PHầN I CáCH CHứNG MINH CÔNG THúC TíNH VậN TốC Và SứC CĂNG DÂY CủA CON LắC ĐƠN PHƯƠNG PHáP: 1.. Công thức tính vận tốc tại vị trí bất kỳ: Do con lắc chuyển động trong trường trọng lực
Trang 1PHầN I
CáCH CHứNG MINH CÔNG THúC TíNH VậN TốC Và SứC CĂNG DÂY
CủA CON LắC ĐƠN
PHƯƠNG PHáP:
1 Công thức tính vận tốc tại vị trí bất kỳ:
Do con lắc chuyển động trong trường trọng lực nên cơ năng bảo toàn
Chọn mốc thế năng h=o tại vị trí cân bằng O áp dụng định luật
Bảo toàn cơ năng cho 2 vị trí A và B ta có
WA=WB hay :
2
.
2
B
A B
m v
mgh = mgh +
(1)
Chú ý : con lắc đơn được thả không vận tốc ban đầu từ vị trí A
Nên vA=O
Trong đó hA = IO ư IH = ư l l co s ( αo)
( )
B
h = IO ư IB = ư l l co s α
Nên thay vào biểu thức (1) ta có:
2
.
[ ( )] [ ( )]
2
B
o
m v
mg l ư lco s α = mg l ư lco s α +
Tương đương : vB = 2 g l co s [ ( ) α ư co s ( αo) ] (2)
Từ đó ta có các trường hợp sau xảy ra :
a Tại vị trí cân bằng góc α = o0 cos(oo)=1 suy ra
[ ]
. 2 1 ( )
ma x o
v = g l ư co s α (3) ( Tại VTCB vận tốc đạt giá trị cực đại )
I
O
α
O
B
A
α α OA
H
B
Trang 22
Nếu góc
0 0
10 , o 10
α ≤ α ≤ ta sử dụng công thức gần đúng :
2
2
( ) 1 2.sin 1
2 2
co s α α
α = − ≈ −
Và
2
2 0 0
0
( ) 1 2.sin 1
2 2
co s α α
α = − ≈ − Thay tất cả vào (2) ta có :
2 2
0
.
B
v = g l α − α
(4)
Và công thức vận tốc cực đại lúc này là : thay vào (3) :
2 0 2 0
2 1 (1 2.sin ) 2 2.sin
2 2
ma x
v g l α g l α
= − − =
2
0
. 2 .2. 0 .
4
ma x
v g l α g l
α
≈ =
(5) Do
2
2 0 0
sin
2 4
α α
≈
Tại vị trí biên α = α0 nên vB.min = o
2.Công thức t nh sức căng dây T tại vị trí bất kỳ :
xét tại vị trí biên A ta có các lực tác dụng lên vật m là sức căng
sợi dây T và trọng lực P Theo định luật II NIUTƠN ta có :
.
P T + = m a
(6)
Trang 3Chiếu (6) lên phương sợi dây hướng vào điểm treo I chiều
dương như hình vẽ :
2
( ) v B
Pco s T m
l
α
ư + =
(7)
Thay (2) vào (7) : T = mg [ 3 ( ) co s α ư 2 ( co s α0) ](8)
Tại VTCB
0
o
α = cos(oo)=1 nên :
[ ]
3 2 ( 0)
ma x
T = mg ư co s α (9)
Tại vị trí hai biên α = α0 nên :
[ ]
min ( 0) ( )
T = mg co s α = mg co s α
(10)
Nếu góc
0 0
10 , o 10
α ≤ α ≤ ta sử dụng công thức gần đúng :
2
2
( ) 1 2.sin 1
2 2
co s α α
α = ư ≈ ư
Và
2
2 0 0
0
( ) 1 2.sin 1
2 2
co s α α
α = ư ≈ ư
Suy ra :
2
2 2
2
0
0
3(1 ) 2.(1 ) 1 3.
2 2 2
T mg α α mg α
α
≈ ư ư ư = ư +
0
o
α = cos(oo)=1 nên : (11)
P X
P
α
O
B
A
α α OA
H
B
T
I
T
Trang 44
[ ]
2
0
3 2 ( 0) 3 2.(1 )
2
ma x
T mg co s mg α
α
= − = − −
Hay :
2
1 0
ma x
T = mg + α
(12)
Tại vị trí hai biên α = α0 nên :
[ ]
2 2
0
min ( 0) ( ) (1 ) (1 )
2 2
T mg co s mg co s mg α mg α
α α
= = ≈ − = −
PHầN 2 (13)
Biến thiên chu kỳ của con lắc đơn theo
nhiệt độ, độ cao và vị trí trên trái đất
PHƯƠNG PHáP: Dựa vào công thức :
0(1 )
2 l 2 l t
T
g g
α
π π +
= =
Trong đó :
o
l : là chiều dàI dây treo con lắc ở t0 = 00c
l : là chiều dàI dây treo con lắc ở t c0
α : là hệ số nở dàI ở 00C
Bài toán 1: Xác định thời gian con lắc chạy sai trong mỗi chu
kỳ
TH1: Khi ở độ cao nhất định (cùng đô cao ) có g=const và nhiệt
độ khác nhau (t1 ≠ t2 )
Con lắc chạy đúng ở nhiệt độ t1 ta có chu kỳ T1
Trang 50 1
1
(1 )
2 l t
T
g
α
π +
=
Và chu ký T2
0 2
2
(1 )
2 l t
T
g
α
π +
=
Suy ra :
1 1
2 2
1
1
T t
T t
α
α
+
=
+ (14)
Hay :
áp dụng công thúc gần đúng : với 0 < ε ≤ 1thì :
1 1 2
2
1
1
1 2 2
ε ε ε
ε
+
≈ + ư
+ (15)
thay (15) vào (14) ta có
1 1 2
2
( )
1
2
T t t
T
α ư
≈ +
Hay
1 1 2
2
( )
1
2
T t t
T
α ư
ư ≈ ⇔ 1 2 1 2
2
( )
2
T T t t
T
α
ư ư
≈
(16)
NHậN XéT:
+)Nếu t1>t2 suy ra T1>T2 chu kỳ giảm đồng hồ chạy nhanh
+)Nếu t1<t2 suy ra T1<T2 chu kỳ tăng đồng hồ chạy chậm
+)Độ biến thiên tương đối trong mỗi chu kỳ là:
Từ (16) suy ra
1 2 1 2
2 2
( )
2
T T t t
T
T T
α
ư ư
∆
= =
(17)
Kết luận : Mỗi ngày đêm đồng hồ chạy sai một khoảng
1 2
2
( )
86400 86400.
