Khôi phục và xấp xỉ hàm số bằng phương pháp tuyến tính trong không gian besov

TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 KHÔI PHỤC VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ BẰNG PHƢƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH TRONG KHƠNG GIAN BESOV Nguyễn Mạnh Cƣờng1, Bùi Khắc Thiện2 TĨM TẮT Chúng tơi nghiên cứu khôi phục xấp xỉ lớp hàm số không tuần hồn thuộc khơng gian Besov có độ trơn đẳng hướng phương tuyến tính khơng thích nghi Xây dựng phương pháp tuyến tính dựa giá trị lấy mẫu mà cụ thể báo toán tử , đánh giá sai số xấp xỉ phương pháp qua đại lượng đặc trưng Từ khóa: Biểu diễn bán nội suy, khơng gian Besov, phương pháp tuyến tính ĐẶT VẤN ĐỀ Nhƣ biết phƣơng pháp đại toán học đƣợc ứng dụng nhiều lĩnh vực xử lý tín hiệu, xử lý ảnh thị giác máy tính Bài tốn khơi phục tín hiệu loại nhiễu tốn quan trọng lĩnh vực xử lý tín hiệu xử lý ảnh, thực tế khơng có loại máy cho ta thơng tin xác tín hiệu, nhƣ nhiễu ln xuất q trình truyền tải, số hóa, nhiễu xuất điều kiện tự nhiên Sự phụ thuộc chất lƣợng tín hiệu ảnh vào cơng nghệ xử lý thơng tin địi hỏi phải phát triển mạnh có hiệu thuật tốn xử lý tín hiệu, xử lý ảnh ứng dụng chúng [1,2] Khôi phục hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ƣu toán lý thuyết xấp xỉ, đƣợc nhiều nhà toán học quan tâm ý nghĩa lý thuyết nhƣ ứng dụng Khơi phục hàm số từ giá trị lấy mẫu phƣơng pháp tuyến tính cách tiếp cận truyền thống đƣợc nhiều nhà toán học nghiên cứu, nhiên khơng tính thời có nhiều ứng dụng Bài báo nghiên cứu khôi phục xấp xỉ hàm số phƣơng pháp tuyến tính khơng thích nghi Khơi phục xấp xỉ hàm số phƣơng pháp tuyến tính đƣợc nhiều nhà tốn học nghiên cứu có nhiều cơng trình đƣợc cơng bố Trong [3] tác giả nghiên cứu khôi phục xấp xỉ hàm số phƣơng pháp tuyến tính cho lớp hàm số  tuần hồn thuộc khơng gian Besov B p , với modul trơn đẳng hƣớng, tác giả xây dựng đƣợc phƣơng pháp tuyến tính đánh giá đƣợc tốc độ hội tụ phƣơng pháp GS.TSKH Đinh Dũng nghiên cứu khôi phục xấp xỉ hàm số cho lớp hàm số khơng tuần hồn phƣơng pháp tuyến tính khơng gian Besov Bp , , Bp ,, B p, với modul trơn không đẳng hƣớng, xây dựng đƣợc phƣơng Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức Khoa Kỹ thuật Cơng nghệ, Trường Đại học Hồng Đức 27 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 pháp tuyến tính đánh giá tiệm cận tốc độ hội tụ phƣơng pháp [6,7] Trong báo này, nghiên cứu vấn đề khôi phục xấp xỉ hàm số khơng tuần hồn phƣơng pháp tuyến tính khơng gian Besov B p, với modul trơn đẳng hƣớng, xây dựng đƣợc phƣơng pháp tuyến tính B-spline đánh giá tiệm cận đƣợc tốc độ hội tụ phƣơng pháp Định nghĩa Cho f  Lp ( I d ) , toán tử sai phân cấp định nghĩa l  f ( x) :  (1)l  j   f ( x  jh) j 0  j l l h l Định nghĩa Nếu f  Lp ( I d ) thì: l ( f , t ) p : sup  h f |h|t  p , Id ( lh ) gọi  modul trơn cấp l f , I d (lh) : x : x, x  lh  I d Cho hàm số  :   thỏa mãn điều kiện  (i) (t )  0, t  0, (ii) (t )  c.(t ), t , t    , t  t , (iii)   1, C   C ( ) cho ( t )  C .(t ), t   Chú ý điều kiện (iii) cần thỏa mãn với số   cố định (chẳng hạn   )  Định nghĩa Cho  p,   không gian Besov B p , định nghĩa tập d hợp hàm f  Lp ( I ) cho chuẩn Besov sau hữu hạn f B p , : f p  | f |B , | f |B p , p , nửa chuẩn Besov, ác định   dt      ( f , t ) / (t )  p   l t  | f |B :  I p ,  sup l ( f , t ) p / (t )  tI          Kí hiệu U p, hình cầu đơn vị không gian B p, BIỂU DIỄN HÀM SỐ QUA CÁC B-SPLINE Định nghĩa Ký hiệu N r B-spline chuẩn tắc bậc r với nút điểm 0,1, ,r ác định sau: N1 hàm đặc trưng nửa khoảng [0, 1); với r  2, Nr định nghĩa tích chập  N r ( x) : N  28 r 1 ( x  y ) N1 ( y )dy TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Đặt M (x):=N (x+ ) gọi B-spline trung tâm bậc r Cho số nguyên dƣơng r, gọi M B-spline trung tâm bậc 2r với giá [−r,r] nốt điểm nguyên −r, , 0, r Định nghĩa d-biến B-spline nhƣ sau d M ( x) :  M ( xi ), x  ( x1 , x2 ,, xd ), (2.1) i 0 định nghĩa B spline sóng nhỏ: M k ,s ( x) : M (2k x  s), Cho số không âm k s  d Ký hiệu M tập hợp tất M k , s không triệt Cho    ( j ) jP (  ) dãy chẵn hữu hạn, tức  ( j )   ( j ) , tiêu Pd ( ) :  j  :| j |    r  Chúng ta định nghĩa toán tử tuyến tính Q cho hàm d Q( f , x) :  ( f , s)M ( x  s), (2.2)  (2.3) s ( f , s) : Ở đây: d  ( j ) f (s  j ) jP d (  ) Khi đó, từ định nghĩa B-spline suy tốn tử Q bị chặn C ( Q( f ) C ( d )   f Ký hiệu C( r 1 d ) ,    d ) | ( j ) | jP d (  ) tập hợp đa thức đại số có bậc khơng vƣợt q 2r − Một toán tử Q đƣợc xác định từ (2.2 - 2.3) tái tạo lại gọi toán tử giả nội suy C ( d r 1 , tức Q( p)  p, p  r 1 , đƣợc ) Giả sử Q toán tử giả nội suy từ (2.2 - 2.3), cho h > hàm f xác định d , xác định toán tử Q(., h) Q( f ; h) :  h Q1/ h ( f ),  h ( f , x)  f ( x / h) Từ định nghĩa Q( f , h) , ta có Q( f , x; h)   ( f , k ; h)M (h1 x  k ), k với ( f , k ; h)    ( j ) f (h(k  j )) jP d (  ) Tốn tử Q(., h) có tính chất tƣơng tự nhƣ toán tử Q , đƣợc gọi toán tử giả nội suy C ( d ) Nhƣng Q(., h) không đƣợc định nghĩa cho f I d , khơng khơi phục đƣợc hàm số f với điểm lấy mẫu I d Một cách tiếp cận đƣợc GS.TSKH Đinh Dũng đề xuất [4,5] để xây dựng toán tử giả nội suy cho hàm số I d mở rộng đa thức nội suy Lagrange Cho số nguyên không âm k, đặt x j  j 2 k , j  Nếu f hàm số I, Ký hiệu U k ( f ) , Vk ( f ) lần lƣợt đa thức nội suy Lagrange 2r điểm bên trái x0 , x1 ,, x2 r 1 2r điểm bên phải x2k 2r 1 , x2k 2r 3 ,, x2k đoạn I đƣợc xác định bởi: 29 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 r 1 2sk  2s  k f ( x0 ) s 1 s! U k ( f , x) : f ( x0 )   s 1  ( x  x ), j j 0 2sk  2s  k f ( x2k  r 1 ) s 1 r 1 Vk ( f , x) : f ( x2k  r 1 )   (x  x s! s 1 j 0 Hàm số f đƣợc định nghĩa hàm số mở rộng f 2k  r 1 j ) nhƣ sau: x  0, U k ( f , x),  f k ( x)   f ( x), V ( f , x),  k  x  1, x  Nếu f liên tục I f liên tục Giả sử Q toán tử giả nội suy (2.2 - 2.3) C ( ) Chúng ta xây dựng toán tử Qk xác định Qk ( f , x) : Q( f k , x;2 k ), x  I , với hàm f I Khi đó, Qk ( f , x)  a k ,s sJ ( k ) ( f )M k , s ( x), x  I , Trong đó: J (k ) : s  ,  r  s  2k  r và: ak , s ( f ) : ( f k , s;2 k )    ( j ) f k (2 k (s  j )) | j |  Chúng ta nhận thấy Qk toán tử giả nội suy C ( I ) Cho f hàm số I d Giả sử Q tốn tử giả nội suy có dạng (2.2)-(2.3) C ( d ) Chúng ta xây dựng toán tử nhiều biến Qk đƣợc xác định Qk ( f , x)  a k ,s sJ ( k ) ( f )M k , s ( x), x  I d , J (k ) : s  d ,  r  si  2k  k  r , i  1,2,, d  tập hợp giá trị s cho M k,s không đồng I d Chú ý ak , s ( f )  ak , s1 ((ak ,s2 (ak ,sd ( f ))), (2.4) Ở hàm hệ số a k,si đƣợc áp dụng tƣơng tự cho hàm số biến xem f hàm số biến xi với biến cịn lại cố định Tƣơng tự nhƣ tốn tử Q Q(.; h), tốn tử Qk tuyến tính bị chặn C ( I d ) tái tạo r 1 Đặc biệt, có: Qk ( f ) C ( d C  f d , (2.5) Với f  C (I ) , với số C không phụ thuộc k Qk (*)  ,   2r 1,  * ) C( ) d hạn chế  I d Toán tử nhiều biến Qk đƣợc gọi toán tử giả nội suy C ( I d ) Cho k  30  , đặt qk : = Qk - Qk 1 với quy ƣớc Q1 (f) = Ta định nghĩa Qk Qk   qk  k  k TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Bổ đề Giả sử f  C ( I d ) Khi đó, ta có Do đó: f  Qk  f    C2r ( f ,2 k ) (2.6) f  Qk  f    0, k   (2.7) Chứng minh Bất đẳng thức (2.6) đƣợc suy từ (2.29)-(2.31) [4] bất đẳng thức (2.5) Cho f  C ( I d ) , từ (2.7) f biểu diễn thành chuỗi f   q ( f ), k với qk ( f )  (2.8) k  c k ,s sJ ( k ) ( f )M k ,s , Chuỗi hội tụ theo chuẩn L ( I d ) , ck,s phiếm hàm hệ số f, đƣợc xác định nhƣ dƣới Đầu tiên xác định ck,s cho hàm số biến (d = 1) Cụ thể ck , s ( f ) : ak , s ( f )  ak , s ( f ), k  0, ak , s ( f ) : 22 r 1  2r   ak 1,m ( f ), k  0, a0, s ( f ) : 0, ( m , j )Cr ( k , s )  j   Ở Cr (k , s) : (m, j) : 2m  j  r  s, m  J (k  1),  j  2r, với k  0, Cr (0, s) : 0 Trong trƣờng hợp hàm nhiều biến, xác định ck,s tƣơng tự nhƣ (2.4) cho ak,s , tức ck , s ( f )  ck , s1 ((ck ,s2 (ck ,sd ( f ))), hàm hệ số c k,si áp dụng cho hàm số biến f xem f hàm số với biến x i với biến lại cố định Ký hiệu An ( f ) Bn ( f ) An ( f )  C.Bn ( f ) C số độc lập với n f ∈ W; An ( f ) Bn ( f ) An ( f ) Bn ( f ) Bn ( f ) An ( f ) Cho k   ký hiệu Σ(k) không gian B-splines Mk,s, s∈J(k) Nếu < p ≤ ∞ g ∈ Σ(k) đƣợc biểu diễn g   sJ ( k ) ‖ g‖p Ở  as M k , s đẳng thức sau (xem [5]) 2dk / p as  p,k , (2.9) 1/ p  | as | p   sJ ( k )  as  p,k :   , với vế phải thay supremum p = ∞ Từ (2.9) cho hàm số liên tục tƣơng đƣơng với f I d , có nửa chuẩn sau 1/    B2 ( f ) :   qk ( f ) p / (2 k )   k       B3 (f ) :   2dk / p ck ,s (f )  k     p,k  1/  / (2 )    k  Định lý sau đƣợc chứng minh [7,8] 31 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Định lý Cho  p,   hàm số  cho tồn số  ,   C1 , C2 thỏa mãn (t ).t    C1(t ).t   , t  t ; t, t   I , (t ).t  (2.10)   C 2(t ).t  , t  t ; t, t   I Khi đó, có d i) Nếu     2r hàm số f  Bp, biểu diễn thành chuỗi (2.8) p B2 ( f ) f Bp,   2.11 ii) Nếu   (2r,2r   ) g hàm số đƣợc biểu diễn g   gk    ck ,s M k ,s p k  k  sJ ( k ) 1/    B4 ( g ) thỏa mãn: B4 ( g ) :   g k p / (2 k )   , g  Bp, g B p , k     d iii) Nếu     min(2r , 2r   ) hàm số f xác định I d thuộc p p   B p, f biểu diễn thành chuỗi có dạng (2.8) thỏa mãn điều kiện (2.11) Hơn nữa, chuẩn f Hệ B p , tƣơng đƣơng với chuẩn B2 ( f ) Cho  p,    thỏa mãn giả thuyết ý (ii) Định lý Khi đó, với k   , có: ‖ ‖ ‖ ‖ ∈ KHƠI PHỤC HÀM SỐ BẰNG PHƢƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH Định nghĩa Cho X n  {x j }nj 1 n điểm I d ,  n   j  n j 1 họ n hàm số thuộc không gian Lq ( I d ) Để khôi phục hàm số f đƣợc xác định I d từ giá trị lấy mẫu f ( x1 ),, f ( x n ) , định nghĩa phƣơng pháp tuyến tính dựa giá trị lấy mẫu Ln ( X n , n ,.) công thức sau Ln (Xn , n , f ) : n  f (x j 1 j ) j (3.1) Cho W  Lq ( I d ) Chúng ta nghiên cứu tính tối ƣu phƣơng pháp tuyến tính có dạng (1.4) để khơi phục hàm số f W từ n giá trị lấy mẫu đại lƣợng sau 32 n (W , Lq ( I d )) : inf sup f  Ln ( X n ,  n , f ) q X n ,n f W TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Định nghĩa Cho số nguyên không âm m , đặt K (m) : {(k , s) : k   , k  m, s  I d (k )} , I d (k )  {s  d :  si  2k , i  1,, d} ký hiệu M (m) tập hợp gồm B-splines M k ,s , k  m, s  J (k ) Chúng ta định nghĩa toán tử Rm hàm số f  Bp, Rm ( f ) :  qk ( f )   k m c d ( f )M k ,s , lƣới G(m) điểm I , k ,s k  m sJ ( k ) k G(m) : {2 s : (k , s)  K (m)} Bổ đề Toán tử Rm xác định phƣơng pháp tuyến tính có dạng (3.1) lƣới G(m) Cụ thể, Rm ( f )  Ln ( X n ,  n , f )   f (2 k s) k ,s , ( k , s )K ( m ) Ở X n : G(m), n :  k ,s ( k ,s )K ( m) , n :| G(m) |  (2k  1) d ,  k , s đƣợc xác k m định tổ hợp tuyến tính khơng q N B-splines M k ,s  M (m) với N độc lập với k, j, m f Định lý Cho  p, q,   ,  thỏa mãn điều kiện Định lý   d / p,   min(2r, 2r 1  1/ p) Giả sử với n   , m số lớn thỏa mãn | G(m) | n (3.2) Khi Rm xác định phƣơng pháp tuyến tính lấy mẫu tối ƣu cho n : n  :   (U p, , Lq ) nhƣ sau: Rm ( f )  Ln ( X n* , *n , f )  k Ở X : G(m)  {2 s : (k , s)  K (m)},  * n * n giá tiệm cận sau đây: sup f  Rm ( f ) q n f U  p , ( k , s )K ( m ) k , s ( k , s )K ( m ) 2 k m cho U p, Chúng ta lấy tùy ý m   B dk (3.4) 2dm k m Do đó, từ (3.2) thì: 2dm n Trƣờng hợp p  q Xuất phát từ bất đẳng thức f cho trƣờng hợp với q  p Do B , có đánh (n1/ d )n(1/ p 1/ q ) Chứng minh Đánh giá cận Chúng ta dễ thấy 2dm G(m)   (2k  1)d  p , f (2 k s) k ,s ,  p , q  f p (3.5) dẫn đến chứng minh , cần chứng minh (3.4) , sup f  Qm ( f ) f U  p , (2 m ) q (3.6) Lấy f U p, Đặt   min( p,1) , sử dụng Đinh lý nhận đƣợc f  Qm (f ) ‖ p ‖ q (f )‖  sup[ q ( f ) / (2 )]  (2 k m k p k p k k f   Bp,  (2 k m k  ) (3.7) k m k  )  (2 k  ) k m 33 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Từ (2.10) suy (2 k ) (2 m )2  ( k m) cho k  m Do đó, tiếp tục đánh giá (3.7) nhƣ sau f  Qm (f )  p  {(2 m (2m )  {2(k m ) } )2(k m ) } k m (2m ) k m Điều đồng nghĩa với việc chứng minh bất đẳng thức (3.6) Chú ý số giá trị lấy mẫu Qm ( f ) | G(m) | Chúng ta xác định Rm ( f )  Qm ( f ) Bởi (3.5), sup f  Qm ( f ) nhận đƣợc: f U (n1/ d ) q Trƣờng hợp p  q Đầu tiên xem xét trƣờng hợp p  q   Cho f  Bp, , Bởi [6, Bổ đề 5.3] có: f  Rm ( f ) {2 ( d / pd / q ) k q p k m qk ( f ) p }q Nếu   q , 1/ f  Rm (f ) q   (d / p d /q )k qk ( f ) }    {2 p  k m  1/ (d / p d /q )k k  k   sup (2 )   { qk ( f ) / (2 )}  p k m  k m  (d / p d /q )k k f  sup (2 ) (3.8) Bp , k m Từ (2.10) nhận đƣợc: (2 k )2k (2m )2m , k  m Do đó: (2 k )2( d / pd / q ) k (2m )2( d / pd / q ) m 2(  ( d / p d / q ))( mk ) , k  m, Suy (2 k )2( d / pd / q ) k (2m )2( d / pd / q ) m , k  m Cho f U p, , từ bất đẳng f  Rm ( f ) thức cuối (3.8) thấy rằng: q (3.9) (2 m )2( d / p d / q ) m Bởi bất đẳng thức cuối (3.5) suy đƣợc f  Rm ( f ) (n1/ d )n(1/ p 1/ q ) q (3.10) Đánh giá cận  n cho trƣờng hợp   q đƣợc chứng minh Nếu   q f  Rm (f ) q q  {2   {(2 (d / p d /q )k k m k m qk (f ) }q p k (d / p d /q )k q )2 } { qk ( f ) / (2k )}q p Hơn nữa, có số q* thỏa mãn 1/ q  1/   1/ q* Áp dụng bất đẳng thức Holder, có 34 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020   1/q k (d /p d /q )k q k q f  Rm ( f ) } { qk ( f ) / (2 )}  {(2 )2 q p k m 1/q* 1/  k (d /p d /q )k q*  k  }   { q ( f ) / (2 )}   {(2 )2 p k m k  k m  * 1/q  k (d /p d /q )k q*  f    {(2 )2 }  (3.11) Bp,  k m  Sử dụng (3.9) tiếp tục ƣớc lƣợng (3.11) nhƣ sau   1/q * f  Rm (f ) *   (2m )2(d / p d /q )m   {2(  (d / p d /q ))(m k )}q   k m  q (2m )2(d / p d /q )m (3.12) Từ (3.12), (3.5) nhận đƣợc (3.10) Đánh giá cận  n đƣợc chứng minh cho p  q   Trong trƣờng hợp p  q   , chứng minh tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp p  q   cách sử dụng bất đẳng thức sau f  Rm ( f )   2dk / p qk ( f ) p k m Đánh giá cận dƣới Nếu W  Lq ( I ) , từ định nghĩa n (W , Lq ( I d )) chúng d ta có: n (W , Lq (I )) d inf sup Xn {x j }nj 1  I d f W : f (x j ) 0, j 1,,n f (3.13) q Cố định số r  2m với số nguyên không âm m cho   min(r, r 1  1/ p) Cho số nguyên   m Xem xét hình hộp J (s)  I d J (s) : {x  I d : 2 m s j  x j  2 m (s j  1), j  1,, d}, s  Z ( ), Ở đây: Z ( ) : {s  d  :  s j  2 m  1, j  1,, d } Với n cho trƣớc, tìm đƣợc  thỏa mãn n Đặt X n  {x } j n j 1 2d ( m ) | Z () | 2n (3.14) tập tùy ý gồm n điểm I d Do * * J (s)  J (s)   với s  s , | Z ( ) | 2n , có Z ( )  Z ( ) thỏa mãn | Z ( ) | n Xn  { J (s)}   sZ * ( ) (3.15) Trƣờng hợp p  q Xem xét hàm số g * ( ) xác định g * : (2 )2d / p M,rs r /2, s  Z *(), Ở M ,rs  r /2 B-splines có bậc r Bởi (2.9) có 35 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 g* (2 )2(d / p d /q ) q (3.16) g* p (2 ) Do đó, từ Hệ tồn   độc lập với  n cho g * U p, Chú ý M ,rs  r /2 ( x), x  J (s), cho bất kỳ, s  Z * ( ) đó, từ (3.15) g * ( x j )  0, j  1,, n Từ (3.13), (3.16) (3.14) nhận đƣợc n g* q (n1/ d )n(1/ p 1/ q ) Chúng ta chứng minh xong đánh giá cận dƣới n cho trƣờng hợp p  q Trƣờng hợp p  q xét hàm số g * ( ) xác định g * : (2 )  M ,rs  r /2 sZ * ( ) Từ (2.9) thấy rằng: g * q (2 ), g * p (2 ) Do từ Hệ có   độc lập với  n cho g * U p, Chú ý g * ( x j )  0, j  1,, n Từ (3.13), (3.14), (3.17) suy n g* q (n1/ d ) Đánh giá cận dƣới n cho trƣờng hợp p  q đƣợc chứng minh KẾT LUẬN Trong báo này, nghiên cứu vấn đề khôi phục xấp xỉ hàm số phƣơng pháp không thích nghi cho lớp hàm số khơng tuần hồn thuộc khơng gian Besov có độ trơn đẳng hƣớng chúng tơi đạt đƣợc kết xây dựng phƣơng pháp tuyến tính đánh giá tốc độ hội tụ phƣơng pháp qua đại lƣợng đặc trƣng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] 36 Ronald A Devore (1988), Vasil A Popov, Interpolation of Besov spaces, Transactions of the American Mathematical Society, 305, 397-413 E Novak, H Triebel (2006), Function spaces in Lipschitz domains and optimal rates of convergence for sampling, Constr Approx, 23, 325-350 Dinh Dung, Mai Xuan Thao (2002), Approximate recovery of periodic functions using wavelet decompositions, Acta Math Vietnamica, 27, pp 185-195 Dinh Dung (2009), Non-linear sampling recovery based on quasi-interpolant wavelet representations, Adv Comput Math, 30, 375-401 Dinh Dung (2011), Optimal adaptive sampling recovery, Adv Comput Math, 31, 1-41 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 [6] Dinh Dung (2011), B-spline quasi-interpolant representations and sampling recovery of functions with mixed smoothness, Journal of Complexity, 27, 541-567 [7] Dinh Dung (2016), Sampling and cubature on sparse grids based on a B-spline quasiinterpolation, Found Comp Math, 16, 1193-1240 [8] Nguyen Manh Cuong, Mai Xuan Thao (2017), Adaptive sampling recovery of functions with bounded modulus of smoothness, Acta Mathematica Vietnamica, 42, 113-127 RECOVERY OF FUNCTIONS IN BESOV-TYPE SPACES BY LINEAR SAMPLING METHODS Nguyen Manh Cuong, Bui Khac Thien ABSTRACT We study the recovery and approximation of the class of non-periodic functions in Besov space with isotropic smoothness by non-adaptive linear method Constructing a linear method based on the sampling value, specifically in this paper is the operator, evaluating the approximate error of the method by the characteristic quantity Keywords: Quasi-interpolation representation, Besov-type spaces, linear sampling method * Ngày nộp bài:31/7/2020; Ngày gửi phản biện: 3/8/2020; Ngày duyệt đăng: 28/10/2020 * Bài báo kết nghiên cứu từ đề tài cấp sở mã số ĐT-2018-21 Trường Đại học Hồng Đức 37 ... ĐỨC - SỐ 51.2020 pháp tuyến tính đánh giá tiệm cận tốc độ hội tụ phƣơng pháp [6,7] Trong báo này, nghiên cứu vấn đề khôi phục xấp xỉ hàm số khơng tuần hồn phƣơng pháp tuyến tính khơng gian Besov. .. có: ‖ ‖ ‖ ‖ ∈ KHÔI PHỤC HÀM SỐ BẰNG PHƢƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH Định nghĩa Cho X n  {x j }nj 1 n điểm I d ,  n   j  n j 1 họ n hàm số thuộc không gian Lq ( I d ) Để khôi phục hàm số f đƣợc xác...  q đƣợc chứng minh KẾT LUẬN Trong báo này, nghiên cứu vấn đề khôi phục xấp xỉ hàm số phƣơng pháp khơng thích nghi cho lớp hàm số khơng tuần hồn thuộc khơng gian Besov có độ trơn đẳng hƣớng chúng