Tài liệu Thanh chịu xoắn thuần túy ppt

BÀI TOÁN SIÊU TĨNH KHI XOẮN Thanh chịu xoắn thuần túy khi trên mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ xuất hiện thành phần nội Dấu Mz: nhìn vào mặt cắt ta thấy Mz quay cùng chiều kim đồng hồ:

CHƯƠNG 6

THANH CHỊU XOẮN THUẦN TÚY

I KHÁI NIỆM

II ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA THANH TRÒN CHỊU XOẮN

1 Các giả thuyết khi xoắn

2 Ứng suất trên mặt cắt ngang

III BIẾN DẠNG CỦA THANH TRÒN CHỊU XOẮN

IV TÍNH THANH CHỊU XOẮN - MẶT NGANG HỢP LÝ CỦA THANH CHỊU XOẮN

1 Điều kiện bền

2 Ðiều kiện cứng

3 Mặt cắt ngang hợp lý

V XOẮN THUẦN TÚY THANH CÓ MẶT CẮT NGANG KHÔNG TRÒN

1 Thanh có mặt cắt ngang chữ nhật

2 Mặt cắt ngang mỏng kín

3 Mặt cắt ngang mỏng hở

VI THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ÐÀN HỒI

VII DẠNG PHÁ HŨY CỦA THANH TRÒN CHỊU XOẮN

VIII TÍNH LÒ XO XOẮN HÌNH TRỤ CÓ BƯỚC NGẮN

1 Ứng suất

2 Biến dạng của lò xo

IX BÀI TOÁN SIÊU TĨNH KHI XOẮN

Thanh chịu xoắn thuần túy khi trên mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ xuất hiện thành phần nội

Dấu Mz: nhìn vào mặt cắt ta thấy Mz quay cùng chiều kim đồng hồ: dương ngược lại: Mz < 0

II- ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA THANH TRÒN CHỊU XOẮN

Trước khi thí nghiệm xoắn, ta kẻ lên bề mặt của thanh những đường thẳng song song với trục của thanh biểu diễn các thớ dọc và những đường tròn vuông góc với trục thanh biểu diễn các mặt cắt ngang

Sau khi biến dạng, ta nhận thấy các đường thẳng song song với trục trở thành những đường xoắn ốc còn các đường tròn vẫn tròn và vuông góc với trục của thanh Mạng lưới ô chữ nhật trở thành mạng lưới hình bình hành (hình 6-1)

Từ những điều quan sát trên, ta đưa ra các giả thuyết sau để làm cơ

sở tính toán cho một thanh tròn chịu xoắn thuần túy

a./ Giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng

Trước và sau khi bị biến dạng mặt cắt ngang vẫn giữ phẳng và vuông góc với trục thanh (tức là (z = 0)

b./ Giả thuyết về bán kính của thanh

Trước và sau khi thanh bị biến dạng bán kính của của mặt cắt ngang vẫn thẳng và có độ dài không đổi (tức ( có phương vuông góc R)

c./ Giả thuyết về chiều dài của thanh

Trước và sau khi thanh bị biến dạng, chiều dài của thanh cũng như khoảng cách giữa hai mặt cắt ngang bất kỳ là không đổi ((z = 0 ; utt = 0)

d./ Giả thuyết về các thớ dọc

Trong quá trình thanh bị biến dạng, các thớ dọc không ép lên nhau và cũng không tách xa nhau ((x = (y = 0 )

Tưởng tượng tách ra khỏi thanh một phân tố mnpq mnpq giới hạn bởi hai mặt cắt ngang cách nhau dz, hai mặt trụ đồng trục có bán kính ( và (+d(, hai mặt phẳng chứa trục thanh và hợp với nhau một góc d(

Sau khi biến dạng, mặt cắt ngang 2-2 sẽ xoay tương đối một góc d( so với mặt cắt 1-1, d( được gọi là góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt 1-1 và 2-2

Theo giả thuyết a và c: các mặt cắt 1-1 và 2-2 chỉ xoay tương đối với nhau nhưng vẫn phẳng

và khoảng cách không đổi, do đó trên mặt cắt ngang không có ứng suất pháp

Mặt khác theo giả thuyết d: các thớ dọc không ép lên nhau nên (x = (y = 0

Vậy phân tố tách ra sẽ ở trạng thái trượt thuần túy

Gọi ( =qnq: góc trượt tỉ đối tương ứng với bán kính ((+ d()

Ta cóĠ

Vì biến dạng rất nhỏ nên tg(Ġ(

Ta đã biết định luật Hooke cho biến dạng trượt là ( = G.( vớiĠ Thay vào:Ġ

Trong đó: tỉ sốĠ là hằng số đối với từng mặt cắt ngang nên ta có thể viết:

<![endif] >

Nhận xét:

a) Ứng suất tiếp ( trên mặt cắt ngang phân bố bậc nhất theo bán kính (của thanh

b) Phương của ứng suất tiếp tại một điểm nào đó trên mặt cắt ngang vuông góc với bán kính đi qua điểm đó

Xác định biểu thức của ứng suất tiếp: tínhĠ để thế vào (

Vì tỉ số Ġ là một đại lượng chưa xác định nên để tính ứng suất tiếp ( ta phải dựa vào sự liên hệ giữa ứng suất tiếp và thành phần nội lực Mz trên mặt cắt ngang

Trên diện tích vi cấp dF, ta có thể xem các ứng suất tiếp là phân bố đều, do đó hợp lực d( của chúng bằng: d( = (.dF

d( có phương vuông góc với bán kính (

Momen do lực d( gây ra đối với tâm O của mặt cắt ngang (tức là đối với trục z của thanh) sẽ là:

Vậy:Ġ

Thay giá trị ( vào

Ðối với tất cả các điểm trên mặt cắt ngang đại lượngĠ không đổi nên:

mà

chính là momen quán tính cực Jrcủa mặt cắt ngang nên:Ġ

biểu thức của (: Ġ

Thay vào

Trong đó:

(: ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang tại điểm đang xét

a mặt cắt ngang đang xét

ếp ( cùng chiều với momen xoắn Mz

t cắt ngang ( = 0 => ( = 0

Mz: momen xoắn nội lực

J(: momen quán tính cực củ

(: khoảng cách từ điểm đang xét đến tâm 0 của mặt cắt ngang

Ta thấy các giá trị J( và ( luông luôn dương, do đó chiều của ứng ti

Tại tâm mặ

Ðối với mặt cắt ngang tròn:

Ta có thể viết lại như sau:Ġ

Trong đóĠ: momen chống xoắn của mặt cắt ngang

Ðối với mặt cắt ngang hình tròn đặc:Ġ

hăn: Ġ

Đối với mặt cắt ngang hình tròn k

Biểu đồ phân bố ứng suất tiếp ( theo bán kính mặt cắt ngang)

Khi thanh tròn chịu xoắn, biến dạng của thanh được thể hiện bởi sự xoay của mặc cắt ngang quanh trục của nó Góc xoay giữa hai mặt cắt được gọi là góc xoắn của đoạn thanh giới hạn bởi các mặt cắt đó Ta hãy thiết lập công thức tính góc xoắn của một đoạn thanh nào đó có chiều dài l

Ta có Ġ

Trong đó: (: góc xoắn thanh ; đơn vị là Radian

Nếu trên suốt chiều dài l tỉ sốĠ không đổi thì Ġ (VI-5b)

Nếu tỉ sốĠ thay đổi dọc theo chiều dài của thanh thì ta phải chia thanh ra làm nhiều đoạn nhỏ

li sao cho trong từng đoạn đó tỉ sốĠ không đổi

Khi đó Ġ (VI-5c)

Ghi chú:

Khi tính góc xoắn ta phải chú ý đến dấu của momen xoắn Mz và kích thước mặt cắt ngang (để tính J() trong đoạn cần tính

Tỉ số là góc xoắn trên một đơn vị chiều dài và được gọi là góc xoắn tỷ đối ký hiệu ( [radian/cm hay là radian/m ]

Tích số Ġ được gọi là độ cứng khi xoắn ; trị số đó đặt trưng cho độ cứng của thanh Khi độ cứngĠ tăng lên thì góc xoắn tỷ đối ( giảm xuống và ngược lại)

IV TÍNH THANH CHỊU XOẮN- MẶT CẮT NGANG HỢP LÝ CỦA THANH CHỊU XOẮN

Một thanh chịu xoắn phải đảm bảo hai điều kiện: bền và cứng

Muốn thanh chịu xoắn đủ bền thì ứng suất tiếp lớn nhất trên các mặt cắt ngang không vượt quá ứng suất cho phép

Từ điều kiện bền ta có thể suy ra ba dạng bài toán cơ bản:

a./ Kiểm tra bền

b./ Xác định tải trọng cho phép

c./ Chọn kích thước mặt cắt ngang

Khi biến dạng, góc xoắn tỷ đối lớn nhất không được vươt quá góc xoắn tỷ đối cho phép

[(] được cho trong các sổ tay kỹ thuật, giá trị của nó phụ thuộc công dụng và kích thước của thanh

Thường [(] = 0,15(2 [độ/mét]

Từ điều kiện cứng ta cũng suy được ba dạng bài toán cơ bản

a./ Kiểm tra cứng:Ġ (VI-8a)

b./ Xác định tải trọng cho phép:Ġ (VI-8b)

c./ Tính kích thước mặt cắt ngang:

Ðối với thanh có mặt cắt ngang hình vành khăn :

Dựa vào biểu đồ ứng suất tiếpĠ ta nhận thấy càng gần tâm mặt cắt, ứng suất tiếp có giá trị càng bé Ðiều đó chứng tỏ phần vật liệu nằm gần tâm mặt cắt làm việc ít hơn phần vật liệu nằm gần chu vi mặt cắt Vậy muốn tiết kiệm vật liệu ta có thể khoét bỏ phần vật liệu ở tâm Nhưng để momen chống xoắn W( vẫn giữ như cũ, ta phải tăng đường kính ngoài và đường kính trong một cách thích hợp

Vậy mặt cắt ngang hợp lý của thanh chịu xoắn là hình vành khăn

Ðể đánh giá mức độ hợp lý của mặt cắt ngang người ta dùng đại lượng ( gọi là momen chống xoắn riêng là đại lượng không thứ nguyên

Ý nghĩa của ( là: Trị số của momen chống xoắn riêng của mặt cắt ngang càng lớn thì mặt cắt

đó càng được hợp lý, đồng thời trọng lượng của thanh sẽ càng nhẹ Nhưng ta chú ý rằng khi tăng momen chống xoắn riêng ( quá lớn tức bề dày

sẽ càng bé, điều này đưa đến tai hại là:

a Sự giảm bề dày ( đòi hỏi phải tăng đường kính ngoài của mặt cắt (để momen chống xoắn ( không đổi) như vậy sẽ làm cho kích thước mặt cắt ngang của thanh sẽ quá lớn

b Bề dày ( quá bé sẽ làm cho thanh dễ bị mất ổn định khi chịu xoắn: lúc đó trên toàn thanh sẽ hình thành những nếp nhăn

c Mặc khác, việc chế tạo những thanh rỗng khó khăn và giá đắt hơn thanh đặc Vì vậy người ta chỉ dùng thanh rỗng trong những trường hợp cần giảm trọng lượng

V XOẮN THUẦN TÚY THANH CÓ MẶT CẮT NGANG KHÔNG TRÒN

Thí nghiệm xoắn thanh có mặt cắt ngang không tròn cho thấy giả thuyết mặt cắt ngang phẳng không còn đúng nữa Sức bền vật liệu không giải quyết những bài toán này Sau đây ta công nhận một số kết quả đã chứng minh trong lý thuyết đàn hồi

Trên mặt cắt ngang của thanh bị xoắn thuần tuý chỉ có ứng suất tiếp Hình 6-5 biểu diễn luật phân bố của ứng suất tiếp ( dọc theo các trục đối xứng, các đường chéo và các cạnh của mặt cắt ngang

Ứng suất tiếp lớn nhất của mặt cắt ngang phát sinh tại điểm giữa của cạnh dài a

Trong đó: Wx: momen chống xoắn Wx = (.ab2

(: hệ số phụ thuộc tỉ sốĠđược cho trong bảng

Ứng suất tiếp tại điểm giữa các cạnh ngắn có giá trị lớn thứ hai

t2 = g’t1 (VI-10b)

(: hệ số phụ thuộc tỉ sốĠđược cho trong bảng

Góc xoắn tỉ đối (:

Với Jxoắn = (.ab3

KhiĠ (tức hình chữ nhật hẹp ) có thể lấyĠ

Dưới tác dụng của momen xoắn, trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất tiếp Sự phân bố của ứng suất tiếp được xem là đều trên bề mặt b và ứng suất tại một điểm bất kỳ được tính theo công thức

Trong đó:

b: bề dày của mặt cắt ngang tại điểm đang xét

F: diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi đường chu vi trung gian của mặt cắt (đường chia đôi bề dày) (hình 6-6)

Ứng suất tiếp lớn nhất sẽ phát sinh tại nơi có bề dày bé nhất

Góc xoắn tỉ đối (: Ġ (VI-11c)

Ký hiệuĠbiểu thị tích phân lấy dọc theo đường khép kín của đường chu vi trung gian (tích phân vòng)

3 Mặt cắt ngang mỏng hở TOP

Khi xoắn, trên mặt cắt ngang cũng chỉ có ứng suất tiếp Giả sử mặt cắt ngang có dạng nhiều hình chữ nhật ghép lại với nhau

Góc xoắn tỉ đối (:

ai , bi: bề dài và bề rộng của hình chử nhật thứ i

Giá trị tính theo biểu thức trên của Jxoắn thường bé hơn so với thực tế Do đó người ta đưa vào hệ số điều chỉnh (:

Hệ số ( phụ thuộc vào dạng mặt cắt ngang

Dạng mặt cắt ngang

h Chữ L

Chữ I Chữ T Chữ L

1,00 1,20 1,15 1,12 Ðối với thép cán định hình chữ L, I các trị số Jxoắn được cho trong bảng đặc biệt

Ưïng suất tiếp lớn nhất (i max trong dãy hình chữ nhật thứ i phát sinh tại điểm giữa các cạnh dài ai và được tính theo công thức

với Ġ (VI-13c)

Nếu mặt cắt của thanh có chu vi cong và nếu bề dày b của mặt cắt ngang là không đổi, chiều

dài cong a của mặt cắt ngang là rất lớn so với bề dày b thì ứng suất và biến dạng sẽ tính một

cách gần đúng theo các công thức của mặt cắt ngang hình chữ nhật

Vì tỉ số Ġ rất lớn nên lấy ( = ( = 1/3

Ta có Ġ (VI-14a)

Trạng thái ứng suất tại một điểm bất kỳ trong thanh chịu xoắn là trạng thái trượt thuần tuý Ðối với trạng thái ứng suất này thế năng riêng biến đổi thể tích bằng không nên thế năng riêng biến dạng đàn hồi chính là thế năng riêng biến đổi hình dạng

Ta có u = uhd

Mà (1 = ( ; (2 = 0 ; (3 = -(

VậyĠ

VớiĠ

Thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy trong cả thanh là:

Trong đó V là thể tích của thanh

Biểu thức của U là một tích phân 3 lớp, ta có thể viết lại là:

Nếu trên suốt chiều dài của thanh tỉ sốĠ không đổi thì:

Nếu tỉ số trên không đổi trong từng đoạn có chiều dài li thì:

VII DẠNG PHÁ HŨY CỦA THANH TRÒN CHỊU XOẮN TOP

Ta hãy xét một phân tố nằm trên bề mặt của thanh, các ứng suất tiếp tác dụng lên phân tố có giá trị cực đại (max Phương của các ứng suất chính (1 và (3 tạo với trục z một góc 450 và

1350

Qua vòng tròn Mohr ta có:

s1 = t ; s2 = 0 ; s3 = - t

Từ đó ta có thể suy luận dạng phá hũy của thanh tròn chịu xoắn như sau:

Ðối với vật liệu dẻo: giới hạn bền cắt thấp hơn nhiều so với giới hạn bền kéo và nén

Ví dụ: thép CT3 có (b = 24500 N/cm2 ; (bk = 42000 N/cm2

Do đó sự phá hũy khi xoắn của thanh tròn làm bằng vật liệu dẻo là do ứng suất tiếp gây ra Dạng phá hũy của chúng là theo mặt cắt ngang hoặc mặt cắt dọc của thanh

Ðối với vật liệu giòn thì giới hạn bền kéo thấp hơn bền nén và cắt Ví dụ: gang xám có (bk = 20500N/cm2 ; (b = 23350N/cm2 ; (bn = 79000N/cm2 Do đó sự phá hủy của thanh tròn làm bằng vật liệu giòn là do ứng suất pháp (1 gây ra Dạng phá hủy của chúng theo đường xoắn ốc vuông góc với (1

Ðối với gỗ thì khả năng chịu cắt theo thớ dọc là yếu nhất vì vậy sự phá hủy của thanh gỗ khi xoắn là do (max dọc theo trục gây nên Ðường nứt là những đường dọc theo thớ

VIII TÍNH LÒ XO XOẮN HÌNH TRỤ CÓ BƯỚC NGẮN TOP

Lò xo là một chi tiết được sử dụng rất rộng rãi trong kỹ thuật, ví dụ: trong các bộ phận giảm chấn, các thiết bị bảo hiểm

