Lý thuyết mạch điện và đề bài quá trình quá độ

Chương 3 Phân tích quá trình quá độ trong mạch điện tuyến tính Tóm tắt lý thuyết Quá trình quá độ trong mạch điện là quá trình chuyển từ một trạng thái xác lập này của mạch sang một trạng thái xác lập khác. Quá trình quá độ trong mạch điện được bắt đầu từ thời điểm “đóng-mở mạch”, thường coi là từ t 0 =0. Nguyên nhân của quá trình quá độ là sự có mặt của các thông số quán tính L và C trong mạch. Ta biết rằng các thông số quán tính L, C tích luỹ năng lượng W M và W E nên khi quá trình quá độ diễn ra sẽ có sự phân bố lại năng lượng trong mạch. Tốc độ biến thiên của năng lượng chính là công suất: p(t)= t W dt dW ∆ ∆ ≈ . Như vậy thì tốc độ biến thiên của năng lượng p(t) phải ≠∞, tức không thể tồn tại ∆W≠0 khi ∆t=0. Từ đó ta có điện áp trên điện dung u C (t) và dòng điện qua điện cảm i L (t) phải biến thiên liên tục. Giá trị của điện áp trên C và dòng điện qua L tại thời điểm bắt đầu diễn ra quá trình quá độ là rất quan trọng. Chúng được gọi là điều kiện ban đầu (ĐKBĐ) - đó chính là các điều kiện biên trong bài toán giải phương trình vi phân. Nếu chúng bằng 0 thì gọi là điều kiện ban đầu không. t f(t) a) 0 t f(t) b) 0 τ t f(t) c) 0 A h h H×nh 3.1. Để tiện phân tích mạch trong chế độ quá độ người ta chia nguồn tác động thành các dạng tác động mẫu sau: -Nguồn bậc thang:    ≤ < = tkhih tkhi )t(f 0 00 (Hình 3.1a) (3.1) -Nguồn xung vuông      <τ τ≤≤ < = tkhi tkhih tkhi )t(f 0 0 00 (Hình 3.1b) (3.2) -Nguồn xung Dirac δ(t)=    ≠ =∞ 00 0 tkhi tkhi (đồ thị trùng với trục tung) (3.3) -Nguồn hình sin: 81 (Hình 3.1c)    ≤ < = t0khitsinhoăotcosA 0tkhi0 )t(f ωω (3.4) Mạch điện, ngoài đặc tính tần số còn đặc trưng bởi đặc tính quá độ h(t) và đặc tính xung g(t). Chúng được định nghĩa như sau: khôngĐKBĐ thangbâcđôngtác machcuaungphan )t(h = (3.5) khôngĐKBĐ đôngtácxungtíchDiên machcuaungphan )t(g = (3.6) Phân tích trình quá độ của mạch điện là lập và giải hệ phương trình trạng thái đặc trưng cho mạch bằng công cụ toán thích hợp. Hệ phương trình trạng thái của mạch điện tuyến tính thường gặp là một hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng không thuần nhất. Nghiệm của hệ gồm hai thành phần: - Nghiệm của hệ phương trình vi phân thuần nhất - đây chính là dao động tự do trong mạch điện. Là dao động tự do nên khi t→∞ thì thành phần tự do phải tiến tới 0. - Thành phần thứ hai là 1 nghiệm riêng - đó chính là dao động cưỡng bức trong mạch điện. Nghiệm tổng quát của hệ là là tổng (tức xếp chồng) của dao động tự do và dao động cưỡng bức. Việc phân tích quá trình quá độ có thể thực hiện bằng một công cụ toán học nào đó để tìm các nghiệm tự do và nghiệm cưỡng bức. Ví dụ: chương trứơc ta đã tìm thành phần cưỡng bức hình sin của mạch điện thông qua công cụ biểu diễn phức. Có hai phương pháp thông dụng phân tích quá trình quá độ: phương pháp kinh điển và phương pháp toán tử Laplas. 