Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a Bài 80: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, đỉnh A’ cách đều các điểm A, B,[r]
(1)Nguyễn Hải Hà 0983325739 – 0616272829 CHỦ ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI TAM GIÁC & CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH Hệ thức lượng tam giác vuông : Cho ABC vuông A ta có : A 2 Định lý Pitago : BC AB AC BA 2=BH BC ; CA 2=CH CB AB AC = BC AH 1 = 2+ AH AB AC AH2 = BH.CH ch B b c H Mb ’ a ’ BC = 2AM b c b c sin B , cosB , tan B , cot B a a c b b b b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a = sin B cos C , b = c tanB = c.cot C 2.Hệ thức lượng tam giác thường: * Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA a b c 2 R sin A sin B sin C * Định lý hàm số Sin: Các công thức tính diện tích a/ Công thức tính diện tích tam giác: a.ha a.b.c a b c a.b sin C p.r p.( p a)( p b)( p c) p 4R S=2 với S S AB AC Đặc biệt : * ABC vuông A : a2 * ABC cạnh a: b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng S d/ Diên tích hình thoi : S = (chéo dài x chéo ngắn) S (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao d/ Diện tích hình thang : e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao f/ Diện tích hình tròn : S R C (2) Nguyễn Hải Hà 0983325739 – 0616272829 QUAN HỆ SONG SONG – QUAN HỆ VUÔNG GÓC A.QUAN HỆ SONG SONG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm trên mp(P) và song song với đường thẳng a nằm trên mp(P) thì đường thẳng d song song với mp(P) ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) thì mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) thì cắt theo giao tuyến song song với a ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt cùng song song với đường thẳng thì giao tuyến chúng song song với đường thẳng đó d d (P) d / /a d / /(P) a (P) a / /(P) d / /a a (Q) (P) (Q) d (P) (Q) d d / /a (P) / /a (Q) / /a a (P) (Q) a d (P) d a Q P HAI MẶT PHẲNG SONG SONG ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với ĐL2: Nếu đường thẳng nằm hai mặt phẳng song song thì song song với mặt phẳng ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến chúng song song a,b (P) (P) / /(Q) a b I a / /(Q),b / /(Q) (P) / /(Q) a / /(Q) a (P) a b I P Q a P Q R (P) / /(Q) (R) (P) a a / / b (R) (Q) b P a b Q B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC 1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt a và b cùng nằm mp(P) thì đường thẳng d vuông góc với mp(P) d a ,d b a ,b mp(P) d mp(P) a,b caét d b P a (3) Nguyễn Hải Hà 0983325739 – 0616272829 ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng a không vuông góc với mp(P) và đường thẳng b nằm (P) Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ a trên (P) a a mp(P),b mp(P) b a b a' b a' P HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC ĐL1:Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với a mp(P) mp(Q) mp(P) a mp(Q) ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với thì đường thẳng a nào nằm (P), vuông góc với giao tuyến (P) và (Q) vuông góc với mặt phẳng (Q) (P) (Q) (P) (Q) d a (Q) a (P),a d Q ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với và A là điểm (P) thì đường thẳng a qua điểm A và vuông góc với (Q) nằm (P) ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba a P P a Q d P (P)Q A(P) a(P) Aa a(Q) a A Q (P) (Q) a a (R) (P) (R) (Q) (R) Q P a R KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng , đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách hai điểm M và H, đó H là hình chiếu điểm M trên đường thẳng a ( trên mp(P)) O O a H P d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH Khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng song song: Khoảng cách đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ điểm nào đó a đến mp(P) d(a;(P)) = OH a P O H H (4) Nguyễn Hải Hà 0983325739 – 0616272829 O Khoảng cách hai mặt phẳng song song: là khoảng cách từ điểm trên mặt phẳng này đến mặt phẳng d((P);(Q)) = OH P H Q a 4.Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: là độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng đó d(a;b) = AB A b B GÓC Góc hai đường thẳng a và b là góc hai đường thẳng a’ và b’ cùng qua điểm và cùng phương với a và b a a' b' b a Góc đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) là góc a và hình chiếu a’ nó trên mp(P) Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói góc đường thẳng a và mp(P) là 900 a' P Góc hai mặt phẳng là góc hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng đó Hoặc là góc đường thẳng nằm mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến điểm b a a b Q P Q P S Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích đa giác (H) mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) (H) trên mp(P’) thì S' Scos đó là góc hai mặt phẳng (P),(P’) A C B (5) Nguyễn Hải Hà 0983325739 – 0616272829 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU I/ CÁC CÔNG THỨC THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN : THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V = B.h (B: Sđáy ; h: chiều cao) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c (a,b,c là ba kích thước) Thể tích khối lập phương: với a là độ dài cạnh THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: V = a3 (a là độ dài cạnh) V= Bh (B: Sđáy ; h: chiều cao) S C' A' TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN V SABC SA SB SC = V SA ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' A B' C B A' THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT: h V = (B+B '+ √ B B ' ) B' C' A B C KHỐI NÓN 1 V = Bh= r2h 3 Sxq = rl V = Bh = r2h KHỐI TRỤ Sxq =2 rl V= KHỐI CẦU r S = 4 r (6) Nguyễn Hải Hà 0983325739 – 0616272829 Chú ý: 1/ Đường chéo hình vuông cạnh a là d = a , Đường chéo hình lập phương cạnh a là d = a , Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c là d = a a b2 c2 , 2/ Đường cao tam giác cạnh a là h = 3/ Hình chóp là hình chóp có đáy là đa giác và các cạnh bên (hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu đỉnh trùng với tâm đáy) 4/ Lăng trụ là lăng trụ đứng có đáy là đa giác (7) Nguyễn Hải Hà 0983325739 – 0616272829 II/ CÁC DẠNG TOÁN Loại 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy Ví dụ 1: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân A có cạnh BC = a và biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: Ta có ABC vuông cân A nên AB = AC = a AA' AB AA'B AA'2 A'B2 AB2 8a2 AA' 2a Vậy V = B.h = SABC AA' = a ABC A'B'C' là lăng trụ đứng Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên 4a và đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ ? Lời giải: ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên C' D' BD 3a 3a AB ABCD là hình vuông 9a2 Suy B = SABCD = BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 A' B' 4a 5a C D A B Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3 Ví dụ 3: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác cạnh a = và biết diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: Gọi I là trung điểm BC Ta có ABC nên C' A' B' AI A C I B AB 2 & AI BC A 'I BC(dl3 ) 2S SA'BC BC.A 'I A 'I A'BC 4 BC AA ' (ABC) AA ' AI A 'AI AA ' A 'I2 AI 2 Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC AA'= (8) Nguyễn Hải Hà 0983325739 – 0616272829 Ví dụ 4: Một bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ góc bìa hình vuông cạnh 12 cm gấp lại thành cái hộp chữ nhật không có nắp Tính thể tích cái hộp này C' D' A' D' C' D' D C A B A' B' B' D C A' A B Giải Theo đề bài, ta có AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD là hình C' vuông có AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm và chiều cao hộp h = 12 cm Vậy thể tích hộp là V = SABCD.h = 4800cm3 B' Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn 600 Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ lăng trụ.Tính thể tích hình hộp C' D' B' A' C D A a2 và SABCD = 2SABD = Theo đề bài BD' = AC = a a DD'B DD' BD '2 BD a a3 Vậy V = SABCD.DD' = B 60 Lời giải: Ta có tam giác ABD nên : BD = a Dạng 2: Lăng trụ có góc đường thẳng và mặt phẳng Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC góc 600 Tính thể tích lăng trụ C' A' Lời giải: A 'A (ABC) A 'A AB& AB là hình chiếu A'B Ta có trên đáy ABC B' Vậy C A 60o B góc[A 'B,(ABC)] ABA ' 60o ABA' AA ' AB.tan 600 a a2 BA.BC SABC = a Vậy V = SABC.AA' = (9) Nguyễn Hải Hà 0983325739 – 0616272829 Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông A với AC = a , hợp với (AA'C'C) góc 300 Tính AC' và thể tích lăng trụ A' C' Lời giải: Ta có: ACB = 60 o biết BC' ABC AB AC.tan 60o a AB AC;AB AA ' AB (AA'C'C) nên AC' là hình chiếu BC' trên (AA'C'C) B' Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = o 30 AC'B AC' BC'A AB 3a t an30o = 30o V =B.h = SABC.AA' A C a o 60 B AA'C' AA' AC'2 A'C'2 2a a2 S ABC là nửa tam giác nên ABC Vậy V = a Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh avà đường chéo BD' lăng trụ hợp với đáy ABCD góc 300 Tính thể tích và tổng diên tích các mặt bên lăng trụ Giải: Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta có: B' C' A' D' DD' (ABCD) DD' BD Vậy góc [BD';(ABCD)] = o 30 C D và BD là hình chiếu BD' trên ABCD DBD' 300 BDD' DD' BD.tan 300 B A a Vậy V = SABCD.DD' = a3 a S = 4SADD'A' = 4a Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và (ABCD) góc 30o Tính thể tích hình hộp A' D' o 30 A C B 60 o a D = 60o biết AB' hợp với đáy Giải C' B' BAD a2 SABD ABD cạnh a a2 SABCD 2SABD o ABB' vuông tạiB BB' ABt an30 a 3a3 V B.h SABCD BB' Vậy (10) Nguyễn Hải Hà 0983325739 – 0616272829 Dạng 3: Lăng trụ có góc mặt phẳng Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích lăng trụ A' C' Lời giải: Ta có B' A Vậy C o 60 B A 'A (ABC)& BC AB BC A 'B góc[(A 'BC),(ABC)] ABA ' 60o ABA' AA ' AB.tan 600 a a2 BA.BC SABC = a Vậy V = SABC.AA' = Ví dụ 2: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác Mặt (A’BC) tạo với đáy góc 30 và diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Giải: ABC ) C' A' AI BC mà AA' (ABC) nên A'I BC (đl Vậy góc[(A'BC);)ABC)] = A 'IA = 30o B' A 2x x Giả sử BI = x Ta có AI x A' AI : A' I AI : cos 30 2 x 3 AI 30o C B x I x A’A = AI.tan 300 = x 3 x 2 Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = Do đó VABC.A’B’C’ = Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật 10 (11) Nguyễn Hải Hà 0983325739 – 0616272829 Gọi O là tâm ABCD Ta có D' C' A' B' ABCD là hình vuông nên OC BD CC' (ABCD) nên OC' BD (đl ) Vậy góc[(BDC');(ABCD)] = COC' = 60o Ta có V = B.h = SABCD.CC' ABCD là hình vuông nên SABCD = a2 C D 60 OCC' O A a B vuông nên CC' = OC.tan60 Vậy V = o a = a3 Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) góc 60o và A'C hợp với đáy (ABCD) góc 30o Tính thể tích khối hộp chữ nhật D' A' C' B' (ABCD) Vậy góc[A'C,(ABCD)] = BC AB BC A'B (đl ) D o 30 B C A 'BA 60o 2a 2a o A 'AB AB = AA'.cot60 = 4a ABC BC AC2 AB2 3 16a Vậy V = AB.BC.AA' = A 'AC A AC là hình chiếu A'C trên (ABCD) A 'CA 30o Vậy góc[(A'BC),(ABCD)] = 2a o 60 Ta có AA' AC = AA'.cot30o = Dạng 4: Khối lăng trụ xiên Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác cạnh a , biết cạnh bên là đáy ABC góc 60o Tính thể tích lăng trụ Lời giải: A' C' B' Ta có Vậy C A a B o 60 H C'H (ABC) CH a và hợp với là hình chiếu CC' trên (ABC) góc[CC',(ABC)] C'CH 60o 3a CHC' C'H CC'.sin 600 2 a 3a 3 Vậy V = SABC.C'H = SABC = Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác cạnh a Hình chiếu A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC góc 60 1) Chứng minh BB'C'C là hình chữ nhật 2) Tính thể tích lăng trụ 11 (12) Nguyễn Hải Hà 0983325739 – 0616272829 A' Lời giải: C' 1) Ta có A 'O (ABC) OA là hình chiếu AA' trên (ABC) góc[AA ',(ABC)] OAA ' 60o Vậy Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt bên lăng trụ) AO BC trung điểm H BC nên BC A 'H (đl ) BC (AA 'H) BC AA ' mà AA'//BB' nên BC BB' B' A .Vậy BB'CC' là hình chữ nhật 60 o a 2a a AO AH 3 2) ABC nên AOA ' A 'O AO t an60o a a3 Vậy V = SABC.A'O = C O H B Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = AD = Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) tạo với đáy góc 450 và 600 Tính thể tích khối hộp biết cạnh bên Lời giải: D' C' Kẻ A’H ( ABCD ) ,HM AB, HN AD A' M AB, A' N AD (đl ) A'MH 45o ,A'NH 60o A' B' Đặt A’H = x Khi đó 2x D C N A A’N = x : sin 600 = 4x AA' A' N HM H M B AN = Mà HM = x.cot 450 = x 4x x Nghĩa là x = Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x = 3 LOẠI 2: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng vuông góc với (SBC) Tính thể tích hình chóp 12 (13) Nguyễn Hải Hà 0983325739 – 0616272829 Lời giải: Ta có A (ABC) (SBC) (ASC) (SBC) AC (SBC) a_ C B / / \ Do đó S 1 a2 a3 V SSBC.AC a 3 12 Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B với AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy góc 60o 1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông 2)Tính thể tích hình chóp Lời giải: S SA (ABC) SA AB &SA AC mà BC AB BC SB ( đl ) 1) Vậy các mặt bên chóp là tam giác vuông 2) Ta có SA (ABC) C a A Vậy góc[SB,(ABC)] = AB là hình chiếu SB trên (ABC) SAB 60o ABC vuông cân nên BA = BC = a2 BA.BC SABC = 60o a a SAB SA AB.t an60o 1 a2 a a3 V SABC SA 34 24 Vậy B Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) góc 60o Tính thể tích hình chóp Lời giải: Mlà trung điểm BC,vì tam giác ABC nên AM BC SA BC (đl3 ) S Vậy góc[(SBC);(ABC)] = C A 60 o a M B Ta có V = SMA 60o 1 B.h SABC SA 3 3a SAM SA AM tan60o 1 a B.h SABC SA Vậy V = Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy góc 60o 1) Tính thể tích hình chóp SABCD 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) Lời giải: 1)Ta có 13 SA (ABC) và CD AD CD SD ( đl (14) Nguyễn Hải Hà 0983325739 – 0616272829 ).(1) S Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = SDA = 60o H 60 o A D SAD vuông nên SA = AD.tan60o = a 1 a3 V SABCD SA a2 a 3 Vậy 2) Ta dựng AH SD ,vì CD (SAD) (do (1) ) nên CD AH AH (SCD) Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SCD) a B 1 1 2 2 2 2 AH SA AD 3a a 3a a Vậy AH = SAD C Dạng 2: Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a Mặt bên SAB là tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáyABCD, 1) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB 2) Tính thể tích khối chóp SABCD Lời giải: 1) Gọi H là trung điểm AB S SAB SH AB mà (SAB) (ABCD) SH (ABCD) 2) H B Vậy H là chân đường cao khối chóp D A a C a Ta có tam giác SAB nên SA = a3 V SABCD SH suy Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác ,BCD là tam giác