Rèn luyện thao tác tư duy cho học sinh thông qua giải bài toán về hệ phương trình

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN - - KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: RÈN LUYỆN THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH THƠNG QUA GIẢI BÀI TỐN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Giáo viên hướng dẫn: Ngơ Thị Bích Thủy Sinh viên thực : Nguyễn Thị Hà Giang Lớp 15ST : Đà Nẵng, tháng 12 năm 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN - - KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: RÈN LUYỆN THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA GIẢI BÀI TỐN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Giáo viên hướng dẫn: Ngơ Thị Bích Thủy Sinh viên thực :Nguyễn Thị Hà Giang Chuyên ngành: Sư phạm Toán Lớp : 15ST Đà Nẵng, tháng 12 năm 2018 Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn cô Ngơ Thị Bích Thủy hướng dẫn tận tình em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc thầy cô giáo khoa Tốn, phịng Thư viện Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành khóa luận Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn bạn sinh viên lớp 15ST động viên, khuyến khích để em cố gắng hồn thiện khóa luận Đà Nẵng, ngày 10 tháng 12 năm 2018 Sinh viên thực Nguyễn Thị Hà Giang SVTH: Nguyễn Thị Hà Giang Page Khóa luận tốt nghiệp Mục lục MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu 5 Bố cục đề tài Đóng góp đề tài CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Khái niệm tư 1.2 Đặc điểm tư 1.2.1 Tính có vấn đề tư 1.2.2 Tính gián tiếp tư 1.2.3 Tính trừu tượng khái quát tư 1.2.4 Tư quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ 10 1.2.5 Tư quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính 10 1.3.Q trình thao tác tư 11 1.3.1 Quá trình tư 11 1.3.2 Các thao tác tư 14 1.4.Vai trò tư 15 1.5.Tư học tập Toán học 16 SVTH: Nguyễn Thị Hà Giang Page Khóa luận tốt nghiệp CHƯƠNG 2: RÈN LUYỆN THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH THƠNG QUA GIẢI BÀI TỐN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 17 2.1 Dạng 1: Hệ phương trình giải phương pháp 17 2.2 Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng kiểu I 23 2.3 Dạng 3: Hệ phương trình đối xứng kiểu II 29 2.4 Dạng 4: Hệ đẳng cấp 33 2.4.1 Dạng 34 2.4.2 Dạng 35 2.4.3 Dạng 36 2.4.4 Dạng 37 2.4.5 Dạng 40 2.4.6 Dạng 41 2.5 Dạng 5: Các tốn hệ phương trình khơng mẫu mực 44 2.5.1 Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương 44 2.5.2 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ 49 2.5.3 Sử dụng phương pháp hàm số 53 SVTH: Nguyễn Thị Hà Giang Page Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Cũng tất mơn học khác, Tốn học phát sinh từ nhu cầu thực tế người: từ việc đo đạc diện tích mảnh đất hay dung tích bình chậu, từ việc tính thời gian, từ học,… Toán học nghiên cứu phạm trù thực khách quan hình dạng khơng gian quan hệ Vì Tốn học đóng vai trò to lớn đời sống khoa học kĩ thuật Tốn học mơn thể thao trí tuệ, thơng qua rèn luyện tư duy, suy luận logic cần giải vấn đề Thực tế, có nhiều người dùng trực tiếp kiến thức Toán học vào thực tiễn sống, khơng phủ nhận rằng, người học Tốn tốt thường có tư tốt Vì vậy, người ta dùng kiểm tra Tốn nhiều hình thức khác nhau, dùng thành tích học tập mơn Tốn thước đo nhiều kì