Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn tại M và cắt đờng trung trực của đoạn AB tại điểm I.. Xác định vị trí của điểm M sao cho diện tích hình thang ABCD nhá nhÊt..[r]
(1)Bµi : (2 ®iÓm = ®iÓm + ®iÓm ) Cho biÓu thøc : P = 2x + x-2 x - 5x + − x-3 a) Tìm điều kiện để P có nghĩa và rút gọn biểu thức P b) Tìm tất các giá trị x để P nguyên Bµi : (2 ®iÓm = 0,75 ®iÓm + 1, 25 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh bËc : x2 + ( 2m - )x + ( m2 + m - 1) = (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh m = - b) Gäi x1 , x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) , t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = ( x1 - x2)2 - x1 - x2 Bµi : ( 2,0 ®iÓm = ®iÓm + ®iÓm) Trên mặt phẳng tọa độ cho các đờng thẳng (d) : y = 3x + và (d') : y = - 3x c¾t t¹i C vµ lÇn lît c¾t trôc Ox t¹i A , B a) Tìm tọa độ các điểm A , B , C b) Tìm diện tích và chu vi tam giác ABC biết đơn vị đo độ dài trên c¸c trôc lµ cm Bµi : ( 3,0 ®iÓm = 1,25 ®iÓm + 1,0 ®iÓm + 0,75 ®iÓm ) Cho nửa đờng tròn (S) tâm O , nhận AB là đờng kính , I là điểm chính nửa đờng tròn (S) Trên đờng tròn tâm I , bán kính IA lấy điểm C bất kì cho CA , CB c¾t (S) ë M , N t¬ng øng Gäi J lµ giao ®iÓm cña AN vµ BM , K lµ giao ®iÓm cña MN vµ IJ Chøng minh r»ng : a) C¸c tam gi¸c MBC , IBC c©n vµ tø gi¸c MINJ lµ h×nh b×nh hµnh b) CI // OK c) AM = IN ; BN = IM §é dµi MN kh«ng phô thuéc vÞ trÝ ®iÓm C Bµi : ( ®iÓm ) Cho c¸c sè d¬ng x , y , z tháa m·n x2 + y2 + z2 Chøng minh r»ng xy yz zx + + ≥ z x y Bµi 1: (2, ®iÓm) x2 x 1 x1 Cho biÓu thøc A = x x x x a/ Tìm x để biểu thức A có nghĩa b/ H·y rót gän biÓu thøc A x Cho hµm sè y = f(x) = C¸c ®iÓm 1 A(1; ) , B( 2;3), C ( 3; 9), D( ; ) 4 có thuộc đồ thị hàm số kh«ng? Bµi 2: ( 2, ®iÓm) 1 Gi¶i ph¬ng tr×nh: x x Cho biÕt ph¬ng tr×nh: x 9x ph¬ng tr×nh, h·y tÝnh: M = Bµi 3: (2,0 ®iÓm) Cho hÖ ph¬ng tr×nh 0 cã hai nghiÖm d¬ng x1, x2 Kh«ng gi¶i x1 x x x1 (2) mx y m x y m 1 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh m = -2 Tìm các giá trị m để hệ có nghiệm Bµi 4: (2.0 ®iÓm) Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt A và B, tiếp tuyến chung với hai đờng tròn (O) và (O’) phía nửa mặt phẳng bờ OO’ chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự là E và F Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đờng tròn (O) và (O’) theo thứ tự C, D Các đờng thẳng CE và DF cắt I a Chøng minh: ACE c©n vµ AEF = IEF b Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp đợc đờng tròn Bµi 5: (2,0 ®iÓm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với mp(ABCD) Gäi H, K lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña A xuèng SB, SD Chøng minh: SC (AHK) a2 b2 4 a b Cho a b vµ a.b = Chøng minh: Bµi (1.5 ®iÓm): Cho biÓu thøc: A = √ x + x − : − √ x +2 x √ x −1 √ x −1 x+ √ x +1 a.Rót gän biÓu thøc A b.TÝnh gi¸ trÞ √ A x= 5+2 √3 Bµi (2.0 ®iÓm): ( )( ) Cho hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ mx − y =2 x+ my=5 ¿{ ¿ a.Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh m = b.Với giá trị khác nào m thì hệ phơng trình đã cho có nghiệm thỏa mãn: x + y = 1- m m +3 Bµi (2.0 ®iÓm): Cho ph¬ng tr×nh: x2- m x + m- = a Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m th× ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm x1, x2 b.Tìm m để A = x12 + x22 - x1x2 đạt giá trị nhỏ Bµi (3.5 ®iÓm): (3) Cho hai đờng tròn (O1), ( O2) tiếp xúc ngoài với A và có tiếp tuyến chung Ax Một đờng thẳng d tiếp xúc với (O1), ( O2) lần lợt B, C và cắt Ax M Kẻ các đờng kính BO1D, CO2E a Chøng minh : M lµ trung ®iÓm BC b Chøng minh : Δ O1MO2 vu«ng c Chøng minh : B, A, E th¼ng hµng, C, A, D th¼ng hµng d Gọi I là trung điểm DE Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp Δ IO1O2tiếp xúc với đờng thẳng d Bµi (1.0 ®iÓm): T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x2y2 - x2 - y2 = 2xy Bµi 1: Cho A = 1+ √ a+ ¿ 1− √ a+2 2¿ 2¿ ¿ B = A + a − 23a 1+a a) Tìm a để A, B có nghĩa b) Rót gän B Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 2x - (m2- m + 1) = (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh m = b) Chứng tỏ với giá trị m phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm tr¸i dÊu c) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× (1) cã nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 tho¶ m·n x21 + x2 = Bài 3: Cho đờng tròn (O) và (O’) cắt A và B đờng thẳng thay đổi qua A cắt (O) và (O’) theo thứ tự C và D Gọi P và Q là hình chiếu vuông gãc cña O vµ O’ trªn CD a) Xác định vị trí CD để CD có độ dài lớn b) Gäi E lµ giao®iÓm cña OC vµ O’D Chứng minh tứ giác O O’EB nội tiếp đợc tr ong đờng tròn c) Khi CD quay quanh A thì trọng điểm I PQ chuyển động trên đờng nào Bµi 4: Chøng minh r»ng nÕu: ab + bc + ca > 1 + + > th× c¶ 3sè a, b, c cïng dÊu ab bc ac Bµi 1:(1®) Cho biÓu thøc A= √ a+1 − √ a −1 +4 √ a √ a −1 √ a+1 Vµ ( a Tìm điều kiện a để A có nghĩa b Rót gän A )( √ a− √a ) (4) Bµi 2:(1®) TÝnh B=√ 15 −6 √ 6+ √ 33 −12 √6 Bµi 3:(1®) Cho ph¬ng tr×nh x2 – 2(m+1)x + m – = (1) a Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = b Gäi x1, x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) Chøng minh r»ng M = ( – x2)x1 + (1 – x1)x2 kh«ng phô thuéc m Bµi 4:(1®) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh − =9 x y + =17 x y x − √ x −15=17 { Bµi 5:(1®) Gi¶i ph¬ng tr×nh: Bài 6:(1đ) Tìm các hệ số a và b đờng thẳng (d): y = ax + b biết đờng th¼ng (d) song song với đờng thẳng: y = 2x + 10 và qua I(1,3) a b + ≥ √ a+ √ b Bµi 7:(1®) Cho a, b > Chøng minh r»ng √b √ a Bµi 8:(1®) NÕu MT vµ MAB theo thø tù lµ tiÕp tuyÕn vµ c¸t tuyÕn cña mét ® êng trßn th× MT2 = MA.MB Bµi 9:(1® ) Cho B vµ C lµ c¸c ®iÓm t¬ng øng thuéc c¸c c¹nh Ax vµ Ay cña gãc vuông xAy ( B A; C A) Tam giác ABC có đờng cao AH và phân giác BE Gọi D là chân đờng vuông góc hạ từ A lên BE, O là trung điểm AB a Chứng minh ADHB và CEDH là các tứ giác nội tiếp đợc đờng trßn b Chøng minh AH OD vµ HD lµ ph©n gi¸c cña gãc OHC Bài 10: (1đ) Tam giác ABC ( A = 900) quay quanh AB Tính bán kính đáy và đờngcao hình nón đợc tạo thành Từ đó tính thể tích và diện tích xung quanh nã biÕt Bc = a vµ ACB = 600 C©u1: ( ®iÓm) Cho biÓu thøc : A = ( √ a+ √ b ) −4 √ab − a √ b+b √a √a − √ b √ ab a, Tìm điều kiện để A có nghĩa b, Rót gän biÓu thøc A C©u2:(2 ®iÓm) Cho đờng thẳng y = (m - 2)x + n ( m ) (d) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m vµ n c¸c trêng hîp sau: a §êng th¼ng (d) ®i qua hai ®iÓm A(-1; 2) , B(3; -4) b Đờng thẳng (d), trục tung và đờng thẳng y = x − đồng quy 2 C©u3:(2.5 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2mx + m2-1 = (1) a Gi¶i ph¬ng tr×nh m = b Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu c Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm và các nghiệm là độ dài hai cạnh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng cã c¹nh huyÒn b»ng C©u4:(2,5 ®iÓm) Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB Một cát tuyến MN thay đổi luôn qua trung ®iÓm H cña OB a, Chứng minh rằng: Khi cát tuyến MN thay đổi thì trung điểm I MN luôn nằm trên đờng tròn cố định (5) b, Tõ ®iÓm A kÎ tia Ax vu«ng gãc víi MN c¾t BI t¹i ®iÓm C Chøng minh BN = CM C©u5:(1 ®iÓm) Cho M,N,P lần lợt di động di động trên cạnh tam giác nhọn ABC cho trớc Xác định vị trí M, N, P để chu vi tam giác MNP đạt giá trị nhỏ Bµi (2,0 ®) Cho biÓu thøc P = ( 3xx−+39 − √2x√+3x − √ x√−x ) :( 2√√xx−3−2 − 1) Tìm x để biểu thức có nghĩa Rót gän biÓu thøc P T×m GTLN cña P Bµi (2,0 ®) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ x +3 y=4 − x y +2 x =7(x +1) ¿{ ¿ Gi¶ sö ph¬ng tr×nh: (m – 4)x2 – 2(m – 2) x + m – = cã hai nghiÖm Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm độc lập với m Bài (1,5 đ) Tìm a để hai đờng thẳng y = (a2 + 4) x + a và y = 5ax + song song với Bài (3,5đ) Cho nửa đờng tròn (O), đờng kính AB và tia tiếp tuyến Bx nửa đờng Trên tia Bx lấy điểm C, D (C: nằm B và D) Các tia AC và AD lần lợt cắt đờng tròn E và F; hai dây AE và BF cắt M Hai tia AF và BE c¾t t¹i N Chøng minh r»ng: MN // Bx Tứ giác CDFE nội tiếp đợc Bµi (1,0 ®): Cho sè x, y, z tho¶ m·n x + y + z + xy + yz + zx = Chøng minh r»ng : x2 + y2 + z2 C©u (1.5 ®): TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: A = C©u 2(1.5 ®): √70 −30 √ 5+ √ 45 −20 √ √5 (6) Gi¶i ph¬ng tr×nh : √ 2− x + √ x+5 = ; C©u (2 ®) : Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : C©u (2.5 ®): ¿ x 2+ y − xy=13 x + y=2 ¿{ ¿ Cho hµm sè : y = (m+1)x ❑2 - 2mx + m a) Vẽ đồ thị hàm số m = 0; b) Tìm m để điểm A(3,1) thuộc đồ thị hàm số trên c) Tìm m để phơng trình (m+1)x ❑2 - 2mx + m = có hai nghiệm ph©n biÖt tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : x1 x2 + =4 x2 x1 d) CMR: ph¬ng tr×nh (m+1)x ❑2 - 2mx + m = lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt m -1 C©u (2.5 ®): Cho tam giác ABC cạnh a ,các đờng cao BM và CN Gọi O Lµ trung ®iÓm cña BC a) CMR : bốn điểm B,C,M,N thuộc đờng tròn tâm O b) Gọi giao điểm BM và CN là G CMR điểm G nằm đờng tròn tâm O, còn điểm A nằm ngoài đờng tròn tâm O Bµi 1: Cho biÓu thøc: A = (1+ x + √ x ) (1 - x − √ x ) + ( 2) x √x √ x +1 √ x −1 a) Tìm các giá trị x để biểu thức A có nghĩa b) Rót gän biÓu thøc A c) Tìm các giá trị cuả x để A = Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh mx2 - (2m +3)x + m-4 = ( víi m lµ tham sè) a) Tìm tất các giá trị m để phơng trình đã cho có nghiệm b) Tìm tất các giá trị m để phơng trình đã cho có nghiệm phân biệt, đó có nghiệm nhỏ nghiệm còn lại lớn Bµi 3: Cho hµm sè y = 2x+1 vµ ®iÓm M (a; b) ; N (2a;3b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a, b để đồ thị hàm số qua điểm M và N Bài 4: Cho hình thang cân ABCD (BC//AD) hai đờng chéo AC, BD cắt ®iÓm O cho BOC = 600 Gäi I, M,N,P,Q lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c ®o¹n th¼ng BC, OA, OB, AB, CD a) Chứng minh tứ giác DMNC nội tiếp đợc b) Chứng minh tam giác MNQ là tam giác c) Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c MNQ Chøng minh r»ng ®iÓm H, O, I th¼ng hµng Bµi 5: Cho a, b,c lµ sè tho¶ m·n a > b> vµ c2 >ab Chøng minh r»ng : c +a c+b > 2 2 √c +a √ c +b P C©u 1: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: a) Rót gän biÓu thøc P x2 x x x 1 2x x1 x1 2(x 1) x1 (7) b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P C©u 2: (2,5 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2(m – 1)x + 2m – = a) Gi¶i ph¬ng tr×nh m = b) Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m c) Gọi x1 và x2 là nghiệm phơng trình Tìm m để x12 + x22 = Câu 3: (1,5 điểm) Tìm số a và b cho đờng thẳng y = ax + b qua điểm M(2; 4) vµ ®iÓm N(5; 2) C©u 4: (3 ®iÓm) Cho gãc vu«ng xOy vµ ®iÓm A, B trªn c¹nh Ox (A n»m gi÷a O và B) Điểm M trên cạnh Oy Đờng tròn (T) đờng kính AB cắt tia MA và MB lần lợt điểm thứ là C và E Tia OE cắt đờng tròn điểm thứ là F a) Chứng minh tứ giác OAEM nội tiếp đờng tròn Tìm tâm đờng tròn đó? b) Tø gi¸c OMFC lµ h×nh g×? T¹i sao? c) Chøng minh hÖ thøc: OE.OF + BE.BM = OB2 x2 y2 4 x y C©u 5: (1 ®iÓm) Cho xy = vµ x > y Chøng minh: C©u (2 ®iÓm ):Cho biÓu thøc A= (1− √ x −1 )( √ x +3 − √ x+ + √ x+2 ) √ x +1 √ x −2 √ x −3 x −5 √ x+6 a)Tìm các giá trị x để biểu thức A có nghĩa b) Rót gän biÓu thøc A C©u (1,5 ®iÓm): 1)Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau : ¿ ( x+2 y )=3 x − x + 4=3(x − y)−12 ¿{ ¿ 2) Tìm các giá trị m để đờng thẳng sau đây đồng quy : y=3 x -2; y=2- x ; y=-2 x +2m-5 C©u 3(2,5 ®iÓm) : 1) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh bËc hai : ax 2+ bx +c=0 (a ≠ 0) cã nghiÖm tr¸i dÊu vµ chØ a.c<0 2) Tìm tất các giá tri m để phơng trình : (m+1)x ❑2 − x −1=0 cã nghiÖm nhÊt 3)Gi¶i c¸c phu¬ng tr×nh sau : ( x 2+ x +2 ) =6(x 2+ x +2) C©u 4(3 ®iÓm) : 1)Cho tam giác cân Δ ABC có đáy BC và góc A=20 ❑0 trên nửa mặt phẳng bờ AB kh«ngchøa ®iÓm C lÊy ®iÓm D cho DA=DB vµ gãc DAB=40 ❑0 Gäi E lµ giao ®iÓm cña AB vµ CD a) Chøng minh ACBD lµ tø gi¸c néi tiÕp b)TÝnh gãc AED 2)Diện tích toàn phần hình nón có chiều cao h=16 cm và bán kính đờng tròn đáy r=12 cm là : A: 382 Π cm2 B: 383 Π cm2 (8) C: 384 Π cm2 D: 385 Π cm2 Hãy chọn câu trả lời đúng C©u 5(1®iÓm) 1) Chøng minh r»ng víi mäi a; b; c; d R ta cã : (ab+cd) ❑2 ≤(a 2+ c 2)(b 2+ d 2) dÊu b»ng x¶y nµo ? 2) Chøng minh r»ng nÕu : x ≥ 1; y ≥ ta cã : √ x −1+√ y −1 ≤ √ xy Bµi I (2 ®iÓm) Gäi x1 , x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 2x2 + 2mx + m2 – = 1 + + x + x =1 x1 x2 2/ T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: A=|2 x x + x 1+ x2 − 4| 1/ Víi gi¸ trÞ nµo cña m th×: Bµi II (1,5 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x2 + 3x + ) ( x2 + 7x + 12 ) = 120 Bµi III (2 ®iÓm) ¿ x √ y + y √ x=6 2 x y + y x =20 ¿{ ¿ Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: Bµi IV (3,5 ®iÓm) Cho M là điểm thay đổi trên đờng tròn (O) tâm O, đờng kính AB Đờng tròn (E) tâm E tiếp xúc với đờng tròn (O) M và AB N Đờng thẳng MA, MB cắt đờng tròn (E) các điểm thứ hai C và D khác M 1/ Chøng minh CD song song víi AB 2/ Gọi giao điểm MN với đờng tròn (O) là K ( K khác M ) Chứng minh M thay đổi thì điểm K cố định và tích KM.KN không đổi 3/ Gäi giao ®iÓm cña CN víi KB lµ C’ vµ giao ®iÓm cña DN víi KA lµ D’ Tìm vị trí M để chu vi tam giác NC’D’ nhỏ Bµi V (1 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: y=√ x2 +2 x+ 1+ √ x − x +4 Bài (2 điểm) Cho biểu thức P = ( x √ x+2√√xx− x − − √ x1−1 ) :( 1+ √ √x+x ) Rút gọn P Tìm x để P Bài (2 điểm) x +2 2 − x x − x +1 Cho biểu thức M = x + x +1 −3 : x +1 − x Rút gọn biểu thức M Với giá trị nào x thì M Với giá trị nào x thì M có giá trị nguyên Bài (2 điểm) Cho phương trình x2 – 2mx – m2 – = (1) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm x 1, x2 với m Khi đó hãy tìm hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc m Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn ( ) (9) x1 x2 + =− x2 x1 Bài (2 điểm) Cho hệ phương trình 2x+3y=m -5x+y=-1 Giải hệ phương trình m=3 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x,y) thỏa mãn x0, y0 Bài (2 điểm) Giải phương trình x −2 x + √ − x +2 x=4 Giải hệ phương trình Bài (2 điểm) Cho hàm số x+y=4 x2+y2=10 y=− x Vẽ đồ thị (P) hàm số trên Trên (P) lấy hai điểm M và N có hoành độ -2, viết phương trình đường thẳng MN Xác định hàm số y=ax+b Biết đồ thị (D) nó song song với đường thẳng MN và cắt (P) điểm Bài (2 điểm) Chứng minh với x,y ta luôn có 1 + ≥ x y x+ y Dấu “=” xảy nào Cho a, b thỏa mãn a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 1 + 2 ab a +b Bài (2 điểm) Trong ∆ABC cho góc nhọn B gấp đôi góc nhọn C Kéo dài AB phía B đoạn BE=BH, với H là chân đường cao hạ từ A, HE cắt AC D Chứng minh ∆DHC cân Từ đó suy D là trung điểm AC Chứng tỏ ∆ADE và ∆ABC đồng dạng Từ đó suy 2DH2 = AB.AE Bài (2 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O,R) có hai đường chéo AC, BD vuông góc với I ( I khác O ) Chứng minh IA.IC = IB.ID Vẽ đường kính CE Chứng minh tứ giác ABDE là hình thang cân Từ đó suy AB2 + CD2 = 4R2 Bài 10 (2 điểm) Cho hình chóp tam giác S.ABC có tất các cạnh a Gọi O là trung điểm đường cao SH hình chóp Chứng minh OAOB (10) Tính thể tích khối chóp O.SAB Bµi 1(2 ®iÓm): Cho A= 1+ x+ √ x 1− x − √ x + x 2− √ x+1 √ x −1 √x a) Tìm x để A có nghĩa b) Rót gän A c) Chøng minh r»ng: A 3/4 ( )( Bµi 2(0,75 ®iÓm): Cho B= ) ( ) x −8 x +1 − 4 x +2 x +4 x − x +1 Chøng minh r»ng B kh«ng phô thuéc vµo x Bµi 3(0,75®iÓm): Gi¶i ph¬ng tr×nh: x + 1+ x - 1= + x2 - 1 Bµi 4(0,75®iÓm): Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ ( x+ 5)( y − 4)=xy ( x −5)( y +2)=xy ¿{ ¿ Bµi 5(0,75 ®iÓm): Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 + 24x2 - 25 = Bµi 6(0,75 ®iÓm): Cho parabol (P): y = ax2 vµ ®iÓm A(1 ; 1) Viết phơng trình đờng thẳng AB Biết A (P) và B (P) với hoành độ điểm B lµ x = Bµi 7(0,75 ®iÓm): Cho a 1; b 1 + ≥ Chøng minh r»ng: 2 1+ a 1+b 1+ ab Bài 8(1 điểm): Cho đờng tròn (O), đờng kính AB, điểm I nằm A và O Kẻ d©y MN vu«ng gãc AB t¹i I LÊy ®iÓm C thuéc cung lín MN cho C kh«ng trïng víi M, N vµ B Nèi AC c¾t MN t¹i E a) Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM và AM = AE.AC b) Chøng minh r»ng: AE.AC - AI.IB = AI2 Bài 9(1,5 điểm): Cho tam giác ABC có các góc nhọn Vẽ các đờng cao BD và CE Gäi H lµ giao ®iÓm BD vµ CE a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp đờng tròn b) Chứng minh: OA ED với O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 10(1điểm): Cho hình chóp S.ABCD;.SO là đờng cao hình chóp, cạnh AB = 2cm; SB = 2cm a) Chøng minh r»ng: DB SC b) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S.ABCD Bµi 1: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: A= ( x−y x3 − √ y ( √ x − √ y ) + √ xy +√ : y− x √x −√ y √ x +√ y ) 1) (1 ®iÓm) Rót gän A 2) (1 ®iÓm) CM: A Bài 2: (1 điểm) Trong hệ toạ độ Oxy cho đờng thẳng: d1: 3x + 2y = d2: x + 4y = C/m: d1 c¾t d2 Bµi 3: (2 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh (11) x2 - 2(m+2)x + m + = (x lµ Èn) a) (1 