Một số phương pháp giúp học sinh giải tốt các bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH GIẢI TỐT CÁC BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Giảng viên hướng dẫn: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy Sinh viên thực : Nguyễn Thị ý Như Lớp : 16ST Đà Nẵng- 2020 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngô Thị Bích Thủy MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Nội dung nghiên cứu 4 Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Định nghĩa GTNN, GTLN 1.2 Các bất đẳng thức thường dùng 1.2.1.Bất đẳng thức AM-GM (hay còn gọi là BĐT Cô-si) 1.2.2.Bất đẳng thức Cauchy-Bunhikowski-Schwarz 1.2.3 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel 1.3 Các kiến thức về hàm đơn điệu, khảo sát hàm số 1.4 Các kiến thức liên quan đến tọa độ – vectơ CHƯƠNG 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GTLN, GTNN 2.1 Sử dụng các bất đẳng thức 10 2.2 Sử dụng đạo hàm, khảo sát hàm số 16 2.3 Các kĩ thuật thường dùng 18 SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngô Thị Bích Thủy LỜI CẢM ƠN Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô khoa Toán - trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, gởi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Ngô Thị Bích Thủy - người đã trực tiếp hướng dẫn suốt thời gian nghiên cứu Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn những ý kiến góp ý quý báu, sự động viên, giúp đỡ nhiệt tình của gia đình, người thân, các thầy cô, bạn bè, nhất là các bạn lớp 16ST quá trình làm khóa luận tốt nghiệp này XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN! Đà Nẵng, tháng 01 năm 2020 Sinh viên thực hiện Nguyễn Thị Ý Như SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngô Thị Bích Thủy MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học là môn khoa học tự nhiên bắt nguồn từ những vấn đề thực tiễn mà người phải giải quyết để cải thiện cuộc sống Việc dạy học toán ở trường phổ thông nhằm phát triển những lực tư duy, lập luận, đặt vấn đề và giải quyết vấn đề, cách thức trình bày lời giải một bài toán khoa học, logic, rõ ràng, mạch lạc Do vậy, quá trình tìm phương pháp giải bài tập cho học sinh đóng vai trò quan trọng Các loại bài tập về “Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất” (GTLN & GTNN) phong phú, đa dạng với nhiều mức độ khác nhau, từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, thậm chí có những bài chưa tìm lời giải cụ thể Các bài toán (GTLN & GTNN) có sức hấp dẫn kỳ lạ bởi nó mang một vẻ đẹp sáng tạo và độc đáo việc tìm phương pháp giải các kỳ thi môn toán THPT Qua quá trình thực tập, đã thăm khảo ý kiến của các giáo viên và học sinh THPT và thấy học sinh thường lúng túng giải quyết các bài toán về (GTLN & GTNN) vì các em không nắm rõ được các dạng, các phương pháp để giải Khả phân tích bài toán để đưa lạ về quen còn hạn chế và mắc nhiều sai sót quá trình giải Là một giáo viên tương lai, quyết định chọn đề tài nghiên cứu “Một số phương pháp giúp học sinh giải tốt các toán Giá trị lớn nhất Giá trị nhỏ nhất” nhằm nâng cao lực dạy học các bài toán về GTLN & GTNN chương trình toán THPT Mục tiêu đề tài SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngô Thị Bích Thủy Đưa các dạng toán về (GTLN & GTNN) cùng với một số phương pháp giúp học sinh phân tích, giải quyết các bài toán này một cách nhanh chóng Nội dung nghiên cứu Hệ thống hóa các phương pháp giải dạng toán “ Tìm GTLN & GTNN của hàm số’’ và đưa ví dụ cụ thể Phương pháp nghiên cứu + Về lý luận: Nghiên cứu một số tài liệu, sách, báo có liên quan đến bài toán về GTLN, GTNN + Về thực tiễn: Trao đổi, tham khảo, học hỏi kinh nghiệm từ một số giáo viên và học sinh khá giỏi Bố cục đề tài: gồm chương Chương CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Định nghĩa GTNN, GTLN 1.2 Các bất đẳng thức thường dùng 1.3 Các kiến thức về hàm đơn điệu, khảo sát hàm số 1.4 Các kiến thức liên quan đến tọa độ – vectơ Chương CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GTLN, GTNN 2.1 Sử dụng Bất đẳng thức 2.1.1 Sử dụng Bất đẳng thức AM-GM (hay còn gọi là BĐT Cô-si) 2.1.2 Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy Bunhiakowski-Schwarz SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngô Thị Bích Thủy 2.1.3 Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel 2.2 Sử dụng đạo hàm, khảo sát hàm số 2.3 Sử dụng một số kĩ thuật biến đổi 2.3.1 Đưa về một biến 2.3.2 Sử dụng khảo sát hàm số lần lượt từng biến biểu thức chứa ba biến 2.3.3 Giải bài toán bằng phương pháp đổi biến số 2.3.4 Giải bài toán bằng phương pháp tọa độ vectơ 2.3.5 Phương pháp lượng giác hóa SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngô Thị Bích Thủy Chương CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Định nghĩa GTLN, GTNN Cho hàm số y  f ( x) xác định K (K  ) Khi đó:  Số M được gọi là GTLN của hàm số y  f ( x) K và chỉ khi:  f ( x)  M , x  K  xo  K , f ( xo )  M  Số m được gọi là GTNN của hàm số y  f ( x) K và chỉ khi:  f ( x)  M , x  K  xo  K , f ( xo )  m 1.2 Các bất đẳng thức thường dùng 1.2.1 Bất đẳng thức AM-GM (hay còn gọi là BĐT Cô-si) Phương pháp: Bất đẳng thức AM-GM (hay còn gọi là BĐT Cô-si): 𝑎1 + 𝑎2 + +𝑎𝑛 𝑛 ≥ √𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛 , ∀𝑎1 , 𝑎2 , … 𝑎𝑛 ≥ 𝑛 Đẳng thức xảy ⇔ 𝑎1 = 𝑎2 = = 𝑎𝑛 1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Bunhikowski-Schwarz a1 , a2 , ,a n  b1 , b2 , , bn  Cho bộ số thực  a , đó ta có BĐT sau:  a22   an2 b12  b22   bn2    a1b1  a2b2   anbn  Đẳng thức xảy ⇔ a a1 a2    n b1 b2 bn 1.2.3 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel Giả sử 𝑎1 , 𝑎2 , , 𝑎𝑛 là các số thực bất kì và 𝑏1 , 𝑏2 , , 𝑏𝑛 là các số thực dương, đó ta có BĐT sau: SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngô Thị Bích Thủy an  a1  a2   an  a12 a22     b1 b2 bn b1  b2   bn Đẳng thức xảy ⇔ 1.3 a a1 a2    n b1 b2 bn Các kiến thức về hàm đơn điệu, khảo sát hàm số 1.3.1 Định nghĩa: Giả sử K là một khoảng, nửa khoảng, một đoạn Hàm số y  f ( x) xác định K được gọi là: +Đồng biến K nếu  x1, x2  K , 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ) +Nghịch biến K nếu  𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐾, 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 ) 1.3.2 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm K Khi đó: + Nếu hàm số y  f ( x) đồng biến K thì 𝑓′(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝐾 + Nếu hàm số y  f ( x) nghịch biến K thì 𝑓 ′ (𝑥) ≤ 0, ∀𝑥 ∈ 𝐾 1.3.3 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử K là một khoảng, nửa khoảng, một đoạn Hàm số y  f ( x) liên tục K và có đạo hàm tại mọi điểm của K (tức các điểm thuộc K không phải là đầu mút của K) Khi đó: + Nếu 𝑓 ′ (𝑥) > 0, ∀𝑥 ∈ 𝐾 thì hàm số y  f ( x) đồng biến K + Nếu 𝑓 ′ (𝑥) < 0, ∀𝑥 ∈ 𝐾 thì hàm số y  f ( x) nghịch biến K + Nếu 𝑓 ′ (𝑥) = 0, ∀𝑥 ∈ 𝐾 thì hàm số y  f ( x) không đổi K Chú ý: Nếu hàm số y = f(x) liên tục đoạn [𝑎; 𝑏] và có đạo hàm 𝑓 ′ (𝑥) > 0( 𝑓 ′ (𝑥) < 0), ∀𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏) thì hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) đoạn [𝑎; 𝑏] 1.4 Các kiến thức liên quan đến tọa độ – vectơ 1.4.1 Vectơ mặt phẳng: SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngô Thị Bích Thủy + Cho hai vectơ a và b không cùng phương Khi đó mọi vectơ x đều phân tích được một cách nhất theo hai vectơ a và b , nghĩa là có nhất cặp số h, k cho x   kb + Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b ( b  0) cùng phương là có một số k để a  kb + Cho số k  và vectơ a  Tích của vectơ a với một số k là một vectơ, kí hiệu ka , cùng hướng với a , nếu k  ,ngược hướng với a nếu k  và có độ dài bằng k a + Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số h và k bất kì, ta có: k (a  b )  ka  kb ; (h  k )a   ka; h(ka )  (hk )a; 1.a  a,(1).a   a + Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho vectơ 𝑢 ⃗ = (𝑥1 , 𝑦1 ); 𝑣 = (𝑥2 , 𝑦2 ) , đó: u  v  ( x1  x2 , y1  y2 ) u  v  ( x1  x2 , y1  y2 ) ku  (kx1 , ky1 ),(k  ) u.v  u v cos(u , v ) + Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, vectơ 𝑥 = (𝑥, 𝑦) có độ dài là: x  x2  y 1.4.2 Vectơ không gian: + Cho A( xA , y A , z A ), B(x B , yB , zB ) Khi đó: AB  ( xB  xA , yB  y A , zB  z A ) + Nhận biết điều kiện đồng phẳng của ba vectơ không gian: SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngô Thị Bích Thủy Cho hai vectơ a và b không cùng phương Ba vectơ a , b , c đồng phẳng và chỉ tồn tại m, n cho c  na  mb và m, n là nhất + Nếu ma  nb  pc  thì a , b , c đồng phẳng + Nếu ba vectơ a , b , c không đồng phẳng,với mọi vectơ d  ma  nb  pc + Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, vectơ 𝑥 = (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) có độ dài là: |𝑥| = √𝑥1 + 𝑦1 + 𝑧1 + Tích vô hướng: Cho u  ( x1 , y1 , z1 ), v  ( x2 , y2 , z2 ) Khi đó: u.v  u v cos(u , v ) u.v  x1.x2  y1 y2  z1.z2 Trong không gian, phép toán giữa các vectơ cũng tương tự mặt phẳng SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang Khóa luận tốt nghiệp Khi đó: f '(t )  GVHD: Th.s Ngô Thị Bích Thủy t t  2t  t  1 , f '(t )   t  0, t  2 Bảng biến thiên của hàm số f (t ) đoạn  1;1 sau: t -1 f '(t ) + f (t ) - Từ bảng biến thiên, ta suy ra: f max (t )  t = f (t )  t = -1 Do đó: ymax  x  k ymin  x     k 2 Ví dụ 14: Cho số thực dương x, y thỏa mãn x  y  Tìm GTNN của biểu thức: P  x y  1 x 1 y Phân tích Để ý rằng  x  y và  y  x , đồng thời vì P  với mọi x, y  nên P đạt GTNN và chỉ P đạt GTNN, ta nghĩ đến việc bình phương P đề làm mất dấu thức của  x và  y Giải: Kết hợp với giả thiết x  y  Ta có: SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 28 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngô Thị Bích Thủy x2 y2 P    1 x 1 y   x  y   x  y  xy x2 y 2 xy    1  x 1  y  y x  x  y  xy xy  3xy    xy   xy  xy   t   f (t ),(t  xy) t Từ giả thiết và BĐT đúng  x  y   xy  ta suy  t  xy  f '(t )  1  1   với mọi x   0;   4 t t  1 Hàm số f (t ) nghịch biến đoạn  0;  , ta suy GTNN của hàm  4 1 số này (chính là GTNN của P ) là f    4 Vậy Pmin  tại x  y  Bài tập áp dụng: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y  7 x  x3    x  x  3  Cho xy  thỏa mãn x  y  Tìm GTNN của biểu thức: 2.3.4 Sử dụng phương pháp tọa độ vectơ  Bất đẳng thức vectơ: Cho vectơ 𝑎, 𝑏⃗ (trong mặt phẳng hoặc không gian) Khi đó: (1)  a   a  Dấu “=” xảy ⇔ a  2 SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 29 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngô Thị Bích Thủy (2) a  b  a  b Dấu “=” xảy khi: a cùng hướng với b ⇔ ∃𝑘 > 0: 𝑎 = 𝑘𝑏⃗ hoặc vectơ bằng ⃗0 Tổng quát: n n i 1 i 1    , với n ∈ (3) a  b  a  b Dấu “=” xảy ⇔ a ngược hướng với b ⃗ ⇔ ∃𝑘 < 0: 𝑎 = 𝑘𝑏⃗ hoặc vectơ bằng (4) a.b  a b Dấu “=” xảy ⇔ a , b cùng phương hoặc vectơ bằng ⃗0 Ví dụ 15: Cho tam giác ABC Tìm giá trị lớn nhất biểu thức: 6cos A.cos B.cos C cos A  cos B  cos 2C Phân tích: Vì vai trò của A, B, C là nhau, ta có thể đưa dự đoán giá trị lớn nhất là 1, xảy tam giác ABC đều Do đó, ta sẽ tìm cách chứng minh bất đẳng thức 6cos A.cos B.cos C  cos2 A  cos2 B  cos2C Ta thấy bất đẳng thức xuất hiện tổng các bình phương Vì thế ta có thể sử dụng được tính chất (1) Nhưng vì bài toán chưa nói cụ thể tam giác ABC là thế nào nên ta cần phải xét các trường hợp của tam giác ABC Giải: SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 30 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngô Thị Bích Thủy Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau: 6cos A.cos B.cos C  cos2 A  cos2 B  cos2C (*) + Nếu tam giác ABC là tam giác tù ( có một góc tù) thì (*) hiển nhiên đúng vì đó vế trái âm, vế phải dương + Nếu tam giác ABC không phải là tam giác tù thì mặt phẳng ta đặt ⃗⃗⃗⃗⃗ cho: các vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑁, 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = cos 𝐴 |𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = cos 𝐵 { |𝑂𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝜋 − 𝐶̂ (𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝜋 − 𝐴̂ { (𝑂𝑁 và ⃗⃗⃗⃗⃗ | = cos 𝐶 |𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀) = 𝜋 − 𝐵̂ (𝑂𝑃 Áp dụng tính chất (1), ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ≥ 𝑂𝑁 , 𝑂𝑃 (𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑂𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥ ⇔ 𝑂𝑀  cos2 A  cos B  cos 2C  2(cos A.cos B.cos C  cos A.cos B.cos C  cos A.c osB.cosC)   cos2 A  cos2 B  cos2C  6cos A.cos B.cos C Ta được điều phải chứng minh Từ bất đẳng thức (*) suy ra: 6cos A.cos B.cos C 1 cos A  cos B  cos 2C Đẳng thức xảy và chỉ khi: tam giác ABC đều Ví dụ 16: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: cos2 A  cos2B  cos2C   SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 31 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngô Thị Bích Thủy Phân tích: Để sử dụng được các tính chất của vectơ vào bài toán này thì phải sử dụng công thức nào đó có chứa vectơ và có chứa hàm số cos Vì vậy, ta sẽ sử dụng tích vô hướng của hai vectơ, đó là: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ | cos(𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 𝑂𝐴 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ | cos(𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵 𝑂𝐶 = |𝑂𝐵 𝑂𝐶 ) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ | cos(𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 𝑂𝐴 Và đó, nếu ta gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì ⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ | Từ đó, ta nghĩ tới việc dùng tính chất (1) để chứng 𝑅 = |𝑂𝐴 minh Giải: Gọi O, R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐶 ) = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴2 + 𝑂𝐵 𝑂𝐶 + 2(𝑂𝐴 𝑂𝐶 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴) (𝑂𝐴 ≥ ⇔ 3𝑅2 + 2𝑅2 (cos 2𝐴 + cos 2𝐵 + cos 2𝐶) ≥ ⇔ cos 2𝐴 + cos 2𝐵 + cos 2𝐶 ≥ −3 Suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy tam giác ABC đều + Sử dụng tính chất (2) hoặc (3): Ta thường sử dụng bất đẳng thức vectơ này gặp các bài toán chứng minh bất đẳng thức có chứa tổng của các bậc hai mà biểu thức dấu bậc hai có thể đưa về tổng của các bình phương SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 32 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy Ví dụ 17: Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức: A  a2  a   a2  a  (a ) Phân tích: Bài toán này nếu đơn thuần chỉ sử dụng bất đẳng thức và đánh giá thông thường thì sẽ rất khó đối với học sinh, vì bài toán có hai bậc hai nên việc biến đổi sẽ không đơn giản Nhưng nếu chú ý các đối tượng bài toán và biết khai thác tính chất (2) thì bài toán trở nên dễ dàng Có thể biến đổi theo hướng sau: biểu thức bậc hai có thể biến đổi thành tổng các bình phương 2 2 1  3  1   3 2 a  a 1 a      và a  a     a     Từ đó, ta có 2 2         thể đặt: √3 );𝑣 2 𝑢 ⃗ = (𝑎 + ; = ( − 𝑎; √3 ), đến đã có thể sử dụng tính chất (2) để đánh giá biểu thức A Giải: 2 1  3  1   3 A  a         a    2    2    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đặt: √3 √3 𝑢 ⃗ = (𝑎 + ; ) ; 𝑣 = ( − 𝑎; ) 2 2 Áp dụng tính chất (2), ta có: 2 2 1  3  1   3 u  v  a         a     u v 2 2    2     A  a  a   a  a   SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 33 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngô Thị Bích Thủy Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng tại a  Ví dụ 18: Tìm GTNN của biểu thức: x  xy  y  y  yz  z  z  zx  x P với x, y, z  x yz Phân tích Vì vai trò của x, y, z là nên ta có thể dự đoán P đạt GTNN là x  y  z Do đó, ta sẽ chứng minh: x2  xy  y  y  xy  z  z  xy  x2  3( x  y  z ) Giải: Ta sẽ chứng minh Bất đẳng thức: x2  xy  y  y  xy  z  z  xy  x2  3( x  y  z ) với x, y, z  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta đặt:    y  x  z  𝑢 ⃗ = x  ; ⃗⃗ =  z  ; y  ; 𝑣 = y  ; x ; z ; 𝑤 2 2 2       Từ tính chất |𝑢 ⃗ | + |𝑣| + |𝑤 ⃗⃗ | ≥ |𝑢 ⃗ +𝑣+𝑤 ⃗⃗ | , ta có: 2 2 y   z   x      u  v  w  x   y   y     z  z     x 2   2   2       u v w  2  x  y  z   x  y  z  3x  y  z 4 Suy ra: đpcm Như vậy, P  SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 34 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngô Thị Bích Thủy Đẳng thức xảy x  y  z Bài tập áp dụng: Chứng minh rằng với mọi x ta có: 2sin x   2sin x  2 sinx   17 Cho a, b, c  và ab  bc  ca  abc Chứng minh rằng: b  2a c  2b2 a  2c   3 ab bc ca 2.3.5 Sử dụng phương pháp lượng giác hóa Phương pháp chung: Việc lựa chọn phương pháp lượng giác hóa cho bài toán chứng minh bất đẳng thức được xác định thông qua các dấu hiệu đặc biệt của các biến có mặt bất đẳng thức và các dấu hiệu đó lại được xác định thông qua miền giá trị của chúng cùng với các công thức lượng giác thông thường Ta có các dấu hiệu: 1) Nếu có điều kiện của biến x là x  a(a  0) , ta có thể đặt: −𝜋 𝜋 x  a.sin t với 𝑡 ∈ [ ; ] hoặc 𝑥 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑡, với 𝑡 ∈ [0; 𝜋] * Trong trường hợp riêng: - Nếu ≤ 𝑥 ≤ 𝑎, ta có thể đặt: 𝜋 𝜋 x  a.sin t , với 𝑡 ∈ [0; ] hoặc 𝑥 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑡, với 𝑡 ∈ [0; ] -Nếu −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 0, ta có thể đặt: −𝜋 𝜋 x  a.sin t , với 𝑡 ∈ [ ; 0] hoặc 𝑥 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑡, với 𝑡 ∈ [ ; 𝜋] SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 35 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngô Thị Bích Thủy 1) Nếu có điều kiện của biến x là |𝑥| ≥ 𝑎 (𝑎 ≥ 0), ta có thể đặt: x a a −𝜋 𝜋 , với 𝑡 ∈ [ ; ] , 𝑡 ≠ 0, hoặc x  sint cost 2) Nếu biến 𝑥 ∈ 𝑅, ta có thể đặt: −𝜋 𝜋 x  tan t , với 𝑡 ∈ ( ; ), hoặc x  cot t , với 𝑡 ∈ (0; 𝜋) 2 *Trong trường hợp riêng: -Nếu 𝑥 ≥ 0, ta có thể đặt: 𝜋 𝜋 x  tan t , với 𝑡 ∈ [0; ), hoặc x  cot t , với 𝑡 ∈ (0; ] 2 - Nếu 𝑥 ≤ 0, ta có thể đặt: 𝜋 𝜋 x  tan t , với 𝑡 ∈ (− ; 0], hoặc x  cot t , với 𝑡 ∈ [ ; 0) 2 3) Nếu hai biến x, y thỏa mãn điều kiện a x  b2 y  c , với a, b, c> 0, ta được: 2  ax   by       1  c   c  Đặt c.sin t  ax   c  sin t  x  a  , với t   0;2   by c cos t   cos t y   c  b Trong trường hợp này nếu cần sử dụng tới dấu của x và y ta có thể giới hạn t, ví dụ: nếu có x, y>0 thì  t   Các biểu thức thường được lượng giác hóa: SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 36 Khóa luận tốt nghiệp Biểu thức GVHD: Th.s Ngô Thị Bích Thủy Cách lượng giác hóa biểu thức a2  x2     x  a sin t ,  t    x  a cos t ,0  t   x2  a2  a     ,t   ;  ,t    2  sin t  a  , t  0; , t    cost a2  x2    x  a tan t ,  t   2   x  a cos t ,0  t   ax hoặc ax ax ax ( x  a)(b  x) ab  ab x  a.cos2t x  a  (b  a).sin t a  tan      ;  ,  ,    2 b  tan    Ví dụ 19: Chứng minh rằng: a2    a Phân tích Điều kiện: a    a  Chúng ta có thể lượng giác hóa bất đẳng thức cần chứng minh bằng cách đặt: a 1   hoặc a  , với   0;  cos sin   2 Giải: Điều kiện: a2    a  SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 37 Khóa luận tốt nghiệp Đặt: a GVHD: Th.s Ngô Thị Bích Thủy cos với   0;     Khi đó bất đẳng thức được biến đổi về dạng: 2 1    tan    cos  cos cos    sin   3.cos   sin   cos   sin      2 3  Dấu “=” xảy và chỉ khi:      sin           k 2    3  2 a a 3 Ví dụ 20: Cho các số thực a, b thỏa mãn: 4a2  9b2  25 Chứng minh rằng: 6a  12b  25 Phân tích 2  2a   3b  Biến đổi biểu thức điều kiện về dạng:          5 2a   sin   a  sin    Từ đó ta sử dụng ẩn phụ:   b cos  b  cos   Giải: 2  2a   3b  Biến đổi giả thiết về dạng:          5 SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 38 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngô Thị Bích Thủy 2a   sin   a  sin     Đặt:  ,    0;2   b cos  b  cos    Khi đó: Bất đẳng thức được biến đổi về dạng: 15sin   20cos  25  3sin   4cos   sin   cos  5 Đến bài toán đã được chứng minh Ví dụ 21: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất y   x6 1  x  Giải: Đặt: x  tan  Khi đó: sin  sin  1   tan x  tan   tan  c os  cos4 y   1  tan x  1  tan   cos4  cos4  sin  cos2  sin    sin   cos2   3sin  cos 2   sin 2 Vì  sin 2  Nên  y  SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 39 Khóa luận tốt nghiệp Vậy y = GVHD: Th.s Ngô Thị Bích Thủy  và chỉ khi: sin   cos2     k  Max y = và chỉ khi: sin 2     k Bài tập áp dụng: Tìm GTLN, GTNN của y   x6 1  x  Cho x, y > và x + y = Chứng minh:     17 x    y    x   y   SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 40 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngô Thị Bích Thủy KẾT LUẬN Qua quá trình thực hiện đề tài này, đã rút một số kết luận sau: Chuyên đề đã hệ thống được các phương pháp thường gặp chương trình THPT để giải quyết bài toán : “Tìm GTLN, GTNN của biểu thức” Luận văn đã phân tích được các ưu, nhược điểm của từng phương pháp giải bài toán : “Tìm GTLN, GTNN của biểu thức” cũng đã khai thác được một số ứng dụng mới của các phương pháp quen thuộc Những ví dụ đã nêu đề tài ngoài việc minh họa cho phương pháp còn góp phần cung cấp cho học sinh một số kinh nghiệm để ứng dụng linh hoạt các phương pháp khác thực tế giải toán, từ đó khơi gợi sự hứng thú của học sinh với dạng toán “Tìm GTLN, GTNN của biểu thức” Do thời gian hạn chế nên quá trình làm khóa luận không thể tránh khỏi các thiếu sót Tôi xin chân thành cảm ơn sự đóng góp ý kiến của các bạn đọc để khóa luận hoàn thiện SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 41 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngô Thị Bích Thủy TÀI LIỆU THAM KHẢO Tạp chí Toán học và tuổi trẻ – Nhà xuất bản Giáo dục Đề thi và đáp án tuyển sinh Đại hoc – Cao đẳng các năm của Bộ Giáo dục Giáo trình “Phương pháp dạy – học toán”, Trần Khánh Hưng (1998), Nhà xuất bản Giáo dục “Sử dụng phương pháp Cauchy – Schwarz để chứng minh bất đẳng thức”, Võ Quốc Bá Cẩn – Trần Quốc Anh (2014), NXB Đại học Sư phạm “Bất đẳng thức và bài toán min-max”, Nguyễn Phú Khánh (quý II, năm 2013), NXB Đại học Sư phạm “Phương pháp chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số”, Ths Lê Hồng Phong cùng tập thể giáo viên trường quốc tế Newton-Hà Nội (2010), NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Sách giáo khoa Giải tích lớp 12 “Hướng dẫn học sinh tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng phương pháp đạo hàm”, Bùi Tuấn Anh (2010-2011), trường THPT Yên Thủy C, Hòa Bình Sáng kiến kinh nghiệm: “ Sử dụng vectơ chứng minh bất đẳng thức”, Bùi Đình Tùng (2015), trường THPT Trần Quang Khải, Đăk Lăk SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 42 ... phương pháp giúp học sinh giải tốt các toán Giá trị lớn nhất Giá trị nhỏ nhất? ?? nhằm nâng cao lực dạy học các bài toán về GTLN & GTNN chương trình toán THPT Mục tiêu đề tài... luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngô Thị Bích Thủy Đưa các dạng toán về (GTLN & GTNN) cùng với một số phương pháp giúp học sinh phân tích, giải quyết các bài toán này một cách... kiến của các giáo viên và học sinh THPT và thấy học sinh thường lúng túng giải quyết các bài toán về (GTLN & GTNN) vì các em không nắm rõ được các dạng, các phương pháp