Bài 2: Cho hai vectơ không phương a b Có hay khơng véctơ phương với hai véctơ    Bài 3: Cho ba vectơ a , b , c phương đểu khác véctơ khơng Chứng minh co hai véctơ chúng có hướng   Bài 4: Cho ba điểm A,B,C phân biệt thẳng hàng Trong trường hợp hai véctơ AB AC hướng, trường hợp hai véctơ ngược hướng Bài 5: Cho tam gác ABC Gọi  P,Q, R trung điểm cạnh AB, BC , CA Hãy vẽ hình tìm hình vẽ véctơ PQ , QR , RP -3- WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Gọi  M, N trung điểm AD, BC a) Tìm vectơ phương với AB ; b) Tìm vectơ hướng với AB  ; c) Tìm vectơ ngược hướng  với AB ;  d) Tìm vectơ với MO , với OB Bài 7: Cho lục giác ABCDEF có tâm O   a) Tìm vectơ khác  phương OA ; b) Tìm vectơ vectơ AB; c) Hãy vẽ vectơ vectơ AB có: + Các điểm đầu B, F, C + Các điểm cuối F, D, C Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Tìm vectơ từ điểm A, B, C , D , O   a) vectơ AB ; OB  b) Có độ dài  OB  Bài 9: Cho tứ giác ABCD   Chứng minh ABCD hình bình hành   ABDC Bài 10: Cho tứ giác ABCD Chứng minh AB DC AD BC Bài 11 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh : MN QP ; NP MQ Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của điểm  phân biệt A, B C trường hợp sau:   a) AB AC hướng, | AB |>| AC |;   b) AB AC ngược hướng;   c) AB AC phương; Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD Dựng   AM BA , MN DA, NP DC , PQ BC Chứng minh AQ 0 HD §1 Bài 1: có cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C} Mà cặp điểm xác định véctơ Bài 2: có, vectơ-khơng     Bài 3: a ngược hướng b a ngược hướng a hướng Bài 4: Cùng hướng A không nằm B, C; ngược hướng A nằm B, C Bài 5: A P B R Q C Bài 6: A B M N O D -4- WWW.ToanCapBa.Net C WWW.ToanCapBa.Net          Bài 7: a) DA, AD, BC , CB, AO, OD, DO, FE , EF     b) OC , ED, FO c)+ Trên tia AB, ta lấy điểm B’ cho BB’=AB  BB '  AB  * FO vectơ cần tìm * Trên tia OC lấy  C’  cho CC’=OC=AB Do CC’//AB  CC '  AB +tương  tự   Bài 8: a) AB DC , OB DO     A B O D b) | OB || BO || DO || OD | C Bài 9: Chứng minh chiều  : * ABCD hình bình hành  AB // CD    AB CD  AB // CD  AB  DC *   AB CD Chứng minh chiều  : * AB = DC  AB , DC hướng AB  DC * AB DC hướng  AB // CD (1) * AB  CD  AB = CD (2).Từ (1) (2) suy ABCD hình  bình  hành   Bài 10: AB DC  AB=DC, AB//CDABCD hình bình hành  AD BC Bài 11 : MP=PQ MN//PQ chúng AC Và //AC Vậy MNPQ hình bình hành  đpcm Bài 12 : Xác  phân biệt A, B C trường hợp sau:  định vị trí tương đối của điểm a) AB  AC hướng, | AB |>| AC |;  b) AB AC ngược hướng;  c) AB AC  phương;    HD: a) AB AC hướng, | AB |>| AC | C nằm A B  b) AB AC ngược hướng, khiA nằm B C c) Cùng phương  hay ngược hướng    hướng + hướng: | AB |>| AC | theo a); | AB |< AC | B nằm A C + Ngược hướng theo b) Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD Dựng -5- WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net   AM BA , MN DA, NP DC , PQ BC Chứng minh AQ 0      HD: Ta có AM BA; NP DC  AB  AM=NP AM//NP AMNP hình bình hành (1) Tương tự QMNP hình bính hành (2)   Từ (1)&(2) AQ AQ 0 -6- WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP KHÁI NIỆM VECTƠ  Cho ABC Có thể xác định vectơ khác Cho tứ giác ABCD  a/ Có vectơ khác b/ Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA   CMR : MQ = NP Cho ABC Gọi M, N, P trung điểm AB, BC, CA  a/ Xác định vectơ phương với MN  b/ Xác định vectơ NP    Cho hai hình bình hành ABCD ABEF Dựng vectơ EH FG AD CMR : ADHE, CBFG, DBEG hình bình hành   Cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD với AB=2CD Từ C vẽ CI = DA CMR :   a/ I trung điểm AB DI = CB    b/ AI = IB = DC     Cho ABC Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AD Dựng MK = CP KL = BN   a/ CMR : KP = PN b/ Hình tính tứ giác AKBN   c/ CMR : AL = -7- WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net §2+3 TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ Tóm tắt lý thuyết Tổng vectơ         Định nghĩa: Cho véc tơ a b Lấy điểm A tùy ý, dựng AB = a , BC = b B       Khi a + b = AC b a Phép lấy tổng véctơ đ gọi phép cộng véctơ A    c  Quy tắc điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC C     Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD hình bình hành AB + AD = AC B C Vectơ đối A D   + Cho vectơ a Vectơ có độ dài ngược hướng a gọi vectơ đối vectơ       a +(- a )= a , kí hiệu - a   + Mọi vectơ có vectơ đối, ví dụ có vectơ đối AB BA nghĩa   = - BA AB   + vectơ đối Hiệu vectơ (phép trừ)     Định nghĩa: a - b = a +(- b )  Quy tắc hiệu   tacó:  vec  tơ  : Với ba điểm O, A,  B tùy ý cho trước (hoặc OA  OB BA )hay AB OB  OA OB    OA  AB Tính chất : với a, b, c ta có:     + Giao hoán : a  b = b  a       + Kết hợp ( a  b ) + c = a  (b + c )      + a +0=0+a =a      + a +( a )= a + a =       + | a + b | ≤ | a |+| b |, dấu “=” xảy a , b hướng         + a  b | b | ≥ | a |  | a + b |=| b || a |       + a =b a +c =b +c          + a +c =b  a =b c , c =b a             + a ( b + c )= a  b  c ; a ( b  c )= a  b + c A B Ghi chú:    + Điểm I trung điểm đoạn thẳng AB IA  IB0 + Điểm G trọng tâm tam giác ABC  GA  GB  GC 0 G C I D CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M N trung điểm BC AD       a) Tìm tổng NC  MC ; AM  CD; AD  NC     b) Chứng minh : AM  AN  AB  AD Giải: -8- WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net   a) + Vì MC  AN nên  tacó      = = = NC  MC NC  AN AN  NC AC   +Vì CDBA nên ta có      = = = AM  CD AM  BA BA  AM BM   +Vì NC  AM nên ta có    AD  NC = AD  AM = AE , E đỉnh củahình  bình  hành AMED b) Vì tứ giác AMCN hình bình hành nên ta có  AM   AN  AC Vì tứgiác  ABCD   hình bình hành nên AB  AD  AC Vậy AM  AN  AB  AD Bài 2: Cho lục giác  ABCDEF    tâm  O   Chứng minh: OA  OB  OC  OD  OE  OF 0 Giải Vì O tâm lục giác nên:          OA  OD 0; OB  OE 0; OC  OF 0  đpcm Bài 3: Cho ngũ giác ABCDE tâm  O    a) Chứng minh vectơ OA  OB; OC  OE phương OD   b) Chứng minh AB EC phương Giải a) Gọi d đườngthẳng  chứa  