Gởi Nguyễn Khánh Ninh Cho tam giác ABC nhọn AB < AC đường tròn O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E, D.. BD cắt CE tại H.[r]
(1)Gởi Nguyễn Khánh Ninh Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC E, D BD cắt CE H Các tiếp tuyến B, D đường tròn (O) cắt K AK cắt BC M MH cắt BK N Vẽ tiếp tuyến AS đến đường tròn (O) (S thuộc cung nhỏ CD) DK cắt AH I Chứng minh rằng: a) N, E, I thaúng haøng b) M, E, D thaúng haøng c) M, H , S thaúng haøng HƯỚNG DẪN GIẢI a) Từ ID là tiếp tuyến đường tròn (O), chứng minh I là trung điểm AH và IE là tiếp tuyến đường tròn (O) Gọi T (T khác A) là giao điểm đường tròn (O’) ngoại tiếp tam giác ABC và AK Vẽ đường kính AF (O’) Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành Do đó H,O,F thẳng hàng (1) Góc MIB = góc ACB (tứ giác BTAC nội tiếp), góc KDB = góc ACB (=1/2 sñ cung BD) Nên góc MTB = góc KDB Do đó tứ giác TKDB nội tiếp Mà góc KBO = góc KDO = 900 Nên tứ giác OBKD nội tiếp Ta có: B, T, K, D, O cùng thuộc đường tròn Goùc OTK = goùc OBK = 900 Maø goùc FTA = 900 Do vaäy F,O,T thaúng haøng (2) (2) Từ (1) và (2) có: T, H , O ,F thẳng hàng Tam giác MAO có AH, OT là đường cao nên MH OA (tại L) Do đó L thuộc đường tròn (AETHD) (góc ATH = góc AEH = góc ALH = goùc ADH = 900) => goùc ALE = goùc ADE Maø goùc ADE = goùc EBO Neân goùc ALE = goùc EBO Tứ giác BELO nội tiếp Mặt khác góc NBO = góc NLO = 900 nên tứ giác BNLO nội tiếp Ta có: B, N, E, L, O cùng thuộc đường tròn => góc NEO = góc NLO = 900 Goùc NEO + goùc OEI = 900 + 900 = 1800 Vaäy: N, E, I thaúng haøng b) Ta có góc MTE = góc ADI (tứ giác TADE nội tiếp), góc ADE = góc ABC Do đó góc ABC = góc MTE => tứ giác MTEB nội tiếp Góc MEB góc MTB Mà góc BED = góc BTA (cùng bù với góc ACB) Do vaäy goùc MEB + goùc BED = goùc MTB + goùc BTA = 1800 Vaäy M, E, D thaúng haøng c) OE IE Nên OE là tiếp tuyến đường tròn (AETHDL) tâm I => goùc OEL = goùc OAE Xeùt OEL vaø OAE coù goùc EOL chung, goùc OEL = goùc OAE Do đó OEL đồng dạng OAE (g.g) => Neân OA.OL = OS2 Xeùt OLS vaø OSA coù goùc LOS chung, OE OL = OA OE => OA.OL = OE2 OL OS = OS OA Do đó OLS đồng dạng OSA (c.g.c) Goùc OLS = goùc OSA Maø goùc OSA = 900 Neân goùc OLS = 900 Ta coù: goùc MLO + goùc OLS = 900+ 900 = 1800 M, L, S thaúng haøng Maø H, M, L, N thaúng haøng Neân M, N, H, L, S thaúng haøng Vaäy M, H, S thaúng haøng Người gởi: Nguyễn Đức Tấn, mong muốn liên lạc với bạn qua điện thoại (3)