Tiêu chuẩn và thuật toán kiểm tra số nguyên tố

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN QUỐC TUẤN TIÊU CHUẨN VÀ THUẬT TOÁN KIỂM TRA SỐ NGUYÊN TỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG 65 VINH - 2010 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN QUỐC TUẤN TIÊU CHUẨN VÀ THUẬT TOÁN KIỂM TRA SỐ NGUYÊN TỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC 66 VINH - 2010 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1.1 1.2 SỐ NGUYÊN TỐ Các định lý Số nguyên tố Giới thiệu số loại Số nguyên tố Chương TIÊU CHUẨN VÀ THUẬT TOÁN KIỂM TRA 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 3.3 SỐ NGUYÊN TỐ Cơng thức thuật tốn sàng Số ngun tố Phương pháp kiểm tra nguyên tố theo xác suất Các phép kiểm tra tất định Chương Trang 3 27 27 30 38 GIỚI THIỆU MỘT SỐ CHƯƠNG TRÌNH KIỂM TRA 40 SỐ NGUN TỐ TRÊN MÁY TÍNH VÀ ỨNG DỤNG Một số chương trình kiểm tra Số nguyên tố Vài ứng dụng số nguyên tố lĩnh vực khoa học khác 3.2.1 Mật mã hóa khóa cơng khai 3.2.2 Phần mềm tốn học áp dụng kiểm tra Số nguyên tố Giới thiệu số toán Số nguyên tố KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 48 48 58 60 64 65 MỞ ĐẦU Một nội dung Số học nghiên cứu số nguyên tố Có thể nói “Tập hợp số nguyên tố mỏ vàng Số học” Đề tài số nguyên tố 67 tiếp tục phát triển ngày hấp dẫn nhà Toán học: Carl Fiedrich Gauss dự đoán kết định lý số nguyên tố học sinh trung học Chebyshev (1850) đưa chặn cho số số nguyên tố hai giới hạn cho trước Riemann giới thiệu Giải tích phức thành lý thuyết hàm zeta Riemann dẫn đến mối quan hệ không điểm hàm zeta phân bố số nguyên tố Bài toán xác định số cho trước có phải số nguyên tố hay khơng có nhiều ứng dụng thực tiễn Đối với số nhỏ, tốn dĩ nhiên khơng khó Tuy nhiên làm việc với số lớn, ta cần tìm thuật tốn hữu hiệu nghĩa thực máy tính khoảng thời gian chấp nhận Khi nói đến “những số lớn” ta thường hiểu số nguyên dương có khoảng 100 chữ số thập phân trở lên Ngày nay, kết số nguyên tố có ứng dụng trực tiếp lý thuyết mật mã số lĩnh vực khác Hiện nay, kỳ thi học sinh giỏi Toán – Tin học Quốc gia Quốc tế toán số nguyên tố mảng kiến thức quan trọng cấu trúc đề thi để giải toán ln trăn trở học sinh thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy trường THPT, trường THPT Chuyên nước Luận văn “Tiêu chuẩn thuật toán kiểm tra số nguyên tố” chia làm ba chương với nội dung giới thiệu kết số nguyên tố; số thuật toán ứng dụng số nguyên tố lý thuyết mật mã Chương 1: Trình bày khái niệm số nguyên tố, hợp số, số hoàn thiện số định lý số học định lí Wilson, định lí vơ hạn tập số ngun tố, định lí Fermat …và giới thiệu số số nguyên tố đặc biệt Chương 2: Trình bày số thuật toán kiểm tra số nguyên tố thuật toán sàng số nguyên tố, phương pháp kiểm tra theo xác suất, phép kiểm tra tất định số điểm khác có liên quan 68 Chương 3: Giới thiệu số chương trình kiểm tra số nguyên tố máy tính ứng dụng, số chương trình kiểm tra số nguyên tố; ứng dụng mật mã hóa khóa cơng khai số tốn số nguyên tố Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Thành Quang – người hướng dẫn, bảo giúp đỡ tận tình cho tác giả viết luận văn Tác giả trân trọng cảm ơn PGS TS Ngô Sỹ Tùng, PGS TS Lê Quốc Hán, TS Nguyễn Thị Hồng Loan đọc thảo, góp nhiều ý kiến q báu để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả cảm ơn động viên, ủng hộ Ban Giám hiệu, tập