Gọi I là giao điểm của AD và BC a Chứng minh rằng tứ giác MCID nội tiếp b Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng qui tại I c Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, chứng mi[r]
(1)Chuyên đề 1: Biến đổi biểu thức đại số (4 tiết) Một số kỹ Bài 1: Khai triển các đẳng thức 1) ( 1) 2) ( 1) 3) ( 2) 4) ( 2) 5) ( 2) 6) ( 2) Bài 2: Phân tích thành các lũy thừa bậc hai 1) 15 2) 10 21 3) 24 4) 12 140 5) 14 Bài 3: Phân tích thành nhân tử 1) 15 2) 10 14 15 21 3) 35 14 15 4) 18 5) 36x 6) 25 – 3x2 7) x – (x > 0) 8) 11 + 9x (x < 0) 9) 31 + 7x (x < 0) x y y x 10) Bài 4: Tính: A 21 6 21 6 HD: Ta có: 6 2 3.3 và 21 ( 3) (3 2) Từ đó suy ra: A 6 Bài 5: Tìm giá trị x để 1) x2 − 2x + có giá trị nhỏ 2) x 2x có giá trị lớn 2x 3) 2x có giá trị lớn x 2x 4) x 4x có giá trị nhỏ Bài 6: Tìm các giá trị x Z để các biểu thức sau có giá trị nguyên 7) (2 2) 8) (2 2) 9) 2 10) 2 11) ( 1)( 1) 12) 2 6) 28 7) 8) 28 9) 17 18 10) 51 10 1) A = x x 5 3) C = x 14 2) B = 2x 4) D = 4x 2x Bài 7: Giải các bất phương trình 1) 5(x − 2) + > − 2(x − 1) 2) + 3x(x + 3) < (3x − 1)(x + 2) 5x 2x 12 3) 11 3x 5x 15 4) 10 (2) (3) c) Tìm giá trị x A = 4x A x2 ; HD: a) ĐK: x ≠ ±1: b) x 1 Khi đó: A = −2; x x 5 c) ; Bài 9: Cho biểu thức: x 1 10 A x 3 x x x a) Tìm điều kiện x để A xác định b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A > x 1 A x ; c) A > HD: a) a ≠ −3, a ≠ ; b) x > x < −1 Bài 10: Cho biểu thức 2a a a a 4a C a a a a2 a) Tìm điều kiện a để biểu thức C xác định Rút gọn biểu thức C b) Tìm các giá trị a để C = c) Khi nào thì C có giá trị dương? Có giá trị âm? 4a C a ; c) C = HD: a) a ≠ −3, a ≠ ±2; b) a 0 a 1 a 2 a ; d) C > a ; C < a < −3 Bài 11: Cho biểu thức x2 C x : x 1 : x 1 x 1 x a) Tìm điều kiện x để biểu thức C xác định b) Rút gọn biểu thức C c) Tính giá trị biểu thức C x 20 d) Tìm các giá trị nguyên x để C có giá trị nguyên x C x ; c) HD: a) x ≠ 1, x ≠ −2, x ≠ 0; b) C ; d) x {−1, −3, −4, −6, 2} Bài 12: Cho biểu thức: a a a a 1 a A : a a a a a (4) a) Với giá trị nào a thì biểu thức A không xác định b) Rút gọn biểu thức A c) Với giá trị nguyên nào a thì A có giá trị nguyên? HD: a) A không xác định a < 0, a = 0, 1, 2(a 2) A a ; c) b) Với a > 0, a ≠ 1, a ≠ 2: có a = thỏa mãn Bài 13: Cho biểu thức: x 2x x B x x x a) Rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị B x 3 c) Với giá trị nào x thì B > 0? B< 0? B = 0? HD: a) ĐK x > 0, x ≠ 1: B x b) x 3 ( 1) : B ; c) B > x > 1; B < x < 1; B = x=1 Bài 14: Cho biểu thức a 3 3 a B a a 6 a) Tìm điều kiện a để B xác định Rút gọn B b) Với giá trị nào a thì B > 1? B< 1? c) Tìm các giá trị x để B = a 9 B a HD: a) a ≥ và a ≠ 9: b) B > a > 9, B < ≤ a < c) B = a = 15 Bài 15: Cho biểu thức A = 1 1 : 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x = + c) Với giá trị nào x thì A đạt giá trị nhỏ HD: a) ĐK: x ≥ 0, x ≠ Rút gọn ta A x (1 x ) b) x 7 (2 3) : A (3 5) c) A = x Bài 16: Cho x x 1 x P x x x 1) Rút gọn P 2) Chứng minh : Nếu < x < thì P > 3) Tìm giá trị lớn P HD: 1) Điều kiện để P có nghĩa : x ≥ và x ≠ Kết quả: P x (1 x ) 2) Nếu < x < thì : x P > 1 P x 2 Dấu "=" xảy 3) 1 x x Vậy: 1 max P x 4 Bài 17: Cho biểu thức B x3 x x 1 x x 1 x x1 a) Tìm điều kiện để biểu thức B xác định b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm giá trị x B = d) Tìm các giá trị nguyên dương x để B có giá trị nguyên HD: a) x > b) B x x c) B = x = 10 d) B nguyên x = m2 + (m Z) Bài 18: Cho biểu thức: 1 x 1 A : x x x 1 x x a) Tìm điều kiện x để A có nghĩa, rút gọn A b) So sánh A với HD: a) Điều kiện: x > và x ≠ Ta có: 1 x ( x 1) x1 A x ( x 1) x 1 x b) Xét hiệu: A – = x1 x 1 x 1 0 x x x Vậy: A <1 1 1 1 0 x x Cách 2: Dễ thấy: A = vì: Chuyên đề 2: Hàm số và đồ thị (2 tiết) Bài 1: Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(1; −2) và B(2; 1) (5) ĐS: a = và b = −5 Bài : Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc là −2 và qua điểm A(1; 5) ĐS: y = −2x + Bài 3: Viết PT đường thẳng qua điểm B(−1; 8) và song song với đường thẳng y = 4x + ĐS: y = 4x + 12 Bài 4: Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = −x + và cắt trục hoành điểm có hoành độ ĐS: y = −x + Bài 5: Xác định hệ số a, b hàm số y = ax + b trường hợp sau: a) Đồ thị hàm số là đường thẳng có hệ số góc và qua điểm A(−1 ; 3) b) Đồ thị hàm số qua hai điểm B(2 ; 1) và C(1 ; 3) c) Đồ thị hàm số qua điểm A(1 ; 3) và song song với đường thẳng y = 3x − ĐS: a) (a ; b) = (3 ; 6) b) (a ; b) = (−2 ; 5) c) (a ; b) (3 ; 0) Bài 6: Cho Parabol (P): y = 2x và hai đường thẳng: (d1): mx − y − = và (d 2): 3x + 2y − 11 = a) Tìm giao điểm M (d1) và (d2) m =1 b) Với giá trị nào m thì (d 1) song song với (d2) c) Với giá trị nào m thì (d1) tiếp xúc với (P) m HD: a) M(3 ; 1); b) c) (d1) tiếp xúc với (P) 2x2 − mx + = có nghiệm kép = m2 = 16 m 4 m Lưu ý: Khai thác việc tìm tham số m để hai đường thẳng song song, trùng nhau, cắt Bài Tìm giá trị m để ba đường thẳng sau đồng qui: a) (d1): 5x + 11y = (d2): 10x − 7y = 74 (d3): 4mx + (2m − 1)y = m +2 b) 3x + 2y = 13 (d2): 2x + 3y = (d3): (d1): y = (2m − 5)x − 5m HD: a) ĐS: m = b) m = 4,8 Bài Tìm khoảng cách hai điểm A và B trên mặt phẳng tọa độ biết: a) A(1 ; 1) và B(5 ; 4) b) A(−2 ; 2) và B(3 ; 5) 2 HD: a) AB (5 1) (4 1) 5 2 b) AB (3 2) (5 2) 5,83 Bài tập nhà Bài 9: Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b qua A(−2 ; 15) và B(3 ; −5) Bài 10: Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc là −1 và qua gốc tọa độ Bài 11: Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 3x và cắt đường thẳng điểm nằm trên trục tung Bài 12: Gọi (d) là đường thẳng qua A(1 ; 1) và cắt trục hoành điểm có hoành độ là 2005 Hãy viết phương trình đường thẳng (d) Bài 13: Cho hàm số : y = x + m (D) Tìm các giá trị m để đường thẳng (D) : a) Đi qua điểm A (1 ; 2003) ; b) Song song với đường thẳng x - y + = ; c) Tiếp xúc với parabol y = –1/4.x2 Bài 14: Cho hai hàm số y = 2x + 3m và y = (2m + 1)x + 2m − Tìm điều kiện m để: a) Hai đường thẳng cắt b) Hai đường thẳng song song với c) Hai đường thẳng trùng Chuyên đề 3: Phương trình và hệ phương trình (6 tiết) Hệ phương trình bậc Bài 1: Giải các hệ phương trình: 3x 4y 2 x 2y 3 1) 2x y 1 2) 2x 3y 7 x 7y 3) 2x y 11 4) 2x 3y 10 3x 2y 2 Bài 2: Giải các hệ phương trình sau phương pháp đặt ẩn phụ: (6) 1 x y 5 1 a) x y b) x y x y x y x y 15 x y 9 35 x y HD: a) (x ; y) = (–2; 1); b) m ≠ c) d) 2x 3y 3x y 2 21 3x y 2x 3y 10 (x ; y) ; b) HD: a) ĐS: 1 (x ; y) = ; c) (x ; y) = (5 ; 3) d) 2 (x ; y) ; 66 11 mx y 1 x y 334 Bài 3: Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình cho m = b) Tìm