thi, kì tuyển dụng Trên giới có hai khuynh hướng giáo dục Tốn học: Thứ nhất, coi Tốn học cơng cụ để tiếp thu tri thức, nghiên cứu khoa học khác Theo khuynh hướng này, mơn Tốn dạy cho học sinh số lượng kiến thức vừa đủ để học kiến thức phổ thông, không coi trọng dạy nguồn gốc phương pháp nghiên cứu Toán học Thứ hai, coi Toán học mà đối tượng phương pháp nghiên cứu điển hình để kích thích hứng thú, khơi dậy niềm say mê khám phá, qua truyền đạt phương pháp học tập, nghiên cứu, rèn luyện phát triển tư người học Do đó, dạy học mơn Tốn, người ta cố gắng thơng qua dạy tri thức Tốn học để dạy cách phát giải vấn đề, dạy cách suy nghĩ, rèn luyện nhân cách Ở Việt Nam, khuynh hướng thứ hai coi trọng Các nhà nghiên cứu nhà giáo dục cho rằng, lại sau năm tháng vất vả học Tốn khơng phải cơng thức, quy tắc,… mà cịn cách suy nghĩ, cách giải vấn đề, khả Tốn học hố tình sống Vì vậy, nhiệm vụ quan trọng dạy học mơn Tốn trường phổ thơng rèn luyện phát triển tư cho học sinh SVTH: Nguyễn Thị Hà Giang Page Khóa luận tốt nghiệp Qua q trình tìm hiểu chương trình Tốn THPT, tơi thấy giải tốn hệ phương trình chứa đựng nhiều yếu tố để rèn luyện tư cho học sinh Có nhiều cách tư để giải tốn Vì vậy, tơi định chọn đề tài “Rèn luyện thao tác tư cho học sinh thơng qua giải tốn hệ phương trình” Mục đích nghiên cứu Giúp cho học sinh nắm cách hệ thống kiến thức hệ phương trình Toán THPT nâng cao lực tư Toán học giải tốn hệ phương trình Nhiệm vụ nghiên cứu Tổng quan kiến thức tư duy, đặc biệt thao tác tư phân tích tổng hợp Từ rèn luyện thao tác tư cho học sinh qua toán hệ phương trình chương trình Tốn THPT Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận: nghiên cứu số tài liệu, sách, báo tham khảo có liên quan đến tốn giải hệ phương trình - Nghiên cứu thực tế: sơ tìm hiểu lực tư học sinh học mảng kiến thức hệ phương trình trường phổ thơng Bố cục đề tài Luận văn gồm chương sau: Chương 1: Cơ sở lí luận 1.1 Khái niệm tư 1.2 Đặc điểm tư 1.3 Quá trình thao tác tư 1.4 Vai trị tư 1.5 Tư Tốn học Chương 2: Rèn luyện thao tác tư cho học sinh thơng qua giải tốn hệ phương trình 2.1 Dạng 1: Hệ phương trình giải phương pháp thông thường 2.2 Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng kiểu I SVTH: Nguyễn Thị Hà Giang Page Khóa luận tốt nghiệp 2.3 Dạng 3: Hệ phương trình đối xứng kiểu II 2.4 Dạng 4: Hệ đẳng cấp 2.5 Dạng 5: Các toán hệ phương trình khơng mẫu mực Đóng góp đề tài - Về lí luận: Làm sáng tỏ nội dung “rèn luyện tư cho học sinh” thông qua giải tốn hệ phương trình - Về thực tiễn: Vận dụng thao tác tư phân tích tổng hợp rèn luyện cho học sinh nhằm tìm lời giải tốn hệ phương trình cách nhanh chóng Với hai đóng góp nhỏ trên, hi vọng đề tài làm tài liệu tham khảo cho học sinh giáo viên THPT để “rèn luyện tư cho học sinh thơng qua giải tốn hệ phương trình” SVTH: Nguyễn Thị Hà Giang Page Khóa luận tốt nghiệp CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Khái niệm tư - Tư q trình tâm lý phản ánh thuộc tính chất, mối quan hệ liên hệ có tính quy luật bên vật, tượng thực khách quan mà trước ta chưa biết Ví dụ: Bạn chuẩn bị tham gia thi chạy mà đích bạn cần đến nằm bờ hồ đối diện Có hai đường bạn đến đích, chạy men theo bờ hồ hai chạy qua cầu bắc qua hồ thân Bạn phải lựa chọn hai đường Chạy men theo bờ hồ an tồn thời gian lâu hơn, cịn qua cầu khơng nhiều thời