Ta gọi:

h: bước của dây lò xo

D: đường kính trung bình của dây lò xo

d: đường kính dây lò xo

n: số vòng dây lò xo

Ðể đơn giản cho việc tính toán, ta giả thiết:

Ðường kính trung bình D của lò xo với đường kính d của dây lò xo thỏa mãn điều kiệnĠ

Ðể tính ứng suất ta dùng mặt cắt chứa trục là lò xo, cắt lò xo ra làm hai phần Xét sự cân bằng: để cân bằng với lực kéo P, trên mặt cắt của dây lò xo phải xuất hiện hai thành phần nội lực là lực cắt Q và momen xoắn M

Vì góc nghiêng ( của lò xo là bé nên ta coi Q và M là hai thành phần nội lực trên mặt cắt ngang của lò xo

Ta có:Ġ=0 => Q - P = 0 => Q = P

= 0 => M - P.R = 0 => M = P.R Nếu coi ứng suất (Q sinh ra do lực cắt Q phân bố đều trên mặt cắt ngang thì:

Ðối với momen xoắn, vì góc nghiêng ( rất bé nên ta dùng công thức của thanh tròn thẳng:

Ứng suất (M có giá trị lớn nhất tại những điểm nằm trên chu vi mặt cắt

Tại điểm A là điểm trên mặt cắt ngang nằm gần trục lò xo nhất, tổng ứng suất do (Qvà (M gây

M max + tQ

ra sẽ có giá trị lớn nhất

tmax = t

Theo giả thiết Ġ tứcĠ nên người ta bỏ qua số hạng này Làm như vậy tương đương với việc

uất gây ra do lực cắt Q gây nên

vào hệ số điều chỉnh k:Ġ (VI-16b)

k: hệ số điều chỉnh, kể đến ảnh hưởng của lực cắt Q và độ cong của vòng dây lò xo, kể đến sự

Trường hợp mặt cắt ngang của dây lò xo là hình chữ nhật và nếu chỉ kể đến ảnh hưởng của momen xoắn thì công thức tính ứng suất (max có dạng

bỏ qua ứng s

Như vậy:Ġ

Ðể chính xác người ta thêm

Trong đó:Ġ hoặcĠ

phân bố và giá trị ứng suất của (M

Ðiều kiện bền của lò xo:

Thường [(] = 20000(80000 N/cm2

TOP

2 Biến dạng của lò xo

Khi chịu lực, chiều dài của lò xo sẽ thay đổi Dưới tác động của lực P lò xo dịch

chuyển một đoạn ( thì công A của lực là:

Công A chuyển hóa thành thế năng biến dạng đàn hồi U tích lũy trong lò xo Nếu bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt Q thì:

Thay

Ta cóĠ

Theo định luật bảo toàn năng lượng: A = U

Trong đóĠ gọi là độ cứng của lò xo [N/mm] (VI-19)

Vậy: độ cứng C của lò xo là giá trị của lực P cần thiết để gây một khoảng dịch chuyển là một Nếu cho ( bằng một đơn vị chiều dài thì ta có P = C

đơn vị chiều dài

Trường hợp mặt cắt ngang của dây lò xo là hình chữ nhật thì ta thay thế J( bằng Jxoắn = (ab3 Như vậy:

Ðối với lò xo chịu nén ta cần phải kiểm tra các khoảng hở ban đầu giữa các vòng dây lò xo, tức là kiểm tra điều kiện:

Trong đó:

n: số vòng dây

h: bước của lò xo ở trạng thái chưa biến dạng

P

Khi tính về xoắn, cũng như khi tính về kéo nén, ta có thể gặp những bài toán siêu tĩnh Ðó là

một thanh bị ngàm chặt ở hai đầu, chịu tác dụng bởi các momen xoắn ngoại lực M1 và M2 Xác định momen xoắn ngoại lực tại hai đầu A, B

Giải:

Phương trình cân bằng:

những bài toán có số ẩn số lực nhiều hơn số phương trình cân bằng Ðể giải bài toán này ta phải lập thêm phương trình biến dạng

Ví dụ:

Hai đầu thanh bị ngàm chặt, do đó góc xoắn tương đối (AB = 0 (đó là phương trình biến dạng) Bây giờ ta tưởng tượng bỏ qua một trong hai ngàm, ví dụ ngàm B và thay thế bởi momen phản lực MB Ðể tính góc xoay tương đối (BA ta dùng phương pháp cộng tác dụng Góc xoay tại B do các momen M1, M2 và MB gây ra đồng thời sẽ bằng tổng các góc xoay do từng momen một gây ra: