CHUYÊN ĐỀ: CÁCH TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ, HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN VẤN ĐỀ 1 : GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A.Một số giới hạn thường gặp:.. BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN..[r]
(1)TRƯỜNG THPT LÊ LỢI Năm học 2012 - 2013 GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG CHUYÊN ĐỀ: CÁCH TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ, HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN VẤN ĐỀ : GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A.Một số giới hạn thường gặp: 3 x x B.Định lí: lim un a u lim n 0 lim Nếu thì lim un a lim un lim Nếu thi lim un a lim 0 u lim n v 0, n n Nếu n thì VD6: Tìm các giới hạn sau: a ) lim 4n n 1 2n3 n b) lim 3n n c) lim d ) lim n2 n n 4n n 2n 3n 2 2 n 1 e) lim 5.3n n2 2n n Giải: 4 a ) lim 4n n 1 lim n n n Vì lim n 4 lim n n 2n 2n n n 2 b) lim lim 3n n 3 3 n n 2 1 1 n2 n n 1 n 1 n n n n n n c ) lim lim lim lim 1 4n n n 4 n 1 n2 n n n n n BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN “ Sự học Thuyền không tiến lùi ! ” (2) TRƯỜNG THPT LÊ LỢI d ) lim 2n 3n 2 2 n 1 5.3n Năm học 2012 - 2013 lim n GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG 2n 9.3n n 5.3n n 1 2 4 9 3 lim n 2 e) lim 2n n 2n n lim n 2n n n lim 1 1 n n 2 BÀI TOÁN ÁP DỤNG Dạng 1: BT1: Tìm các giới hạn sau: a) lim 2n 5n c) lim n4 n 1 b) lim 8n 3n 1 d ) lim 3n 7n Dạng 2: BT2: Tìm các giới hạn sau: 2n 5n n n 3n a ) lim b) lim c) lim 3n n n3 n 2 3 2n 3n n 2n d ) lim e) lim f ) lim 3n 3n 2n 3n 2 n 1 n 10 4n5 3n g ) lim h) lim 3n2 4n3 n 1 3n 3 BT3: Tìm các giới hạn sau: 8n n a ) lim n 3 2n 8n c) lim e) lim n3 3n n n 1 b) lim 2n n 1 n 3 n 1 2n d ) lim 3n n2 n 2n f ) lim n n 3n n Dạng 3: BT4: Tìm các giới hạn sau: 4n a ) lim 3.4n 1 n 4.5n 1 2.4n 3.5n 3 c) lim n 3n b) lim n 1 3n1 d ) lim BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN 2n 3n 4.5n 2 2n 1 3n 5n1 “ Sự học Thuyền không tiến lùi ! ” (3) TRƯỜNG THPT LÊ LỢI Năm học 2012 - 2013 GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG Dạng 4: BT5: Tìm các giới hạn sau: n 5n n c) lim 3n 9n a ) lim b) lim d ) lim n n3 n n 2n BÀI TẬP BT6: Tìm các giới hạn sau: a) lim 3n 2n3 b) lim n 4n 3n e) lim f ) lim n 4n n 4n i) lim 2n n n 5n m) lim n 1 n 2 5 n k ) lim 3n n n3 n 2 n 1 3n 11 g ) lim n 2 n 3 c) lim n 2n 1 n3 3n n 2n 8n 11n 3 2n j ) lim 2n n) lim n 2n n 2n n o) lim l ) lim 4n n n n n 2n d ) lim 3n 4n 1 5n h) lim 6n 9n 8n3 3n 2n p) lim n2 4n 27n3 n *BT7: Tìm các giới hạn sau: 3n n1 a ) lim n n 1 3 c) lim b) lim ( 3n3 1) 2n 5n 1 2010 3n3 2n 1 2n 10 1 2n 3 2009 3n 1 d ) lim n n 1 1.2 2.3 1 e) lim 2n 1 2n 1 1.3 3.5 1 f ) lim n g ) lim 2n 1 2n 4n 9n 1 