gian bạn dễ rơi xuống hồ thi với bạn kết thúc Sự suy nghĩ để lựa chọn cách đến đích gọi tư - Tư hình thức cao phản ánh, mức độ nhận thức chất so với cảm giác, tri giác Hay nói cách khác tư nhận thức lý tính phản ánh thuộc tính chất bên trong, mối quan hệ liên hệ có tính chất quy luật vật, tượng Ví dụ: Khi gặp phương trình sau x  x   nhận thức cảm tính cho ta biết phương trình bậc hai ẩn, nhận thức dựa vào định nghĩa học Còn tư cho ta biết cách giải nghiệm hệ nào? Phương trình cho có nghiệm? Đó chất bên phương trình bậc hai ẩn Mặc dù tư phản ánh thuộc tính chất bên vật tượng tư đến mà cịn phụ thuộc vào chiến thuật phương pháp tư Vì trình giảng dạy người thầy giáo, việc rèn luyện phát triển thao tác tư cho học sinh nhiệm vụ quan trọng cần thiết Phát triển kĩ tự tìm tịi, sáng tạo, kĩ tư học sinh thơng qua phân tích tổng hợp tư để từ tìm mối quan hệ phần nội dung học môn học với 1.2 Đặc điểm tư 1.2.1 Tính có vấn đề tư SVTH: Nguyễn Thị Hà Giang Page Khóa luận tốt nghiệp Trong thực tế, gặp hồn cảnh có vấn đề xuất tư Hồn cảnh có vấn đề tình mà vốn kiến thức, phương pháp cũ giải mà cần đến phương pháp mới, tri thức để giải vấn đề, tức phải tư Nhưng thân chủ thể khơng phải gặp hồn cảnh có vấn đề xuất tư Vì chủ thể phải tự nhận thức đầy đủ nhiệm vụ có nhu cầu chuyển nhiệm vụ thành tư kích thích tư Ví dụ: Khi dạy “Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối” sách giáo khoa đại số 10 Cho tập sau: Giải bất phương trình sau: x  3x   x  x  (1) Theo kiến thức học em giải phương trình sau: (1)   x  3x  1   x  x   2  ( x  8x  7)(3x  x  5)  14 Nhận thấy: Phương trình 3x  x    x     3  Vậy để phương trình ( x2  8x  7)(3x2  x  5)  x  x   Nhưng với kiến thức học em chưa giải bất phương trình bậc hai ẩn Lúc xuất hồn cảnh có vấn đề Như học sinh tìm kiến thức mới, phương pháp để giải vấn đề nêu Do đó, để rèn luyện phát triển tư cho học sinh người giáo viên nên kích thích tư học sinh cách đặt câu hỏi để học sinh trả lời, nhận xét vấn đề liên quan đến cho Học sinh nhớ lại quy tắc, cơng thức, định lí, tìm mối liên hệ vấn đề cho cần tìm để giải toán SVTH: Nguyễn Thị Hà Giang Page Khóa luận tốt nghiệp ( x  3t )( x  xt  t )  x  3t x   x t  xt   xt ( x  t )   t   x  t 2 +) Với x = 0, thay vào (1)  y  +) Với t = 0, ta có y    y  1 , thay vào (1)  x  1 +) Với x = t, ta có y   x ( x  0)  x  y  , thay vào (1) ta được: x2   x   y  Vậy hệ cho có nghiệm {(0,0), (1, -1), (-1, -1), (1, 0)} 2.5 Dạng 5: Các tốn hệ phương trình khơng mẫu mực Để giải số tốn hệ phương trình khơng mẫu mực, có nhiều phương pháp để giải Tùy vào hệ phương trình chọn cách giải phù hợp 2.5.1 Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương Dạng 1: Một phương trình hệ đưa dạng tích hai phương trình bậc hai ẩn Có thể sử dụng phương pháp cộng, trừ hai phương trình hệ để xuất phương trình dạng tích Khi đó, giải hệ hai phương trình cho trường hợp cụ thể 2 x  y  xy  12 (1) Ví dụ 16: Giải hệ phương trình sau:  2 6 x  x y  12  y  y x (2) GV: Nếu cho hệ phương trình ta khó định hướng phương pháp giải Tuy nhiên, ta để ý khử số hạng tự ta phương trình sau: x2  y  xy  x  x y  y  y x  Dễ thấy, phương trình ta phân tích thành tích nhân tử sau: SVTH: Nguyễn Thị Hà Giang Page 44 Khóa luận tốt nghiệp ( x  y )( x  y )  6( x  y )  xy ( x  y )  HS: Thực giải hệ phương trình +) Lấy (1) – (2) vế theo vế, ta phương trình: x2  y  xy  x  x y  y  y x   ( x  y )(2 x  y )  6( x  y )  xy ( x  y )   ( x  y )(2 x  y   xy )   ( x  y )  x(2  y )  3(2  y )    ( x  y )(2  y )( x  3)  x  y   y   x  +) Với x = y, thay vào (1), ta có phương trình: x  12 Vậy hệ cho vô nghiệm +) Với y = 2, thay vào (1)  x   x  4 +) Với x = 3, thay vào (1)  y  1  y  Vậy hệ cho có nghiệm {(3, -1), (3, 2), (-4, 2)} GV: Ở ví dụ này, hệ phương trình chưa cho dạng đặc trưng học Vì ta sử dụng phương pháp trừ đại số để khử hạng tử tự do, sau sử dụng phương pháp phân tích để nhóm hạng tử Dạng 2: Sử dụng phương pháp rút – thế, nhận xét xem hai phương trình có chung biểu thức nào, sau rút biểu thức từ phương trình đơn giản hơn, thay vào phương trình phức tạp Giải phương trình tìm nghiệm hệ  x( x  1)  ( xy  3) y  x  y 1 Ví dụ 17: Giải hệ phương trình sau:  (2) ( xy  3) x  y ( y  1)  GV: Hệ phương trình cho có đặc điểm gì? HS: Nhận thấy, hai phương trình có chứa biểu thức xy + 3, nên ta sử dụng phương pháp rút SVTH: Nguyễn Thị Hà Giang Page 45 Khóa luận tốt nghiệp Nhận thấy, phương trình thứ (2) đơn giản nên từ phương trình (2), ta có:  y3  y (2)  xy   ( x  0) x Thế vào phương trình (1), ta  y3  y  2 x( x  1)   y x  y x   4  x  x  y  y  x( x  y )  ( x  y )( x  y  1)  x( x  y ) Giải hệ phương trình tìm ẩn x, y GV: Chú ý ban đầu phải xét x = có phải nghiệm hệ hay khơng giải HS: Trình bày tốn hồn chỉnh: +) Với x =  y  nghiệm hệ phương trình +) Với x ≠ 0, từ phương trình (2), ta có: xy    y3  y , thay vào phương trình (1), x ta có phương trình:  y3  y  2 (2)  x( x  1)   y x  y  x   x  x  y  y  x( x  y )  ( x  y )( x  y  1)  x( x  y )  x  y   x  y   x  x () +) Thay (*) vào (2), ta được: SVTH: Nguyễn Thị Hà Giang Page 46 Khóa luận tốt nghiệp y ( x  x)  ( xy  3) x   xy  y   x y 3 2y +) Thay vào (2), ta được:  y 3  y 3 y3  y   y  3 0  2y  2y  y4  y2    y2   y   x  1   9  y  ( L)  y  1  x   Vậy hệ cho có nghiệm {(-1, 1), (2, -1), (0, 0)} Dạng 3: Một phương trình hệ phương trình bậc hai theo ẩn chẳng hạn xem x ẩn Khi ta xem y tham số, giải x theo y Ví dụ 18: Giải hệ phương trình sau: 2  2 x  y  3xy  3x  y    2  4 x  y  x   x  y  x  y (1) (2) GV: Nếu cho hệ phương trình ta khó thực phương pháp rút hay cộng trừ đưa hệ phương trình đẳng cấp Nhận thấy, phương trình (1) ta viết lại sau: (1)  y  (3x  2) y  3x  x   Đây phương tình bậc hai theo tham số x, biến y, biện luận tìm y theo x HS:   (3x  2)2  4(2 x2  3x  1)  x2  SVTH: Nguyễn Thị Hà Giang Page 47 Khóa luận tốt nghiệp 3x   x   2x  y  Phương trình cho có hai nghiệm   y  3x   x  x   Từ đó, với hai giá trị y theo x, thay vào (2), ta ẩn cần tìm HS: Trình bày tốn hồn chỉnh: +) Điều kiện: 2x + y ≥ x + 4y ≥ (1)  y  (3x  2) y  3x  x     (3x  2)2  4(2 x  3x  1)  x2  3x   x   2x  y  Phương trình cho có hai nghiệm   y  3x   x  x   +) Với y = 2x + 1, thay vào phương trình (2), ta được: (2)  x  (2 x  1)  x   x   x    3x  x   x   x    x    3 x 4x 9x   3x 4x   9x   x   y      3 ()  x   9x    Xét phương trình (*), có VT (*) > 0, VP (*) < (vơ lí) Vậy phương trình (*) vơ nghiệm +) Với y = x + 1, thay vào (2), ta được: SVTH: Nguyễn Thị Hà Giang Page 48 Khóa luận tốt nghiệp (2)  x  ( x  1)  x   x   x   3x  x   3x   x   x   ( x  1)  x   ( x  2)  x  x   x( x  1)  x( x  1)   x( x  1) 3x   x  5x   x   x   y    x  1 y   1    ()  x   x  5x   x  Xét phương trình () , với x  1 , ta có: VT ()  , phương trình vơ nghiệm  VP (  )   Vậy hệ phương trình cho có nghiệm {(0, 1), (1, 2)} 2.5.2 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ GV: Điểm quan trọng phương pháp phát ẩn phụ, từ đặt ẩn phụ chuyển hệ với ẩn phụ Hai phương pháp đặt ẩn phụ sau: Phương pháp 1: Đặt ẩn phụ hệ phương trình Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ tồn hệ phương trình Việc đặt ẩn phụ có phương trình xuất sau số phép biến đổi đẳng thức, nhân, chia biểu thức khác không  2 4 xy  4( x  y )  ( x  y )   Ví dụ 19: Giải hệ phương trình sau:  2 x    x y SVTH: Nguyễn Thị Hà Giang Page 49 Khóa luận tốt nghiệp GV: Dễ thấy, hệ phương trình ta dễ dàng đặt ẩn u  , ta x y phải biến đổi hai phương trình hệ Giả sử ta biến đổi phương trình thứ sau: (1)  4( x  y )  xy  7 ( x  y)2 Thì phương trình (2) lại khơng có biểu thức xy, khó thực Ta biến đổi hệ phương trình sau:  2 3( x  y )  ( x  y )  ( x  y )    x  y   x  y   x y Sau biến đổi, ta đặt u  v = x – y Giải hệ phương trình theo ẩn u, x y v HS: Trình bày tốn hồn chỉnh +) Điều kiện: x + y ≠ +) Phương trình viết lại:  2 3( x  y )  ( x  y )  7  ( x  y)2   x  y   x  y   x y +) Đặt u  v = x – y, ta hệ phương trình theo ẩn u, v sau: x y SVTH: Nguyễn Thị Hà Giang Page 50 Khóa luận tốt nghiệp 3  v  3u  (1)  u  1  u  v  (2)  u +) Từ (2)  v    u , thay vào (1), ta phương tình sau: u 2 1  1  1     u    3u     u     u    13  u u  u  u  +) Đặt t  u u  t   , ta phương trình: t  3t  (t  3)  13   4t  6t     1 t  (l )  2 2   x  u    x  y  +) Với t = 2, ta có:  v   y  x  y   Vậy hệ cho có nghiệm là: (x, y) = (1, 0) 2  y  xy  y  x  y  (1) Ví dụ 20: Giải phương trình sau:  2 (2) ( y  1)( x  y )  GV: Nhận thấy, phương trình (2), ta dễ đàng đặt u  y  1, v  x  y Vì vậy, để giải hệ phương trình ta phải biến đổi phương trình (1) cho dễ dàng đặt theo ẩn u, v HS: Biến đổi phương trình (1): SVTH: Nguyễn Thị Hà Giang Page 51 Khóa luận tốt nghiệp (1)  y ( x  y )  2( y  1)  x  y  1  ( y  1)( x  y )  2( y  1)  1 Vậy từ ta hệ phương trình theo u, v Giải hệ tìm giá trị u, v tương ứng HS: Trình bày tốn hồn chỉnh: Hệ phương trình viết lại sau: ( y  1)( x  y )  2( y  1)  1  2 ( y  1)( x  y )  uv  2u  1 Đặt u  y  (u  1), v  x  y , thay vào hệ ta có:  u.v  Dễ thấy (u, v) = (u, 0) nghiệm hệ +) Với v ≠ ta có hệ sau:   u  v    v   u    v2  v2 v2     v  v  2  u  (l )  u       v2   v  2 +) Với v = 1, u = 1, ta có:  y2    y    x  y  x   Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x, y) = (1, 0) SVTH: Nguyễn Thị Hà Giang Page 52 Khóa luận tốt nghiệp 2.5.3 Sử dụng phương pháp hàm số Dạng 1: Một phương trình hệ có dạng f(x) = f(y), phương trình cịn lại giúp ta giới hạn x, y thuộc D để hàm f đơn điệu Ví dụ 21: Giải hệ phương trình sau:  x   x   y   y (1) (khối A – 2013)  2  x  x( y  1)  y  y   (2) GV: Đầu tiên ta phải xác định điều kiện x ≥ Nhận thấy, phương trình (2) ta viết lại sau: (2)  x  x( y  1)  ( y  1)  y  ( x  y  1)  y Từ ta lập điều kiện cho y HS: Điều kiện y ≥ GV: Ở đây, ta sử dụng phương pháp rút y thay vào phương trình phương trình trở nên phức tạp, khó giải Với phương trình (2) ta thấy phương trình có dạng f(a) = f(b), ta biến đổi sau: (1)  x     x 1   y  y4  Từ đó, xét tính đơn điệu hàm số f (t )  t  t  , tìm mối quan hệ x y, sau giải hệ tìm nghiệm HS: Trình bày tốn hồn chỉnh: +) Phương trình (2) viết lại: SVTH: Nguyễn Thị Hà Giang Page 53 Khóa luận tốt nghiệp (2)  x  x( y  1)  ( y  1)  y  ( x  y  1)  y y0 +) Điều kiện: x  1, y  +) Xét phương trình (1), ta có: (1)  x     x 1   y  y4  Xét hàm số đặc trưng f (t )  t  t  , với t  2t f '(t )   t4   0, t   Hàm số f đồng biến (0, ) +) Có f   x   f ( y)  x   y  x  y  +) Thay vào (2), ta phương trình: (2)  ( y  y )  y y  y 1 x    y   x 1  y  y  1   Vậy hệ cho có nghiệm {(2, 1), (1, 0)} Dạng 2: Hệ có dạng đối xứng sau biến đổi thường đưa dạng f ( x)  f ( y ) hay f(x) = f hàm đơn điệu  x   2( x  x  y ) Ví dụ 22: Giải hệ phương trình sau:   y   2( y  y  x) GV: Đây hệ phương trình đối xứng loại II Ta biến đổi phương trình sau: SVTH: Nguyễn Thị Hà Giang Page 54 Khóa luận tốt nghiệp  x  x  x   y   y  y  y   x HS: Trừ vế theo vế ta phương trình: x3  x  x   y  y  y  Xét hàm số đặc trưng: f (t )  t  2t  4t   f '(t )  3t  4t   0, t  Hàm số đồng biến R x y Thay vào hệ tìm giá trị x, y HS: Trình bày giải hồn chỉnh Hệ phương trình viết lại sau:  x  x  x   y   y  y  y   x Trừ vế theo vế, ta phương trình sau: x3  x  x   y  y  y  Xét hàm số đặc trưng: f (t )  t  2t  4t   f '(t )  3t  4t   0, t  Hàm số đồng biến R x y Thay vào phương trình (1), ta phương trình sau: SVTH: Nguyễn Thị Hà Giang Page 55 Khóa luận tốt nghiệp  x  1 y   1 1 3 x  2x  2x   2x  x  2x     x  y  2  x  1  y  1  2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm           , , ,  (1,1),  2 2       SVTH: Nguyễn Thị Hà Giang Page 56 Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Qua trình nghiên cứu đề tài, làm được: Hệ thống lại kiến thức giải toán hệ phương trình chương trình Tốn THPT Trình bày rõ dạng tốn hệ phương trình Giúp học sinh nâng cao lực, tự tin giải tốn hệ phương trình THPT Là học sinh năm cuối trường, tơi nhận thấy đề tài có ích cho thân để làm hành trang bước vào nghề Vì thời gian nghiên cứu hạn chế nên đề tài khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong ý kiến đóng góp quý báu độc giả để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! SVTH: Nguyễn Thị Hà Giang Page 57 Khóa luận tốt nghiệp DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Khánh Hưng, “Phương pháp dạy – học Toán”, NXB Giáo dục năm 1998 [2] Thạc sĩ Lê Hồnh Phị, “Bài tập phương pháp giải Đại số 10”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Lê Trung Tín, “Tuyển tập hệ phương trình”, NXB Diễn đàn Tốn học [4] Phạm Kim Chung, “Rèn luyện kĩ tư giải tốn hệ phương trình”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Quang Uẩn, “Giáo trình tâm lý học đại cương”, NXB Đại học Sư phạm SVTH: Nguyễn Thị Hà Giang Page 58 ... Đặc điểm tư 1.3 Quá trình thao tác tư 1.4 Vai trò tư 1.5 Tư Toán học Chương 2: Rèn luyện thao tác tư cho học sinh thông qua giải tốn hệ phương trình 2.1 Dạng 1: Hệ phương trình giải phương pháp... để rèn luyện tư cho học sinh Có nhiều cách tư để giải tốn Vì vậy, định chọn đề tài ? ?Rèn luyện thao tác tư cho học sinh thơng qua giải tốn hệ phương trình? ?? Mục đích nghiên cứu Giúp cho học sinh. .. nghiệp CHƯƠNG 2: RÈN LUYỆN THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH THƠNG QUA GIẢI BÀI TỐN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 17 2.1 Dạng 1: Hệ phương trình giải phương pháp 17 2.2 Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng