Phöông phaùp chæ ra nghieäm nguyeân Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn còn được thể hiện dưới dạng : chỉ ra một hoặc vài số là nghiệm của phương trình, rồi chứng minh phương trìn[r]
(1)GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VỚI NGHIỆM NGUYÊN I Phöông phaùp phaùt hieän tính chia heát cuûa moät aån Xét PT: ax + by = c (1) , đó a,b,c Z; a b Ta coù ñònh lí: “PT (1) coù nghieäm nguyeân c ⋮ ÖCLN(a,b) Khi đã biết PT (1) có nghiệm nguyên ta tìm các phương pháp để giải PT đó Ví dụ1 Giải phương trình với nghiệm nguyên : 3x + 17y = 159 Hướng dẫn : Để ý 3x và 159 chia hết cho Giải : Vì 3x và 159 chia hết cho Do đó 17y chia hết cho Mà 17 và nguyên tố cuøng nhau, neân y ⋮ Ñaët y = 3t (t Z) => 3x + 17.3t = 159 ⇔ x + 17t = 53 Do đó : Thử lại, ta thấy x, y nghiệm đúng phương trình Vaäy nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : : ¿ x=53 −17 t y =3 t ¿{ ¿ ¿ x=53 −17 t y =3 t ¿{ ¿ (t (t Z) Z) Bài tập tương tự : 1/ Tìm caùc nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : a) 2x + 13y = 156 ; (Đáp số : ¿ x=13 t y=12 −2 t ¿{ ¿ (nếu phát x ⋮ 13) ⋮ 2) (Thực chất các nghiệm trên là nhau) ¿ x=78 −13 t y =2t ¿{ ¿ (neáu phaùt hieän y b) 35x + 20y = 120 2/ Chứng minh không tồn các số nguyên x, y cho 2x2 + y2 = 2007 Giaûi 2x2 ⋮ 2, 2007 ⋮ neân y2 leû ⇒ y = 2k + Ta coù 2x2 + 4k2 + 4k = 2006 Vì 2006 chia dư nên 2x2 ⋮ tức x lẻ, x = 2h + Từ đó 2(2h + 1)2 + 4k2 + 4k = 2006 ⇔ 8h2 + 8h + 4k2 + 4k = 2004 Soẩ 2004 ⋮ maø 8h2 + 8h + 4k2 + 4k ⋮ Vođ lí Vaôy khoâng toàn taïi caùc soá nguyeân x, y thoûa maõn 2x2 + y2 = 2007 3/ Toàn taïi hay khoâng m, n N thoûa maõn m2 + 2006 = n2 Giaûi Ta coù 2006 = n2 – m2 = (n – m)(n + m) Neáu n vaø m khoâng cuøng tính chaün, leû thì n2 – m2 = (n – m)(n + m) laø soá leû 2006 Neáu n, m cuøng tính chaün leû thì 2 n – m = (n – m)(n + m) ⋮ Nhöng 2006 ⋮ Vaäy khoâng toàn taïi m, n N thoûa maõn m2 + 2006 = n2 (2) II/ PHÖÔNG PHAÙP TAÙCH RA CAÙC GIAÙ TRÒ NGUYEÂN Hướng giải chung : Biểu thị ẩn theo ẩn còn lại Dùng tính chất ẩn là số nguyên để giải tiếp Ví duï Tìm caùc nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : xy – x – y = Giaûi : Bieåu thò x theo y : x(y – 1) = y + Ta thaáy y khaùc (vì neáu y = thì ta coù 0x = 3, voâ nghieäm Do đó : x = Để x y +2 y −1 Z thì =1+ y −1 y −1 Z => y – Ö(3) => y–1=1 y – = -1 y – = -3 y–1=3 => y = 2; x= y = 0; x = -2 y = -2 ; x = y=4;x=2 Ví duï Tìm caùc nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : 7x + 4y = 23 Giải : Biểu thị y theo x ta : y = Để x Z thì x −1 Z ; Ñaët 23 −7 x x −1 =6 − x + 4 x −1 = t (t Z) => x = 4t + => y = – 7t Thay các giá trị x, y vào PT đã cho ta nghiệm đúng Vaäy nghieäm nguyeân cuûa PT laø : x = 4t + ; y = – 7t (t Z) III/ PHÖÔNG PHAÙP TÌM MOÄT NGHIEÄM RIEÂNG Ta có định lí : Cho PT ax + by = c (1) đó a,b,c Z;a 0;b vaø (a,b) = Neáu (x0; y0) laø moät nghieäm nguyeân cuûa PT (1) thì PT (1) coù voâ soá nghieäm nguyeân vaø nghiệm nguyên nó có thể biểu diễn dạng : x = x0 + bt Với t Z y = y0 - at Ví duï : Tìm caùc nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : 5x - 3y = Giaûi : Cách : Dễ thấy x0 = ; y0 = là nghiệm riêng nên tập hợp các nghiệm nguyên phöông trình laø : x= -3t Với t Z y= – 5t (3) Cách : Ta thấy x0 = ; y0 = là nghiệm riêng nên tập hợp các nghiệm nguyeân cuûa phöông trình laø : x= -3t Với t Z y= – 5t Baøi taäp : Tìm caùc nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : 1/ 22x – 5y = 77 2/ 7x + 5y = 19 III/ Phương pháp đưa phương trình ước Ví duï Tìm caùc nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : xy – x – y = Giải : Biến đổi phương trình thành : x(y – 1) – y = ⇔ x(y – 1) – (y – 1) = ⇔ (y – 1)(x – 1) = Ta gọi phương trình trên là phương trình ước : vế trái là tích các thừa số nguyên, veá phaûi laø moät haèng soá nguyeân Ta coù x vaø y laø caùc soá nguyeân neân x – vaø y – laø caùc soá nguyên và là ước Do vai troø bình ñaúng cuûa x vaø y phöông trình neân coù theå giaû thieát raèng x y, đó x – y – Ta coù x–1 -1 y–1 -3 Do đó : x y -2 Nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : (4 ; 2), (2 ; 4), (0 ; -2), (-2 ; 0) (Làm tương tự : Tìm nghiệm nguyên x + y = xy) Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên :p(x + y) = xy với p là số nguyên tố Giải : Giả sử x (vì x, y coù vai troø nhö nhau) p(x + y) = xy ⇔ xy – px + p2 – py = p2 ⇔ (x – p)(y – p) = p2 Phaân tích p2 = p.p = (-p)(-p) = 1.p2 = (-p2)(-1) Từ đó phương trình có các nghiệm nguyên là : (2p ; 2p); (0 ; 0); (p + ; p2 + p); (p2 + p ; p + 1); (p – p2; p – 1) vaø (p – ; p – p2) Ví duï : Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình 3x3 – xy = Lược giải : 3x3 – xy = ⇔ x(3x2 – y) = … Phöông trình coù nghieäm laø (1 ; -2), (5 ; 74) (4) Ví duï : Tìm taát caû caùc tam giaùc vuoâng coù caùc caïnh laø soá nguyeân vaø soá ño dieän tích baèng soá ño chu vi Giaûi : Goïi x, y, z laø caùc caïnh cuûa tam giaùc vuoâng , x y<z Ta coù : ¿ x + y 2=z (1) xy=2(x+ y+ z ) (2) ¿{ ¿ Từ (1) suy : z2 = (x + y)2 – 2xy = (x + y)2 – 4(x + y + z) (theo (2)) ⇒ (x + y)2 – 4(x + y) + = z2 + 4z + ⇒ (x + y)2 – 4(x + y) + = z2 + 4z +4 ⇒ (x + y + 2)2 = (z + 2)2 ⇒ x + y – = z + (do x + y 2) ⇒ z = x + y – vào (2) Thay z = x + y – vào (2) ta : (x – 4)(y – 4) = ⇒ (x = y = 12) ; (x = ; y = 8) … ( Bài tương tự : Tìm hình chữ nhật có các cạnh nguyên cho số đo diện tích số đo chu vi) (Tham khảo sách “ Chuyên đề bồi dưỡng chuyên toán cấp 2-3 Số học) Bài tập tương tự : Tìm caùc nghieäm nguyeân cuûa phöông trình (baøi – baøi 5) 2x + 13y = 156 3xy + x – y = 2x2 + 3xy – 2y2 = x3 – y3 = 91 x2 – xy = 6x – 5y – Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên Biết f(1).f(2) = 35 Chứng minh đa thức f(x) không có nghiệm nguyên Hướng dẫn : Ta thấy x ⋮ 13 Đặt x = 13t (t nguyên) Đáp số ¿ x=13 t y=12 −2 t ¿{ ¿ Đưa phương trình ước : (3x – 1)(3y + 1) = Đáp số (1 ; 0), (0 ; -1) Đưa phương trình ước : (x + 2y)(2x – y) = Đáp số (3 ; -1), (-3 ; 1) Đưa phương trình ước : (x – y)(x2 + xy + y2) = 13.7 Chuù yù : x2 + xy + y2 > Đáp số : (6 ; 5) , (-5 ; -6) , (4 ; -3) , (3 , -4) (Để ý : Không đưa phương trình ước Biểu thị y theo x :xy – 5y = x2 – 6x + ⇔ (x – 5)y = x – 6x + Do x x-5 neân y = -1 x −6 x+ =x − 1+ x −5 x −5 -3 Ta coù (5) x y 8 Giả sử đa thức f(x) có nghiệm nguyên a Thế thì f(x) = (x – a).g(x) Trong đó g(x) là đa thức có hệ số nguyên Suy f(1) = (1 – a).g(1), f(2) = (2 – a) g(2); Trong đó g(1), g(2) là các số nguyên Do đó f(1).f(2) = (1 – a)(2 – a)g(1).g(2) ⇔ (1 – a)(2 – a)g(1).g(2) = 35 Không xaûy vì tính chaün leû hai veá khaùc (do coù tích cuûa hai soá nguyeân lieân tieáp – a, – a) IV/ Phương pháp xét số dư vế Ví dụ Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên : a x2 – y2 = 2006 b x2 + y2 = 2007 Giaûi : 2 a) Dễ chứng minh x , y chia cho có số dư nên x2 – y2 chia cho có số dö 0, 1, Coøn veá phaûi 2006 chia cho dö 2.vaäy phöông trình khoâng coù nghieäm nguyeân b) x2, y2 chia cho coù soá dö 0, neân x2 + y2 chia cho coù soá dö 0, 1, Coøn veá phaûi 2007 chia cho dö 3.Vaäy phöông trình khoâng coù nghieäm nguyeân Ví duï Tìm caùc nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : 9x + = y2 + y Giaûi : Biến đổi phương trình : 9x + = y(y + 1) Ta thaáy veá traùi cuûa phöông trình chia cho dö neân y(y + 1) chia cho dö Chæ coù theå : y = 3k + 1, y + = 3k +2 (k nguyeân) Khi đó : 9x + = (3k + 1)(3k + 2) ⇔ 9x = 9k(k + 1) ⇔ x = k(k + 1) Thử lại, x = k(k + 1), y = 3k + thỏa mãn phương trình đã cho Đáp số : ¿ x=k (k + 1) y=3 k +1 ( k laø soá nguyeân tuøy yù) ¿{ ¿ Bài tập : Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên (Từ bài đến bài 5) 3x2 – 4y2 = 13 19x2 + 28y2 = 2005 x2 = 2y2 – 8y + x5 – 5x3 + 4x = 24(5y + 1) 3x5 – x3 + 6x2 – 18x = 2004 (6) Chứng minh số A không là lập phương số tự nhiên : A = 100…0500…01 49 50 Hướng dẫn Vế phải chia dư Hãy chứng minh vế trái chia cho có số dư khác (chú ý x2 chia cho có số dư 1) Vế phải là số lẻ nên 19x2 là số lẻ, đó x là số lẻ x2 chia cho dư nên 19x2 chia cho dö Veá traùi chia cho dö 3, coøn veá phaûi 2005 chia cho dö Vế trái chia cho dư 0, 1, Còn vế phải chia cho dư (nếu y chẵn) dư (nếu y leû) Biến đổi : x(x + 1)(x - 1)(x + 2)(x - 2) = 120y + 24 Veá traùi laø tích cuûa soá nguyeân lieân tieáp neân chia heát cho 5, coøn veá phaûi khoâng chia heát cho 5 Vế phải chia hết cho Suy x3 ⋮ 3, đó x ⋮ Khi