1. Phương pháp kinh điển là lập và giải hệ phương trình vi phân của mạch điện. Phương pháp này chỉ thực hiện tiện lợi với các mạch giản đơn vì với mạch phức tạp việc giải hệ phương trình vi phân là một công việc nan giải. Như vậy phương pháp này chỉ ứng dụng khi mạch được đặc trưng bởi một phương trình vi phân; thậm chí là một phương trình vi phân bậc nhất. Khi có 1 phương trình vi phân bậc 2 thì giải bằng toán tử cũng tỏ ra thuận tiện hơn. Đặc biệt nếu mạch có một nguồn tác động là bậc thang hoặc hình sin với mạch chỉ có 1 loại thông số quán tính ta có thể xác định ngay được các dòng điện và điện áp trong mạch thông qua việc phân tích trực tiếp tiếp trên mạch tại thời điểm t=0 và t→∞. ở đây ta chỉ xét trường hợp mạch có 1 điện dung C hoặc 1 điện cảm L mắc với nguồn bậc thang hoặc nguồn hình sin với 1 số điện trở trong mạch. 82 a) Mạch dưới tác động của bậc thang. Lúc đó mọi phản ứng f K (t) (dòng điện hoặc điện áp) ở nhánh thứ k nào đó sẽ có dạng: f K (t)=A K e - α t +B K (3.7) Biến thiên theo quy luật hàm mũ. Như vậy các dòng điện, điện áp trong các nhánh chỉ khác nhau các hằng số A K và B K , có cùng hệ số tắt dần α. Việc giải bài toán thực chất là xác định 3 hằng số α, A K và B K . Chúng được xác định như sau: - Hệ số α: xác định theo đường phóng-nạp của C hoặc L. Ae - αt là thành phần dao động tự do có hệ số tắt dần α.        =α LmétcãchØch¹mNÕu L R CmétcãchØch¹mNÕu CR td td 1 (3.8) - Trong công thức trên thì R tđ là điện trở tương đương “nhìn” từ 2 đầu của C hoặc L vào mạch khi cho nguồn tác động bằng 0. (đường phóng-nạp của C hoặc L) R tđ C=τ hoặc td R L =τ; τ gọi là hằng số thời gian của mạch (thứ nguyên thời gian). Thực tế thì quá trình quá độ chỉ kéo dải trong khoảng t XL ≈3τ. t XL gọi là thời gian xác lập của mạch (sau thời gian 3τ trong mạch chỉ còn các dao động cưỡng bức, các thành phần dao động tự do ≈ 0). - Thành phần B K : từ (3.7) ta thấy khi t→∞ thì chỉ còn lại thành phần B K , lúc này mạch chuyển sang chế độ một chiều vì nguồn tác động là bậc thang. Như vậy Kk B t )t(f = ∞→ được xác định ở chế độ 1 chiều của mạch. - Thành phần A K : Từ (3.7) ta thấy khi t=0 thì f K (0)= Kkk BA t )t(f += → 0 - Giá trị f K (0) xác định theo điều kiện ban đầu. Từ đó xác định A K , tức đã tính được f K (t). Các điện áp và dòng điện khác cũng xác định tương tự hoặc nên sử dụng các định luật Ôm và Kieckhop để xác định chúng từ f K (t) cho tiện. Như vậy bài toán phải