thể giáo viên trường THPT Đào Duy Từ - TP Thanh Hóa tạo điều kiện thuận lợi mặt q trình cơng tác, học tập nghiên cứu Nội dung luận văn hướng đến vấn đề chuyên sâu Số học, liên hệ với chương trình tốn phổ thơng cập nhật lí thuyết mật mã … Tuy nhiên với điều kiện thực tế có nhiều cố gắng khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót, tác giả mong muốn góp ý bảo thầy, cô đồng nghiệp Vinh, ngày 18 tháng 11 năm 2010 Học viên Nguyễn Quốc Tuấn CHƯƠNG SỐ NGUYÊN TỐ 1.1 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ SỐ NGUYÊN TỐ 69 1.1.1 Định nghĩa Số tự nhiên p > khơng có ước số dương khác gọi số ngun tố Số tự nhiên q > có ước số dương khác gọi hợp số Nếu có số tự nhiên d để n = d2 n gọi số phương 1.1.2 Định lý Số học Mọi số tự nhiên lớn phân tích thành tích thừa số nguyên tố, phân tích không kể đến thứ tự thừa số 1.1.3 Định lý Euler Tập hợp tất số nguyên tố tập vô hạn 1.1.4 Định lý giá trị nguyên tố đa thức Không tồn đa thức f  x  a0 x m  a1 x m    am với hệ số nguyên a0 0, m 1 , thỏa mãn f  n  số nguyên tố cho n 1, 2, Chứng minh Với đa thức f  x  a0 x m  a1 x m   am , hiển nhiên f  n0   với số nguyên dương đủ lớn n0 Chọn số nguyên tố p chia hết f  n0  khai triển f  n0  kp   f  n0   kpg  n0 , p, k  Số g  n0 , p, k  số nguyên Như ba số hạng hệ thức chia hết cho p với k = 1, 2, … Với k đủ lớn ta có f  n0  kp   p f  n0  kp  chia hết cho p Ta suy điều phải chứng minh ■ 1.1.5 Định lý Wilson Cho p số tự nhiên lớn 1, p số nguyên tố (p-1)!+1 chia hết cho p 1.1.6 Định lý Fermat nhỏ Cho p số nguyên tố, a   tùy ý Khi a p a  mod p  1.2 GIỚI THIỆU MỘT SỐ LOẠI SỐ NGUYÊN TỐ 1.2.1 Danh sách số loại số nguyên tố 70 Số nguyên tố Fermat Số nguyên tố Mersenne Số nguyên tố Ramanujan Số nguyên tố Chen Các số nguyên tố họ hàng Số nguyên tố giai thừa Số nguyên tố Fibonacci Số nguyên tố Gauss Số nguyên tố quy 10 Số nguyên tố có dạng 10k 1, k   (Centered decagonal primes) 11 Số nguyên tố có dạng 7k 1, k   (Centered heptagonal primes) 12 Số nguyên tố có dạng 4k 1, k   (Centered square primes) 13 Số nguyên tố có dạng 3k 1, k   (Centered triangular primes) 14 Các số nguyên tố Cuban 15 Số nguyên tố Dirichlet 16 Số nguyên tố Eisenstein khơng có phần ảo 17 Số ngun tố Lucky 18 Các số nguyên tố song sinh 19 Các bốn số nguyên tố 20 Các ba số nguyên tố Trong phần ta tìm hiểu kĩ số loại số nguyên tố, số nhiều loại số nguyên tố nhà Toán học giới tiếp tục nghiên cứu Đó Số nguyên tố Fermat, Số nguyên tố Mersenne, Số nguyên tố Ramanujan… 1.2.1.1 Số nguyên tố Fermat 71 Số Fermat khái niệm toán học, mang tên nhà toán học Pháp Pierre de Fermat, người đưa khái niệm Nó số nguyên dương n có dạng Fn 22  , với n số không âm 21 22 24 28 216 232 F0 F1 F2 F3 F4 F5 = = = = = = + + + + + + 1 1 1 = = = = = = = + = = + = = F6 = 264 F7 = 2128 F8 = 2256 + = = 17 257 65.537 4.294.967.297 641 × 6.700.417 18.446.744.073.709.551.617 274.177 × 67.280.421.310.721 340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.457 59.649.589.127.497.217 × 5.704.689.200.685.129.054.721 115.792.089.237.316.195.423.570.985.008.687.907.853.269 984.665.640.564.039.457.584.007.913.129.639.937 1.238.926.361.552.897× 93.461.639.715.357.977.769.163 558.199.606.896.584.051.237.541.638.188.580.280.321 Bảng 1.2.1 Bảng số Fermat Các công thức thiết lập số Fermat: Với n ≥ Các hệ thức chứng minh cách quy nạp tốn học Ta tính gần số chữ số chúng hệ thức gần sau: 1.2.1.2 Số nguyên tố Mersenne 72 Sơ lược lịch sử số nguyên tố Mersenne p Một số nguyên tố Mersenne số nguyên tố có dạng M p 2  , p số nguyên tố Bốn số nguyên tố Mersenne M2 = 3, M3 = 7, M5 = 31 M7 = 127 biết từ cổ xưa Số thứ năm, M13 = 8191, tìm thấy vào trước năm 1461; hai số M17 M19 tìm năm 1588 Sau kỷ M31 kiểm tra Euler vào năm 1750 Số M127, E.Lucas tìm thấy vào năm 1876, sau M61 Pervushin tìm vào năm 1883 Hai số M89 M107 tìm thấy Powers vào năm 1911 1914 Số M 1398269 phát năm 1996 Từ kỷ 17, số mang tên nhà toán học Pháp Marin Mersenne, người chứng minh loạt số nguyên tố Mersenne với số mũ lên tới 257 Danh sách ơng có số nhầm lẫn bao gồm M67, M257, bỏ quên M61, M89, M107 Các số nguyên tố lớn tìm thấy thường số nguyên tố Mersenne Các số nguyên tố Mersenne có quan hệ chặt chẽ với số hoàn thiện Trong lịch sử, việc nghiên cứu số nguyên tố Mersenne bị thay đổi liên quan này; vào kỷ TCN, Euclid phát biểu M số nguyên tố Mersenne M  M  1 số hoàn thiện Vào kỷ 18, Leonhard Euler chứng minh tất số hoàn thiện chẵn có dạng Người ta nghi ngờ khơng tồn số hồn thiện lẻ Tìm số ngun tố Mersenne Ta biết rằng, Mn số nguyên tố n số nguyên tố Tuy nhiên, mệnh đề đảo nói chung sai Chẳng hạn số Mersenne 2047=211−1 khơng ngun tố chia hết cho 89 23, số 11 số nguyên tố Điều làm giản lược bớt việc tìm số nguyên tố Mersenne Phương pháp tốt để kiểm tra tính nguyên tố số Mersenne dựa vào tính tốn dãy tuần hồn, phát biểu Lucas năm 1878 chứng minh Lehmer vào năm 1930 gọi kiểm tra 73 Lucas-Lehmer Đặc biệt, ta chứng minh (với n > 2) Mn = 2n − số nguyên tố Mn chia hết cho Sn-2, S0 = với k > 0, Sk S k2  Hiện nay, nhà tốn học tìm nhiều thuật tốn nhanh để tìm số ngun tố Mersenne Việc tìm số nguyên tố Mersenne thực cách mạng máy tính điện tử số Thành công tư tưởng thuộc số nguyên tố Mersenne M521, vào lúc 10:00 P.M ngày 30/1/1952 sử dụng máy tính tự động Western U.S National Bureau of Standards (SWAC) Institute for Numerical Analysis thuộc Đại học California Los Angeles, điều khiển trực tiếp Lehmer, sử dụng chương trình viết chạy GS R.M Robinson Nó số nguyên tố Mersenne tìm thấy sau 38 năm; số M607, tìm thấy computer sau gần hai chạy máy Ba số M1279, M2203, M2281 tìm thấy với chương trình sau nhiều tháng Hiện biết số nguyên tố Mersenne lớn Dù vậy, đến tháng năm 2009, biết 47 số nguyên tố Mersenne, số lớn biết số (2 43 112 609 − 1) Cũng nhiều số nguyên tố Mersenne trước đó, tìm nhờ dự án tính tốn phân tán Internet, biết với tên gọi Tìm kiếm số nguyên tố Mersenne khổng lồ Internet Danh sách số nguyên tố Mersenne biết nguyên tố nguyên tố Mersenne biết Mersenne biếtã biếtt TT n Số chữ số Mn Mn 74 Ngày tìm cổ đại Người tìm Hy Lạp cổ đại ... sách số loại số nguyên tố 70 Số nguyên tố Fermat Số nguyên tố Mersenne Số nguyên tố Ramanujan Số nguyên tố Chen Các số nguyên tố họ hàng Số nguyên tố giai thừa Số nguyên tố Fibonacci Số nguyên tố. .. lý Số nguyên tố Giới thiệu số loại Số nguyên tố Chương TIÊU CHUẨN VÀ THUẬT TOÁN KIỂM TRA 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 3.3 SỐ NGUYÊN TỐ Cơng thức thuật tốn sàng Số ngun tố Phương pháp kiểm tra nguyên tố. .. lên 1, có thêm số nguyên tố số nguyên tố Ramanujan là: 2, 11, 17, 29, 41 1.2.1.4 Số nguyên tố Chen Số nguyên tố p gọi số nguyên tố Chen (Trần) p + số nguyên tố tích hai số nguyên tố Vào năm 1966,