giá trị m để hệ phương trình vô nghiệm HD: a) Với m = 1: (x ; y) = (2002 ; 2001) m b) Hệ đã cho vô nghiệm Bài 4: Cho hệ phương trình: x my 1 mx 3my 2m a) Giải hệ phương trình với m = –3 b) Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm HD: a) Hệ có vô số nghiệm b) m ≠ và m ≠ –3 mx y 1 Bài 5: Cho hệ phương trình: x y m Chứng tỏ m = –1, hệ phương trình có vô số nghiệm HD: Thay m = –1 vào hệ đpcm 2mx y 5 Bài 6: Cho hệ phương trình: mx 3y 1 a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm Phương trình bậc hai Bài 7: Giải các phương trình: 1) x2 – 4x + = 2) x2 + 6x + = 3) 3x – 4x + = 4) x2 – 5x + = 5) ( 1)x x 0 6) 2x ( 1)x 0 7) x ( 1)x 0 8) x4 – 11x2 + 10 = 9) 3x4 – 11x + = 10) 9x – 22x2 + 13 =0 11) (2x2 + x – 4)2 – (2x – 1)2 = 12) (x – 3)2 + (x + 4)2 = 23 – 3x 2x x2 x 13) x x 3x 1 14) x x 15) 3(x2 + x) – 2(x2 + x) – = 16) (x2 – 4x + 2)2 + x2 – 4x – = Bài 8: Cho phương trình x 3x 0 và gọi hai nghiệm phương trình là x1, x2 Không giải phương trình, tính giá trị các biểu thức sau: 1 x x 22 a) x1 x b) 1 2 c) x1 x d) x13 x 32 HD: Đưa các biểu thức dạng x1 + x2 và x1x2 sử dụng hệ thức Viét Bài 9: Cho phương trình: x2 – 2mx + m + = Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x1 = Tìm nghiệm x2 HD: m = 2, x2 = Bài 10: Cho phương trình x2 + 2(m + 1)x + m2 = (1) a) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm đó có nghiệm −2 HD: a) PT (1) có hai nghiệm phân biệt m b) m = m = Bài 11: Cho phương trình (m + 1)x2 − 2(m − 1)x + m − = (1) (7) a) Chứng minh m ≠ −1 phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu HD: a) Chứng minh ' > b) Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu m < −1 m > Bài 12: Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m − = (1) a) Giải phương trình (1) m = b) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với giá trị m c) gọi x1, x2 là hai nghiệm phương trình (1) Chứng minh A = x 1(1 − x2) + x2(1 − x1) không phụ thuộc vào giá trị m HD: a) Khi m = 1: PT có hai nghiệm x 2 2 b) A = 2(m + 1) − 2(m − 4) = 10 A không phụ thuộc vào m Bài 13: Gọi x1, x2 là các nghiệm phương trình x2 − 2(m − 1)x + m − = a) Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức P = (x1)2 + (x2)2 theo m b) Tìm m để P nhỏ HD: a) P = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 4(m − 1)2 − 2(m − 3) = 4m2 − 10m + 10 15 15 (2m 5) 4 Dấu "=" xảy c) P = m Bài 14: Cho phương trình x2 − 6x + m = (m là tham số) (1) a) Giải phương trình (1) với m = b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn 3x1 + 2x2 = 20 HD: a) Với m = x1 = 1, x2 = b) Đáp số: m = −16 (x1 = 8, x2 = −2) Bài 15: Cho phương trình x2 − 4x + k = a) Giải phương trình với k = b) Tìm tất các số nguyên dương k để phương trình có hai nghiệm phân biệt HD: a) Với m = 3: x1 = 1, x2 = b) ' = − k > k < ĐS: k {1 ; ; 3} Bài 16: Cho phương trình : x2 − (m + 5)x − m + = (1) a) Giải phương trình với m = b) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x = −2 HD: a) ĐS: x1 = 1, x2 = b) ĐS: m = − 20 Bài 17: Cho phương trình: (m − 1)x2 + 2mx + m − = (*) a) Giải phương trình (*) m = b) Tìm tất các giá trị m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x ; b) ĐS: HD: a) Khi m = 1: m , m 1 Bài 18: Cho phương trình x2 − 2mx + (m − 1)3 = a) Giải phương trình với m = −1 