được bắt đầu từ xác định điều kiện ban đầu. Từ đó xác định A K tại thời điểm t=0. Khi đó có 4 điều cần chú ý như sau: Thứ nhất: Tại thời điểm t=0 mà u C (0)=0 thì C được thay bằng dây dẫn trong sơ đồ tương đương để tính A K . Thứ hai: Tại thời điểm t=0 mà u C (0)≠0 thì C được thay bằng nguồn sđđ trong sơ đồ tương đương để tính A K . Thứ ba: Tại thời điểm t=0 mà i L (0)=0 thì L được thay bằng đoạn hở mạch trong sơ đồ tương đương để tính A K . 83 Thứ tư: Tại thời điểm t=0 mà i L (0)≠0 thì L được thay bằng nguồn dòng trong sơ đồ tương đương để tính A K . b) Mạch dưới tác động của hình sin. Phản ứng của mạch sẽ có dạng: f K (t)=A K e - α t +B K (t) (3.9) Trong đó Kk B t )t(f = ∞→ (t) được xác định ở chế độ hình sin xác lập của mạch. Chế độ này dùng biểu diễn phức như đã xét trong chương 2. Tiếp theo là A K cũng xác định theo điều kiện ban đầu. 2. Phương pháp toán tử Laplas: Phương pháp này phải biến đổi hệ phương trình vi phân về hệ phương trình đại số với các hàm ảnh. Phương pháp này được tiến hành trong 5 bước: Bước 1: Xác định điều kiện ban đầu - xác định các điện áp trên các điện dung và dòng điện qua các điện cảm tại thời điểm bắt đầu “đóng- mở” mạch. Bước 2: Biến đổi mạch điện về dạng toán tử tương đương. Bước3: Lập hệ phương trình cho mạch ở dạng hàm ảnh. Bước 4: Giải hệ phương trình tìm hàm ảnh. Bước 5: Biến đổi hàm ảnh về dạng bảng để tra bảng 3.1, tìm hàm gốc. Chú ý:+ Bước 2: -Biến đổi các nguồn tác động mẫu về dạng ảnh dùng bảng 3.1 -Biến đổi thông số R về dạng toán tử - vẫn giữ nguyên R như một giá trị hằng. -Biến đổi điện cảm L được thực hiện như ở hình 3.2. Trong đó mạch ở dạng hàm gốc hình 3.2.a) có quan hệ ∫ += t L Idt)t(u L )t(i 0 0 1 (3.10) Chuyển sang dạng ảnh: Biến đổi Laplas cả 2 vế (3.9) sẽ có: ).(LI)p(pLi)p(uhay pL LI)p(u p I pL )p(u )p(i L LL 113 0 00 −= + =+= Công thức 3.11 cho ta sơ đồ tương đương hình 3.2b) khi điều kiện ban đầu không, tức I L0 =0; sẽ có mạch tương đương hình 3.2c) khi điều kiện ban đầu khác H×nh 3.2 a) i(t) L u(t) b) i(p) Lp u(p) c) i(p) Lp u(p) L.I L0 d) i(p) Lp u(p) p I L0 84 không, tức I L0 ≠0. Từ mạch hình 3.2c) có thể chuyển sang mạch nguồn dòng tương đương hình 3.2d). Chú ý: chiều của nguồn sđđ dạng ảnh hình 3.2c) có chiều như chiều của dòng điện ở mạch gốc hình 3.2.a) và có trị số là L.I L0 với L có thứ nguyên Henri, I L0 -Ampe; nguồn dòng hình 3.2d) cũng có chiều như vậy và có trị số là LI L0 /pL=I L0 /p. - Biến đổi điện dung C được thực hiện như trên hình 3.3. Mạch ở dạng hàm gốc hình 3.3. a) theo quan hệ: ∫ += t C udt)t(i C )t(u 0 0 1 (3.12) Bảng 3.1 TT Hàm ảnh Hàm gốc 1 1 σ(t) 2 A Aσ(t) 3 p A A 4 2 p A At 5 n p A 1n t )!1n( A − − 6 