Đường phân giác của ACD và đường thẳng vuông góc với AB tại E cắt nhau tại I.. là đường tròn tiếp xúc với AC; DC và O.[r]
(1)TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS PHÚ YÊN Năm học : 2012 – 2013 Môn thi : Toán Thời gian : 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC ( Không kể thời gian phát đề) (Đề thi có trang) Họ và tên thí sinh Số báo danh Chữ kí Câu 1: ( 5,0 điểm) a) Cho A 2012 2011; B= 2013 2012 So sánh A và B? 3 b) Tính giá trị biểu thức: C 15 26 15 26 3 3 c) Cho x 3 y 4 z Chứng minh rằng: x2 y 4z 2333 Câu 2: ( 3,0 điểm) Giải phương trình : x x 2 1 x x 3 8 x y 10 x y x y 0 2x y 2 x y Câu 3: ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình : Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi Q là điểm trên cạnh BC ( Q khác B; C) Trên AQ lấy điểm P( P khác A; Q) Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB cắt AB; AC M, N AM AN PQ 1 AB AC AQ a) Chứng minh : AM AN PQ AB AC AQ 27 b) Xác định vị trí điểm Q để Câu 5: ( 3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Điểm C thuộc bán kính OA Đường vuông góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) D Đường tròn tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) và tiếp xúc với các đoạn thẳng CA, CD Gọi E là tiếp điểm AC với đường tròn ( I ) Chứng minh : BD = BE Câu 6: ( 2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ P = – xy, đó x, y là các số thực 2013 2013 1006 1006 thỏa mãn điều kiện : x y 2 x y - Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay Giám thị không giải thích gì thêm GV: Nguyễn Đình Huynh Tổ : Toán - Tin (2) TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO Câu 1: ( 5,0 điểm) a) Cho A 2012 2011; B= 2013 2012 So sánh A và B? 3 b) Tính giá trị biểu thức: C 15 26 15 26 3 3 c) Cho x 3 y 4 z Chứng minh rằng: x2 y2 4z2 23 33 1 Giải: a) Ta có : A B 2012 2011 2012 2011 2012 2011 2013 2012 2013 2012 2013 2012 2012 2011 2013 2012 2012 2011 2013 2012 Mà Nên 1 2012 2011 2013 2012 hay A > B 3 b) Tính giá trị biểu thức: C 15 26 15 26 3 18 12 3 3 18 12 3 3 2 3 22 23 3 3 2 3 3 3 2 3 3 2 3 2 23 4 c)Cho x 3 y 4 z Chứng minh rằng: Mình chưa biết giải, bạn nào biết giúp Nhưng mình kiểm tra thấy đề không đúng 3 Cho x 12; y = 8; z = 3 Thì x 3 y 4 z 12 3 8 4 6 24 ( Thỏa mãn đẳng thức) Nhưng 2x2 y2 4z 23 33 122 3 82 62 1 2333 Câu 2: ( 3,0 điểm) Giải phương trình : GV: Nguyễn Đình Huynh x x 2 2 x x 3 (*) Tổ : Toán - Tin (3) TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG x 1 1 x 1 2 2 ĐKXĐ : x R 2 t x 1 1 Đặt t x x thì 1 2 (*) t 1 4t 5t t 1 t t 1 5t 10t 3t 8t 0 t 0 5t 15t 12t 0 t 1 5t 15t 12t 0 t 1 Pt voâ nghieäm vì t 1 Vậy S 1 8 x y 10 x y x y 0 I 2x y 2 2x y Câu 3: ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình : * Điều kiện xác định : x y 2 y 2 y 10 y 0 2 y 0 I y y y 2 x y Nếu thì : PTVN Nên hệ PT ( I ) vô nghiệm Nếu x y Chia vế phương trình (1) cho x y x y Ta có : 2x y 2x y 8 x y 10 x y x y 0 10 0 (*) 2x y 2x y 2 x y x y 2 (**) x y 2x y 2x y t x y thì Đặt 3 1 t t t Ê ; t= * 8t 10 t 0 2x y x y t 2 thì x y + Với GV: Nguyễn Đình Huynh Tổ : Toán - Tin (4) TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG Thay vào (**) Ta có : 2 y y 2 2 y 2 2y 2 y y 1 1 1 12y2 y 0 y y 0 y ; y 2 6 5 y x 2 ( thỏa mãn ĐKXĐ) Với 1 1 5 x 6 12 ( thỏa mãn ĐKXĐ) Với 2x y 3 1 x y t 10 Thay vào (**) Ta có : thì x y + Với 3 2 y y 2 3 10 2 y y 8y2 20 y 25 0 : Phương trình vô nghiệm 10 y 1 ; Vậy hệ phương trình có nghiệm : và 1 ; 2 Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi Q là điểm trên cạnh BC ( Q khác B; C) Trên AQ lấy điểm P( P khác A; Q) Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB cắt AB; AC M, N AM AN PQ 1 c) Chứng minh : AB AC AQ AM AN PQ AB AC AQ 27 d) Xác định vị trí điểm Q để A M N GIẢI: Gọi H PN BC ; I=MP BC AN NC 1 Ta có: AC AC P (1) Mặt khác : Áp dụng định lí Talet Ta có: NC CH CI IH CI IH AC BC BC BC BC (2) CI AM ; BC AB Vì MI // AC nên (3) ABC PHI Vì (g-g) PH PQ IH PQ IH PH BC AB mà AB AQ nên BC AQ GV: Nguyễn Đình Huynh B H Q (4) Tổ : Toán - Tin I C (5) TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG AN NC AN CI IH AN AM PQ 1 AC AC AC BC BC AC AB AQ Từ (1), (2), (3) và (4) Suy : AM AN PQ 1 Hay AB AC AQ AM AN PQ CI AN IH CI BH IH b) Từ câu a Ta có : AB AC AQ BC AC BC BC BC BC 27 BC CI IH HB 27 Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số không âm CI IH HB CI IH HB 3 BC 27 Ta có : Dấu “ = ” xảy CI = IH = HB Đẳng thức xảy Q là trung điểm BC A AP AQ và N M P B H Q I C Câu 5: ( 3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Điểm C thuộc bán kính OA Đường vuông góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) D Đường tròn tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) và tiếp xúc với các đoạn thẳng CA, CD Gọi E là tiếp điểm AC với đường tròn ( I ) Chứng minh : BD = BE Giải: Cách vẽ: + Vẽ phân giác ADB cắt AB E Đường phân giác ACD và đường thẳng vuông góc với AB E cắt I I ; IE là đường tròn tiếp xúc với AC; DC và (O) Ta có : Thật : Hạ IF DC Ta có : IE = IF ( t/c đường phân giác) Nên (I; IE) tiếp xúc với AC; DC và IECF là hình vuông Chứng minh: + Chứng minh ba điểm B; F và G thẳng hàng sd PF G IGF IF Ta có : IGF cân I nên Xét OBG : AOG 2OBG ( Tính chất góc ngoài) GV: Nguyễn Đình Huynh Tổ : Toán - Tin (6) TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG EP GE FP 1 1 GE EF E EF FP OBG AOG GFI IF 2 2 2 2 2 GFI 450 450 IGF 2IGF IGF 2 = Nên ba điểm G, F và B thẳng hàng ( vì tia GF và GB trùng nhau) + Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ADB : ADB 90 Nên BD BC BA (1) +Áp dụng tính chất tiếp tuyến Ta có : BE BF BG (2) FCB ( g-g) Mặt khác : AGB AB BG BF BG AB BC BF BC (3) Từ (2) và (3) Suy : BE AB.BC (4) Từ (1) và (4), suy : BD = BE Câu 6: ( 2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ P = – xy, đó x, y là các số thực 2013 2013 1006 thỏa mãn điều kiện : x y 2 x 2013 2013 1006 1006 Giải: Từ x y 2 x y y1006 * Nếu x = y 0 ; Nếu y = x 0 * Nếu x 0; y 0 2013 2013 1006 1006 Thì x y 2 x y x x 2013 y 2013 2 x 1006 1006 y x y 1006 y y x 1006 2 ( *) x t 0 y Đặt GV: Nguyễn Đình Huynh Tổ : Toán - Tin (7) TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG * xt y 1t 2 xt 2t y 0 Thì Giải phương trình theo biến t Ta có : 2 ' b '2 ac 1 xy 1 xy Để phương trình có nghiệm ( Dấu đẳng thức xảy ) Thì ' 1 xy 0 xy 1 Nên giá trị nhỏ P = – xy = xy = ( Nếu có thắc mắc cần trao đổi xin liên hệ qua hòm thư “ info@123doc.org” ) GV: Nguyễn Đình Huynh Tổ : Toán - Tin (8)