OD d trục đối xứng ngũ giác Ta có OA  OB OM , M đỉnh    hình thoi AMBO M thuộc d Tương tự OC  OE ON      , N  d Vậy OA  OB OC  OE phương OD giá d b) AB và EC  vuông góc d  AB//EC  AB // EC Bài 4: Cho tamgiác ABC   Cácđiểm  M, N, P trung điểm AB, AC, BC a) Tìm AM  AN ; MN  NC ; MN  PN ; BP  CP   b) Phân tích AM theo hai vectơ MN ; MP Giải    a) AM  AN =NM     = = (Vì MN  NC MN  MP PN NC MP )      MN   PN =MN   NP =  MP BP  CP = BP  PC = BC     b) AM NP MP  MN  Bài 5: Cho hình thoi ABCD có BAD =600 cạnh a Gọi O giao điểm hai đường chéo       Tính | AB  AD |;| BA  BC |;| OB  DC | Giải  Vì ABCD hình thoi cạnh a BAD =600 nên AC= a BD=a Khi ta có :      AB  AD  AC     | AB  AD | AC a BA  BC CA  | AB  AD |CA a B A -9- WWW.ToanCapBa.Net C D WWW.ToanCapBa.Net        a OB  DC DO  DC CO  | OB  DC |CO  Bài 6: Cho hình  vng   ABCD  cạnh  a có O giao điểm hai đường chéo Tính | OA  CB |; | AB  DC |;| CD  DA | Giải      Ta có AC=BD= a ; OA  CB CO  CB BO   a | OA  CB |BO        (vì AB   DC ) | AB  DC |  | AB |  | DC |  a        Ta có CD  DA CD  CB BD  | CD  DA |=BD= a Do * Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp: sử dụng phương pháp sau 1) Biến đổi vế thành vế 2) Biến đểi đẳng thức cần chứng minh tương đương với đẳng thức biết 3) Biến đổi đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh Bài 7: Cho bốn điểm A,B,C,D      Chứng minh rằng: AB  CD  AD  CB (theo cách) Giải Cách 1: (sử dụng qui tắc tổng) biến đổi vế trái             AB  CD  AD  DB  CB  BD  AD  CB  BD  DB  AD  CB Cách 2: (sử dụng hiệu)       AB  AD CB  CD  DB DB Cách 3: Biến đổi vế trái thành vế phải Bài 8: Cho sáu điểm A, B, C,  D,E, F    Chứng minh: AB  BE  CF  AE  BF  CD Giải          VT = AB  BE  CF  AE  ED  BF  FE  CD  DF       = AE  BF  CD  ED  DF  FE        = AE  BF  CD (vì ED  DF  FE 0 )=VP đpcm Bài 9: Cho điểm A, B, C, D,  E.    Chứng minh rằng: AC  DE  DC  CE  CB  AB Giải     Ta có  DC CD;  CE EC nên           VT = AC  DE  DC  CE  CB = AC  DE  CD  EC  CB       = AC  CD  DE  EC  CB  AB =VP đpcm Bài 10: Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P trung điểm cạnh AB, AC, BC Chứng minh với điểm O bất kì ta có:    OA  OB  OC OM  ON  OP Giải    VT = OA  OB  OC       = OM  MA  ON  NB  OP  PC       = OM  ON  OP  MA  NB  PC    Mà NB  NM  NP -10- WWW.ToanCapBa.Net ... điểm IK D BÀI TẬP Bài 1: Cho ABC Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB O điểm tùy ý     a/ CMR : AM + BN + CP =       b/ CMR : OA + OB + OC = OM + ON + OP   Bài 2: Cho ABC có trọng tâm... vectơ AB ; OB  b) Có độ dài  OB  Bài 9: Cho tứ giác ABCD   Chứng minh ABCD hình bình hành   ABDC Bài 10: Cho tứ giác ABCD Chứng minh AB DC AD BC Bài 11 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N,... Chứng minh AQ 0 HD §1 Bài 1: có cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C} Mà cặp điểm xác định véctơ Bài 2: có, vectơ-khơng     Bài 3: a ngược hướng b a ngược hướng a hướng Bài 4: Cùng hướng A không