b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, đó có nghiệm bình phương nghiệm còn lại HD: a) Với m = −1 x1 = 2, x2 = −4 b) m = m = Chuyên đề 4: Giải bài toán cách lập phương trình và hệ phương trình (4 tiết) Bài 1: Một người xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h Khi đến B, người đó nghỉ 20 phút quay trở A với vận tốc trung bình 25km/h Tính quãng đường AB, biết thời gian lẫn là 50 phút HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 0) x x 5 Ta có phương trình: 30 25 Giải ta được: x = 75 (km) Bài 2: Hai canô cùng khởi hành lúc và chạy từ bến A đến bến B Canô I chạy với vận tốc 20km/h, canô II chạy với vận tốc 24km/h Trên đường đi, canô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy với vận tốc cũ Tính chiều dài quãng sông AB, biết hai canô đến bến B cùng lúc HD: Gọi chiều dài quãng sông AB là x km (x > 0) x x Ta có phương trình: 20 24 Giải ta được: x = 80 (km) Bài 3: Một ôtô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h Lúc đầu ôtô với vận tốc đó, còn 60km thì nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h trên quãng đường còn lại, đó ôtô đến tỉnh B sớm 1giờ so với dự định Tính quãng đường AB HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 120) (8) Ta có phương trình: x x x 60 : 40 60 : 50 40 2 2 Giải ta được: x = 280 (km) Bài 4: Một tàu thủy chạy trên khúc sông dài 80km, lẫn 8giờ 20phút Tính vận tốc tàu thủy nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước là 4km/h HD: Gọi vận tốc tàu thủy nước yên lặng là x km/h (x > 0) 80 80 8 Ta có phương trình: x x 4 x1 (loại), x2 = 20 (km) Giải ta được: Bài 5: Một ca nô và bè gỗ xuất phát cùng lúc từ bến A xuôi dòng sông Sau 24 km ca nô quay trở lại và gặp bè gỗ địa điểm cách A km Tính vận tốc ca nô nước yên lặng biết vận tốc dòng nước là km / h HD: Gọi vận tốc canô nước yên lặng là x km/h (x > 4) 24 16 2 Ta có phương trình: x x Giải ta x1 = (loại), x2 = 20 (km/h) Bài 6: Một người xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách 50 km Sau đó 30 phút, người xe máy từ A và đến B sớm Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp HD: Gọi vận tốc xe đạp là x km/h (x > 0) 50 50 (1,5 1) x 2,5x Ta có phương trình: Giải ta được: x = 12 (thỏa mãn) Bài 7: Nhà trường tổ chức cho 180 học sinh khối tham quan di tích lịch sử Người ta dự tính: Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở lượt hết số học sinh thì phải điều ít dùng loại xe nhỏ Biết xe lớn có nhiều xe nhỏ là 15 chỗ ngồi Tính số xe lớn, loại xe đó huy động HD: Gọi số xe lớn là x (x Z+) Ta có PT: 180 180 15 x x2 x1 = 4; x2 = –6 (loại) Bài 8: Một đội xe cần chuyên chở 100 hàng Hôm làm việc, có hai xe điều làm nhiệm vụ nên xe phải chở thêm 2,5 Hỏi đội có bao nhiêu xe? (biết số hàng chở xe là nhau) HD: Gọi x (xe) là số xe đội (x > và x N) 100 100 x Giải Ta có phương trình: x ta được: x1 = −8 (loại), x2 = 10 (thỏa mãn) Bài 9: Để làm hộp hình hộp không nắp, người ta cắt hình vuông góc miếng nhôm hình chữ nhật dài 24cm, rộng 18cm Hỏi cạnh các hình vuông đó bao nhiêu, biết tổng diện tích hình vuông đó diện tích đáy hộp? HD: Gọi x (cm) là độ dài cạnh hình vuông bị cắt ( < x < 9) Ta có phương trình: 4x (24 2x)(18 2x) Giải ta được: x1 = −18 (loại), x2 = (thỏa) Bài 10: Cho số có hai chữ số Tìm số đó, biết tổng hai chữ số nó nhỏ số đó lần, thêm 25 vào tích hai chữ số đó số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho HD: Gọi số phải tìm là xy (0 < x, y ≤ và x, y Z) 6(x y) 10x y x 5 y 4 Ta có hệ: xy 25 10y x Vậy số phải tìm là 54 Bài 11: Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 20 phút bể đầy Nếu mở vòi thứ chảy 10 phút và vòi thứ hai 12 phút thì đầy bể Hỏi vòi chảy mình thì phải bao lâu đầy bể HD: Gọi thời gian chảy mình đầy bể vòi I, II là x, y phút (x, y > 80) 80 80 x y 1 x 120 y 240 10 12 y 15 Ta có hệ: x Bài 12: Hai người thợ cùng làm công việc 16giờ thì xong Nếu người thứ làm 3giờ và người thứ hai làm 6giờ thì họ làm 25% công việc Hỏi người làm công việc đó mình thì bao lâu hoàn thành công việc HD: Gọi x, y (giờ) là thời gian người thứ nhất, hai làm mình xong công việc (x > 0, y > 16) (9) 16 16 x y 1 x 24 y 48 1 Ta có hệ: x y (thỏa mãn điều kiện đầu bài) Bài 13: Một phòng họp có 360 ghế ngồi xếp thành dãy và số ghế dãy Nếu số dãy tăng thêm và số ghế dãy tăng thêm thì phòng có 400 ghế Hỏi phòng họp có bao nhiêu dãy ghế và dãy có bao nhiêu ghế? HD: Gọi số dãy ghế phòng họp là x dãy (x Z, x > 0) Ta có phương trình: 360 (x 1) 1 400 x Giải ta được: x1 = 15, x2 = 24 ĐS: 15 dãy với 24 người/dãy, 24 dãy với 15 người/dãy Bài 14: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kĩ thuật nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21% Vì vậy, thời gian qui định họ đã vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ theo kế hoạch HD: Gọi x, y là số sản phẩm tổ I, II theo kế hoạch (x, y N*) Ta có hệ phương trình: x y 600 x 200 0,18x 0, 21y 120 y 400 Bài 14: Một xe máy từ A đến B thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h thì đến sớm giờ, giảm vận tốc 4km/h thì đến muộn Tính vận tốc dự định và thời gian dự định HD: Gọi thời gian dự định là x và vận tốc dự định là y (x, y > 0) Ta có hệ: (x 1)(y 4) xy x 6 (x 2)(y 14) xy y 28 Chuyên đề 5: Một số bài toán hình học tổng hợp (6 tiết) Bài 1: Cho c.ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp A , O là trung điểm IK a) Chứng minh bốn điểm B, I, C, K cùng thuộc đường tròn tâm O b) Chứng minh AC là tiếp tuyến đường tròn (O) c) Tính bán kính đường tròn (O), biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm HD: a) KBI KCI 180 (Tính chất phân giác) BICK nội tiếp (O) b) C1 OCI C I1 90 OC AC AC là tiếp tuyến (O) 2 2 c) AH AC HC 20 12 16 (cm) CH 12 OH 9 AH 16 (cm) Vậy: OC = OH HC 92 122 225 15 (cm) Bài 2: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự H và K a) Chứng minh BHCD là tứ giác nội tiếp A B CHK b) Tính góc c) Chứng minh KC.KD = KH.KB H d) Khi điểm E chuyển động trên cạnh BCE thì điểm H chuyển động trên đường nào? K D HD: a) BHD BCD 90 BHCD nội tiếp C 0 b) DHC DBC 45 CHK 45 c) KCH KDC (g.g) KC.KD = KH.KB d) BHD 90 Khi E chuyển động trên đoạn BC thì H chuyển động trên BC Bài 3: Cho đường tròn (O, R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (khác O) Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N Đường thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường tròn điểm P Chứng minh rằng: a) Tứ giác OMNP nội tiếp b) Tứ giác CMPO là hình bình hành c) Tích CM.CN không phụ thuộc vị trí điểm M A C d)* Khi M di động trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định I HD: a) OMP ONP 90 ONMP 1 nội tiếp M O B b) OC // MP (cùng vuông AH góc vớiCAB), MP = OD = OC 1 O Suy ra: CMPO là hình bình hành B N EK P D F (10) c) COM CND (g.g) Suy ra: CM CO CD CN CM.CN = CO.CD = Const d) ONP = ODP (c.g.c) ODP 90 Suy ra: P chạy trên đường thẳng cố định Vì M [AB] nên P [EF] Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Từ A kẻ hai tiếp tuyến Ax và By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt tiếp tuyến Ax và By E và F a) Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp b) AM ∩ OE ≡ P, BM ∩ OF ≡ Q Tứ giác MPOQ là hình gì? sao? c) Kẻ MH AB (H AB) Gọi K ≡ MH ∩ EB So sánh MK với KH HD: a) EOA OME 180 AEMO nội tiếp b) MPOQ là hình chữ nhật vì có ba góc vuông EM EF c) EMK EFB: MK BF MF = EM EF BF MK MF EA AB Mặt khác: ABE HBK: HK HB Vì: EF AB MF HB (Talet) EM EA MK KH Vì: EM = AE MK = KH Bài 5: Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định Điểm I nằm A và O cho AI AO Kẻ dây MN AB I Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M, N và B Nối AC cắt MN E a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp b) Chứng minh AME ACM và AM2 = AE.AC c) Chứng minh AE.AC − AI.IB = AI2 HD: a) Dễ thấy BIE ECB 180 IECB nội tiếp b) Ta có AM AN AME ABM AME ACM (g.g) AM2 = AE.AC (1) c) Ta có: MI2 = AI.IB (2) Theo (1) và (2) và ĐL Pitago: AI2 = AM2 − MI2 = AE.AC − AI.IB Bài 6: Cho ABC có các góc nhọn, 450 A Vẽ các đường cao BD và CE ABC Gọi H là giao điểm cảu BD và CE a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp b) Chứng minh HD = DC B c) Tính tỉ số DE : BC d) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp E ABC CM: OA DE x 1800 HD: a) Ta có: AEH ADH đpcm H 0 O b) v.AEC có A 45 ACD y45 x A F D DCH vuông cân D HD = HC M ABC c) ADE (g.g) E Q DE AE AE K BC AC AE P2 B tròn d) Dựng A tia tiếp tuyến Ax với đường H O (O), ta có BAx BCA mà BCA AED (cùng bù với DEB ) BAx AED DE // Ax OA DE Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC Chứng minh: a) Tứ giác CBMD nội tiếp đường tròn M trên đường tròn thì b) Khi điểm D di động BMD BCD không đổi C O' c) DB.DC = DN.AC E đường tròn HD: a) CBMD nội tiếp đường kính CD A B D giác CBMD b) Khi điểm D thay Iđổi, O tứ luôn là N M1800 tứ giác nội tiếp BMD BCD N N (O) c) Ta có: ANB 90 (gt) A BDN BAN B O Mặt khác: (Cùng chắn BN ) C C (11) BAN ACD (So le trong) BDN ACD Suy ra: DAC DAN DBN Lại có: (Cùng chắn DN ) Vậy: ΔACD ΔBDN (g.g) đpcm Bài 8: Cho ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC F a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật b) Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp c) Chứng minh AE.AB = AF.AC d)* Chứng minh EF là tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn HD: a) AEHF có ba góc vuông AEHF là hình chữ nhật b) B E1 F1 BEFC nội tiếp đường tròn (O) và (O’) cắt đường tròn (O’) và (O) theo thứ tự C và D gọi P và Q là trung điểm các dây AC và AD Chứng minh: a) ΔABD ΔCBA c) AEF ACB (g.g) AE.AB = AF.AC d) E1 E H1 H 90 EF là tiếp tuyến (O1) Tương tự: EF là tiếp tuyến (O2) (Do P, Q là trung điểm AC, AD) BDQ BAP O ra: ΔBQD B H OΔAPB C Và: Suy Bài Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D là điểm chính cung nhỏ BC Hai tiếp tuyến C và D với đường tròn (O) cắt E Gọi P, Q là giao