vuông cân D , (ABC) (BCD) và AD hợp với (BCD) góc 60o Tính thể tích tứ diện ABCD Lời giải: Gọi H là trung điểm BC Ta có tam giác ABC nên AH (BCD) , mà (ABC) (BCD) AH A (BCD) Ta có AH HD AH = AD.tan60o = a a B H C 60 o D a & HD = AD.cot60o = 2a BCD BC = 2HD = suy 1 a3 SBCD AH BC.HD.AH V= Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B, có BC = a Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại tạo với mặt đáy góc 450 a) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC 14 (15) Nguyễn Hải Hà 0983325739 – 0616272829 b) Tính thể tích khối chóp SABC Lời giải: a) Kẽ SH BC vì mp(SAC) mp(ABC) nên SH mp(ABC) Gọi I, J là hình chiếu H trên AB và BC SI AB, SJ BC, theo giả S thiết SIH SJH 45o Ta có: ABC đó suy H là trung điểm AC H A 45 C I SHI SHJ HI HJ nên BH là đường phân giác J a a3 S ABC SH 12 b) HI = HJ = SH = VSABC= B Dạng 3: Khối chóp Ví dụ 1: Cho chóp tam giác SABC cạnh đáy a và cạnh bên 2a Chứng minh chân đường cao kẻ từ S hình chóp là tâm tam giác ABC Tính thể tích chóp SABC Lời giải: S Dựng SO (ABC) Ta có SA = SB = SC suy OA = OB = OC Vậy O là tâm tam giác ABC Ta có tam giác ABC nên 2a C A O a H B AO = 2a a AH 3 11a2 SAO SO2 SA OA a 11 a3 11 SO V SABC SO Vậy 12 Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất các cạnh có độ dài a 1) Chứng minh SABCD là chóp tứ giác 2) Tính thể tích khối chóp SABCD Lời giải: S Dựng SO (ABCD) Ta có SA = SB = SC = SD nên OA = OB = OC = OD ABCD là hình thoi có đường tròn gnoại tiếp nên ABCD là hình vuông Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên C D OS O A a a 2 1 a a3 V S ABCD SO a 3 B Ví dụ 3: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M là trung điểm DC a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy thể tích hình chóp MABC Lời giải: 15 ASC vuông S (16) Nguyễn Hải Hà 0983325739 – 0616272829 D a) Gọi O là tâm ABC DO ( ABC ) V S ABC DO a2 a S ABC OC CI , 3 M A C O I H DOC vuông có : DO DC OC a a a a3 V 12 a b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) là MH B a MH DO 1 a a a3 VMABC S ABC MH 3 24 Dạng 4: Khối chóp & PP tỉ số thể tích Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân B, AC a ,SA vuông góc với đáy ABC, SA a 1) Tính thể tích khối chóp S.ABC 2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng ( ) qua AG và song song với BC cắt SC, SB M, N Tính thể tích khối chóp S.AMN Lời giải: VS ABC S ABC SA a)Ta có: S + N C G A SA a ABC cân có : AC a AB a 1 a3 S ABC a V a a Vậy: SABC b) Gọi I là trung điểm BC M I và G là trọng tâm,ta có : B // BC MN// BC SG SI SM SN SG SB SC SI V SM SN SAMN VSABC SB SC 2a VSAMN VSABC 27 Vậy: Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân A và AB a Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D cho CD a Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD F và cắt AD E a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD CE ( ABD ) b) Chứng minh c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF 16 (17) Nguyễn Hải Hà 0983325739 – 0616272829 Lời giải: a3 V S CD ABCD V ABC a)Tính ABCD : AB ( ACD ) AB EC b)Tacó: AB AC , AB CD EC ( ABD ) Ta có: DB EC D F a E VDCEF DE DF (*) VDCEF V DA DB DABC c) Tính :Ta có: 2 Mà DE.DA DC , chia cho DA B C DE DC a2 2 DA DA 2a 2 DF DC a2 2 DB DC CB Tương tự: DB a A Từ(*) VDCEF 1 a3 V V VDABC Vậy DCEF ABCD 36 Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác SABCD Một mặt phẳng ( ) qua A, B và trung điểm M SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng đó Lời giải: S Kẻ MN // CD (N SD) thì hình thang ABMN là thiết diện khối chóp cắt mặt phẳng (ABM) N M D A O B C VSAND SN 1 VSANB VSADB VSABCD V SD 2 + SADB VSBMN SM SN 1 1 VSBMN VSBCD VSABCD VSBCD SC SD 2 4 Mà VSABCD VSABMN = VSANB + VSBMN = VSABCD Suy VABMN.ABCD = VSABMN V Do đó : ABMN ABCD Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc điểm SC Mặt phẳng qua AM và song song với BD, cắt SB E và cắt SD F a) Hãy xác định mp(AEMF) b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF Lời giải: a) Gọi I SO AM Ta có (AEMF) //BD EF // BD S VS ABCD S ABCD SO S a ABC D b) với M E B 60 Gọi M là trung I C F 17 (18) Nguyễn Hải Hà 0983325739 – 0616272829 + SO AO.tan 60 SOA có : VS ABCD a a3 Vậy : c) Phân chia chóp tứ giác ta có VS AEMF = VSAMF + VSAME =2VSAMF VS ABCD = 2VSACD = VSABC Xét khối chóp S.AMF và S.ACD Ta có : SM SC SAC có trọng tâm I, EF // BD nên: SI SF VSAMF SM SF 1 VSACD SC SD SO SD 1 a3 VSACD VSACD 36 VSAMF VS AEMF 2 a3 a3 36 18 Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, hình chiếu A lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD SA a Gọi B’, D’ là SC ( AB ' D ') b) Chứng minh c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Lời giải: S a) Ta có: VS ABCD a3 S ABCD SA 3 b) Ta có BC ( SAB) BC AB ' AB ' ( SBC ) B' C' D' & SB AB ' Suy ra: nên AB' SC Tương tự AD' SC Vậy SC (AB'D') c) Tính I B A +Tính VS A B 'C ' D ' VS AB 'C ' : Ta có: VSAB 'C ' SB ' SC ' (*) VSABC SB SC O D C SAC vuông cân nên SC ' SC SB ' SA2 2a 2a 2 SB SA AB 3a Ta có: SB V (*) SAB ' C ' VSABC Từ 18 (19) Nguyễn Hải Hà 0983325739 – 0616272829 VSAB 'C ' + a3 a3 3 VS A B 'C ' D ' 2VS A B 'C ' 2a 5) Dạng : Ôn tập khối chóp và lăng trụ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy Góc SC và đáy 60 và M là trung điểm SB 1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD 2) Tính thể tích khối chóp MBCD Lời giải: V S ABCD SA a)Ta có S H A B 60o + S ABCD (2a) 4a + SAC có : SA AC tan C 2a 8a V 4a 2a 3 b) Kẻ D 1 MH SA S BCD S ABCD 2 Ta có: , C 2a MH / / SA MH ( DBC ) 2a VMBCD V Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp Lời giải: Hạ SH ( ABC ) , kẽ HE AB, HF BC, HJ AC suy SE AB, SF BC, SJ AC Ta có S SEH SFH SJH 60O SAH SFH SJH nên HE =HF = HJ = r ( r là bán kính đường tròn ngọai tiếp ABC ) Ta có SABC = J A C 60 H E F B p ( p a )( p b)( p c) a b c 9a 9.4.3.2 a 2 với p = Nên SABC = S 6a r p Mặt khác SABC = p.r Tam giác vuông SHE: 6a 2 a SH = r.tan 600 = 19 (20) Nguyễn Hải Hà 0983325739 – 0616272829 6 a 2 a 8 a Vậy VSABC = AB a Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = a, O là giao điểm AC và BD a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích khối OBB’C’ c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ A B Lời giải: a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V Ta có : V O D M , AD = a, AB AD.AA ' a 3.a a ABD có : DB AB AD 2a C * Khối OA’B’C’D’ có đáy và đường cao giống khối B' A' hộp nên: C' a3 VOA ' B 'C ' D ' V 3 b) M là trung điểm BC D' OM ( BB ' C ') 1 a2 a a3 VO BB 'C ' S BB 'C ' OM 3 2 12 c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ tứ C'H diện OBB’C’ Ta có : 3VOBB 'C ' SOBB ' ABD có : DB AB AD 2a SOBB ' a 2 C ' H 2a Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh a Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’ B A D Lời giải: Hình lập phương chia thành: khối ACB’D’ và bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ +Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích đáy và chiều cao nên có cùng thể tích 1 V1 a a a 3 Khối CB’D’C’ có C V a +Khối lập phương có thể tích: A' B' 1 VACB ' D ' a a a C' D' a Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh a 20 (21) Nguyễn Hải Hà 0983325739 – 0616272829 a) b) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC E là trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC F Tính thể tích khối CA’B’FE E A I B F C Lời giải: a) Khối A’B’ BC:Gọi I là trung điểm AB, VA ' B ' BC S A ' B ' B CI 1 a a a 3 2 12 b)Khối CA’B’FE: phân hai khối CEFA’ và CFA’B’ +Khối A’CEFcó đáy là CEF, đường cao A’A nên VA 'CEF SCEF A ' A B' A' J C' SCEF a2 a3 S ABC VA ' CEF 16 48 +Gọi J là trung điểm B’C’ Ta có khối A’B’CF có đáy VA ' B 'CF SCFB' A ' J là CFB’, đường cao JA’ nên a2 SCFB' SCBB ' V A ' B ' CF + Vậy : a2 a a3 24 VCA'B'FE 21 a3 16 (22) Nguyễn Hải Hà 0983325739 – 0616272829 BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông B có AB = a, BC = a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a Gọi M, N là hình chiếu vuông góc điểm A trên các cạnh SB và SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA (ABCD); AB = SA = 1; AD Gọi M, N là trung điểm AD và SC; I là giao điểm BM và AC Tính thể tích khối tứ diện ANIB Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O Các mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy (ABCD) Cho AB = a, SA = a hình chiếu A trên SB, SD Tính thể tích khối chóp O.AHK Gọi H, K là o Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 2a và BAC 120 Gọi M là trung điểm cạnh CC1 Chứng minh MB MA1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM) Bài 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên a, mặt bên hợp với đáy góc Tìm để thể tích khối chóp đạt giá trị lớn Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB =2a, BC= a, các cạnh bên hình chóp và a Gọi M, N tương ứng là trung điểm các cạnh AB, AK a Hãy tính khoảng cách hai đường thẳng MN CD; K là điểm trên cạnh AD cho và SK theo a Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có góc hai mặt phẳng (SBC) và (ACB) 600, ABC và SBC là các tam giác cạnh a Tính khoảng cách từ B đến mp(SAC) Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với A 120 , BD = a >0 Cạnh bên SA vuông góc với đáy Góc mặt phẳng (SBC) và đáy 600 Một mặt phẳng (α) qua BD và vuông góc với cạnh SC Tính tỉ số thể tích hai phần hình chóp mặt phẳng (α) tạo cắt hình chóp a Bài 9: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB=AD = a, AA’ = và góc BAD = 60 Gọi M và N là trung điểm các cạnh A’D’ và A’B’ Chứng minh AC’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN Bài 10: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất các cạnh a, góc tạo cạnh bên và mặt phẳng đáy 300 Hình chiếu H điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đường thẳng B1C1 Tính khoảng cách hai đường thẳng AA1 và B1C1 theo a Bài 11: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác vuông B và AB = 2 a, BC = b, AA’ = c ( c a b ) Tính diện tích thiết diện hình lăng trụ bị cắt mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với CA Bài 12: Cho khối chóp S.ABC có SA (ABC), ABC vuông cân đỉnh C và SC = a Tính góc mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn Bài 13: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a và điểm M trên cạnh AB cho AM = x, (0 < x < a) Mặt phẳng (MA'C') cắt BC N Tính x theo a để thể tích khối đa 22 (23) Nguyễn Hải Hà 0983325739 – 0616272829 thể diện MBNC'A'B' tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D' Bài 14: Trên cạnh AD hình vuông ABCD có độ dài là a, lấy điểm M cho AM = x (0 m a) Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) điểm A, lấy điểm S cho SA = y (y > 0) Tính thể tích khối chóp S.ABCM theo a, y và x Tìm giá trị lớn thể tích khối chóp S.ABCM, biết x2 + y2 = a2 Bài 15: Cho hình nón đỉnh S, đường tròn đáy có tâm O và đường kính là AB = 2R Gọi M là điểm thuộc đường tròn đáy và ASB 2 , ASM 2 Tính thể tích khối tứ diện SAOM theo R, và Bài 16: Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh bên Các mặt bên hợp với mặt phẳng đáy góc α Tính thể tích hình cầu nội tiếp hình chóp S.ABC Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA (ABCD) và SA = a Gọi M, N là trung điểm AD, SC Tính thể tích tứ diện BDMN và khoảng cách từ D đến mp(BMN) a SA a , SAB SAC 300 Tính Bài 18: Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a BC = thể tích khối chóp S.ABC Bài 19: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cạnh a, hình chiếu vuông góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O tam giác ABC Một mặt phẳng (P) chứa a2 BC và vuông góc với AA’, cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Bài 20: Xác định vị trí tâm và độ dài bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có AB 2, AC 3, AD 1, CD 10, DB 5, BC 13 Bài 21: Tính thể tích hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là tam giác cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc α Bài 22: Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vuông cân A, AB = AC = a Mặt bên qua cạnh huyền BC vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại hợp với mặt đáy các góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 23: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tai A và D Biết AD = AB = a, CD = 2a, cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng đáy và SD = a Tính thể tứ diện ASBC theo a Bài 24: Cho hình chóp lục giác S.ABCDEF với SA = a, AB = b Tính thể tích hình chóp đó và khoảng cách các đường thẳng SA, BE Bài 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD 60 , SA vuông góc mặt phẳng (ABCD), SA = a Gọi C là trung điểm SC Mặt phẳng (P) qua AC và song với BD, cắt các cạnh SB, SD hình chóp B, D Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài 26: Tính thể tích hình chóp S.ABC biết SA = a, SB = b, SC = c, BSC 900 , CSA 1200 23 ASB 600 , (24) Nguyễn Hải Hà 0983325739 – 0616272829 Bài 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AB = a, BC = a, BAD 90 , cạnh SA a và SA vuông góc với đáy, tam giác SCD vuông C Gọi H là hình chiếu A trên SB Tính thể tích tứ diện SBCD và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD) Bài 28: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 2a và BAC 120 Gọi M là trung điểm cạnh CC1 Tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM) Bài 29: Cho hình hộp ABCD.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, AB = AA = 2a Hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng đáy trùng với tâm đáy M là trung điểm BC Tính thể tích hình hộp và cosin góc hai đường thẳng AM và AC Bài 30: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết góc BAC = 1200, tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Bài 31: Tính thể tích hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là tam giác cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc a Bài 32: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD = 600 Gọi M là trung điểm AA và N là trung điểm CC Chứng minh bốn điểm B, M, N, D đồng phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA theo a để tứ giác BMDN là hình vuông Bài 33: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có A.ABC là hình chóp tam giác cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA = b Gọi là góc hai mặt phẳng (ABC) và (ABC) Tính tan và thể tích khối chóp A.BBCC Bài 34: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có độ dài cạnh đáy a, các mặt bên tạo với mặt đáy góc 60o Mặt phẳng (P) chứa AB và qua trọng tâm tam giác SAC cắt SC, SD M, N Tính thể tích khối chóp S.ABMN theo a Bài 35: Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a Gọi M, N là trung điểm các cạnh CD, AD Điểm P thuộc cạnh DD’ cho PD = 2PD Chứng tỏ (MNP) vuông góc với (AAM) và tính thể tích khối tứ diện AAMP Bài 36: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, với AB = 2AD = 2a, o sạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh SC tạo với mặt đáy (ABCD) góc 450 Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, mặt phẳng (GCD) cắt SA, SB P và Q Tính thể tích khối chóp S.PQCD theo a Bài 37: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 60 Gọi M là điểm đối xứng với C qua D, N là trung điểm SC Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó Bài 38: Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a Gọi K là trung điểm cạnh BC và I là tâm mặt bên CCDD Tính thể tích các hình đa diện mặt phẳng (AKI) chia hình lập phương Bài 39: Cho đường tròn (C) đường kính AB = 2R Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng chứa (C) lấy điểm S cho SA = h Gọi M là điểm chính cung AB Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SB, cắt SB, SM H và K Tính thể tích khối chóp S.AHK theo R và h Bài 40: Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a Gọi M, N là trung điểm AB và CD Tính thể tích khối chóp B.AMCN và cosin góc tạo hai mặt phẳng (AMCN) và (ABCD) 24 (25) Nguyễn Hải Hà 0983325739 – 0616272829 Bài 41: Tính thể tích khối chóp S.ABC, biết đáy ABC là tam giác cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc Bài 42: Tính thể tích khối chóp S.ABC, biết SA = a, SB = b, SC = c, ASB 60 , BSC 900 CSA 1200 , Bài 43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh a, ABC 60 , chiều cao a SO hình chóp , đó O là giao điểm hai đường chéo AC và BD Gọi M là trung điểm AD, mặt phẳng (P) chứa BM và song song với SA, cắt SC K Tính thể tích khối chóp K.BCDM Bài 44: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABCcó đáy là tam giác cạnh a, a AM (ABC), AM = (M là trung điểm cạnh BC) Tính thể tích khối đa diện ABABC Bài 45: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) 600 Gọi I là trung điểm AD Hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài 46: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất các cạnh a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và tính bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất các mặt hình chóp đó Bài 47: Cho khối tứ diện ABCD Trên các cạnh BC, BD, AC lấy các điểm M, N, P cho BC 4BM , BD 2 BN và AC 3 AP Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện ABCD làm hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó Bài 48: Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có cạnh đáy là a và khoảng cách từ A đến a mặt phẳng (A’BC) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' Bài 49: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có độ dài cạnh đáy a, mặt bên tạo với mặt đáy góc 600 Mặt phẳng (P) chứa AB và qua trọng tâm tam giác SAC cắt SC, SD M, N Tính thể tích hình chóp S.ABMN theo a Bài 50: Cho hình chóp tam giác S.ABC có các cạnh bên có độ dài a và các mặt bên hợp với mặt đáy góc 450 Tính thể tích hình chóp đó theo a a Bài 51: Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a, AA' = và góc BAD = 600 Gọi M và N là trung điểm các cạnh A'D' và A'B' Chứng minh AC ' vuông góc với mặt phẳng (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN Bài 52: Cho hình chóp S.ABCD có SA = x và tất các cạnh còn lại có độ dài a Chứng minh đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC) Tìm x theo a để thể tích a3 √2 khối chóp S.ABCD 25 (26) Nguyễn Hải Hà 0983325739 – 0616272829 Bài 53: Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông với AB = BC = √2 1 AM AA ' M là điểm trên AA cho Tính thể tích khối tứ a, cạnh bên AA = a diện MABC Bài 54: Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a Trên đường thẳng d qua A và vuông góc mặt phẳng (ABC) lấy điểm S cho mp(SBC) tạo với mp(ABC) góc 600 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC Bài 55: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy góc 60 Trên a cạnh SA lấy điểm M cho AM = , mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD N Tính thể tích khối chóp S.BCNM Bài 56: Cho khối lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông A , mặt phẳng ( ABC ') tạo với đáy góc 60 , khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( ABC ') a và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCC ' B ') a Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' Bài 57: Cho lăng trụ ABCABC có đáy là tam giác ABC vuông cân A, BC = 2a, AA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Góc ( ABC ) và (BBC ) 60 Tính thể tích lăng trụ ABCABC Bài 58: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B , AB BC a; AD 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy ABCD và SA= a Gọi E là trung điểm AD Tính thể tích khối chóp S.CDE và tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.CDE Bài 59: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC a, BC 2a, ACB 120 và đường thẳng A ' C tạo với mặt phẳng ( ABB ' A ') góc 30 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách hai đường thẳng A ' B, CC ' theo a Bài 60: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a , AD = a AM a Trên cạnh AB lấy điểm M cho , cạnh AC cắt MD H Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a Tính thể tích khối chóp S HCD và tính khoảng cách hai đường thẳng SD và AC theo a Bài 61: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, hình chiếu vuông góc đỉnh S trên (ABCD) là trung điểm H AB, đường trung tuyến AM ACD có độ dài a , góc (SCD) và (ABCD) 300 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài 62: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A ' B ' C ' có AB 1, CC ' m (m 0) Tìm m biết góc hai đường thẳng AB ' và BC ' 60 Bài 63: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC = BD = 2a cắt O Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng 26 3a , (27) Nguyễn Hải Hà 0983325739 – 0616272829 a (ABCD) Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài 64: Cho hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai hình trụ Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 450 Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ Bài 65: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, BC = a Các cạnh bên hình chóp và a 1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a 2) Gọi M, N, E, F là trung điểm các cạnh AB, CD, SC, SD Chứng minh đường thẳng SN vuông góc với mặt phẳng (MEF) Bài 66: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân, đáy lớn AB lần đáy nhỏ CD, chiều cao đáy a (a > 0) Bốn đường cao bốn mặt bên ứng với đỉnh S có độ dài và 4a Tính thể tích khối chóp theo a Bài 67: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB a Gọi I là trung điểm cạnh BC Hình chiếu vuông góc H S lên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn IA IH Góc SC và mặt đáy (ABC) 60 Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K SB đến mặt phẳng (SAH) Bài 68: Cho hình chóp S.ABC có SA= 3a (với a > 0); SA tạo với đáy (ABC) góc 600 Tam giác ABC vuông B, ACB 30 G là trọng tâm tam giác ABC Hai mặt phẳng (SGB) và (SGC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a Bài 69: Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cân, AB = BC = 3a, AC 2a Các mặt phẳng ( B ' AB), ( B ' AC ), ( B ' BC ) cùng tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' Bài 70: Cho tứ diện ABCD biết AB = CD = a, AD = BC = b, AC = BD = c Tính thể tích tứ diện ABCD Bài 71: Cho hình lặng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a Biết khoảng a 15 cách hai đường thẳng AB và A’C Tính thể tích khối lăng trụ Bài 72: Cho tứ diện ABCD có cạnh Gọi M, N là các điểm di động trên các cạnh AB, AC cho (DMN ) ( ABC ) Đặt AM = x, AN = y Tính thể tích tứ diện DAMN theo x và y Chứng minh rằng: x y 3xy Bài 73: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBD ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) Biết AC 2 3a , BD 2a , khoảng cách từ a điểm O đến mặt phẳng ( SAB ) Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài 74: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông A và D Biết AB = 2a, AD =a, DC= a (a > 0) và SA (ABCD) Góc tạo mặt phẳng (SBC) với đáy 27 450 (28) Nguyễn Hải Hà 0983325739 – 0616272829 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B tới mặt phẳng (SCD) theo a Bài 75: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC a, BC 2a, ACB 1200 và đường thẳng tạo với mặt phẳng ( ABB ' A ') góc 30 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách hai đường thẳng A ' B, CC ' Bài 76: Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, BC, CD đôi vuông góc với và AB BC CD a Gọi C’ và D’ là hình chiếu điểm B trên AC và AD Tính thể tích tích tứ diện ABC’D’ A 'C Bài 77: Cho hình chóp S.ABC có SA a, SB b, SC c ; ASB BSC 60 và CSA 90 Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 78: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với đáy góc AM a 3 600 Trên cạnh SA lấy điểm M cho Mặt phẳng (BCM) cắt SD N Tính thể tích khối chóp S.BCMN Bài 79: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a, AD 2 2a Hình chiếu vuông góc điểm S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 45 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng AC và SD theo a Bài 80: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cạnh a, đỉnh A’ cách các điểm A, B, C Mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA’ cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích a2 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ 28 (29)