đó vế trái chia hết cho 9, coøn veá phaûi khoâng chia heát cho A laø soá chia cho dö Coøn laäp phöông cuûa moät soá nguyeân chia cho chæ coù soá dö 0, 1, (neáu a = 3k thì a3 chia heát cho 9, neáu a = 3k + thì a3 chia cho dö 1, neáu a = 3k + thì a3 chia cho dö 8) V/ Phương pháp dùng bất đẳng thức 1/ Phương pháp thứ tự các ẩn a)Baøi T3/339 TTT soá 343 thaùng 2006 Phöông trình x2005 + y2005 = 20072005 coù nghieäm nguyeân döông khoâng ? Giaûi : Giả sử x, y là hai số nguyên dương thỏa mãn phương trình x2005 + y2005 = 20072005 Vai troø cuûa x, y phöông trình nhö nhau, neân khoâng maát tính toång quaùt, ta coù theå giaû thieát x y < 2007 Từ bất đẳng thức trên, vì y là số nguyên nên y + 2007 2005 2005 2005 2004 Do đó 2007 (y + 1) = y + 2005y + … + 2005y + Để ý rằng, tất các số hạng khai triển vế phải dương nên ta bất đẳng thức : 20072005 > y2005 + 2005y2004 ⇒ x2005 + y2005 = 20072005 > y2005 + 2005y2004 ⇒ x2005 > 2005y2004 Laïi coù y x neân x2005 > 2005y2004 2005x2004 ⇒ x > 2005 Ta 2005 < x y < 2007 Do x, y laø hai soá nguyeân neân suy x = y = 2006 Nhưng đó vế trái là số chẵn còn vế phải là số lẻ, mâu thuẫn Vậy không có hai số nguyên dương nào thỏa mãn phương trình đề bài (7) b) Baøi Ví duï tr 10 Saùch Phöông trình nghieäm nguyeân VHB) Tìm ba soá nguyeân döông cho toång cuûa chuùng baèng tích cuûa chuùng Giaûi : Caùch Goïi caùc soá nguyeân döông phaûi tìm laø x, y, z Ta coù : x + y + z = xyz (1) Chú ý các ẩn x, y, z có vai trò bình đẳng phương trình nên có thể thứ tự giaù trò cuûa caùc aån, chaúng haïn : x y z Do đó : xyz = x + y + z 3z Chia hai vế bất đẳng thức xyz 3z cho số dương z ta : xy Do đó xy {1 ; ; 3} Với xy = 1, ta có : x = 1, y = Thay vào (1) + z = z, loại Với xy = 2, ta có : x = 1, y = Thay vào (1) z = Với xy = 3, ta có : x = 1, y = Thay vào (1) z = 2, loại vì trái với xếp y z Vaäy ba soá phaûi tìm laø ; ; Caùch Chia hai veá cuûa x + y + z = xyz (1) cho xyz Giả sử x y z Ta có : Suy z 1, đó z2 1 : 1 = yz + xz + xy neân z = thay z = vaøo (1) : 1 + + =1 yz xz xy 1 + + 2 z z z2 = z2 x + y + = xy xy – x – y = ⇔ … ⇔ (x – 1)(y – 1) = ⇔ Ta coù x – y – neân Ba soá phaûi tìm laø 1; 2; ¿ x −1=2 y − 1=1 ¿{ ¿ ⇒ ¿ x=3 y=2 ¿{ ¿ Cách Vai trò x, y, z bình đẳng, nên không tính tổng quát ta giả sử z y Ñaët z = + n , y = + m ; x = + p (n m p 0) Phương trình đã cho trở thành : + m + n + p = (1 + n)(1 + m)(1 + p) = + p + m + n + mn + np + mp + mnp Suy : mn + np + mp + mnp = Neáu p thì mn + np + mp + mnp Voâ lí Vaäy p = suy mn = Vì n m neân n = ; m = Vaäy ba soá phaûi tìm laø 1; 2; Phương pháp xét khoảng giá trị ẩn x (8) a) Ví duï tr 11 Saùch PT NG Nguyeân VHB 1 Tìm caùc nghieäm nguyeân döông cuûa phöông trình : x + y = Giải : Do vai trò bình đẳng x và y, giả sử x y Dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị số nhỏ (là y) Hieån nhieân ta coù y Maët khaùc x y 12 y < neân y > neân y Với y = ta : 1 + = x y = - = y = y y 1 = = x 15 Loại, vì x không là số nguyên 1 1 = = x 6 neân x = y x ⇒ + neân x = 12 Caùc nghieäm cuûa phöông trình laø : (4 ; 12) ; (12 ; 4) ; (6 ; 6) Chuù yù a) Để giới hạn y 6, coù theå laäp luaän : y y Ta xác định khoảng giá trị y là Với y = ta : x Với y = ta : y Do đó : neân x x ⇒ y ( x + y ):2= : = Vaäy y b) Cách giải đưa phương trình ước : 1 + = x y y+x xy ⇔ xy – 3x – 3y = ⇔ (x – 3)(y – 3) = = 3 Phöông phaùp chæ nghieäm nguyeân Phương pháp xét khoảng giá trị ẩn còn thể dạng : vài số là nghiệm phương trình, chứng minh phương trình không còn nghiệm naøo khaùc Ví duï tr 13 Saùch VHB Tìm các số tự nhiên x cho : 2x + 3x = 5x Giải : Viết phương trình dạng : ⇔ x x + =1 5 (1) () () Với x = thì vế trái (1) 2, loại Với x = thì vế trái (1) 1, đúng Với x thì () x () x < Nên (1) không thỏa mãn với x Vaäy phöông trình coù nghieäm nhaát : x = 4/ Sử dụng điều kiện < , để phương trình bậc hai có nghiệm (9) Ta viết phương trình f(x, y) = dạng phương trình bậc hai ẩn, chẳng hạn x, đó y là tham số Điều kiện cần để phương trình có nghiệm là (để có nghiệm nguyên, còn cần là số chính phương) Ví duï Tìm caùc nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : x + y + xy = x2 + y2 (1) Giaûi : Viết (1) thành phương trình bậc hai x : x2 – (y + 1)x + (y2 – y) = (2) Điều kiện cần để (2) có nghiệm là 2 = (y + 1) – 4(y – y) = y + 2y + – 4y2 + 4y = -3y2 + 6y + ⇔ 3y2 – 6y – ⇔ 3(y – 1)2 Do đó (y – 1) Suy : y–1 -1 y 2 Với y = 0, thay vào (2) x – x = Ta có x1 = ; x2 = Với y = 1, thay vào (2) x2 – 2x = Ta có x3 = ; x4 = Với y = 2, thay vào (2) x2 – 3x + = Ta có : x5 = ; x6 = Thử lại, các giá trị trên nghiệm đúg phương trình (1) Đáp số : (0 ; 0), (1 ; 0), (0 ; 1), (2 ; 1), (1 ; 2), (2 ; 2) Phöông trình (1) coù theå giaûi caùch khaùc : Biến đổi : (x – 1)2 + (y – 1)2 + (x – y)2 = Toång cuûa ba soá chính phöông baèng neân toàn taïi moät soá baèng Trường hợp x – = cho đáp số : (1 ; 0), (1 ; 2) Trường hợp y – = cho đáp số : (0 ; 1), (2 ; 1) Trường hợp x – y = cho đáp số : (0 ; 0), (2 ; 2) Bài tập tương tự : 1 + = x y 1 + = x y x 13 Tìm caùc nghieäm nguyeân döông cuûa phöông trình : Hướng dẫn : Giả sử 1 Maët khaùc : x < x ⇒ y thì x y ; ⇒ x x > x y 20 12 loạ i 8 Đáp số : (5 ; 20), (20 ; 5), (6 ; 12) (12 ; 6), (8 ; 8) 14 Tìm ba soá nguyeân döông cho tích cuûa chuùng gaáp ñoâi toång cuûa chuùng Hướng dẫn : cách xyz = 2(x + y + z) (1) Giả sử x y z Ta coù : xyz = 2(x + y + z) 2.3z = 6z Suy xy (10) Xét xy = 1, có x = y = Thay vào (1) : z = -4, loại Xét xy = 2, có x = 1, y = Thay vào (1) : loại Xeùt xy = 3, coù x = 1, y = Thay vaøo (1) : z = Xét xy = 4, với x = 1, y = Thay vào (1) : z = với x = y = Thay vào (1) : z = Xét xy = 5, có x = 1, y = Thay vào (1) : z= 4, loại Xét xy =6, với x = 1, y = Thay vào (1) : loại với x = 2, y = Thay vào (1) : loại Bộ ba số phải tìm là : ; ; ; ; ; ; ; ; Cách Chia hai vế (1) cho 2xyz : yz 1 + xz + xy = Giả sử x y z thì z nên z2 Vaäy z {1 ; 2} Với z = 1, thay vào (1) : 2(x + y + 1) = xy Đưa phương trình ước : (x – 2)(y – 2) = Ta : x = 8, y = ; x = ; y = Với z = 2, thay vào (1) : x + y + z = xy Đưa phương trình ước : (x – 1)(y – 1) = Ta : x = 4, y = 15 Tìm boán soá nguyeân döông cho toång cuûa chuùng baèng tích cuûa chuùng Hướng dẫn : x + y + z + t = xyzt (1) Giả sử x y z t Ta coù xyzt = x + y + z + t 4t, neân xyz Với xyz = 1, ta có x = y = z = Thay vào (1) loại Với xyz = 2, … Đáp số : Bốn số phải tìm là ; ; ; Tìm caùc nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : 16 x2 + xy + y2 = 2x + y 17 x2 + xy + y2 = x + y 18 x2 – 3xy + 3y2 = 3y 19 x2 – 2xy + 5y2 = y + 1, Tìm cặp số tự nhiên (m, n) thỏa mãn m2 + n2 = m + n + (Lớp 10 LQĐ Bình Định 2005-2006- TTTr 2006 Số 343) 20 Tìm các số tự nhiên x thỏa mãn 2x + 3x = 35 21 Tìm caùc soá nguyeân x vaø y cho : x3 + x2 + x + = y3 Hướng dẫn : Chứng minh y > x xét hai trường hợp : y = x + và y > x + 23 Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên dương Buoåi VI Ngaøy 27 thaùng 02 naêm 2006 Giaûi baøi taäp veà nhaø Giải lại bài toán “Bánh chưng gói vụng” và bài phương trình nghiệm nguyên Lê Quý Đôn Bình Ñònh A K L B (11) P S R O U V PK C D M N * ABD coù PK // BD vaø BD = QN * Ta cuõng coù QN // BD vaø BD PK = Suy PK // QN vaø QN = ⇒ KS = SN ⇒ KS = KN … Ta coù m2 + n2 = m + n + ⇔ 4m2 + 4n2 = 4m + 4n + 32 ⇔ … ⇔ (2m – 1)2 + (2n – 1)2 = 34 = 32 + 52 … Bài Đề thi tuyển sinh lớp 10 hệ THPT trường ĐHKHTN Hà Nội năm 2003 TH&TT Số 319 thaùng 1/2004 Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức : a) 2y2x + x + y + = x2 + 2y2 + xy b) x2 + xy + y2 = x2y2 Giaûi : a) 2y2x + x + y + = x2 + 2y2 + xy ⇔ 2y2(x – 1) – x(x – 1) – y(x – 1) + = (1) Nhaän xeùt raèng x = khoâng phaûi laø nghieäm cuûa PT(1) Chia caû hai veá PT(1) cho x – ta : 2y2 – x – y + x −1 = (2) PT coù nghieäm nguyeân, suy x −1 nguyeân neân x – thuoäc { 1;− } ⇒ x=2 ¿ x=0 ¿ ¿ ¿ ¿ Thay x = và x = vào PT (2) và để ý y là số nguyên ta y = Vậy PT đã cho có hai nghieäm nguyeân laø (2 ; 1) vaø (0 ; 1) ¿ x y ≥ x2 x y2 ≥ y2 ¿{ ¿ b) Với |x| vaø | y| ta coù ⇒ x2y2 2(x2 + y2) = x2 + y2 + x2 + y2 x2 + y2 + |xy| > x2 + y2 + xy Vaäy |x| | y| Neáu x = ± y = ± thì PT đã cho không có nghiệm nguyên Thử với x = 0; x = và x = -1 ta thấy PT đó có nghieäm nguyeân (x, y) laø (0, 0), (1, -1), (-1, 1) VI/ Phöông phaùp duøng tính chaát cuûa soá chính phöông (12) Sử dụng tính chất chia hết số chính phương Các tính chất thường dùng : - Soá chính phöông khoâng taän cuøng baèng 0, 2, 7, - Soá chính phöông chia heát cho soá nguyeân toá p thì chia heát cho p - Soá chính phöông chia cho coù soá dö 0; ; chia cho coù soá dö 0; Ví dụ : Tìm các số nguyên x để 9x + là tích hai số nguyên liên tiếp Giaûi : Cách Giả sử 9x + = n(n + 1) với n nguyên thì 36x + 20 = 4n2 + 4n ⇒ 36x + 21 = 4n2 + 4n + ⇒ 3(12x + 7) = (2n + 1)2 Soá chính phöông (2n + 1)2 chia heát cho 3, neân cuõng chia heát cho Ta laïi coù 12x + khoâng chia heát cho neân 3(12x + 7) khoâng chia heát cho Vaäy khoâng toàn taïi soá nguyeân nào để 9x + là tích hai số nguyên liên tiếp Cách (Sử dụng phương trình bậc 2) Giả sử 9x + = n(n + 1) với n nguyên Biến đổi : n2 + n – (9x + 5) = Để phương trình bậc hai n có nghiệm nguyên, điều kiện cần là là số chính phöông Nhöng = + 4(9x + 5) = 36x + 21, chia heát cho nhöng khoâng chia heát cho 9, neân khoâng laø soá chính phöông Vậy không tồn số nguyên nào để 9x + là tích hai số nguyên liên tiếp Tạo bình phương đúng Ví duï : Tìm caùc nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : 2x2 + 4x = 19 – 3y2 (1) Giaûi : 2x2 + 4x + = 21 – 3y2 ⇔ 2(x + 1)2 = 3(7 – y2) (2) 2 ⇔ 2(x + 1) = 3(7 – y ) Ta thaáy 3(7 – y2) ⋮ ⇒ – y2 ⋮ ⇒ y leû Ta laïi coù – y2 neân chæ coù theå y2 = Khi đó (2) có dạng : 2(x + 1)2 = 18 Ta : x + = ± 3, đó : x1 = ; x2 = -4 Caùc caëp soá (2 ; 1), (2 ; -1), (-4 ; 1), (-4 ; -1) thoûa maõn (2) neân laø nghieäm cuûa phöông trình đã cho Xeùt caùc soá chính phöông lieân tieáp Sử dụng tính chất : Giữa hai số chính phương liên tiếp, không có số chính phương nào - Không tồn x để a2 < x2 < (a + 1)2 - Neáu a2 < x2 < (a + 2)2 thì x2 = (a + 2)2 Ví dụ : Chứng minh với số nguyên k cho trước, không tồn số nguyên dương x cho : x(x + 1) = k(k + 2) Giaûi (13) Giả sử x(x + 1) = k(k + 2) với k nguyên, x nguyên dương Ta coù : x2 + x = k2 + 2k ⇒ x2 + x + = k2 + 2k + = (k + 1)2 Do x > neân x2 < x2 + x + = (k + 1)2 (1) 2 Cuõng x > neân (k + 1) = x + x + < x + 2x + = (x + 1)2 (2) 2 Từ (1) và (2) suy : x < (k + 1) < (x + 1) Vô lí Vậy không tồn số nguyên dương x để x(x + 1) = k(k + 2) Ví dụ : Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là số chính phương : x4 + 2x3 + 2x2 + x + Giaûi Đặt x4 + 2x3 + 2x2 + x + = y2 (1) với y N Ta thaáy : y2 = (x4 + 2x3 + x2) + (x2 + x + 3) = (x2 + x)2 + (x2 + x + 3) Ta chứng minh a2 < y2 < (a + 2)2 với a = x2 + x Thaät vaäy : y2 – a2 = … + 11 > (a + 2)2 – y2 = … = 3x2 + 3x + > Suy a2 < y2 < (a + 2)2 Vaäy y2 = (a + 1)2 ⇔ x4 + 2x3 + 2x2 + x + = (x2 + x + 1)2 ⇔ x2 + x – = ⇔ x=1 ¿ x=−2 ¿ ¿ ¿ ¿ Ta số = 32 Cách giải khác Đưa phương trình ước : Nhân hai vế (1) với : 4y2 = 4x4 + 8x3 + 8x2 + 4x + 12 = 4x4 + 8x3 + 4x2 + 4x2 + 4x + + 11 = [2x2 + (2x + 1)]2 + 11 Do đó : (2x2 + 2x + + 2y) (2x2 + 2x + - 2y) = -11 Ta có 2x2 + 2x + + 2y 2x2 + 2x + - 2y nên có hai trường hợp : ¿ x +2 x+1+2 y=11 a) x +2 x+1 −2 y=− ¿{ ¿ ¿ x 2+ x −2=0 ⇔ y=3 ¿{ ¿ ¿ x +2 x+1=5 ⇔ y =6 ¿{ ¿ ¿ x=1 x = -2 y=3 ⇔ ¿{ ¿ (14) ¿ x 2+2 x +1+ y =1 ⇔ b) x +2 x+1 −2 y=− 11 ¿{ ¿ ¿ x 2+ x +3=0 ⇔ y=3 Voâ nghieäm ¿{ ¿ ¿ x +2 x+1=−5 y=6 ¿{ ¿ Sử dụng tính chất : Nếu hai số nguyên dương nguyên tố cùng có tích là số chính phương thì số là số chính phương Giả sử ab = c2 với a, b, c N*, (a, b) = Chứng minh phản chứng Giả sử a và b có số, chẳng hạn a, chứa thừa số nguyên tố p với số mũ lẻ thì số b không chứa thừa số p nên c2 chứa thừa số p với số mũ lẻ, trái với giả thiết c2 là số chính phương Ví dụ Giải phương trình với nghiệm nguyên dương xy = z2 (1) Giaûi : Trước hết ta có thể giả sử (x, y, z) = Thật ba số x0, y0, z0 thoả mãn (1) và có ƯCLN d, giả sử x0 = dx1, y0 = dy1, z0 = dz1 thì (x1, y1, z1) là nghiệm (1) Với (x, y, z) = thì x, y, z đôi nguyên tố cùng nhau, vì hai ba số x, y, z có ước chung là d thì số còn lại chia hết cho d Ta có z2 = xy mà (x, y) = nên x = a2, y = b2 với a, b N* 2 Suy : z = xy = (ab) , đó : z = ab Nhö vaäy : ¿ x=ta y=tb z=tab ¿{{ ¿ với t là số nguyên dương tuỳ ý Đảo lại, hiển nhiên các số x, y, z có dạng trên thoả mãn (1) Công thức trên cho ta các nghiệm nguyên dương (1) Sử dụng tính chất : Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là số chính phương thì hai số nguyên liên tiếp đó Giả sử a(a + 1) = k2 (1) với a Z, k N Chứng minh phản chứng Giả sử a 0, a + thì k2 Do k N neân k > 2 Từ (1) suy : a + a = k ⇒ 4a2 + 4a = 4k2 ⇒ 4a2 + 4a + = 4k2 + ⇒ (2a + 1)2 = 4k2 + (2) Do k > neân 4k2 < 4k2 + < 4k2 + 4k + (3) Từ (2) và (3) : (2k)2 < (2a + 1)2 < (2k + 1)2, vô lí Vaäy neáu a(a + 1) = k2 thì toàn taïi moät hai soá a, a + baèng Ví duï : Tìm caùc nghieäm nguyeân cuûa phöông trình (15) x2 + xy + y2 = x2y2 (1) Giaûi Theâm xy vaøo hai veá : x2 + 2xy + y2 = x2y2 + xy ⇔ (x + y)2 = xy(xy + 1) (2) Ta thaáy xy vaø xy + laø hai soá nguyeân lieân tieáp, coù tích laø moät soá chính phöông neân toàn taïi moät soá baèng Xét xy = Từ (1) có x2 + y2 = nên x = y = Xét xy + = Ta có xy = -1 nên (x, y) (1 ; -1) (-1 ; 1) Thử lại ba cặp số (0 ; 0), (1 ; -1), (-1 ; 1) là nghiệm phương trình đã cho Caùc caùch giaûi khaùc : Cách Đưa phương trình ước : 4x2 + 4xy + 4y2 = 4x2y2 ⇔ 4x2 + 8xy + 4y2 = 4x2y2 + 4xy ⇔ (2x + 2y)2 = (2xy + 1)2 – ⇔ (2xy + 1)2 - (2x + 2y)2 = Sau đó đưa phương trình ước Cách Dùng tính chất số chính phương sau đó đưa phương trình ước : 4x2 + 4xy + 4y2 = 4x2y2 ⇔ (2x + y)2 + 3y2 = 4x2y2 ⇔ (2x + y)2 = y2(4x2 – 3) Neáu y = thì x = 0, ta coù (0 ; 0) laø moät nghieäm Neáu y thì 4x2 – phaûi laø soá chính phöông Ta coù 4x2 – = k2 ( k N), ñöa veà (2x – k)(2x + k) = Tìm x1 = ; x2 = -1 Từ đó tìm y | y| , theá thì x2 Cách Dùng bất đẳng thức Không tính tổng quát, giả sử |x| |xy| y2, xy y2 Do đó : x2 + xy + y2 = x2y2 y2 + y2 + y2 = 3y2 Neáu y = thì x = Neáu y thì chia hai vế cho y2 x2 Do đó x2 = Ta có thêm hai nghiệm : (1 ; -1), (-1 ; 1) Cách Đưa phương trình bậc hai ẩn x : (y2 – 1)x2 – yx – y2 = (2) Xét y = 1, (2) có dạng : -x – = x = -1 Xét y = -1, (2) có dạng : x – = x = ± 1, (2) là phương trình bậc hai x Xeùt y = y2 + 4y2(y2 – 1) = y2(4y2 – 3) Ta phaûi coù laø soá chính phöông Nếu y = thì từ (2) suy x = Neáu y thì 4y2 – phaûi laø soá chính phöông Ta coù 4y-2 – = k2 (k N) neân (2y + k) ± (2y – k) = Ta tìm y = ± 1, loại vì ta xét y Baøi taäp : Tìm caùc nghieäm nguyeân cuûa phöông trình 3x2 + 4y2 = 6x + 13 (16) (Tạo bình phương đúng : ⇔ 3x2 – 6x + = 16 – 4y2 ⇔ 3(x – 1)2 = 4(4 – y2) Ta coù – y2 và – y2 ⋮ nên y2 = y2 = Đáp số : (3 ; 1), (3; -1), (-1; 1), (-1; -1), (1; 2), (1; -2) sử dụng PT bậc hai) Có tồn hay không hai số nguyên dương x và y cho x2 + y và y2 + x là số chính phöông ? (Xét các số chính phương liên tiếp : Giả sử y x Ta coù : 2 2 x <x +y x + x < (x + 1) x + y nằm hai số chính phương liên tiếp nên không theå laø soá chính phöông) Chứng minh không có số chính phương nào viết dạng p + 3p đó p laø moät soá nguyeân toá (Xeùt p = : Voâ nghieäm Xeùt p > thì p laø soá leû Caùch Vieát 2p + 3p = 2p + (4 – 1)p = n2 Ta coù 2p chia heát cho 4, coøn (4 – 1)p = BS4 – neân veá traùi chia dö 3, coøn veá phaûi laø soá chính phöông leû neân chia dö Caùch : 2p + 3p = (3 – 1)p + 3p = n2 Veá traùi chia cho dö 2, coøn veá phaûi chia cho dö 1) Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là số chính phương : x4 + x3 + x2 + x + (Xeùt caùc soá chính phöông lieân tieáp) (2x2 + x)2 Giải : Giả sử y2 = x4 + x3 + x2 + x + (1) với y N Biến đổi : 4y = 4x + 4x + 4x + 4x + ⇒ (2y)2 = (2x2 + x)2 + 3x2 + 4x + = = (2x2 + x)2 + 2x2 + (x + 2)2 > (2x2 + x)2 neân (2y)2 (2x2 + x + 1)2 ⇒ ⇒ 4x4 + 4x3 + 4x2 + 4x + 4x4 + x2 + + 4x3 + 4x2 + 2x ⇒ x2 – 2x – ⇒ x2 – 2x – ⇒ (x + 1)(x – 3) ⇒ -1 x 2 2 Xét x = -1 ⇒ y = , x = 0, ⇒ y = , x = ⇒ y = 5, loại x = ⇒ y2 = 31, loại x = ⇒ y2 = 121 = 112 Đáp số : x = -1 ; x = ; x = Cách : Giả sử y2 = x4 + x3 + x2 + x + (1) với y N Biến đổi : 4y = 4x + 4x + 4x + 4x + = (2x2 + x)2 + 3x2 + 4x + = (2x2 + x)2 + 2x2 + (x + 2)2 > (2x2 + x)2 = A2 (2) 2 2 2 2 2 Xeùt (A + 2) – 4y = (2x + x + 2) – 4y = (2x + x + 2) – 4y = (2x + x) + 4(2x2 + x) + – (2x2 + x)2 – 3x2 – 4x – = 8x2 + 4x – 3x2 – 4x = 5x2 (3) Nếu x = thì từ (1) có y2 = Neáu x thì từ (3) ⇒ (A + 2)2 > 4y2 Kết hợp với (2) : A2 < 4y2 < (A + 2)2 Suy (2y)2 = (A + 1)2 ⇔ … ⇔ x2 – 2x – = Từ đó tìm x1 = ; x2 = -1 Đáp số : x = ; x = ; x = -1 biểu thức đã cho theo thứ tự ; 121 ; (17) Buoåi ngaøy 12 thaùng naêm 2006 Laøm baøi taäp 29, 30, 31 tr 24 Saùch Phöông trình nghieäm nguyeân VHB VII/ Phương pháp lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn Ví duï : Tìm caùc nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : x3 + 2y3 = 4z3 (1) Giaûi : Hiển nhiên x ⋮ Đặt x = 2x1 với x1 nguyên Thay vào (1) chia hai vế cho x + y3 = 2z3 (2) Do đó y ⋮ Đặt y = 2y1 với y1 nguyên Thay vào (2) chia hai vế cho : 3 x + y = z3 (3) Do đó z ⋮ Đặt z = 2z1 với z1 nguyên Thay vào (2) chia hai vế cho : 3 x + 2y ❑1 = 4z ❑1 (4) Như (x, y, z) là nghiệm (1) thì (x1, y1, z1) là nghiệm (1) đó x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1 Lập luận tương tự trên, (x2, y2, z2) là nghiệm (1) đó x1 = 2x2, y1 = 2y2, z1 = 2z2 Cứ tiếp tục ta đến : x, y, z chia hết cho 2k với k là số tự nhiên tùy ý Điều này chæ xaûy x = y = z = Đó là nghiệm nguyên (1) Chuù yù Ta goïi phöông phaùp treân laø phöông phaùp luøi voâ haïn Nếu ví dụ trên cho dạng : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x3 + 2y3 = 4z3 (1) Ta có thể trình bày chứng minh nguyên tắc cực hạn : Giả sử (x0, y0, z0) là nghiệm nguyên dương (1), đó x0 là giá trị nguyên dương nhoû nhaát caùc giaù trò maø x coù theå nhaän Lập luận cách giải trên ta (x1, y1, z1) là nghiệm nguyên dương (1) mà x0 = 2x1, tức là x1 < x0 Điều này trái với giả thiết x0 là số nguyên dương nhỏ các giá trị nhận x Vậy phương trình (1) không có nghiệm nguyên dương (18) CHƯƠNG II CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VỚI NGHIỆM NGUYÊN Phöông trình baäc nhaát hai aån Ví duï Tìm caùc nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : 11x + 18y = 120 (1) Giải : Vì 11x ⋮ Đặt x = 6k (k nguyên) Thay vào (1) và rút gọn ta : 11k + 3y = 20 Biểu thị ẩn mà hệ số nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (là y) theo k ta : y= 20 −11k ⇔ y = – 4k + k−1 vì y nguyeân neân k = 3t + ⇒ y = – 11t, x = 18t + Chú ý a) Nếu đề bài yêu cầu tìm nghiệm nguyên dương (1) thì sau nghiệm nguyeân toång quaùt, ta giaûi caùc ñieàu kieän sau : ¿ 18 t+6> −11 t> ¿{ ¿ ⇔ − <t< 11 Do đó t = (vì t nguyên) Nghiệm nguyên dương (1) là x = 6, y = 20 −11 k , chaúng haïn : 1+2 k y = – 3k + b) Có nhiều cách tách giá trị nguyên biểu thức y = caùch y = – 4k + caùch y = – 3k + k−1 2( 1− k ) caùch Chú ý cách và cách hệ số k dễ giải vì không cần đặt ẩn phụ nào Caùch giaûi phöông trình baäc nhaát hai aån ax2 + bx + c = (a 0) + by = c với nghiệm nguyeân (a, b, c Z) - Rút gọn phương trình chú ý đến tính chia hết các ẩn - Biểu thị ẩn mà hệ số nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn x) theo ẩn - Tách riêng giá trị nguyên biểu thức x - Đặt điều kiện để phân số biểu thức chứa x số nguyên t 1, ta moät phöông trình baäc nhaát hai aån y vaø t1 - Cứ tiếp tục làm trên các ẩn biểu thị dạng đa thức với các hệ số nguyên Baøi taäp Tìm caùc nghieäm nguyeân : 12x – 7y = 45 (HD : Ñaët y = 3k Keát quaû : (x = 7t + 2; y = 12t –3) Tìm caùc nghieäm nguyeân : 9x + 20y = 547 (HD : x = 61− y − 2(1+ y ) Ñaët 1+ y =t Cho phöông trình 11x + 8y = 73 547 −20 y = Keát quaû : (x = 63 – 20t; y = 9t –1) (19) a) Tìm caùc nghieäm nguyeân b) Tìm caùc nghieäm nguyeân döông (HD : y = 73 −11 x =8–x+ 5)) (3 − x) Keát quaû : (x = – 8t ; y = + 11t) b) x = ; y = Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên dương : 11x + 2006y =11.2006 (HD : Ta thaáy 2006y ⋮ 11 ⇒ y ⋮ 11 Do y nguyên dương nên y 11 Do đó vế trái lớn vế phải Vô lý! Chú ý : Ta có bài toán tổng quát : Phương trình ax + by = ab không có nghiệm nguyên döông neáu a vaø b nguyeân toá cuøng nhau) Phöông trình baäc hai coù hai aån 1/ Tìm nghieäm nguyeân döông cuûa phöông trình : x2 + (x + y)2 = (x + 9)2 (1) Giaûi : (1) ⇔ (x + y)2 – 18x = 81 ⇔ (x + y)2 – 18(x + y) + 81 = 162 – 18y ⇔ (x + y – 9)2 = 9(18 – 2y) ⇒ 18 – 2y laø soá chính phöông chaün nhoû hôn 18 (vì y > 0) 18 – 2y = ⇒ y = Từ (1) suy x = (loại) 18 – 2y = ⇒ y = Từ (1) suy x = 18 – 2y = 16 ⇒ y = Từ (1) suy x = 20 Thử lại phương trình có hai cặp nghiệm nguyên dương là (8 ; 7) và (20 ; 1) 2/ Tìm caùc nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : 5x – 3y = 2xy – 11 Giaûi : x +5 Biểu thị y theo x : y = + x +3 Để y Z phaûi coù x + ⋮ 2x + ⇒ 2(x + 5) ⋮ 2x + ⇒ ⋮ 2x + từ đó tìm (x ; y) = (-1 ; 6) ; (-2 ; -1) ; (2 ; 3) ; (-5 ; 2) Cách giải khác : Đưa phương trình ước : (2x + 3)(2y – 5) = 3/ Tìm caùc nghieäm nguyeân cuûa phöông trình x2 – 2x – 11 = y2 Giaûi : Đưa phương trình ước : x2 – 2x + = y2 ⇒ (x – 1)2 – y2 = 12 (1) Ta thấy (1) chứa y với số mũ chẵn nên có thể giả thiết y Thế thì x – + y x – – y vaø (x – + y) – (x – – y) = 2y neân x – + y vaø x – – y cuøng tính chaün leû Tích cuûa chuùng baèng 12 neân chuùng cuøng chaün (20) Do đó ta có x–1+y -2 x–1–y -6 Do đó x-1 -4 y 2 x -3 Đáp số (5 ; 2), (5 – 2), (-3 ; 2), (-3 ; -2) Cách Viết thành phương trình bậc hai x x2 – 2x – (11 + y2) = (2) ’ = + 11 + y2 = 12 + y2 Điều kiện cần để (2) có nghiệm nguyên : ’ là số chính phương ⇔ 12 + y2 = k2 (k N) 2 ⇔ k – y = 12 ⇔ (k + y)(k –y) = 12 Giả sử y thì k + y k – y và k + y 0, (k + y) – (k – y) = 2y neân k + y vaø k – y cuøng tính chaün leû vaø phaûi cuøng chaün Từ đó ta có ¿ k + y=6 k − y =2 suy y = ¿{ ¿ Thay vaøo (2) : x2 – 2x – 15 = x1 = ; x2 = -3 Ta coù boán nghieäm : (5 ; 2), (5 – 2), (-3 ; 2), (-3 ; -2) 4/ Tìm caùc nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : x2 + 2y2 + 3xy – x – y + = (1) Giải : Viết thành phương trình bậc hai x : x2 + (3y – 1)x + (2y2 – y + 3) = (2) = (3y – 1)2 – 4(2y2 – y + 3) = y2 – 2y – 11 Điều kiện cần để (2) có nghiệm nguyên phải là số chính phương ⇔ y2 – 2y – 11 = k2 (3) (k N) Keát quaû (-8 ; 5), (-6 ; 5), (6 ; -3), (4 ; -3) Buổi IX thứ hai ngày 13 tháng 03 năm 2006 Phương trình bậc ba trở lên có hai ẩn Ví duï : Tìm caùc nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = y2 (1) (21) Giaûi Nếu y thỏa mãn phương trình thì –y thỏa mãn, đó ta giả sử y (1) ⇔ (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = y2 Đặt x2 + 3x + = a, ta (a – 1)(a + 1) = y2 ⇔ a2 – = y2 ⇔ (a + y)(a – y) = Suy a + y = a – y, đó y = Thay vào (1) ta : x1 = -1 ; x2 = ; x3 = -2, x4 = -3 Đáp số (0 ; 0), (-1 ; 0), (-2 ; 0), (-3 ; 0) Baøi taäp Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là số chính phương x(x + 2)(x2 + 2x + 3) Giaûi : x(x + 2)(x2 + 2x + 3) = y2 (1) (giả sử y N) 2 2 ⇔ (x + 2x)(x + 2x + 3) = y Ñaët x + 2x = k ta coù k(k + 3) = y2 (2) Xét y = từ (1) ta có x1 = ; x2 = -2 Xét y > Biến đổi : 4k2 + 12k = 4y2 ⇔ (2k + 3)2 – 4y2 = ⇔ (2k + + 2y)(2k + – y) = Ta thấy 2k + + 2y > 2k + – y nên có hai trường hợp : Trường hợp : ¿ k +3+2 y=9 k +3 −2 y=1 ¿{ ¿ ⇒ k = Khi đó x(x + 2) = 1, không có nghiệm nguyên ¿ 2k + 3+2 y=−1 ⇒ k=-4 Trường hợp : k +3 −2 y=− ¿{ ¿ ⇔ Khi đó x(x + 2) = -4 x2 + 2x + = 0, voâ nghieäm Đáp số và -2 Ôn tập Hình học và đại số Đề ôn tập : (22) 1) Tìm số điện thoại có chữ số biết nó là số chính phương và ta thêm vào chữ số nó đơn vị thì số chính phương Giải : Giả sử số điện thoại là : abcd Ta coù : abcd = x2 ; (a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1) = y2 ⇒ y2 – x2 = 1111 ⇒ (y – x)(y + x) = 1111 x, y là các số có hai chữ số (vì x, y có từ chữ số trở lên thì bình phương không thể là số có bốn chữ số và x, y không thể có chữ số) ¿ y − x=11 y + x=101 ¿{ ¿ ⇒ ⇒ x = 45 và y = 56 Số điện thoại cần tìm là 2025 2) Chứng minh với số tự nhiên n 1, ta có : + 13 Ta coù K +1 ¿ ¿ K +¿ ¿ + 25 +…+ Giaûi n+1 ¿2 n +¿ ¿ < 20 Lần lượt K = 2, 3, …, n suy + 13 + 25 +…+ 3) Giaûi heä phöông trình : n+1 ¿2 n2 +¿ ¿ 1 < + = 20 ¿ 1 + + =2 x y z − =4 xy z ¿{ ¿ Giaûi : Ñaët X = x Y = … Z = … (x, y, z 0) Rút Z theo X và Y thay vào phương trình còn lại ta đước (X – 2)2 + (Y – 2)2 = 1 Vaäy heä coù nghieäm : ( ; ; − ) 4) Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : x6 + 3x3 + = y4 (23) Giaûi : Rõ ràng x = ; y = ± là nghiệm nguyên dương phương trình, ta chứng minh đó là hai nghieäm nguyeân döông nhaát Với x > : (x3 + 1)2 = x6 + 2x3 + < x6 + 3x3 + = y4 < x6 + 4x3 + = (x3 + 2)2 (Voâ lyù) Với x = -1 ; y4 = -1 : Vô nghiệm Với x -2 : (x3 + 2)2 < x6 + 3x3 + = y4 < x6 + 2x3 + = (x3 + 1)2 (Voâ lyù) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm : (0 ; 1) và (0 ; -1) 5) Cho hình bình hành ABCD Đường phân giác góc BAD cắt các cạnh BC và CD (hoặc phần kéo dài chúng) các điểm M và N Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN (24)