i ) lim 8n 4n n h) lim 3n 3 2 n j ) lim 4n VẤN ĐỀ 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN “ Sự học Thuyền không tiến lùi ! ” (4) TRƯỜNG THPT LÊ LỢI Năm học 2012 - 2013 GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG VẤN ĐỀ 2.1: Tính giới hạn hàm định nghĩa lim f ( x) Tìm : Phương pháp: x x0 Giả sử xn là dãy số bất kì thỏa xn x0 ; xn x0 Tìm lim f ( xn ) Chú ý: Trường hợp x x0 ; x x0 ; x chứng minh tương tự BÀI TẬP BT8: Áp dụng định nghĩa tìm các giới hạn sau: x2 5x x x 3x 1 x 1 c) lim x x 2 2x x x a ) lim b) lim d ) lim x x 1 x VẤN ĐỀ 1.2: Một số dạng thường gặp Dạng 1: Tính giới hạn hàm phép lim f ( x) f x0 x x0 BT9: Tìm các giới hạn sau: a ) lim x x x x 3x2 x x 1 b) lim x x 1 c) lim x x x 1 x 3x d ) lim x 2 x Dạng 2: Dạng vô định f ( x) lim lim f ( x) lim g ( x) 0 x x x x0 Tìm g ( x) (với x x0 ) Phương pháp: Khử dạng vô định Chia tử và mẫu cho x x0 : lim x x0 x x0 f1 ( x) lim f1 ( x) f ( x) lim g ( x) x x0 x x0 g1 ( x) x x0 g1 ( x) f1 ( x ) g1 ( x ) có dạng thì lại chia tử và mẫu cho x x0 và khử tiếp Nếu f ( x) hay g ( x) có chứa biểu thức dấu thì có thể nhân tử và mẫu với biểu lim Nếu x x0 thức liên hiệp, trước chia tử và mẫu cho x x0 a b a b a b a b a b a ab b Chú ý: a b a b a ab b BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN “ Sự học Thuyền không tiến lùi ! ” (5) TRƯỜNG THPT LÊ LỢI Năm học 2012 - 2013 GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG ax bx c a x x x x 1 2 Đa thức ax bx c có hai nghiệm x1; x2 thì Dùng lược đồ Hoocner để phân tích đa thức thành nhân tử đa thức bậc cao ax bx c a x x0 x1 x2 x0 Nếu thì VD7: Tìm các giới hạn sau: x 3x x x2 a ) lim 2x 3x b) lim x Giải: 1 x 1 x x x 1 2 a ) lim lim x x x 1 x 1 x 1 2 x 1 x x lim 2x lim x 3x b) lim x lim x 3x 2x 3x x 1 1 2x lim x x 1 x 1 x 1 BÀI TẬP BT10: Tìm các giới hạn sau: a )lim x x x 15 x e)lim x BT1 x 8x 3x x2 x x x b) lim c)lim x x2 x x2 x 2x 5x 2 g )lim x x 18 x 10 x x x 1 f ) lim1 d ) lim1 x x2 5x 1 x2 x 3 h) lim x x 3x x 5x 1: Tìm các giới hạn sau: x3 x BT12: Tìm các giới hạn sau: a)lim x e)lim x 2x x 9 x x 25 b) lim x 3 2x2 f ) lim xa 2x x x c)lim x a x x2 x 3x 2 x x x 49 d ) lim ; a 0 BT13: Tìm các giới hạn sau: BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN “ Sự học Thuyền không tiến lùi ! ” (6) TRƯỜNG THPT LÊ LỢI Năm học 2012 - 2013 GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG lim f ( x) x g ( x ) DẠNG 3: DẠNG VÔ ĐỊNH [ ] Khử dạng vô định n Chia tử và mẫu cho x (với n là số mũ bậc cao biến x) k Nếu f ( x) hay g ( x) có chứa biến x dấu thì đưa x ngoài dấu (với k là số mũ cao x dấu căn) x x x x Chú ý: x 0 x 0 x3 x VD8: Tính các giới hạn sau: x 3x 1 a )lim x x x b) lim x x x 3x x2 1 x 3x x x 1 c) lim x2 1 x 