2
t t
T
T
α
θ = ∆ = ư
(18)
Trang 66
TH2: khác độ cao ( khi g# const nhiệt độ và chiều dài =
const)
+)ở mặt đất đồng hồ chạy đúng :
2
0
0
.
2 2
.
l l R
T
g G M
π π
= =
(19)
Trong đó g0 là gia tốc rơi tự do ở gần mặt đất M, R là khối
lượng và bán kính trái đất l là chiều dài dây treo con lắc
a) ở độ cao h chu kỳ của con lắc
2
.( )
2 2
.
h
h
l l R h
T
g G M
π π +
= =
(20)
Gia tốc trọng trường ở mặt đất 0 2
.
G M
g
R
=
(21)
Gia tốc trọng trường ở độ cao h : 2
.
( )
h
G M
g
R h
=
+ (22)
ở đây ta coi trái đất hình cầu, bán kính R, khối lượng M vật
đứng cách mặt đất một khoảng h t nh từ mặt đất Từ (19), (20),
(21), (22)
Suy ra :
0
0
1
h
h
T g R
T = g = R h <
+ suy ra T0<Th
Chu kỳ tăng đồng hồ chạy chậm
Độ biến thiên tương đối trong mỗi chu kỳ :
0
1
h
h h
T T
T h
T T R h
ư
∆
= = <
+
Mỗi ngày đêm đồng hồ chạy chậm một khoảng :
O
R
h
Trang 786400 86400.
h
T h
T R h
θ = ∆ =
+ (23)
b) ở độ sau h’(so với mặt đất) chu kỳ của quả lắc :
2
'
'
.( ')
2 2
'
h
h
l l R h
T
g G M
π π ư
= =
(24) Trong đó gh’ là gia tố
trọng trường ở độ sâu h’ 2
'
'
( ')
h
G M
g
R h
=
ư (25) M’ là khối
lượng của phần trái đất giới hạn bởi mặt cầu có bán kính (R-h’)
Gia tốc trọng trường ở mặt đất : 0 2
.
G M
g
R
=
(26)
Từ(25) và (26) suy ra
3
2
2
'
3
0
4
( ')
' 3
.( )
4
' '
.
3
h
R h
g R M R
g R h M R h
R
π ρ
π ρ
ư
= =
ư ư
(ở đây vì trái đất hình cầu nên khối lượng được t nh như trên)
Hay
'
0
'
h
g R h
g R
ư
=
(27) lấy (19) chia ch0 (24) vế theo
vế và để ý đến (27) ta có :
2
0 '
' 0
' ' ' '
.( ) 1 1 1
' 2.
h
h
T g G M R R h h h
T g G M R h R R R
ư
= = = = ư ≈ ư <
ư
Trang 88
( Do áp dụng công thức gần đúng : ( )
1
2
1 1 1
2
ε
ε ε
± = ± ≈ ±
Suy ra T1<T2 Chu kỳ tăng đồng hồ chạy chậm Độ biến thiên
tương đối trong mỗi chu kỳ :
0 '
' '
'
2
h
h h
T T
T h
T T R
ư
∆
= =
Vậy mỗi ngày đêm
đồng hồ chạy sai một khoảng :
'
'
86400 86400.
2
h
T h
T R
θ = ∆ =
Chú ý : các công thức gần đúng sử dụng trong bài :
với 0 < ε ≤ 1thì 1 1 2
2
1
1
1 2 2
ε ε ε
ε
+
≈ + ư
+
hoặc : ( )
1
2
1 1 1
2
ε
ε ε
± = ± ≈ ±
hoặc: ( 1 ± ε ) n ≈ ± 1 n ε
hoặc :
1
1
2
1
ε
ε ≈
±
∓
hoặc :
1 '
1
2 2
1 '
ε ε ε
ε
+
≈ + ư
ư
hoặc :
'
1 1 ' 1
2 2
ε ε
ε ε
+ + ≈ + +