α+p A Ae - α t 7 n )p( A α+ t1n et )!1n( A α −− − 8 )p(p A α+ )e1( A tα α − − 9 22 p A ω+ ω ω sin A t 10 22 p A ω ω + ωsinA 11 22 p Ap ω+ Acosωt 12 2 0 2 p2p A ωα ++ tsine A t 1 1 ω ω α− 13 2 0 2 p2p Ap ωα ++ )tsint(cosAe 1 1 1 t ω ω α ω α − − 14 2 0 2 21 p2p ApA ωα ++ + )tsin AA tcosA(e 1 1 12 11 t ω ω α ω α − + − 15 )p(p A 22 ω+ )tcos1( A 2 ω ω − 85 16 )p2p(p A 2 0 2 ωα ++ )tsint(cose[ A t 1 1 1 2 0 1 ω ω α +ω− ω α− Chú ý: -Từ công thức 12 trở đi 22 01 α−ω=ω -Các công thức 9 ÷ 13 đếu suy từ 14; 15 suy từ 16 Chuyển sang dạng ảnh: Biến đổi Laplas cả 2 vế (3.12) sẽ có: 0 0 1 1 C C Cu pC )p(u )p(ihay p u )p(i pC )p(u −=+= (3.13) H×nh 3.3 a) i(t)C u(t) b) i(p) u(p) c) i(p) u(p) d) i(p) u(p) + _ p u C0 − pC 1 pC 1 pC 1 -C u C0 Công thức 3.13 cho ta sơ đồ tương đương hình 3.3b) khi điều kiện ban đầu không, tức u C0 =0; sẽ có mạch tương đương hình 3.3c) khi điều kiện ban đầu khác không, tức u C0 ≠0. Từ mạch hình 3.3c có thể chuyển sang mạch nguồn dòng tương đương hình 3.2d). Chú ý: nguồn sđđ dạng ảnh hình 3.3c) có chiều như chiều của dòng điện nạp cho điện dung ở mạch gốc hình 3.3.a) thì nó phải mang dấu “-”, nếu lấy ngược chiều-mang dấu “+”; nguồn dòng hình 3.3d) cũng có chiều được xác định như vậy. Buớc 5: Bíên đổi về dạng bảng sử dụng phương pháp hằng số bất định hoặc công thức Heaviside. Công thức Heaviside khi ảnh của phản ứng F K (p) là tỷ số của hai đai thức hữu tỷ )p(N )p(M )p(F K = được ứng dụng rất thuận tiện khi đa thức mẫu số có các nghiệm thực. Giả sử N(p) là đa thức bậc n, có 1 nghiệm thực bội bậc q là p b và có r=n-q nghiệm thực đơn thì: q b q b br r K )pp( C )pp( C pp C pp A pp A pp A )p(N )p(M )p(F − ++ − + − + − ++ − + − == 2 21 2 2 1 1 Trong đó: Các hệ số A K xác định theo công thức (3.14) hoặc (3.15): ).( pp )pp( )p(N )p(M A k kk 143 = −= ).( pp )p('N )p(M A k k 153 = = các hệ số C K xác định theo công thức (3.16) hoặc: 86 b q b ]q[ ]q[ b q bq b q bq pp ])pp( )p(N )p(M [ dp d )!q( C . pp ])pp( )p(N )p(M [ dp d C; pp ])pp( )p(N )p(M [C = − − = = −= = −= − − − 1 1 1 1 1 1 (3.16) 3. Phương pháp tích phân Duhamel và tích phân Green: Nếu tác động không thuộc dạng mẫu ta áp dụng các công thức tích phân để tính phản ứng f 2 (t) khi tác động là f 1 (t). Tính được thực hiện qua đặc tính quá độ h(t) và đặc tính xung g(t) với nhánh tương ứng của mạch. Công thức tích phân Duhamen: ∫∫ −+=−+= t ' t ' dx)x(h).xt(f)t(h).(fdx)xt(h).x(f)t(h).(f)t(f 0 11 0 112 00 (3.17) Công thức tích phân Green: ∫∫ −=−= tt dx)x(g).xt(fdx)xt(g).x(f)t(f 0 1 0 12 . (3.18) Tất nhiên nếu tác động thuộc dạng mẫu thì các công thức trên vẫn giữ nguyên hiệu lực. Bài tập 3.1. Mạch điện hình 3.4 là mạch nạp điện cho điện dung C=20µF, dùng nguồn một chiều E=100V nạo qua điện trở R=5 KΩ bằng cách đóng cầu dao K tại thời điểm t=0. 1. Tìm u C (t), u R (t), i(t) và vẽ đồ thị của chúng bằng 2 cách a) Lập và giải phương trình vi phân. b) Phân tích theo công thức (3.7). 2. Tại sao phải nạp cho C qua R? (Thay R bằng dây dẫn có được không?) 3.2. Cho mạch điện hình 3.5 với L=0,5H, R=100Ω và nguồn một chiều E=50V. Tại thời điểm t=0 khoá K được đóng lại. Tìm u L (t), u R (t), i(t) và vẽ đồ thị của chúng. H×nh 3.4 K C R E 87 3.3. Mạch điện gồm hai cuộn cảm mắc nối tiếp có điện trở và điện cảm tương ứng là R 1 , L 1 và R 2 , L 2 , được đóng vào nguồn một chiều U=300V tại thời điểm t 0 =0. Biết: hằng số thời gian củat mạch τ=0,01s, điện áp trên 2 cực của cuộn thứ nhất tại thời điểm t 0 =0 là U 1 (0)=200V, điện áp trên 2 cực của cuộn thứ hai tại thời điểm t 1 =0,02s là U 2 (t 1 )=186,5V, giá trị của dòng điện khi xác lập là 10A. Hãy xác định các thông số mạch R 1 , L 1 và R 2 , L 2 . 3.4. Mạch điện hình 3.6 có R 1 =20Ω, R 2 =18 Ω, R 3 =30Ω, C ≈ 66,67 µF. Tại thời điểm t =0 người ta đóng khoá K. Tìm i 1 (t), i 2 (t), i 3 (t) và u C (t), biết E=44V,U C0 =0 3.5. Trong mạch điện hình 3.7 biết nguồn một chiều E=140,4V, R=24Ω; R 1 =18Ω, R 2 =12Ω, L=0,65H. Tìm các dòng điện trong các nhánh của mạch và điện áp trên điện cảm sau khi đóng khoá K tại thời điểm t=0, biết i L (0)=0. 3.6. Mạch điện hình 3.8. có R 0 =R=10Ω, nguồn một chiều E=100V, khoá K được đóng tại thời điểm t=0. Tìm giá trị của điện cảm L, biết điện áp trên cuộn dây là U C tại thời điểm t 1 =0,04s có trị số U C (t 1 )=60V. 3.7. Mạch điện hình 3.9. có R 1 =R 2 =10 Ω, L=100 mH, nguồn một chiều E=100V. Tại thời điểm t=0 khoá K được đóng lại, sau đó1s khoá K được hở ra. Tìm biểu thức của các dòng điện i 1 (t), i 2 (t), i K (t) và vẽ đồ thị của chúng. 3.8. Mạch điện hình 3.10 có các nguồn một chiều một chiều E 1 =30V, E 2 =12V, C 1 =500µF, C 2 =200µF, R 1 =10Ω, R 2 =15Ω, R 3 =9 Ω. Tại thời điểm t=0 người ta hở H×nh 3.6 K C R E R R 1 2 3 i (t) i (t) i (t) u (t) 2 3 1 C L K E R R 2 R 1 i i 1 i 2 H×nh 3.7 88 khóa K. Tìm các dòng điện i 1 (t), i 2 (t), i 3 (t) và các điện áp u C1 (t), u C2 (t), vẽ đồ thị của chúng; biết rằng trước khi hở khoá K mạch đã xác lập. 3.9. Cho mạch điện hình hình 3.11 với nguồn hình sin e(t)=E m sin (100t+α e ). Tại thời điểm điện áp nguồn chuyển qua giá trị cực đại dương thì khoá K được đóng lại. Tìm biểu thức dòng điện sau khi đóng khoá K biết R 0 =R=10Ω, L=0,1H và trước khi đóng khoá K thì Ampe kế chỉ 2 5 A. 3.10. Người ta đóng mạch RL mắc nối tiếp vào nguồn hình sin e(t)=E m sin(ωt+α e ) tại thời điểm t=0. Biết rằng khi xác lập thì điện áp trên điện cảm là: u L (t)=120 sin314t [V] và R=X L =10Ω. Hãy xác định i(t) và u R (t). 3.11. Mạch điện hình 3.12. có nguồn hình sin biên độ E m =100V, tần số góc ω=314rad/s, biết R 1 =4Ω; R 2 =2Ω, L 1 =9,57mH, L 2 =15,9 mH. Tại thời điểm nguồn đạt giá trị dương cực đại thì khoá K được đóng lại. Xác định các dòng điện và vẽ đồ thị thời gian của chúng. 3.12. Người ta đóng điện dung C vào nguồn 1 chiều E=200V qua điện trở R. Biết hằng số thời gian của mạch là τ=0,25s, dòng điện tại thời điểm đóng mạch i(0)=0,04A. a) Tìm biểu thức của u C (t) b) Tìm giá trị của R và C. 3.13. Mạch điện hình 3.13 có C=1000µF, R=50Ω. Tại thời điểm t=0 khoá K được chuyển từ vị trí tiếp điểm 1 sang 2. Biết năng lượng C nạp được tại thời điểm t=0 là W E (0)=5 Jun. Hãy xác định a) u C (t), i(t). b) Khoảng thời gian mà một nửa năng lượng được biến thành nhiệt năng. 3.14. Tụ điện C=5µF được nạp điện từ nguồn một chiều U=200V qua điện trở R=5KΩ. Hãy xác định: a) Năng lượng nạp trong tụ khi tụ đã nạp đầy. b) Nhiệt năng tiêu hao trong quá trình nạp. 89 3.15. Mạch điện hình 3.14. có R 1 =R 2 =R 3 =1Ω, C=1F. Hãy xác định hằng số thời gian τ của mạch trong 2 trường hợp: a) Nguồn tác động là nguồn điện áp. b) Nguồn tác động là nguồn dòng. 3.16. Mạch điện hình 3.15. có nguồn một chiều E=150V, R 1 =75Ω; R 2 =25Ω; C=80µF. Tại thời điểm t=0 khoá K được đóng lại, sau đó 1s khoá K được hở ra. Tìm biểu thức u C (t), i C (t) và i 1 (t) và vẽ đồ thị thời gian của chúng. 3.17. Mạch điện hình 3.16 có R=10Ω, C=100µF, khoá K được đóng tại thời điểm t=0 vào nguồn 1 chiều E. Bíêt tốc độ biến biến thiên cực đại của năng lượng điện trường là p C (t) max =250 [VA] (Von-Ampe). Hãy xác định: a) i(t), u C (t) b) Năng lượng và điện tích điện dung được nạp. c) Năng lương tiêu hao trong quá trình nạp. 3.18. Mạch điện hình 3.17. có E=150V, L=20mH, C=133,3µF, hằng số thời gian của các nhánh τ 1 =1 ms; τ 2 =2ms. Xác định các dòng điện sau khi đóng K. 3.19. Mạch điện hình 3.18 có e(t)=60 2 sin(1000t+α e )[V], R=R 1 =20Ω, L=40mH, C=50µF. Tại thời điểm nguồn chuyển qua giá trị không thì khoá K hở ra. Hãy xác định i L (t) và u C (t). 3.20. Mạch điện hình 3.19. có e(t)=200sin(1000t+α e )[V], R=50Ω, L=50mH, C=20µF. Tại thời điểm nguồn đạt giá trị dương bằng giá trị hiệu dụng thì khoá K hở ra. Hãy xác định i L (t) và u C (t). 90 . 1 1 ω ω α− 13 2 0 2 p2p Ap ωα ++ )tsint(cosAe 1 1 1 t ω ω α ω α − − 14 2 0 2 21 p2p ApA ωα ++ + )tsin AA tcosA(e 1 1 12 11 t ω ω α ω α − + − 15 )p(p A 22. R=4Ω, e(t) =10 0sin ( 31 4t -34 0 ). 1 Bài tập trên lớp ngày 09 /3/ 2007 91 3. 27. Mạch điện hình 3. 26 có E =10 0V, R =10 Ω, R 1 =20Ω, L =10 mH, C =10 0F. Khi mạch đã