2 x d ) lim Giải: 2 x 3x x x a )lim lim x x x x 4 x x 2 2 b) lim x x x 3x x2 1 x 1 lim 3 x lim x 2 2 x 3x x 3x x 3x x x x lim lim x x 1 x2 x x 4 x 3 x x 3 x x x 3 1 x x 3x x x 0 c) lim lim x x x 2 x 4 2 x 1 x d ) lim lim x x 2 x x x lim x x Vì x 4 1 lim 0 x x x BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN “ Sự học Thuyền không tiến lùi ! ” (7) TRƯỜNG THPT LÊ LỢI Năm học 2012 - 2013 GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG , x x2 x BÀI TẬP BT14: Tìm các giới hạn sau: (3x 8) x 1 b) lim x x3 x 3x f ) lim x 2x 3 x x3 j ) lim x x x3 3x3 x a )lim x x3 x2 x4 x e)lim x x5 3x i) lim x x 5x x x x x 1 g ) lim x x x c) lim x x x 2x2 h) lim x 5x d ) lim BT15: Tìm các giới hạn sau: x2 x 1 a )lim x x3 x x 4x2 5x c) lim x x 1 x 2x b) lim d ) lim x3 x x x x3 x x 3x x2 BT16: Tìm các giới hạn sau: 2x lim a) x x 3x(2x 1) lim x (5x 1)(x 2x) d) lim x x 1 3x 5x lim 3x x lim f) x x x (x 1) (7x 2) x (2x 1) i) x 3x 1 lim h) x x x k) lim x 4x 2x 1 x 9x 3x 2x p) lim 4x 3x lim lim l) x x 2x 4x x x x 1 c) x x x 3x x lim e) x x x (2x 3) (4x 7)3 lim x (3x 4) (5x 1) o) lim b) x3 2x2 lim g) x x x j) x 1 4x x x 3x x 3x x x 3 q) x x lim DẠNG 4: Khử dạng vô định : Nhân và chia biểu thức liên hợp có biểu thức chứa biến dấu thức VD9: Tìm các giới hạn sau: a )lim x 4x2 x 2x b) lim x x2 2x x Giải: BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN “ Sự học Thuyền không tiến lùi ! ” (8) TRƯỜNG THPT LÊ LỢI b) lim x lim x Năm học 2012 - 2013 2x x x x lim x 2x x2 x x x x 2x x lim x 2x x 1 x GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG 2x lim x x 2x x 2 x lim 1 x x 1 x2 x x BÀI TẬP BT17: Tính các giới hạn sau: b) lim 9x 3x 3x c) lim x x x d ) lim x x x 1 e)lim 3x x f ) lim x x x g )lim x x x h) lim x x 1 x a ) lim x x x 2 x x 2 x x 2 x x 3 x BT1 8: Tính các giới hạn sau: lim (2 x3 x) x lim x x x lim ( x x x) x 8) 7) 13) x x 15 lim ( x x x 1) ) x 17) x lim ( x x x 3) x lim ( x x x) lim ( x x x 1) x 19 lim ( x x 14) lim ( x 3x x 2) lim ( x x x x) x 9) lim ( x x x ) x lim ( x 3x x 2) 12) x 21) x x lim ( x 4x x 3x 2) 11) x x lim ( x x x) lim (3x 9x 12x 3) 16) x lim (2x 4x 4x 3) lim x( x x ) lim ( x x x) x x 3 lim ( x x 2) lim ( x 3x x) 10) x ) x 18) lim ( x x 1) 20) x x 3x ) BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN “ Sự học Thuyền không tiến lùi ! ” (9) TRƯỜNG THPT LÊ LỢI Năm học 2012 - 2013 GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG VẤN ĐỀ 2.3: Giới hạn vô cực VD10: Tìm các giới hạn: a ) lim x3 x x 1 b) lim x c )lim x x x2 2x x 1 x x 4 Giải a ) lim x x x 1 x Vì 1 lim x x x x x lim x x 1 lim x x x 1 x b) lim x x 4 x Vì lim x x lim x 0 x x 4 c) lim x x , x 4 4x2 x lim x x x2 x x lim x x x x x lim x x x x x lim x x x x lim x Vì x BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN “ Sự học Thuyền không tiến lùi ! ” (10) TRƯỜNG THPT LÊ LỢI Năm học 2012 - 2013 GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG lim 4 x x x BÀI TẬP BT15: Tìm các giới hạn sau: a ) lim x x e) lim x x x x d ) lim 5x x (5 x) h) lim b) lim x x f )lim x x g )lim x 3x2 x x x 3 5x x ( x 2) c)lim x x2 x x 2x VẤN ĐỀ 2.4: Giới hạn bên BÀI TẬP BT16: Tìm các giới hạn : 3x x2 1 x2 1 c) lim b)lim x 2 x x x x x2 2 x 3x x x 10 e) lim f )lim x x 1 x 1 x 25 a )lim d ) lim x 2 3x x2 x 3x , x 1 f ( x) x x , x 1 BT17: Cho hàm số lim f ( x) ; lim f ( x) ;lim f ( x ) Tìm x x (nếu có) x 1 x 1 x x f ( x) x x 1 BT18: Cho hàm số Tìm lim f ( x) ; lim f ( x) ;lim f ( x) x 0 x x ,x 0 , x 0 (nếu có) 4 x ,x2 f ( x ) x x 2.m.x , x 2 BT19: Cho hàm số Với giá trị nào m thì hàm số y f ( x) có giới hạn x Tính giới hạn này 6 x x ,x 3 f ( x) x m.x , x 3 BT20: Cho hàm số Với giá trị nào m thì hàm số y f ( x) có giới hạn x Tính giới hạn này BÀI TẬP TỔNG HỢP BT21: Tìm các giới hạn sau: BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN “ Sự học Thuyền không tiến lùi ! ” 10 (11) TRƯỜNG THPT LÊ LỢI Năm học 2012 - 2013 a )lim x 3x x x 3 e) lim x x 1 x3 x g )lim x x f ) lim x 3x 1 x 5 x 3x 12 x 12 k )lim x x2 n)lim x x x x2 x x 3x x x d ) lim h)lim l )lim x 3x m)lim x 4x 9x c)lim 3x x x 2x x 5x j )lim x 3x x x2 5x x i)lim 3 x x2 b)lim GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG x x x 1 x o) lim x x x x2 x x x p)lim x2 x 1 x *BT22: Tìm các giới hạn sau: 1 x a ) lim x h)lim x 1 x3 x x b) lim x x 12 x x x x e) lim (2 x 1)5 3x 1 c ) lim x 2 x 3 x x 25 x x d ) lim 3x x 1 x 3 f )lim x 1 x 1 x x g )lim x x x 15 x 3x x2 2x x2 x x x4 2 k )lim x x 4x 5 x *BT23: Tìm các giới hạn sau: *BT24: Tìm các giới hạn sau: *BT25: Tìm các giới hạn sau: *BT26: Tìm các giới hạn sau: *BT27: Tìm các giới hạn sau: BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN “ Sự học Thuyền không tiến lùi ! ” 11 (12) TRƯỜNG THPT LÊ LỢI Năm học 2012 - 2013 GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG BAØI TẬP THAM KHẢO - ĐỂ LUYỆN TẬP Baøi Duøng ñònh nghóa, CMR: lim(2x 3) 7 a) x x 1 1 x 2(x 1) b) lim x 3x lim x c) x Bài Tìm các giới hạn sau lim(x 5x 10x) a) b) x 2x 3x lim d) x x 4x lim 3 e) x x 2x f) tan x s in2x lim cos x j) x h) x 5x lim x x c) x lim x1 x2 lim x 3x sin x lim x x x g) 1 x 1 x x lim x1 tgx x lim k) x Daïng voâ ñònh Tìm các giới hạn sau: x2 lim a) x x 3x x 2x lim d) x 2x 6x g) j) 2x2 x 2 x3 lim x lim x x 5x 3x x 8x BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN b) lim x2 x 1 x lim 3x x 3x e) x x 4x h) lim x x x 72 x2 2x 2x 8x 7x 4x k) x 3x 14x 20x lim lim x 5x c) x x 25 x x x 1 lim f) x x 3x