Kế hoạch dạy học Toán 11: Định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm

Kế hoạch dạy học Toán 11: Định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm với mục tiêu giúp học sinh: nhận biết được 2 bài toán thực tiễn dẫn đến khái niệm đạo hàm (vận tốc tức thời, cường độ dòng điện tức thời); nhận biết được định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm; hiểu được ý nghĩa hình học và ý nghĩa vật lí của đạo hàm... Mời các bạn cùng tham khảo.

KẾ HOẠCH DẠY HỌC ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA ĐẠO HÀM I. Mục tiêu  1. Kiến thức: Nhận biết  được 2 bài toán thực  tiễn dẫn  đến khái niệm  đạo hàm(vận tốc  tức   thời,cường độ dịng điện tức thời) Nhận biết được định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm Hiểu được ý nghĩa hình học và ý nghĩa vật lí của đạo hàm 2. Kỹ năng:  Tính được đạo hàm tại một điểm bằng định nghĩa của các hàm số đơn giản  Tính được vận tốc tức thời của chuyển động tại 1 thời điểm Viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm 3. Thái độ: Liên hệ thực tế: Hãy giải thích làm thế nào máy bắn tốc độ có thể đo được tốc độ  của xe chạy q tốc độ  cho phép? Tìm các ví dụ trong cuộc sống có thể giải thích bằng kiến  thức bài học? 4. Đinh hướng phát triển năng lực: Góp phần phát triển năng lực tư duy và lập luận tốn học, năng lực mơ hình hóa tốn học, năng   lực sử dụng cơng cụ và phương tiện học tốn II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh ­ Thiết kế  hoạt động học tập hợp tác cho học sinh tương  ứng với các nhiệm vụ  cơ  bản của   bài học.    ­ Máy chiếu, bảng phụ, phiếu hoc tâp cua h ̣ ̣ ̉ ọc sinh  III. Chuỗi các hoạt động học: TIẾT 1 Hoạt động 1: Nhận biết 2 bài tốn thực tiễn dẫn đến khái niệm đạo hàm a) Học sinh nhận biết được vận tốc tức thời qua bài tốn sau: Qng đường đi được của 1 vận động viên được tính theo cơng thức  S = f ( x) = x , S(m) là một  hàm số theo thời gian x (giây)  Học sinh thực hiện các thao tác sau:   + Hồn thành bảng tính vận tốc trung bình vtb = ∆y f ( x) − f ( x0 ) = ∆x x − x0 trong những khoảng thời  gian  ∆x = x − x0 kể từ thời điểm x0 = 3giây. Các giá trị của  ∆x = x − x0  trong ô trống cần được  điền sao cho giá trị sau nhỏ hơn giá trị trước và nhỏ hơn 0,0001:  (ngày càng giảm dần) ∆x = x − 0,1 0,01 0,001 ∆y = (3 + ∆x) − ∆y vtb = ∆x 0,0001 + Nhận xét về các kết quả thu được của  vtb = ∆y  khi x tiến về  x0 = ∆x Học sinh thực hiện các nhiệm vụ sau: + Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả  lời cho các câu hỏi . Viết kết quả vào  bảng phụ + Báo cáo, thảo luận ­ Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi ­ HS quan sát các phương án trả lời của các nhóm bạn.  ­ HS đặt câu hỏi cho các nhóm bạn để hiểu hơn về câu trả lời ­ GV quan sát, lắng nghe, ghi chép, đánh giá, nhận xét, tổng hợp ­ Dự kiến các câu trả lời: ∆x = x − 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,0601 0,006001 0,00060001 ∆y = (3 + ∆x) − 0,61 ∆y 6,1 6,01 6,001 6,0001 v = tb ∆x Vận tốc trung bình của vận động viên trong khoảng thời gian đó là vtb = ∆y f ( x) − f ( x0 )  (1) = x − x0 ∆x Nếu  x − x0  càng nhỏ thì tỉ số (1) càng phản ánh chính xác hơn sự nhanh chậm của VĐV tại thời  điểm  x0  Từ đó, người ta xem giới hạn của tỉ số  f ( x) − f ( x0 )  khi  x dần đến  x0  là vận tốc tức   x − x0 thời  tại thời điểm  x0 của VĐV, kí hiệu là  v( x0 )   + Nói cách khác, vận tốc tức thời tại thời điểm  x0  là  v( x0 ) = xlimx f ( x) − f ( x0 ) x − x0 Hình thành kiến thức:  Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t  : S = f(t) Giới hạn hữu hạn (nếu có)  xlimx f ( x) − f ( x0 )  đgl vận tốc tức thời của chuyển động tại thời   x − x0 điểm  x0 b) Học sinh nhận biết bài tốn tìm cường độ tức thời Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số  của thời gian t :Q = Q(t). Trong   khoảng thời gian t − t0  cường độ trung bình được tính theo cơng thức     Q(t ) − Q(t0 )   . Tìm  t − t0 cường độ tức thời của dịng điện tại thời điểm t0 Học sinh thực hiện các nhiệm vụ sau: Q(t ) − Q(t0)   t0 t − t0 + Nhận ra được cường độ tức thời tại thời điểm t0 là  lim t + Nhận ra được sự tương tự của bài tốn vận tốc tức thời và cường độ tức thời là   cùng tính giới hạn hữu hạn (nếu có)  xlimx f (x) − f (x )  của hàm số y = f(x) tại điểm x0 x1 − x0 + Từ đó hình thành: “Định nghĩa đạo hàm” ­ Tùy vào chất lượng câu trả lời của HS, GV có thể đặt vấn đề:  Nhiều vấn đề của toán  f ( x) − f ( x0 ) Trong  x − x0 tốn học người ta gọi giới hạn trên là đạo hàm của hàm số  tại điểm  x0 (nếu giới hạn  học, vật lí, hóa học, sinh học,   dẫn đến bài tốn tìm giới hạn: xlimx này là hữu hạn). Đó chính là nội dung bài học “Định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm” Hoạt động 2 :  Hình thành định nghĩa đạo hàm Giới hạn hữu hạn (nếu có)  xlimx f (x) − f (x )  của hàm số  y = f(x) tại điểm x0  được  x − x0 gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 và được ký hiệu là f’(x0) Ký hiệu:  ∆x = x − x0  là số gia của đối số tại  x0 ,  Ta có   ∆y = f ( x) − f ( x0 ) = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) gọi là số  gia tương  ứng của hàm số  tại  điểm x0 . Ta có: f’(x0)=  ∆lim x ∆y ∆x Hoạt động 3 :  Tính đạo hàm bằng định nghĩa Học sinh tính được đạo hàm bằng định nghĩa thơng qua ví dụ sau: Tính đạo hàm của các hàm số  y = f ( x) = x −  tại điểm x0 =1 bằng định nghĩa Học sinh thực hiện các thao tác sau: + Nhận ra được cơng thức tính đạo hàm tại một điểm   + Thực hiện các bước tính:  ­ Giả sử  ∆x  là số gia của đối số tại  x0 , tính  ∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) = f ( ∆x + 1) − f (1) = 2(∆x + 1) − + = 2∆x ­  Lập tỉ số  ­ Tìm  ∆lim x ∆y ∆x = = ∆x ∆x ∆y =   Vậy, y’(1) = 2 ∆x Hình thành kiến thức:  Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xo ta thực hiện các bước sau : Bước 1: Giả sử  ∆x  là số gia của đối số tại  x0 , tính  ∆y = f (x + ∆x) − f (x )   Bước 2: Lập tỉ số  Bước 3: Tính  ∆lim x ∆y   ∆x ∆y   kết luận ∆x Hoạt động 4 : Vận dụng kiến thức vào vật lý Học sinh nhận biết được vận tốc tức thời thơng qua ví dụ sau: Một vật chuyển động với phương trình  S = t + 2t − ( t tính theo giây, S tính theo  mét). Tính vận tốc tức thời v tại thời điểm t =2s ( v tính theo m/s)? Học sinh thực hiện các thao tác sau: + Nhận ra được cơng thức tính vận tốc tức thời tại thời điểm t = 2s v(2) = lim t S (t ) − S (2) S (2 + ∆t ) − S (2)  hoặc  v(2) = S '(2) = ∆lim t t−2 ∆t + Tính được vận tốc tức thời tại thời điểm t = 2s S (t ) − S (2) t + 2t − − v(2) = lim = lim = lim(t + 4) = t t t t−2 t −2 Hoạt động 5 : Nhận biết được mối quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính  liên tục của hàm số Học sinh nhận biết được mối quan hệ thơng qua ví dụ sau: Xét hàm số  f (x ) = x + neu�x x neu �x < H1. Tính  xlim0 f (x )  ? H2. Nếu hàm số  y = f (x ) gián đoạn tại x  thì nó  có đạo hàm tại điểm đó khơng? H3. Nếu một hàm số liên tục tại 1 điểm có thể khẳng định được hàm số đó có đạo hàm  tại điểm đó hay khơng? Học sinh thực hiện các thao tác sau: f (x ) = 1, lim− f (x ) =  không tồn tại  lim f (x ) Đ1. Tính xlim x 0+ x Đ 2. KL:  khơng có f (0) Đ 3. Nếu hàm số   y = f (x ) gián đoạn tại x  thì nó khơng có đạo hàm  tại điểm đó.  Nếu một hàm số liên tục tại 1 điểm chưa thể khẳng định được hàm  số đó có đạo hàm tại điểm đó hay khơng Hình thành kiến thức Định lí.  Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó Chú ý: a) Nếu y = f(x) gián đoạn tại x0 thì nó khơng có đạo hàm tại x0 b) Nếu y = f(x) liên tục tại x0 thì có thể khơng có đạo hàm tại x0 Hoạt động 6 : Hướng dẫn tự học ở nhà a) Học sinh ơn tập các nội dung bài học ­ Nêu những kiến thức trọng tâm trong bài ­ Liên hệ  thực tế: Hãy giải thích làm thế  nào máy bắn tốc độ  có thể  đo  được tốc độ ? Tìm các ví dụ trong cuộc sống có thể giải thích bằng kiến thức bài  học? Súng bắn tốc độ dùng tia laser Súng bắn tốc độ sử dụng tia laser đo thời gian kể từ lúc máy phát ra tia sáng hồng ngoại, đến  khi tia sáng tiếp xúc với xe và phản hồi lại. Lặp lại q trình này liên tục, hệ thống laser sẽ đo  được khoảng cách của xe. Để tính tốn khoảng cách, hệ thống laser sẽ phát đi liên tục những   tia laser hồng ngoại trong một khoảng thời gian ngắn để có các khoảng cách khác nhau. Bằng   cách so sánh những kết quả khoảng cách thu được này, hệ thống có thể tính tốn chính xác tốc   độ của xe. Những hệ thống bắn sử dụng tia laser này có thể ghi nhận hàng trăm khoảng cách  khác nhau chỉ trong khơng đầy nửa giây, vì vậy kết quả thu được có thể nói khá là chính xác b) Giải bài tập SGK lớp 11: Bài tập cần làm (tr 156):2, 3a, 5, 7 Hoạt động 7 : Nhận biết Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM * Mục tiêu:  ­ Học sinh nhận biết được ý nghĩa hình học của đạo hàm ­ Biết vận dụng cơng thức để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số * Nội dung, phương thức tổ chức: Khởi động GỢI Ý 1.  Cho hàm số  f(x) có đồ  thị    (C), một  điểm M0(x0; f(x0)) cố định thuộc (C) Với     điểm  M(xM;f(xM))  di   động  trên  (C), kh    á  c M    0 Đường   thẳng   M0M   gọi       cát  tuyến của (C) 2.  Khi x  x0  thì M di chuyển trên (C)  tiến về  điểm M0.  Ta coi đường thẳng M0T  đi qua  M0 là  vị trí giới hạn của cát tuyến  M0M  khi  M chuyển dọc theo (C) đến M0 Đường thẳng M0T gọi là tiếp tuyến  của (C) tại M0 và M0 gọi là tiếp điểm 3.   Gọi kM   là hệ  số  góc của cát tuyến  M0M, k0  là hệ  số  góc của tiếp tuyến  M0T. Thì kM = f ( xM ) − f ( x0 ) xM − x0   Giả sử f(x) có đạo hàm tại x0. Khi đó f ( xM ) − f ( x0 ) xM x0 xM − x0 = lim k M = k f ' ( x ) = lim xM x0 Hình thành kiến thức Cho đường cong (C) và M0   (C). M là điểm di động trên (C). Vị trí giới hạn M0T (nếu có)   của cát tuyến M0M đgl tiếp tuyến của (C) tại M0. Điểm M0 đgl tiếp điểm Chú ý: Khơng xét tiếp tuyến song song hoặc trùng với Oy a) Ý nghĩa hình học của đạo hàm Định lí 2:     Đạo hàm của y = f(x) (C) tại điểm x 0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của (C) tại điểm   M0(x0; f(x0)) b) Phương trình tiếp tuyến Định lý 3: Phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là y – y0 = f (x0).(x – x0) trong đó y0 = f(x0) Củng cố GỢI Ý  1. Tìm hệ  số  góc của tiếp tuyến của  HĐ 3.1 : Gọi  ∆x  là số gia tại điểm x0 = ­2, ta có: đồ thị hàm số  y = − x + 3x − tại điểm  ∆y = f (∆x − 2) − f ( −2) = −( ∆x − 2) + 3(∆x − 2) − + 12 có hồnh độ ­2 = −∆ x + 7∆x ∆y −∆ x + 7∆x = lim = lim ( −∆x + ) =   ∆x ∆x ∆x ∆x Suy ra:  lim ∆x Vậy, y’(­2) = 7 2.  Cho   hàm   số   y = − x + 3x -   Viết  HĐ3.2: Gọi  M ( x0 ; y0 )  là tiếp điểm pttt của đồ thị hàm số trên tại điểm có  Ta có  x0 = −2   � y0 = −12   Hệ số góc tiếp tuyến k=7 hồnh độ ­2 Vậy phương trình tiếp tuyến y=7(x+2)­12=7x+2 Hoạt động 8 : Nhận biết Ý NGHĨA VẬT LÍ CỦA ĐẠO HÀM * Mục tiêu:  ­ Học sinh biết được ý nghĩa vật lí của đạo hàm ­ Biết vận dụng cơng thức để tính vận tốc tức thời, cường độ tức thời tại thời điểm t0 * Nội dung, phương thức tổ chức: Khởi động GỢI Ý 1.  Theo định nghĩa f (t ) − f (t0) V (t0 ) = lim = s '(t0) t t0 t − t0  Điện   lượng  Q = Q ( t )   cường   độ   dòng  điện  I (t ) = ?   I (t ) = Q '(t ) GỢI Ý Hoạt động 9 : Nhận biết ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG ­ Mục tiêu: Tiếp cận định nghĩa đạo hàm trên một khoảng. Hình thành định nghĩa đạo hàm trên  một khoảng ­ Nội dung, phương thức tổ chức:Tổ chức cho học sinh hoạt động nhóm + Chuyển giao: NV: * Học sinh làm ví dụ.                       * Từ đó HS đọc đạo hàm bằng định nghĩa  đạo hàm của hàm số trên một                      khoảng Khởi  động  (Tiếp cận)   Cho các hàm số sau a y = f ( x ) = x  tính đạo hàm bằng định nghĩa tại điểm  Gợi ý a y '( x0 ) = x0 x0 b y = c  tính đạo hàm bằng định nghĩa tại điểm  x0 , với c  là hằng số c y = x  tính đạo hàm bằng định nghĩa tại điểm  x0 > , b.  y '( x0 ) =            c y '( x0 ) = x0 + Thực hiện: Học sinh suy nghĩ và làm ví dụ vào giấy nháp  + Báo cáo, thảo luận: Chỉ định một học sinh bất kì trình bày lời giải, các học sinh khác thảo  luận để hồn thiện lời giải   + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên  chuẩn hóa lời giải, từ đó nêu định nghĩa và đạo hàm trên một khoảng , quy tắc tính đạo hàm  của 4 hàm số thường gặp. HS viết bài vào vở .Định nghĩa: Đạo hàm trên một khoảng Hàm số  y = f ( x)  được gọi là có đạo  hàm trên khoảng  (a; b)  nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm  x  trên khoảng đó.Khi đó, ta gọi hàm số  f ' : (a; b) ?                                                x a f '( x)   là đạo hàm của hàm số  y = f ( x)  trên khoảng  (a; b) , kí hiệu là  y '  hay  f '( x) Hoạt động10 : Học sinh làm Bài tập củng cố Câu 1:  Số gia của hàm số  f ( x ) = x − ứng với số gia ∆x của đối số x tại x0 = là: A.  + 2∆x − B.  + 2∆x − C.  + 2∆x −       D.  + 2∆x − ∆y x2 + x Câu 2:  Tỉ số  của hàm số  f ( x ) =  ứng với số gia ∆x của đối số x tại x0 = là: ∆x x−2 A.  + ∆x ∆x −        B.  + ∆x ∆x −         C.  + ∆x ∆x −         D.  + ∆x ∆x − Câu 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x ) = − x + 3x −  tại điểm có hồnh độ  x0 =  là: 10  A.  y = − x +           B.  y = − x +          C.  y = − x +          D y = − x − Câu 4: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số f ( x ) = 2x +1   tại điểm có hồnh độ  x0 =   x+4 là: A.  36                 B.  36          C.  36           D.  36 Câu 5: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x ) = x , biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M 0; −1) là:  A.  y = 3x −  và  y = −3 x −           B.  y = x −  và  y = −4 x −                 C.  y = x −  và  y = −2 x −             D.  y = x −  và  y = − x −         11 ... này là hữu hạn). Đó chính là nội dung bài? ?học? ?? ?Định? ?nghĩa? ?và? ?ý? ?nghĩa? ?đạo? ?hàm? ?? Hoạt động 2 :  Hình thành? ?định? ?nghĩa? ?đạo? ?hàm Giới hạn hữu hạn (nếu có)  xlimx f (x) − f (x )  của? ?hàm? ?số  y = f(x) tại điểm x0  được  x − x0 gọi là? ?đạo? ?hàm? ?của? ?hàm? ?số y = f(x) tại điểm x0? ?và? ?được ký hiệu là f’(x0)...   + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên cơ sở câu trả lời của? ?học? ?sinh, giáo viên  chuẩn hóa lời giải, từ đó nêu? ?định? ?nghĩa? ?và? ?đạo? ?hàm? ?trên một khoảng , quy tắc tính? ?đạo? ?hàm? ? của 4? ?hàm? ?số thường gặp. HS viết bài vào vở .Định? ?nghĩa: ? ?Đạo? ?hàm? ?trên một khoảng... x ) = x  tính? ?đạo? ?hàm? ?bằng? ?định? ?nghĩa? ?tại điểm  Gợi? ?ý a y '( x0 ) = x0 x0 b y = c  tính? ?đạo? ?hàm? ?bằng? ?định? ?nghĩa? ?tại điểm  x0 , với c  là hằng số c y = x  tính? ?đạo? ?hàm? ?bằng? ?định? ?nghĩa? ?tại điểm