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh m = − b) (1 điểm) Tìm các giá trị m để phơng trình có nghiệm x1, x2 t/m: x1(1 - 2x2) + x2(1 - 2x1) = m2 Bài 4: (4 điểm) Cho đờng tròn tâm O và dây AB đờng tròn (O) C thuộc tia AB (C nằm ngoài đờng tròn) Từ điểm chính P cung lớn AB, kẻ đờng kính PQ cắt dây AB D Nối CP cắt đờng tròn I Nối QI cắt AD K a) (1 ®iÓm) C/m: tø gi¸c PDKI néi tiÕp b) (1 ®iÓm) C/m: CI.CP = CK.CD c) (1 ®iÓm) C/m: IC lµ ph©n gi¸c ngoµi ABI d) (1 điểm) cho A, B, C cố định, c/m: đờng tròn (O) thay đổi thì QI luôn qua điểm cố định Bµi 5: (1 ®iÓm): C/m: víi xy th×: 1 + ≥ 2 1+ x 1+ y 1+ xy Bµi 1: (2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x2 - 5x + = Xác định hệ số a, b hàm số: y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng qua A (1; 4011), BC (-1; 1) Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: A= ( √√x +2x − √ √x −x + x√−x −14 ) : x −1 Tìm x để biểu thức có nghĩa: CMR biÓu thøc trªn kh«ng phô thuéc vµo x Bµi 3: (2 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2mx + m-1 = CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn x 21+ x 22=4 Bài 4: (3 điểm) Cho ABC nội tiếp đờng tròn tâm (O) DE là đờng kính vuông góc với BC H Qua E kẻ đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng AC I đờng thẳng này cắt đờng tròn điểm thứ là K Chứng minh điểm H, E, I, C cùng nằm trên đờng tròn Qua D kẻ đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng AC N Chøng minh r»ng tø gi¸c DNIK lµ h×nh ch÷ nhËt Chøng minh r»ng NI = AB Bµi 5: (1 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P= 6018 x − 8024 x 1+ x (12) Bµi 1(3 ®iÓm) 1, Gi¶i ph¬ng tr×nh: x −3 x +2=0 ¿ 2, Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: √ x −2(x + y )=0 x+2 y=1 ¿{ ¿ x −(2 m−1)x +m( m−1)=0 3, Cho ph¬ng tr×nh CMR ∀m pt lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖp cña pt víi x1<x2 Tìm m để P= x − x 21 đạt giá trị lớn Bµi (2,5 ®iÓm) 2( x − 1) Cho biÓu thøc Q= x − √ x − x + √ x + x + √ x+ √x √ x−1 Rót gän biÓu thøc Q Chøng minh Q Tìm x để Q=1 Bµi (3,5 ®iÓm) Cho ABC c©n t¹i A (AB>BC) néi tiÕp (O,R) vµ ®iÓm M bÊt k× trªn cung nhá AC Tia Bx vu«ng gãc víi AM c¾t tia CM t¹i D C/M: Gãc AMD= gãc ABC C/M: BMD c©n Xác định vị trí M để tứ giác ABMD là hình thoi Tính AM vị trí đó biết góc BAC= 300 Bµi 4: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 2 R= (x +16∨x∨+ 48)(2 x +12∨x∨+27) x Bµi (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: ( √ a − √ b ) + √ ab a √ b −b √ a P= √ a+ √ b √ ab 1/ Tìm điều kiện a và b để P có nghĩa; 2/ Rót gän P vµ tÝnh gi¸ trÞ cña P a= √ ; b= √ (tuyển tập 50 đề thi vào lớp 10 Lê Mộng Ngọc) Bµi (3 ®iÓm) 1/ Gi¶i ph¬ng tr×nh x −3|x|− 4=0 2/ Cho ph¬ng tr×nh x2 –15mx+9m=0 (1) Tìm m để phơng trình ((s có nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn 1 − =1 x1 x2 (s¸ng t¸c) Bµi (3 ®iÓm) Cho ABC có góc nhọn, bên ngoài tam giác vẽ hai nửa đờng tròn có đờng kính AB, AC Một đờng thẳng (d) quay quanh A và cắt hai nửa đờng tròn theo thø tù t¹i M vµ N (kh¸c A) 1/ Chứng tỏ BCNM là hình thang vuông và trung điểm BC cách M vµ N; 2/ Chứng minh trung điểm MN luôn nằm trên đờng tròn cố định (d) thay đổi; (13) 3/ Giả sử ABC vuông A, xác định M, N cho chu vi tứ giác BCNM lín nhÊt (s¸ng t¸c) Bµi (1 ®iÓm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a và có A=1200 C¹nh bªn SA=SC=a; SB=SD Chøng minh SO (ABCD) vµ tÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S.ABCD (s¸ng t¸c) Bµi (1 ®iÓm) Cho x, y >0 vµ x+y=1 1 T×m GTNN cña A= − 1− ( x )( Bµi 1: Cho biÓu thøc A = y ) 3+ √ x x − √x − − − x 3+ √ x − √x Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa: Chøng minh r»ng: A ¿ √ x 3+ √ x Tìm x để A < Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (2m+1)x + 5m - = Gi¶i ph¬ng tr×nh m = 2 Chứng minh với m R, phơng trình đã cho luôn có nghiệm ph©n biÖt x1, x2 vµ x2 - x 1 Bµi 3: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: x + 2y = x2 + y2 + 2x = Bµi 4: Cho Δ ABC vu«ng t¹i C vµ ®iÓm I n»m trªn c¹nh AB Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB cã chøa ®iÓm C, kÎ tia Ax, By cïng vu«ng gãc víi AB §êng th¼ng ®i qua C vµ vu«ng gãc víi IC c¾t Ax, By lÇn lît t¹i M, N Chøng minh MIN = 900 Chøng minh Δ CIA ~ Δ CNB Xác định vị trí điểm I để SMIN = 2SACB (SMIN, SACB lÇn lît lµ diÖn tÝch c¸c tam gi¸c MIN, ACB) C©u 1.( ®iÓm ) XÐt biÓu thøc: a) Rót gän P x1 x x 2 x x x x P= (14) b) Tìm các giá trị x để P= C©u 2.( 2,5 ®iÓm ) 1.( 1,5 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh: x 2(m 1) x m o (1) a) Tìm m để phơng trình có nghiệm b) Gäi x1, x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P= x12 + x22 2.( ®iÓm ) Gi¶i phng tr×nh: (x – 1)(x – 3)(x – 5)(x – 7)= 20 (2) Câu 3.(4 điểm ) Cho tam giác ABC cân A (AB > BC) nội tiếp đờng tròn tâm O và đỉêm M thuộc cung nhỏ AC Tia BC AM cắt tia CM D a) Chøng minh r»ng: AMD ABC b) Chøng minh tam gi¸c BMD c©n c) Chứng minh M di động thì D chạy trên đờng tròn cố định và độ lớn góc BDC không đổi d) Xác định vị trí M để tứ giác ABMD là hình thoi Tính AM vị trí đó biết BAC và bán kính đờng tròn (O) là R C©u 4.( 1,5 ®iÓm ) Cho: x y 1 vµ tháa m·n 2x + y 2 x2 y2 Chøng minh r»ng: Bµi 5: Cho sè thùc a, b tho¶ m·n: a + b = √ 10 Chøng minh r»ng: (1 + a4) (1 + b4) > 45 §¼ng thøc x¶y nµo? Bµi 1: Cho biÓu thøc A= x2 + x −6 x − x +6 1) Tìm giá trị x để A có nghĩa 2) Rót gon A 3) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A<0 Bµi 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( x +1 ) ( 12 x −1 ) ( x +2 ) ( x+ ) − 4=0 Bài 3: Trong hệ trục toạ độ vuông góc oxy, cho parabol (P) có phơng trình: y = x2 1) VÏ (P) 2) Trên (P) lấy hai điểm A và B có hoành độ lần lợt là và Hãy viết phơng trình đờng thẳng AB 3) Lập phơng trình đờng trung trực (D) đoạn AB 4) Tìm toạ đọ giao điểm (D) và (P) Bài 4: Cho Δ ABC vuông A và đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm o đờng kính AH, đờng tròn này cắt AB E và cắt AC F (15) 1) Chøng minh: E, O, F th¼ng hµng 2) Tiếp tuyến với đờng tròn vẽ từ E và F cắt BC theo thứ tự M và N Xét xem Δ MON có đặc điểm gì? 3) Cho AB = 8, AC = 14 TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c MEFN C©u 1: (2 ®iÓm) a) Rót gän: Ρ= a a+ √ a2+ 1 − : ; ∀ a>1 2 √ a −1 √ a −1 a− √ a2 −1 b) Chøng minh r»ng: P>0; a>1 C©u 2: (2 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh: x −(2 m+1) x +2 m=0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = b) Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm x , x 2 c) Tìm m để: x 1+ x 2=1 C©u 3: (2 ®iÓm) Cho hµm sè: y=− x+5 ; y= x a) Vẽ đồ thị hàm số trên cùng hệ trục toạ độ xoy b) Chứng minh đồ thị câu a và trục hoành cắt điểm phân biệt tạo thành tam giác Tính chu vi, diện tích tam giác đó C©u 4: (4 ®iÓm) Cho Δ ABC có đờng cao AH Gọi H1, H2 lần lợt là điểm đối xứng H qua AB, AC §êng th¼ng H1H2 c¾t AB, AC lÇn lît t¹i K,I a) Chøng minh r»ng: BI AC b) Chứng minh rằng: AH, BI, CK là đờng thẳng đồng quy C©u 5: (1 ®iÓm) Cho: x+ y=5 Chøng minh r»ng: x 2+ y ≥1 C©u 1: (2 ®iÓm) x x x A : x x x 1 x x 1 x x x x x Cho biÓu thøc a) Rót gän A b) Xác định giá trị x để A C©u 2: (3 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh: mx2 - 4x - (m+3) = (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) m=1 b) Xác định giá trị m để: i- PT (1) cã nghiÖm tr¸i dÊu ii- Biểu thức x1 - x2 đạt giá trị nhỏ Trong đó x1, x2 là nghiệm phơng tr×nh (1) C©u 3: (4 ®iÓm) Cho hình vuông ABCD E, F là điểm di động trên cạnh BC, CD cho EAF = 450 Hai ®o¹n th¼ng AE, AF lÇn lît c¾t BD t¹i M vµ N, vÏ AH EF Chøng minh a) Các tứ giác ABEN, ADFM nội tiếp đợc đờng tròn b) Ba đờng thẳng AH, FM, EN đồng quy c) Đờng thẳng EF luôn tiếp xúc với đờng tròn cố định (16) d) SAMN = S MNFE C©u 4: (1 ®iÓm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác 1 1 1 2 a b c Chøng minh p a p b p c (Trong đó P là nửa chu vi tam giác) Bµi 1: (2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x - x + 12 = Bµi 2: (5 ®iÓm) Cho biÓu thøc: a− 1 a a−2 E= √ − + √ : 1− √ a − √ a− 1+3 √ a √ a+1 a) Tìm điều kiện cần có a để E có nghĩa và rút gọn E b) Tìm giá trị a để E= Bµi 3: (3 ®iÓm) Cho hai đờng thẳng d1: y = - x + b và d2: y = ax – Biết d1 qua M(1; ( )( ) 1), d2 ®i qua N ; (2 ) a) Tìm toạ độ giao điểm d1 và d2 b) Vẽ hai đờng thẳng trên cùng mặt phẳng toạ độ Bµi 4: (2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x2 −2 x+3=x +1 Bài 5: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A Các c¹nh bªn SA = SB = SC I, J lÇn lît lµ trung ®iÓmcña BC, BA Chøng minh r»ng SI ⊥ mf ( ABC ) Bµi 6: (4 ®iÓm) Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R và điểm M trên nửa đờng tròn ( M khác A, B ) Một đờng thẳng (d) tiếp xúc với nửa đờng tròn M và cắt đờng trung trực đoạn AB điểm I Đờng tròn tâm I tiếp xúc với AB cắt đờng thẳng (d) C và D (C nằm góc MBA ) a) Chøng minh: AOC COM ; BOD DOM b) Chøng minh CA vµ DB vu«ng gãc víi AB c) Chứng minh: Δ AMB đồng dạng với Δ COD d) Chứng minh AC.BD = R2 Xác định vị trí điểm M cho diện tích hình thang ABCD nhá nhÊt Bµi 7: (2 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè: y=√ x +4 √ x − + √ x − √ x − Bµi 1: ( ®iÓm) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x2 – 5x – = b) Tìm a, b cho đồ thị hàm số y = 4x + qua A (b; a), B (a – 1; b + 1) Bµi 2: ( ®iÓm) x x x x 2x (x 1)( x 1) x x x Cho biÓu thøc A = a) Tìm điều kiện x để A có nghĩa b) Rót gän A c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A (17) Bµi 3: (1,5 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh: x2 – mx – m2 – 3m –5 = a) Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm x1 , x2 ph©n biÖt víi mäi m b) Tìm các giá trị m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn: 2x1 + 5x2 = Bµi 4: ( 3,5 ®iÓm) Cho Δ ABC vuông A, đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH Kẻ BD và CE tiếp xúc với đờng tròn theo thứ tự D và E a) Chøng minh r»ng: BD// CE b) Chøng minh r»ng: BD.CE = DE c) HD c¾t AB ë M vµ HE c¾t AC ë N Chøng minh r»ng MN vµ AH b»ng vµ c¾t t¹i trung ®iÓm cña chóng d) Trên đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng(ABC) B lấy điểm S khác B Chøng minh c¸c mÆt cña tø diÖn SABC lµ c¸c tam gi¸c vu«ng Bµi 5: ( ®iÓm) Cho x, y, z lµ c¸c sè tho¶ m·n: x + y + z = vµ xy + yz + zx = TÝnh: A=(1 – x) 2004 + y 2005 + (z –1) 2006 Bài 1(2đ) ( 36 đề thi vào 10 – Võ Đại Mau chủ biên) Cho biÓu thøc A= √ a+ − √ a −2 √ a+1 a+2 √ a+1 a − √a Tìm điều kiện để biểu thức trên có nghĩa Rót gän biÓu thøc Bài 2(2đ)( 36 đề thi vào 10 – Võ Đại Mau chủ biên) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö a8 + a4 +1 ( ) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc S= ( 3+22 √2 − −22√ ) : √62 Bài 3(2đ) (23 chuyên đề các bài toán sơ cấp – Nguyễn Văn Vĩnh) Cho ph¬ng tr×nh x2- 2(m+1)x + m - = Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh trªn lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 Chøng minh r»ng biÓu thøc A = x1(1 – x2) + x2 ( – x1) kh«ng phô thuéc vµo m Bµi 4(2®) ( ¤n thi vµo 10 – Hµn Liªn H¶i) M vµ N cïng lµm mét c«ng viÖc giê 12 phót th× xong NÕu M lµm và N làm thì hai làm đợc 3/4 công việc Hỏi ngời làm công việc đó thì xong ? Bµi (2®) ( Tù s¸ng t¸c ) Cho hÖ ph¬ng tr×nh ¿ xy=m x 2+ y =2m+9 ¿{ ¿ Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi m = 10 (18) Chøng tá r»ng hÖ ph¬ng tr×nh trªn lu«n cã nghiÖm víi mäi m Bµi 6( 2®) (To¸n n©ng cao 9) Cho parabol (P) y = x2 và đờng thẳng (d) y = mx + 1 Tìm m để đờng thẳng qua điểm A(1;2) Chứng minh đờng thẳng (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt A và B Bµi 7(2®) T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh 1 1 2006 − x+ 2006 + + + .+ =√ 2 3 x ( x +1) √ 2006 − x+ 2007 Bµi 8(2®)(Tµi liÖu «n thi vµo 10 , 1996-1997- Së GD&§T Thanh Ho¸) Cho tam giác ABC cân đỉnh A ( BAC < 450 ).Lấy điểm M trên cạnh BC cho MB < MC Qua M kẻ lần lợt các đờng song song với AB,AC cắt AC,AB tơng ứng các điểm H,I Lấy điểm N đối xứng với M qua đờng thẳng HI Gọi giao điểm các đờng thẳng AN và BC là P Chøng minh r»ng INB lµ tam gi¸c c©n Chøng minh r»ng AHIN lµ h×nh thang c©n Bµi 9(2®)(Tµi liÖu «n thi vµo 10 , 1996-1997- Së GD&§T Thanh Ho¸) Cho đờng tròn (O) với dây AB, S là điểm chính cung nhỏ AB Từ S kÎ c¸c d©y SM, SN lÇn lît c¾t AB t¹i c¸c ®iÓm P, Q Chứng minh tứ giác MPQN nội tiếp đợc So s¸nh c¸c tam gi¸c SAM vµ SPA Chứng minh SA là tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác MAP Bµi 10(2®)( Bµi tËp h×nh häc 11) Một hình nón cụt có chiều cao 2a , độ dài đờng sinh l=a √ 13 và hai bán kính đáy lần lợt là a và 4a TÝnh diÖn tÝch xung quanh cña h×nh nãn côt TÝnh thÓ tÝch cña khèi nãn côt Bµi 1: (2®) Cho biÓu thøc P= √ x − − √ x+ + x √ x −1 x + √ x+1 √ x −1 1) Tìm điều kiện x để P có nghĩa (19) 2) Rót gän P 3) Tìm x để: P (x-1)- 0 Bµi 2: (2®) Cho ph¬ng tr×nh: x2 –2mx + m2 – = (1) (víi m lµ tham sè) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) m=3 2) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2, thoã mãn: x12 + 3x2 –6 =0 Bµi 3: (1,5®) Một nhà máy dự định sản xuất 1800 sản phẩm thời gian định Do tăng suất 40 sản phẩm giờ, nên đã hoàn thành sớm so với dự định là 30 phút Hãy tính suất dự kiến nhà máy Bµi 4: (3,5®) Cho tam gi¸c MNP vu«ng c©n t¹i N, K lµ ®iÓm tuú ý trªn c¹nh PN Qua P kÎ mét tia vu«ng gãc víi tia MK t¹i Q vµ c¾t tia MN t¹i L 1) CMR: Tứ giác MNQP nội tiếp và độ lớn góc NQL không phụ thuộc vào vị trÝ cña K 2) CMR: LQ.LP = LN.LM 3) CMR: Khi K chuyển động trên cạnh PN thì: MK.MQ + PK.PN không đổi Bµi 5: (1®) Cho x>0, y>0 vµ x2 + y2 = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: F= x3 + y3 Bµi 1: (1 ®iÓm ) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : ¿ x+ y=7 x −3 y=1 ¿{ ¿ Bµi 2: (3 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh bËc : x2 - 2(m + 1) x + m2 +2 = Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = Tìm m để phơng trình có nghiệm x = Tìm m để hai nghiệm x1 ; x2 phơng trình thoã mãn hệ thức : x12 + x22 =10 Bµi 3: (2 ®iÓm ) Cho biÓu thøc : P= √ x −1 − √ x +1 − √ x √ x+1 √ x −1 √ x Tìm điều kiện x để P có nghĩa Rót gän P Bµi 4: (3 ®iÓm ) Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB Một đờng thẳng d tiếp xúc nửa đờng tròn C Từ A và B kẻ AM , BN vuông góc với d ; (M,N thuộc d ) Gọi D là h×nh chiÕu cña C lªn AB Chøng minh : AM = AD Chøng minh : CD2 =AM BN ( )( ) (20) Chøng minh : Tam gi¸c MDN vu«ng Bµi 5: (1 ®iÓm ) T×m cÆp sè (x ; y) ; y nhá nhÊt tho¶ m·n : x2 + 5y2 + 2y - x y - = Bµi ( 2,0 ®iÓm ) Cho biÓu thøc A = ( 2a3 +1 − a −1 a a2 ).( −1) a2 +a+1 a2 −a+ 1) Rót gän A 2) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A Bµi 2( 2,0 ®iÓm) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2x2 – 5x + = 2) Cho đờng thẳng có phơng trình y = ax +b Tìm a , b biết đờng thẳng qua hai ®iÓm M ( ; − ¿ ; N (2 ; 3) 2 Bµi 3( 2,0 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : x2 –2(1 – a )x – ( 4a +1 ) = (1 ) 1) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi a 2) Tìm a để phơng trình (1 ) có nghiệm x1 ; x2 thoả mãn : 1 + =2 x1 x2 Bµi (3,0 ®iÓm ) Cho tam giác ABC có ^A=900 Dựng các đờng tròn (O) và (O’ ) có đờng kính tơng ứng là AB ; AC Các đờng tròn này cắt A và D 1) Chøng minh r»ng : B ; D ; C th¼ng hµng , suy hÖ thøc : 1 = 2+ 2 AD AB AC 2) Cho M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá CD AM c¾t BC t¹i E vµ c¾t (O) t¹i N Chøng minh tam gi¸c ABE c©n 3) Gọi I là trung điểm MN Chứng minh tứ giác AOIO’ nội tiếp đợc đờng tròn Bµi ( 1,0 ®iÓm ) a ≥2 1) Cho a > Chøng minh r»ng √a − 2) Cho x > 1; y > T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A= x2 y2 + y −1 x −1 Bµi1: (2.5 ®iÓm) Cho biÓu thøc A= 1 x + − √ 2+ √ x − √ x − x Tìm x để A có nghĩa Rót gän A Tìm x để A= Bµi 2: (2.5 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 4mx + 3m2 +2m – = Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m=1 Tìm các giá trị m để phơng trình có nghiệm phân biệt Xác định m để phơng trình nhận x=2 là nghiệm Bµi 3: (1 ®iÓm) (21) Tìm các giá trị m để hàm số: y = (2m - 1)x – đồng biến và đồ thị nó qua điểm (1;2) Bµi 4: (3 ®iÓm) Trên nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB, lấy điểm M bất kỳ(M không trùng với A,B) Từ A,B,M lần lợt kẻ các tiếp tuyến Ax, By, Mz với nửa đờng tròn đó Đờng thẳng AM cắt By C, BM cắt Ax D, Mz cắt Ax, By N, P Chứng minh: tứ giác AOMN nội tiếp đợc đờng tròn Tam gi¸c NOP lµ tam gi¸c vu«ng N, P lÇn lît lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AD vµ BC Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho ≤ a ≤1 ; ≤b ≤ ; ≤c ≤1 Chøng minh r»ng: a b c + + +(1− a)(1− b)(1− c )≤ b+c +1 a+ c+1 a+b+ Bµi 1: (1,5 ®iÓm) Cho biÓu thøc: x −2 ¿2 +8 x ¿ ¿ x2 ¿ ¿ A=√ ¿ 1) Rót gän biÓu thøc A 2) Tìm các giá trị nguyên x để biểu thức A có giá trị là số nguyên (c¬ b¶n vµ n©ng cao to¸n – t¸c gi¶ : Vò ThÕ Hùu) Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh: 2x2-2(m+2)x+m-3=0 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m=4 2) Tìm các giá trị m để nghiệm x và x2 phơng trình thoả mãn điều kiện x12+ x22=1 (N©ng cao vµ ph¸t triÓn to¸n 9- Vò H÷u B×nh) Bµi 3: (2,5 ®iÓm) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x+1=¿ 2x-3 2) Xác định hàm số có đồ thị là đờng thẳng qua gốc toạ độ và vuông góc với đờng thẳng y=-2x+3 Tìm toạ độ giao điểm A đờng thẳng y=-2x+3 và đờng thẳng đó (Tù s¸ng t¸c) Bµi 4: (3 ®iÓm) Xét đờng tròn (O;R), dây cung CD có trung điểm H Trên tia đối tia DC lấy điểm S và qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đờng tròn, đờng thẳng AB cắt các đờng thẳng SO, OH lần lợt E và F 1) Chøng minh OE.OS=R2 2) Chøng minh tø gi¸c SEHF néi tiÕp 3) Chứng minh rằng: Khi S di động trên tia đối tia DC thì đờng thẳng AB qua điểm cố định và góc C ^E D có độ lớn không đổi (Bộ đề thi vào 10) Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho a, b, c lµ sè d¬ng Chøng minh r»ng: a+b b+ c c+ a 1 + 2+ 2< + + 2 a +b b + c c + a a b c Bµi 1: (2 ®) Cho ph¬ng tr×nh: (22) (m-1)x2-2mx+m+1=0 (1) víi m lµ tham sè a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m=2 b) CMR ph¬ng trinh (1) lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt víi m 1 c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm x1, x2 thoã mãn hệ thức: x1 x2 0 x2 x1 Cho A= a+ √ a − − √ a+1 + √ a− a+ √ a− √ a+2 − √a a) Tìm điều kiện để biểu thức A có nghĩa b) Rót gän biÓu thøc A c) T×m a Z cho AZ Bµi 3:(2 ®) Cho Parabol (P): y= x2 và đờng thẳng (D) qua điểm A và B trên (P) có hoành độ lần lợt là: -2; a) Viết phơng trình đờng thẳng (D) b) Tìm điểm M trên cung AB (P) tơng ứng với hoành độ x[-2;4] cho MAB cã diÖn tÝch lín nhÊt Bµi 4: (3 ®) Chohẳửa đờng tròn đờng kính AB Trên nửa mặt phẳng có bờ là đờng thẳng AB chứa nửa đờng tròn ngời ta kẻ tiếp tuyến Ax và dây cung AC Tia phân Bµi 2: (2 ®) giác góc CAx cắt nửa đờng tròn D Các tia AD và BC cắt E Chøng minh ABE c©n t¹i B C¸c d©y AC vµ BD c¾t t¹i K Chøng minh EK AB Cho BAC 30 Chøng minh AK= 2CK Bµi 5: (1 ®) Gi¶i Ph¬ng tr×nh sau: x x 1996 1996 Bµi 1: (1,5 ®iÓm) Cho biÓu thøc A = ( 1− a √ a −√a +√a −a 1− √ a )( ) 1-Tìm a để biểu thức A có nghĩa 2-Chøng minh r»ng : A kh«ng phô thuéc vµo a Bµi 2: (2,5 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh : (m – 1)x2 – 2mx + m + = (m 1lµ tham sè) 1-Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 2-Chøng minh r»ng : ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ∀ m 3-Gi¶ sö ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1, x2 T×m hÖ thøc gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m Bài : (1,5 điểm) Gọi (d1) là đồ thị hàm số : y = mx + (d2) là đồ thị hàm số : y = 1/2x-1 1-Với m = -1/2 xác định toạ độ giao điểm (d1) và (d2) 2-Xác định giá trị m = ? để (d1) (d2) Bµi : (3,5 ®iÓm) Cho Δ ABC cã A = 900 Dùng ë miÒn ngoµi tam gi¸c c¸c h×nh vu«ng ABHK, ACDE 1-Chøng minh : H, A, D th¼ng hµng 2-Đờng thẳng HAD cắt đờng tròn ngoại tiếp Δ ABC F Chøng minh : Δ FBC vu«ng c©n (23) 3-Gi¶ sö ABC > 450 Gäi M lµ giao ®iÓm cña BF vµ ED Chøng minh : ®iÓm B,K, E, M, C cùng nằm trên đờng tròn Bµi : (1®iÓm) Cho P = x - √ xy + 3y - √ x + T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P Bµi ( ®iÓm ) : Cho biÓu thøc A = a − a − √ a+3 + √ a − √ a −1 a) Tìm a để A có nghĩa b) Rót gän A c) Tìm a để A Bµi ( 2,5 ®iÓm ) : a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x2 + 2x – 15 = b) Cho ph¬ng tr×nh : x2 + 2mx + m2 – = Chøng minh ph¬ng tr×nh trªn lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt m Tìm m để phơng trình trên có nghiệm x1 , x2 thoả mãn : x1 + x2 = 2x1x2 Bµi ( 1,5 ®iÓm ) : Cho A (a,b) ; B (2a,-b) Tìm a, b để hai điểm A, B cùng thuộc đồ thị hàm sè y = 2x – Bµi ( ®iÓm ) : Cho đờng tròn (O , R ) và đờng thẳng d cắt (O) hai điểm A , B Từ mét ®iÓm M trªn d kÎ c¸c tiÕp tuyÕn MN , MP víi (O) (N, P lµ c¸c tiÕp ®iÓm ) a) Chứng minh : góc NMO = góc NPO và đờng tròn (MNP) qua hai điểm cố định M di động trên d b- Xác định vị trí M để tứ giác MNOP là hình vuông c- Tìm tập hợp các tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MNP M di động trªn d Bµi ( ®iÓm ) : Cho - < x < T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A = ( – 3x ) ( 2x + ) ( x + ) C©u I (2,0®) So s¸nh √ 25 + √ a− b a2 b =¿ | a | Víi b a2 −2 ab+b √ Chøng minh r»ng: a>0; b C©u II (2,0®) vµ √ 25+9 Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 5x + 3m – = a.Tìm m để phơng trình có nghiệm b.Tìm m để phơng trình có nghiệm và tìm nghiệm Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: x+y=5 (24) 1 + = x y C©u III.(2,0®) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 – 3x2 + = Cho Parabol (P) y = x2 tìm đồ thị (P’) đối xứng với (p) qua đờng thẳng x = C©u IV.(2,0®) Cho đờng tròn tâm O, đờng kính BC = 2R Từ điểm A trªn đờng thẳng BC (AB > AC) vẽ tiếp tuyến AT Tiếp tuyến B cắt AT D CMR: ATO đồng dạng ABD, tính AO, BD, AD AT = R VÏ OM // BD (víi M AT) TÝnh TM vµ MD CMR: OM = MD TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c BOMD vµ MOD theo R C©u V (1,0®) Cho tứ diện OABC có AO, OB, OC đôi vuông góc vµ OA = OB = OC = a 1.CMR: OA BC 2.TÝnh VOABC C©u VI (1,0®) Gi¶i ph¬ng tr×nh Bµi 1: (2,5 ®iÓm) Cho biÓu thøc x2 + = y víi x, y Z t −1 − √ t + √t − √t A= √ a) Xác định t để biểu thức A có nghĩa b) Chøng minh r»ng: A= √t +1+ √t c) Xác định t để A = (Tù s¸ng t¸c) Bµi 2: (1,5 ®iÓm) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x − x −2=0 b) Gäi x , x lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x −2006 x +2007=0 , không tính nghiệm hãy xác định giá trị biểu thức: B=2 x1 − x x +2 x2 (Tù s¸ng t¸c) Bµi 3: (2 ®iÓm) Cho hµm sè y=− x+2 (*) a) Xét biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) b) Xác định a, b để các điểm M ( ; b) và N (a ; ) a+2 b+2 thuộc vào đồ thị hàm số (*) (Tù s¸ng t¸c) Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam giác ABC vuông A nội tiếp đờng tròn (O) Gọi K là điểm đối xứng với A qua BC, AK cắt BC H, gọi M, N lần lợt là chân đờng vu«ng gãc h¹ tõ H xuèng AB vµ AC (25) a) Chứng minh rằng: K là điểm nằm trên đờng tròn (O) t¸c) b) Chøng minh: HM.AB + HN.AC = AB.AC t¸c) AB BM = AC CN c) Chøng minh: (Tù s¸ng (Tù s¸ng (Tµi liÖu chuyªn To¸n: BT H×nh häc) (Nhãm biªn so¹n: GV Trêng chuyªn Lª Hång Phong) Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho a, b, c, d là các số dơng Chứng minh bất đẳng thức: 1 + a+ c b+d C©u (2 ®iÓm): Cho biÓu thøc: ≥ 1 + a b + 1 + c d a2 +3 √ a+1 −2 a M = √ a+1− +2− a a √a+ ( )( ) a) Tìm điều kiện biểu thức M có nghĩa b) Chøng minh r»ng biÓu thøc M kh«ng phô thuéc vµo a C©u (2.0 ®iÓm): Cho ph¬ng tr×nh bËc 2: x2-2(m+5)x+m2-2m+21=0 (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh m=1 b) Xác định m để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt thoả mãn điều kiện: 4x1+2m=x2+5 Câu 3: (1,5 điểm): Cho hàm số y=x2 có đồ thị (C) và đờng thẳng (d) có phơng trình y=2x+m+1 Xác định m để đờng thẳng (d) cắt đồ thị (C) ít ®iÓm Câu (3.5 điểm): Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng đờng kính AD=2R Hai đờng chéo AC và BD cắt K Hạ KH vuông góc với AD (H n»m trªn AD) a) Chứng minh tứ giác ABKH, CDHK nội tiếp đợc đờng tròn b) KÐo dµi AB vµ DC c¾t t¹i M Chøng minh r»ng ®iÓm M, K, H th¼ng hµng c) Hạ HE vuông góc với AM Cho biết AB=a, AH=b (a>0, b>0) Tính độ dài HE C©u (1 ®iÓm): Cho a>0, b>0 Chøng minh r»ng: ( a+b ) 1+ 1+ ≥ §¼ng thøc x¶y nµo? ( a )( b ) Bµi 1: ( ®iÓm ) a §¬n gi¶n biÓu thøc b Gi¶i ph¬ng tr×nh Bµi 2: ( ®iÓm ) A=(5 √ 3+ √50)(5 − √ 24 ):( √ 75 −5 √ 2) 1 7(x + )− 2( x2 + )=9 x x Cho biÓu thøc B=15 √ x −11 + √ x −2 − √ x+3 x+2 √ x − 1− √ x √ x+ a Tìm x để A có nghĩa b Rót gän A (26) c Chøng minh A ≤ Bµi 3: ( 1,5 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh: x −2( m+1)+2 m+1=0 a Gi¶i ph¬ng tr×nh m=3 b Xác định m để phơng trình có nghiệm x1,x2 thoả mãn: x 21+ x 22=6 Bµi 4: ( 3,5 ®iÓm ) Cho Δ ABC vuông A Trên cạch AC lấy điểm D vẽ (O) đờng kính CD, BD c¾t (O) t¹i ®iÓm thø hai E, AE c¾t (O) ë ®iÓm thø hai F, BC c¾t l¹i (O) t¹i I a CMR : tứ giác ABCE nội tiếp đợc đờng tròn ❑ ❑ b CM BCA =ACF c Lấy M đối xứng với D qua A, N đối xứng với D qua BC CMR D,N,I thẳng hàng và tứ giác BMCN nội tiếp đợc Bµi 5: ( ®iÓm ) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt (GTNN); gi¸ trÞ lín nhÊt (GTLN ) nÕu cã cña biÓu thøc 2 C=122 x +9 y − x − 66 xy +17 Bµi 1(2®): Cho biÓu thøc A = 9−a a− √ a+2 √a − : +√ − ( a −3 ) [ a −9 ( √a+ 3)( √ a− 2) √ a− √ a+3 ] a) Tìm a để A xác định b) Rót gän biÓu thøc A c) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc a = Bµi 2(2®): Cho ph¬ng tr×nh: 2x2 + (2m-1)x + m-1 =0 (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m= b)Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12+ x22=2 Bµi 3(1,5®): x √ x +(4 − x) √ − x =4 √ x+ √ − x Gi¶i ph¬ng tr×nh Bµi 4(3,5®): Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AC (AB>BC, AD > CD ) Gäi M lµ giao ®iÓm cña AB vµ CD N lµ giao ®iÓm cña AB vµ CB a) Chøng minh r»ng MN vu«ng gãc víi AC b) Chøng minh r»ng DA DN = DC DM c) §êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMN c¾t AC t¹i I (I A ) Gäi J lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD Chøng minh tø gi¸c DJIN néi tiÕp Bµi 5(1 ®): Cho a > 1; b > t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A= b a + a− b −1 (27) Câu 1: Tính giá trị biểu thức Câu 2: Cho A=( √ 125− √ − √ 45):( √ − √ 20) a −5 1 B= + + − a+1 a2 − √ a −1 √ a+1 a Tìm a để B có nghĩa b Rút gọn B c Tìm a để B nhận giá trị nguyên Câu 3: Cho phương trình (m+1)x2 - 2(m - 1) x + m – =0 a Giải phương trình với m=0 b Tìm m để tổng bình phương các nghiệm ¿ Câu 4: Giải hệ phương trình: √ x − y=1 x+ √ y=3 ¿{ ¿ Câu 5: Giải phương trình x3 – 2x (x-1) – 1= Câu 6: Cho hàm số y = a x +b a Xác định công thức hàm số biết nó qua điểm A(1; 1) và B(0; - 1) b Tìm toạ độ giao điểm đồ thị hàm số y = x với hàm số tìm câu a 3x Câu 7: Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức: P= x +1 Câu 8: Trên các cạnh AB, AC tam giác ABC lấy điểm M,N AM AN cho AB = AC Gọi I là trung điểm BC, K là giao điểm đoạn thẳng AI và đoạn thẳng MN Chứng minh: K là trung điểm đoạn MN Câu 9: Cho ABC, AD phân giác và AM là trung tuyến Đường tròn qua điểm A, M, D cắt AB E, cắt AC F Gọi I trung điểm EF Chứng minh IM // AD Câu 10: Cho hình chóp SABC : SB = AC, SC = AB M, N trung điểm SA và BC Chứng minh MN vuông góc với SA và BC Bµi Cho A = ( √ x − ¿ ( x − √ x − x+ √ x ) Víi < x ≠ 2 √ x √ x +1 √ x −1 a Rót gän biÓu thøc A b TÝnh A víi x = Bµi a Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau: ¿ + =17 x y − =1 x y ¿{ ¿ b Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: √ x −5=x − (28) Bµi Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m - 1)x + m2 + m - = Gi¶i ph¬ng tr×nh m = -14 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm Tìm m để tổng bình phơng các nghiệm 28 Bµi Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O, có hai đờng chéo AC và BD vuông gãc víi t¹i I Gäi M, N lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña I lªn AB, BC; Gäi P, Q lÇn lît lµ giao ®iÓm cña IM vµ CD, IN vµ AD Chøng minh r»ng: a Tam gi¸c QID c©n t¹i Q b RQ //AC c Tứ giác MNPQ nội tiếp đợc đờng tròn Bµi Cho hai sè d¬ng x, y tho¶ m·n: x + y = 2006 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = x(x2 - y) + y(y2 - x) (29)