x5 1 i) x x lim l) x 3x 9x 2 x3 x lim x “ Sự học Thuyền không tiến lùi ! ” 12 (13) TRƯỜNG THPT LÊ LỢI Năm học 2012 - 2013 lim x x x 1 m) GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG lim x x x n) x (a 1)x a lim x3 a3 q) x a (x h) x h p) h lim o) lim H = x L= x 27 J = x x 4x lim lim x F= R= lim x1 x x n nx n lim x (x 1) k) N= 2x 5x 4x D= lim x 2x 6x x3 I= O= x 4x 6x x2 x P = x 1 8x 64 lim M = x x 5x lim x5 x3 1 x 2x 3x lim G = x x 4x x3 x2 x x 5x x 4x 4x 2x lim lim x1 x4 a4 a x a lim x x 30 lim B = x 2x 9x x 4x lim E = x x 2x x 16 x 2x (1 x) x r) x 2 x 2(x h)3 2x lim lim x x 5x 3(x 3x 2) h s) h t) Tìm các giới hạn sau: x x 18 lim A = x x x 1 lim x x 2x x C= lim x 5x 4x x1 lim x Q= x3 x2 x lim x x 5x x 3x x 3x x 2x lim x1 Tìm các giới hạn sau: a) x 1 lim x x x 1 x b) 2x lim x 1x 4x h) lim x e) x x lim 3x 4x x x 3x i) x x x 2 lim x 4x 1 p) x x2 2x x 1 x3 2x x 1 x 1 x 2x x lim 1 1 x lim o) x x x m) lim x x 3 49 x 2 x 2 c) x x 3x lim x2 f) x x x lim d) g) 4x x2 lim x x x 2 x3 x 1 i) x x x lim lim lim n) t) lim x lim x 2x 12 x x 2x x 7 x1 j) x) 3 5x 1 x lim x lim x1 3 8x k) x 2x x lim x 23 x 1 (x 1) lim r) x x1 lim x x1 v) x7 x1 s) w) lim x13 x1 4x Tính các giới hạn sau: BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN “ Sự học Thuyền không tiến lùi ! ” 13 (14) TRƯỜNG THPT LÊ LỢI x 1 x lim x a x x 1 x 1 x lim d x Năm học 2012 - 2013 GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG x9167 lim b x0x c x 3x lim x2 e x lim x lim x 1 x x 8x 11 x 7 x 3x f x Daïng voâ ñònh Tìm các giới hạn sau: 2x lim a) x x 3x(2x 1) lim x (5x 1)(x 2x) d) x 3x h) x x x lim l) n) x 3x x 3x lim x 4x x x x 2x 4x lim 4x x x lim s) x lim x 1 b) 3x 5x lim k) x lim (2x 3) (4x 7)3 x (3x 4) (5x 1) j) lim m) lim x x 3x x 3x 4x 2x x x o) 3x x lim f) x x x 4x 3x lim x x 1 c) x x x 3x x lim e) x x x (x 1) (7x 2)2 lim x (2x 1) i) x x 3x lim x 1 9x 3x 2x p) x x 3 x x q) lim lim r) x x3 x x 2x (x x x 1)( x 1) (x 2)(x 1) t) x ( x x )2 x x x x 3x x lim Giới hạn bên Tìm các giới hạn sau a) x2 2x 3x lim x x lim d) x x f) i) lim x b) x lim e) x 2x x 0 lim lim 4x x x x x 3x lim k) x x x BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN g) x lim x lim l) x c) lim x x x x2 x3 2x x 3x x lim j) 3x lim h) x x 3x x x 3x x2 x x 3x x 5x 1 x lim x x x g) “ Sự học Thuyền không tiến lùi ! ” 14 (15) TRƯỜNG THPT LÊ LỢI h) Năm học 2012 - 2013 x2 x x lim x 1 lim i) x GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG cos 2x x 2 Tìm giới hạn bên phải, giới hạn bên trái hs f(x) x o và xét xem hàm số có giới hạn xo không ? x 3x (x 1) x a) f(x) x (x 1) với x o 1 1 x c) f (x) x 3/ với x o 0 4 x (x 2) b) f(x) x 1 2x (x 2) với x o 2 x 0 x 0 Tìm A để hàm số sau có giới hạn xo: x (x 1) f(x) x Ax (x 1) a) với x0 = x 2x x 3 A f (x) x 4x 3x 3x x 3 b) với x0 = D¹ng 1: x a Bµi 1: Thay vµo lu«n x −3 1) lim 2) lim x −3 3) x →− x +2 x→ x+7 ( x x→ x − x −6 Bµi 2: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö x +3 x − 10 1) lim x→ x − x −2 x − a¿ ¿ 3) n n n −1 x −a − na ( x − a) lim ¿ x→ a − 5) lim x→ 1− x 1− x 3 7) lim ( x +h ) − x h h→0 x −1 8) lim x→ 1 − √ x 10) lim x + x −15 x+5 x →− 4) lim ( √ ) BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN ) 5) lim x − x +7 x→ √ n x +3 x +2 x →− x − x+ x 2+ x +3 6) lim x →− 2 x +2 x +x +6 lim √ n 2) lim x −a x→ a x −a x − 1¿ ¿ 4) n x −nx +n −1 lim ¿ x→ 6) lim x→ ( 1−nx − 1−1 x ) n 9) lim x +2 x −15 x −3 x→ 3 11) lim x −1 x→ x (x +5)− “ Sự học Thuyền không tiến lùi ! ” 15 (16) TRƯỜNG THPT LÊ LỢI Năm học 2012 - 2013 GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG x +3 x − x −2 x +3 x − 13) lim x→ x →− x −x−6 x +4 x x − x+6 x 3+ x +2 x 14) lim 15) lim x →− x −12 x+20 x →− x − x − x −1 x 3+ x +4 x 16) lim 17) lim x→ x +2 x −3 x →− x − x − Bµi 3: Nh©n lîng liªn hîp (cã mét c¨n bËc hai) 5−x 1) lim √ x + 5− 2) lim √ x +9 −2 3) lim x→ x −7 x −2 √5 − √ x x→ x→ x x − 5− 4) lim √ 5) lim x→ √ 1+ x − x−2 x→ 2 x +1 6) lim 7) lim √ 1+ x + x −1 x →− √ x +3+3 x x x→ x +4 − 8) lim √ 9) lim √1 −2 x+ x − ( 1+ x ) x→ x −25 x x→ x−3 10) lim 11) lim x − √ x −2 x→ √ x+10 − x−1 x→ n x − 2− 1+ x − √ √ 12) lim (n N, n 2) 13) lim x−6 x x→ x→ 2 x − √ x +1 √4 x − x− 14) lim x − 2− 15) lim x→ x→ x −1 x −3 x+ x −1 16) lim x − √ x +58 17) lim 2√ x→ x +2 x −3 x −2 x→ Bµi 4: Nh©n lîng liªn hîp (cã hai c¨n bËc hai) ❑ ❑ 1) lim √ 5+ x − √5 − x 2) lim √ 1+ x − √1 − x x x x→ x→ ❑ 3) lim √ x −1 − √ x 4) lim √ a+ x − √ a (a > 0) x −1 x x→ x→ ❑ √ x − x −2 5) lim √ 1+ x − √ x + x+1 6) lim √3 x − 2− x→ x x − x+2 x→ 3 x − 2− √ x − x −2 √1 −3 x+ x2 − √ 1+ x 7) lim √ 10) lim x x→ x→ x − x+2 3 3 x − 2+ √ 1− x + x 8) lim √ a+ x − √ a 9) lim √ x x→ x→ x −1 Bµi 5: Nh©n lîng liªn hîp (cã mét c¨n bËc ba) 3 x a) lim √ 1+4 x −1 b) lim √ x −2 c) lim − √ x +1 d) lim x→ √ x +1− x 3x x→ x→ x −2 x→ Bµi 6: Nh©n lîng liªn hîp (c¶ tö vµ mÉu) ❑ 3− √ 5+x x − √ x+ 1) lim 2) lim 3) lim x − √ x x →4 −√5 − x x→ √ x+1 −3 x→ √ x −1 3 √ x +1 √x − √3 x − 4) lim 5) 9) lim lim x →− √ x +3 −2 x→ √ x − x→ √ x − 4−x −2 7+2 x − √ x−8 6) lim √ 7) lim √ 8) lim x → 64 − √ x x→ √ 9− x −3 x→ √ x −3 Bµi 7: Nh©n lîng liªn hîp (cã c¶ c¨n bËc hai vµ c¨n bËc ba) 3 3 x − 2− √ x − x −2 − x − √ x2 +7 1− x − − x √ √ √ √ 1) lim 2) lim 3) lim x x→ x→ x→ x − x+2 x2 −1 12) lim BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN “ Sự học Thuyền không tiến lùi ! ” 16 (17) TRƯỜNG THPT LÊ LỢI √ x − x −2 4) lim √3 x − 2− x→ x − x+2 7) lim √ 1+2 x − √ 1+7 x x x→ D¹ng 2: Giíi h¹n mét bªn 8+2 x −2 x → −2+¿ √ 1) √ x +2 lim Năm học 2012 - 2013 5) lim √ x +7 − √ − x x −1 x→ 2) lim ¿ ¿ x − 6+ √ x − x +4 x −2 x→ lim 5) 6) 7) 8) 9) 10) x → 0+¿ GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG 6) lim √ x+ − √ 8+5 x x x→ √x − x √ x −2 x ¿ x −1 ; x ≤ 4) x +1 ; x >1 ¿ f ( x )={ ¿ 3) lim f ( x) x→ ¿ x2 +2 x+ 1; x ≥ sin x T×m lim f ( x) ; ; x <0 x→ x ¿ f ( x ) ={ ¿ ¿ o ; x< x ; ≤ x<1 T×m lim f ( x) ; lim f ( x) x→ x→ − x − x +1 ; x ≥ ¿ f ( x )={ { ¿ ¿ mx ; x ≤ ; x >2 ¿ f ( x)={ ¿ ¿ |x − x +6|; x >2 Tìm m để hàm số có giới hạn x = mx + ; x ≤ ¿ f ( x)={ ¿ ¿ (2 x 2+ 3) ; x ≤ f ( x) ; lim f ( x) −5 x ; 1< x <3 T×m lim x→ x→ x −3 ; x ≥ ¿ f ( x )={ { ¿ x +1 x → −3+¿ 2x 11) lim x + x +3 x→ √ x + x lim ¿ ∞ Khi đó chúng ta phải khử: ∞ Chó ý: Khi x - hoÆc x + mµ chia cho x th× ph¶i chó ý tíi dÊu x +3 x+ 1) lim 2) lim ( √ x+ √ x − √ x ) x →+∞ x → ∞ −6 x − x 20 30 ( x −3 ) ( x+2 ) 2 3) lim 6) lim ( √ x −7 x +1 − √ x −3 x +2 ) 50 x →+∞ x→∞ ( x+1 ) Dạng 3: x : Có các dạng vô định: - ; 0x ; BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN “ Sự học Thuyền không tiến lùi ! ” 17 (18) TRƯỜNG THPT LÊ LỢI Năm học 2012 - 2013 n lim x ( √ x +1− √ x2 −2 ) 4) 5) x →+∞ 7) lim x →+∞ ( √ x − x +1− √ x2 −9 x ) lim ( x −4 ± √ x − x +2 ) 15) lim ( x+ 1± √ x +4 x +3 ) lim ( √ x −2 x2 − x − x ) 18) lim x→∞ x →+∞ lim ( √ x − x 2+ x − x +1 ) 13) 14) x→∞ lim 16) x →+∞ lim x →+∞ ( √ x +√ x +√ x − √ x − √ x − √ x ) 17) 19) lim x →+∞ √ x ( √ x +1− √ x −1 ) 21) lim ( √ x+ 2− √ x − 1+ √ x ) lim x →+∞ 20) √ x ( √ x +3 − √ x − ) 3 3 ( √3 x+ √3 x + √ x − √ x ) ( √ x + x − √ x2 −2 x ) lim ( √ x 2+ x − x +2 ) lim ( √ x 2+ x −2 √ x + x+ x ) x →+∞ x →+∞ x →+∞ 23) 26) x →+∞ 27) lim x →+∞ 3 2 24) lim x ( √ x + − √ x − ) lim ( √ x +5 − √2 x −7 ) 25) ( √ ( x +a ) ( x+ b ) − x ) ( √ x −1 − x ) x →+∞ 22) x →+∞ lim x →+∞ n xn lim ( √ x − x +1− √ x2 −6 x +3 ) 11) x →+∞ 12) lim 8) x →+∞ 10) ( x − √ x − ) − ( x + √ x −1 ) x →+∞ 9) GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG lim x →+∞ √ x −2 ( √ x +3 − √ x − ) lim ( √ x +6 x − x ) x→∞ lim ( √ x + x + 1− √ x − x +1 ) x→∞ VẤN ĐỀ 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC Cho hàm số y f ( x) xác định trên khoảng K và x0 K Hàm số y f ( x) liên tục x0 thỏa: lim f ( x ) f ( x0 ) x x0 lim f ( x) lim f ( x) f ( x0 ) x x0 x x0 g ( x) f ( x) a ( x x0 ) ( x x0 ) Xét tính liên tục hàm số dạng : lim g ( x ) Tìm x x Hàm số liên tục x0 lim g ( x) a x x0 g ( x) f ( x ) a h( x ) Xét tính liên tục hàm số dạng : lim f ( x) lim f ( x) x x Hàm số liên tục x=x0 VD11: Xét tính liên tục hàm số: x x0 x2 f ( x) x a Cho hàm số : ( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) a ( x 1) ( x 1) a là số Xét tính liên tục hàm số x =1 Giải : Hàm số xác định với x thuộc R Ta có: f(1) = a BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN “ Sự học Thuyền không tiến lùi ! ” 18 (19) TRƯỜNG THPT LÊ LỢI lim x Năm học 2012 - 2013 GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG x2 ( x 1)( x 1) lim lim( x 1) 2 x x x x Nếu a = thì hàm số liên tục x0 =1 Nếu a ≠ thì hàm số không liên tục x0 =1 ( x 1) ax f ( x) x x ( x 1) Cho hàm số : .Xét tính liên tục hàm số trên toàn trục số Giải : x > ta có f(x) = ax + hàm số liên tục trên R x <1 ta có f(x) = x2 + x -1 hàm số liên tục trên R Khi x = 1: Ta có : f(1) = a+2 lim f ( x) lim( ax 2) a x 1 x lim f ( x) lim( x x 1) 1 x x Hàm số liên tục x0 =1 a= -1 Hàm số gián đoạn x0=1 a≠1 Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số a = -1 Hàm số liên tục trên (-∞;1)∪(1;+ ∞) a=1 BÀI TẬP BT23: Xét tính liên tục hàm số x 14 x 16 , x f ( x) x 8 18 , x x0 8; x0 2 Tại BT24: Xét tính liên tục hàm số 1 x , x 2 f ( x ) x 2 x , x 2 Tại x0 2; x0 4 BT25 Xét tính liên tục hàm số x 3 x 1 f ( x ) 4 x2 x 6x , x 1 , x 1 , x 1 Tại x0 1; x0 0 BT26 Xét tính liên tục hàm số x 3x , x 1 x f ( x) , x 1 Trên TXĐ BT27 Xét tính liên tục hàm số BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN “ Sự học Thuyền không tiến lùi ! ” 19 (20) TRƯỜNG THPT LÊ LỢI Năm học 2012 - 2013 x x , x 2 f ( x) x ,x 2 x 3x GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG Trên TXĐ BT28 Tìm a để hàm số 3x x , x f ( x) x 2a.x , x Liên tục x0 BT29 Tìm m để hàm số x x2 ,x 2 f ( x ) x m.x , x 2 Liên tục x0 2 BT30 Tìm m để hàm số x f ( x ) x m , x 4 , x 4 Liên tục trên D 0; VẤN ĐỀ 4: Chứng minh pt f(x)=0 có nghiệm khoảng (a;b) Phương pháp: Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b] Chứng tỏ f(a).f(b) <0 Khi đó f(x) có ít nghiệm thuộc khoảng (a;b) Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tìm các giá trị f(x) để tìm a và b Muốn chứng minh f(x)=0 có 2, nghiệm thì ta tìm 2, khoảng rời và trên mội khoảng f(x) = có nghiệm BT31 Chứng minh phương trình: a) x x 0 có ít nghiệm b) x x x 3 có ít hai nghiệm phân biệt trên khoảng 1;1 2; 2 c) x x 0 có ba nghiệm phân biệt trên đoạn d) x x 3x x 0 có ít nghiệm ; e) cos x 2sin x có ít hai nghiệm f) x x x 0 có năm nghiệm phân biệt g) (m 1) x (11m 10) x 0 có ít nghiệm thuộc (0;2)* BT32 CMR các phương sau luôn có nghiệm: BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN “ Sự học Thuyền không tiến lùi ! ” 20 (21) TRƯỜNG THPT LÊ LỢI Năm học 2012 - 2013 GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG a ) m( x 1) x x 0 b) (m2 2m 2) x3 x 0 c) cos x m.cos x 0 d ) m x 1 x x 0 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN “ Sự học Thuyền không tiến lùi ! ” 21 (22)