điểm các cặp đường thẳng AB và CD; AD và CE a) Chứng minh BC // DE b) Chứng minh các tứ giác CODE và APQC nội tiếp c) Tứ giác BCQP là hình gì? HD: a) BC và DE cùng vuông góc với OD BC // DE b) ODE OCE 180 CODE nội tiếp Ta có: PAQ PCQ (Do BD CD ) APQC nội tiếp c) BCQP là hình thang Vì: Ta có: QPC CAQ (Cùng chắn cung QC (APQC) Lại có: QAC QAP và QAP BCP (cùng chắn BD ) BC // PQ Bài 10 Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt A và B Các tiếp tuyến A các b) BQD APB c) Tứ giác APBQ nội tiếp HD: a) Ta có: DAB ACB (Cùng chắn 'B An ) Lại có: ADB BAC (Cùng chắn AnB ) Suy ra: ΔABD ΔCBA b) ΔABD AD A BD DQ ΔCBA E CA BA AP 1 F BQD APB c) Do BQD APB suy ra: APBQ nội tiếp Bài 11: Cho ABC vuông A và điểm D nằm A và B Đường tròn đường kính A BD cắt BC E Các đường thẳng CD, S AE cắt đường tròn cá điểm thứ hai F, G Chứng minh: O a) ABC EBD F A B CD b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp E D2 c) AC // FG G d)* Các đường DE, P thẳng AC, Q BF đồng qui E B HD: a) ABC EBD (Hai tam giác vuông C có B1 chung) b) Học sinh tự chứng minh c) C1 F1 ( E1 ) AC // FG d) Gọi S ≡ BF ∩ CA BSC có D là trực tâm E đồng S, D, E thẳng hàng BF,ACA, ED qui S N O thuộc đoạn thẳng AB Bài 12: Cho điểm C n' SO' P n cho AC = 10cm, CB = 40cm.MVẽ phía Q 2 B D C A I C K B (12) AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K Đường vuông góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) E Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm EA, EB với các nửa đường tròn (I), (K) a) Chứng minh EC = MN b) CmR: MN là tiếp tuyến chung các nửa đường tròn (I), (K) c) Tính độ dài MN d) Tính diện tích hình giới hạn ba nửa đường tròn HD: a) Chứng minh CMEN là hình chữ nhật EC = MN b) Gọi S ≡ MN ∩ EC: M C C 90 M MN MI Tương tự: N1 N C3 C 90 MN NK MN là tiếp tuyến chung hai đường tròn c) MN = EC = AC.BC 10.40 20(cm) d) 1πAB πAC πBC S 100π(cm ) 2 4 Bài 13: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì (H ≠ O, B) Trên đường thẳng vuông góc với OB H, lấy điểm M ngoài đường tròn MA, MB theo thứ tự cắt đường tròn (O) C và D Gọi I là giao điểm AD và BC a) Chứng minh tứ giác MCID nội tiếp b) Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng qui I c) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, chứng minh KCOH nội tiếp HD: a) MCI MDI 90 MCID nội tiếp b) Chứng minh I là trực tâm MAB suy đường cao MH qua I c) Xét hai tam giác cân OCA và KCM, chứng minh: C 900 C C 900 C , từ đó suy KCOH nội tiếp Bài 14: Cho ABC vuông A Dựng miền ngoài tam giác các hình vuông ABHK và ACDE a) Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng b) Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếp ABC F, chứng minh FBC vuông cân c) Cho biết ABC 45 Gọi MElà giao M điểm BP và ED, chứng minh năm điểm B, K, E, M, C K cùng thuộc đường tròn d) Chứng minh MC là tiếpF tuyến A đường tròn (ABC) HD: a) Từ gt chứng minh: H HAB DAC 45 chứng B 1800 H, A, DC Minh: HAB BAC DAC thẳng hàng , BFC 900 b) Chứng minh FBC 45 M Suy BFC vuông cân KBMC 450 c) Chứng minh BKC CBEC , từ đó D suy B, K, E, M, C cùng thuộc Imột đường tròn Chú ý đến FMDC là tứAgiác nội tiếp B O Hvuông cân, d) Chứng minh FCM FCM 450 Từ đó ta có: MCF FCB 900 hay: MC BC MC là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ABC D (13)