Một vài bài toán về điều khiển tối ưu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN −−− −−− LÊ THỊ VY MỘT VÀI BÀI TOÁN VỀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHÍNH QUY Chuyên ngành: Cử Nhân Toán Ứng Dụng Người hướng dẫn: Th.S NGUYỄN HOÀNG THÀNH Đà Nẵng, ngày tháng năm 2015 Mục lục LỜI NÓI ĐẦU KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Đại số tuyến tính 1.2 Giải tích thực 1.2.1 Không gian metric 1.2.2 Không gian Banach 1.2.3 Không gian Hilbert 10 1.2.4 Tốn tử tuyến tính 11 1.2.5 Phiếm hàm tuyến tính 1.2.6 Tốn tử liên hợp 12 1.2.7 Giải tích lồi 13 1.2.8 Toán tử nửa nhóm liên tục 15 1.3 11 Phương trình vi phân 16 GIỚI THIỆU VỀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU 24 2.1 Khái niệm đối tượng bị điều khiển 24 2.2 Đặt toán điều khiển điều khiển tối ưu 25 2.3 Phân loại toán điều khiển tối ưu 28 2.4 Bài toán quy hoạch động 29 2.5 Nguyên lý cực đại Pontriagin 37 CÁC BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU ĐẶC BIỆT 3.1 49 Bài tốn tối ưu tồn phương 49 −2− 3.2 Bài toán tối ưu tác động nhanh 52 3.3 Bài toán tối ưu đẳng chu 56 3.4 Phương pháp tính điều khiển tối ưu 58 KẾT LUẬN 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO 63 −3− LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết điều khiển tối ưu xuất từ năm 50 kỷ hai mươi với loạt cơng trình tiêu biểu nhà toán học Nga, đứng đầu L.C.Pontriagin nguyên lý cực tìm điều kiện cần trình tối ưu Phát triển từ tốn tối ưu hóa cổ điển tốn biến phân, toán quy hoạch động, Bài toán điều khiển tối ưu tốn tìm q trình tối ưu cho hệ điều khiển mơ tả phương trình tốn học Khóa luận gồm chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức sở đại số tuyến tính, giải tích thực phương trình vi phân Chương 2: Giới thiệu số tốn điều khiển tối ưu Chương 3: Trình bày số toán điều khiển tối ưu đặc biệt Em xin chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn Th.S Nguyễn Hoàng Thành, giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu hướng dẫn em suốt trình thực đề tài giúp em thu nhiều kiến thức bổ ích trình hồn thành đề tài Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn đến thầy khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng tạo điều kiện giúp đỡ em hồn thành khóa luận Đà Nẵng, ngày tháng năm 2016 Sinh viên −4− Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Đại số tuyến tính Ma trận A=[aij ], i=1,2, ,m; j=1,2, n, với số thực aij ∈ R có m hàng n cột, gọi ma trận (n x m) chiều A ma trận chuyển vị A cách hoán vị hàng thành cột cột thành hàng Khi A ma trận (n x m) chiều A (m x n) chiều Cho hệ thống n vectơ {a1 , a2 , , an }, ∈ Rn Hệ thống gọi độc lập tuyến tính từ λ1 a1 + λ2 a2 + + λn an = 0, λi ∈ R, i = 1, 2, , n (1.1) suy λ1 = λ2 = = λn = Ngược lại có vectơ {λ1 , λ2 , , λn } = cho (1.1) thỏa mãn hệ gọi phụ thuộc tuyến tính Hạng ma trận A-(n x m) chiều ký hiệu rank A xác định số cực đại số hàng (hoặc cột) ma trận độc lập tuyến tính Ma trận A-(n x n) không suy biến det A= hay rank A=n Vectơ v ∈ Rn , v = gọi vectơ riêng ma trận A-(n x n) chiều có số λ (có thể số thực phức) cho Av=λv Số λ gọi giá trị riêng A ứng với vectơ riêng v, tập giá trị riêng A ký hiệu λ(A) Các giá trị riêng A xác định nghiệm phương trình đa thức đặc trưng A −5− det(λI − A) = hay p(λ) = λn + a1 λn−1 + a2 λn−2 + + an−1 λ + an = Định lý 1.1 (Cayley-Hamilton) Mọi ma trận A-(n × n) chiều nghiệm đa thức đặc trưng p(A) = An + a1 An−1 + + an−1 A + an I = Định lý 1.2 (Jordan) Mọi ma trận A-(n × n) chiều đưa dạng Jordan sau phép biến đổi ma trận không suy   λk j1    0  j     A → P AP −1 =  , Jk =        0  0 jr biến P bk  0 λk 0     , bk =0,  λk bk   λk Jk = [λk ], k = 1, 2, , r, [λk ] ký hiệu ma trận vuông chéo với phần tử đường chéo λk λ1 , λ2 , , λk giá trị riêng A Nếu bội λk m số chiều Jk (m × m) Cho ma trận A-(n × n) chiều, A = [aij ], i, j = 1, 2, , n Chuẩn n 1/2 n |aij |2 ma trận A xác định A = i=1 j=1 Cho hàm số đa thức tùy ý bậc n n ck λk , f (λ) = (1.2) k=0 n = ∞ chuỗi giả thiết hội tụ Hàm ma trận A n xác định f (A) = ck A k , k=0 An A A2 + + + + Ví dụ, f (λ) = e , ta có e = + 1! 2! n! λ A −6− Định lý 1.3 (Công thức Sylvester) Cho A ma trận (n × n) chiều với giá trị riêng λ1 , λ2 , , λn khác Cho f (λ) hàm đa thức bậc n dạng (1.2) Khi n f (A) = Zk f (λk) , Zk xác định k=1 Zk = (A − λ1 I)(A − λ2 I) (A − λk−1 I)(A − λk+1 I) (A − λn I) (λk − λ1 )(λk − λ2 ) (λk − λk−1 )(λk − λk+1 ) (λk − λn ) n (A − λj I)(λk − λj ) = j=1 j=k Ma trận A gọi xác định dương (i) Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn (ii) Ax, x > 0, x = 0, x, y ký hiệu tích vơ hướng hai vectơ n x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) xác định x, y = xi yi i=1 Nếu A = A , A gọi ma trận đối xứng Ta ln có AA ma trận đối xứng (AB) = B A Nếu A không suy biến, tức det A =0, tồn ma trận ngược A−1 : I = A−1 A = AA−1 Nếu A ma trận xác định dương ln tồn ma trận ngược A−1 ta có khẳng định sau Định lý 1.4 Các điều kiện sau tương đương (i) A ma trận xác định dương (ii) ∃c > 0, Ax, x ≥ c x , ∀ ∈ Rn Định lý 1.5 (Sylvester conditions) Ma trận A-(n × n) xác định dương  det Di > 0, i =1, 2, , n   a11 a12 a13  a11 a12  , D3 =  D1 = a11 , D2 =  a21 a22 a23 ,   a21 a22 a31 a32 a33 −7− 1.2 1.2.1 Giải tích thực Khơng gian metric X gọi khơng gian metric tồn hàm không âm hai biến ρ(x, y): X x X → R+ , gọi metric, thỏa mãn điều kiện sau (i) ρ(x, y) = x=y (ii) ρ(x, y) = ρ(y, x) (iii) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) Dãy {xn } gọi dãy Cauchy với tùy ý α > 0, tồn số nguyên N > cho với n, m > N ρ(xn , xm ) < α Khơng gian metric (X, ρ) gọi đầy đủ dãy Cauchy hội tụ X Lân cận điểm y ∈ X xác định Vα (y) = x ∈ X : ρ(x, y) < α α>0 gọi bán kính lân cận Điểm x gọi điểm tụ tập M ⊂ X lân cận x có phần tử M \ x Tập M ⊂ X đóng M chứa điểm tụ Tập M mở phần bù X \ M đóng Bao đóng M hợp M tập tất điểm tụ M ký hiệu cl M hay M Điểm x ∈ M gọi điểm thuộc phần tập M tồn lân cận V (x), > cho V (x) ⊂ M (ký hiệu x ∈ int M ) M ⊂ X gọi không đâu trù mật int M = ∅ Tập M thuộc phạm trù hai khơng hợp đếm tập không đâu trù mật Định lý 1.6 (Định lý phạm trù Baire) Một không gian metric đầy đủ thuộc phạm trù hai, tức là, X n Mi int M10 = ∅ với i0 ≥ khơng gian metric đầy đủ X = i=1 −8− 1.2.2 Không gian Banach Không gian X gọi khơng gian tuyến tính xác định phép toán cộng phần tử x + y phép nhân phần tử với số a (thực phức) ax thỏa mãn tính chất sau (i) (x + y) + z = x + (y + z) (ii) x + y = y + x, 1.x = x (iii) a(bx) = (ab)x, a(x + y) = ax + ay, (a + b)x = ax + bx Không gian Banach X khơng gian metric tuyến tính đầy đủ (X,ρ), metric ρ(.) thỏa mãn (i) ρ(x, y) = ρ(x − y, 0) (ii) ρ(αx, 0) = |α|ρ(x, 0), ∀α ∈ R (hoặc C), x ∈ X ρ(x, 0) thường gọi chuẩn x ký hiệu x = ρ(x, 0) Tập M không gian Banach X gọi giới nội tồn số a > cho x ≤ a, ∀x ∈ M M gọi tập compact không gian Banach X với dãy {xn } ⊂ M trích dãy hội tụ tới x0 ∈ M Trường hợp X khơng gian hữu hạn chiều, M compact đóng giới nội Tập M ⊂ X gọi tập lồi với x, y ∈ M λ ∈ [0, 1] λx + (1 − λ)y ∈ M Ánh xạ f(x): X → Y gọi liên tục x0 với > tồn δ > cho ρ(f (x), f (x0 )) < với x ∈ Vδ (x0 ) Định lý 1.7 (Định lý điểm bất động) (i) Cho X không gian Banach, f(x): X → X ánh xạ liên tục Nếu f(M) ⊂ M M tập lồi compact tồn x ∈ M cho f (x) = x (ii) Cho X không gian metric đầy đủ, f (.) : X → X ánh xạ co, tức là, tồn số K ∈ (0, 1) cho với x1 , x2 ∈ X ρ(f (x1 ), f (x2 )) ≤ Kρ(x1 , x2 ), có phần tử x0 ∈ X , cho f (x0 ) = x0 (Nguyên lý ánh xạ co) −9− 1.2.3 Không gian Hilbert Nếu X khơng gian Banach trang bị hàm tích vơ hướng , : X x X → R thỏa mãn (i) x, y = y, x (ii) x1 + x2 , y = x1 , y + x2 , y (iii) λx, y = λ x, y (iv) x, x ≥ 0, x, x = x=0 x = x, x X gọi khơng gian Hilbert Các khơng gian Hilbert thường dùng chương sau không ∞ gian l2 - không gian tất dãy số {an } cho |αn |2 < +∞, n=1 không gian Lp ([0, T ], X), ≤ p < +∞ - không gian tất hàm x(t) ∈ Lp ([0, T ], X) cho T p x(t) = x(t) dt p < +∞ Cho X khơng gian Hilbert với tích vơ hướng x, y thỏa mãn tính chất sau (i) x, y = với x ∈ X suy y=0 (ii) | x, y | = x (iii) x + y y (Bất đẳng thức Schwras) + x−y =2 x +2 y Định lý 1.8 (Định lý Arzela-Ascoli) Cho X không gian compact C(X) không gian hàm số f:X→ R liên tục Giả sử họ hàm {fn }=A C(X) thỏa mãn điều kiện (i) fn (x) giới nội đều, sup sup |fn (x)| < +∞ n≥1 x∈X (ii) {fn } liên tục X theo nghĩa với x0 ∈ X số δ > cho x − x0 < δ |fn (x) − fn (x0 )| < f ∈ A Khi cl A tập compact C(X) − 10 − > 0, tồn với Chương CÁC BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU ĐẶC BIỆT 3.1 Bài tốn tối ưu tồn phương Bài tốn tối ưu tồn phương tuyến tính tốn điều khiển tối ưu cho hệ tuyến tính   x˙ = Ax + Bu, t ∈ [0, T ] (3.1)  x(0) = x0 ∈ Rn , u ∈ Rm với hàm mục tiêu dạng toàn phương T J(u) = Qx, x + Ru, u dt + P0 x(T ), x(T ) −→ (3.2) P0 , Q, R ma trận đối xứng, không âm R xác định dương Xét lớp hàm điều khiển u(.) ∈ U1Ω , Ω = Rm Từ nguyên lý cực đại, tốn tối ưu (3.1), (3.2) ta có f (x, u) = Qx, x + Ru, u f (x, u) = Ax + Bu − 49 − h(x(T )) = P0 x(T ), x(T ) H(p, x, u) = p, Ax + Bu + Qx, x + Ru, u Hệ liên hợp   p(t) ˙ = −A p(t) − 2Qx  p(T ) = 2P0 x(T ) u ∈ Rm nên điều khiển tối ưu (xo (t), uo (t)) xác định từ biểu thức ∂H = 0, cho ta ∂u u∗ (t) = − R−1 B po (t) Thay điều khiển u*(t) vào phương trình (3.1) ta có (3.3) d ∗ x (t) = Ax∗ (t) − BR−1 B p∗ (t) dt Kết hợp với (3.3) trình tối ưu u*(t), x*(t) tìm từ nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính   x˙ ∗  p˙∗ = Ax∗ − BR−1 B p∗ , x(0) = x0 ∗ = −2Qx − A p∗ , p∗ (T ) = 2P0 x(T ) (3.4) Ví  dụ 3.1 Xét tốn tối ưu tồn phương sau  x˙ = ax + u  x(0) = x ∈ R, u ∈ R T x2 + u2 dt −→ với hàm mục tiêu J(u) = Vì hàm mục tiêu ví dụ có dạng tồn phương nên ta sử dụng tốn tối ưu tồn phương để giải Ta có: A = a, B = 1, Q = R = 1, P0 = Hệ phương trình liên hợp − 50 −   p(t) ˙ = −p∗ − 2x  p(T ) = Ta có H(p, x, u) = pax + pu + x2 + u2 Vì u ∈ R nên điều diện tối ưu x0 (t), u0 (t) xác định từ biểu thức ∂H −1 = ⇒ p + 2u = ⇔ u = p ∂u Quá trình tối ưu u∗ (t), x∗ (t) tìm từ nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính:   x˙ ∗ = ax∗ − p∗ , x(0) = x0 , t ∈ [0, T ]  ∗ ∗ p˙ = −2x − ap∗ , p(T ) =   −1 a   ⇒ Ma trận A =  −2 −a Giá trị riêng λ nghiệm |A − λIn | = √ √ ⇔ λ1 = a2 + λ2 = − a2 +1  ; √ Từ ta hai vectơ riêng  a + a2 +     √ a − a2 +  √ √  x˙ ∗ = C1 et a2 +1 + C2 e−t a2 +1 ⇒ √ √ √ √  p˙∗ = C1 et a2 +1 a − a2 + + C2 e−t a2 +1 a + a2 +   p(T ˙ ) =0 Từ hai điều kiện kiên ta xác định C1 C2 sau  x(0) ˙ = x0  √ √  a + a2 +   √ C2 C1 = −e2T a +1 a − a2√+ √   −2T a2 +1 a + √a +  C = − e  a − a2 + Lời giải tốn tối ưu tồn phương (3.1), (3.2) ln gắn liền với nghiệm phương trình ma trận Riccati − 51 −   P˙ = Q + P A + A P − P BR−1 B P, t ≥ (3.5)  P (0) = P0 bổ đề sau Bổ đề 3.1 Nếu hàm ma trận P(t), t ≥ nghiệm phương trình Riccati (3.5) nghiệm tối ưu (u*(t), x*(t)) tốn tối ưu (3.1), (3.2) thỏa mãn u∗ (t) = −R−1 B P (T − t)x∗ (t) 3.2 d o x (t) = [A − BR−1 B P (T − t)]xo (t), xo (0) = x0 dt Bài toán tối ưu tác động nhanh Cho hệ chuyển động mô tả hệ phương trình vi phân tuyến tính   x(t) ˙ = Ax + Bu, t ≥ (3.6)  x(0) = x0 , x ∈ Rn , u ∈ Rm Ta có tốn điều khiển tối ưu hệ (3.6) với hàm mục tiêu t dt = t −→ J(u) = (3.7) Xét toán tối ưu tuyến tính tác động nhanh (3.6), (3.7) Giả sử với hai trạng thái x0 , x1 cho trước ln có điều Ω khiển chấp nhận u(t) ∈ U(0,∞) thời gian T>0 cho nghiệm tương ứng x(t) hệ (3.6) thỏa mãn điều kiện x(0) = x0 , x(T ) = x1 nghĩa hệ chuyển từ trạng thái x0 tới x1 thời gian T>0 Như vậy, tất điều khiển ta phải chọn điều khiển chấp nhận để thời gian T chuyển từ x0 x1 tối thiểu − 52 − Giả sử Ω tập lồi compact Rn , giả sử u*(t) Định lý 3.1 điều khiển tối ưu với thời gian tối thiểu T > Khi đó, có vectơ λ ∈ Rn , λ = cho max B p(t), v = B p(t), u∗ (t) , ∀t ∈ [0, T ] v∈Ω p(t) nghiệm phương trình liên hợp   p(t) ˙ = −A p(t), t ∈ [0, T ]  p(T ) = λ (3.8) (3.9) Nhận xét • Để giải tốn tối ưu (3.6), (3.7) ta phải giả thiết tính điều khiển hệ (3.6), hệ điều khiển từ trạng thái x0 tới x1 sau thời gian hữu hạn điều khiển chấp nhận Bài tốn điều khiển giải hồn tồn tiêu chuẩn Kalman • Ngun lý cực đại (3.8) phụ thuộc vào tập hạn chế điều khiển tập compact Ω nhân tử λ ∈ Rn , λ = Nghiệm p(t) phương trình liên hợp lúc ln tồn với điều kiện biên p(T ) = λ Khi điều khiển u*(t) tìm dựa vào từ biểu thức cực đại (3.8) Ω tập lồi compact biểu thức hàm tối ưu hóa tuyến tính Chứng minh Xét nghiệm x(t) tùy ý hệ (3.6) với u(t)∈ UtΩ cho t x(t) = S(t)x0 + S(t)S −1 (s) B u(s)ds Xác định tập đạt từ hệ (3.6) sau thời gian t>0 sau t R(t) = x= S(t)S −1 (s) B u(s)ds, ∀u(.) ∈ UtΩ − 53 − Tính chất a Với t, R(t) tập lồi, compact Rn Vì Ω tập lồi, compact, UtΩ tập lồi compact yếu, tập đạt R(t) ảnh tập lồi, compact yếu qua ánh xạ tuyến tính Lt : UtΩ −→ Rn t R(t) = ImLt , Lt = S(t)S −1 (s)Bds giới nội đóng Rn nên compact b R(t) : [0, T ] → Rn ánh xạ đa trị đóng theo nghĩa xn ∈ R(tn ), xn → x0 , tn → t0 x0 ∈ R(t0 ) Thật vậy, ta có dãy un (t) ∈ UtΩ cho tn xn = S(tn )S −1 (s) B un (s)ds Vì UtΩ tập compact yếu L2 [0, ∞), Rm nên tìm dãy unk (.) ∈ UtΩ hội tụ yếu đến u0 (.) ∈ L2 [0, ∞), Rm , ta có t ni xnk = S(tni )S −1 (s) B unk (s)ds Cho i → +∞ ta t0 x0 = S(t0 )S −1 (s) B u0 (s)ds x0 ∈ R(t0 ) c Đặt a(t)=x1 − S(t)x0 Nếu a(t0 ) ∈ int R(t0 ) có số > cho a(t)∈ R(t) với t ∈ [t0 − , t0 ] Thật điều sai có dãy {tn } → t0 n → ∞ cho a(tn ) → a(t0 )và a(tn ) ∈ / R(tn ) Vì R(tn ) tập compact, theo định lý tách tập lồi (định lý 1.13) với n có vectơ pn ∈ Rn , pn = cho pn , x − a(tn ) ≤ 0, ∀x ∈ R(tn ) − 54 − Do có dãy pnk → p0 , p0 = cho pnk , n − a(tnk ) ≤ 0, ∀x ∈ R(tnk ) tính đóng R(t), cho k → +∞ ta p0 , x − a(t0 ) ≤ 0, ∀x ∈ R(t0 ) (3.10) Nhưng theo giả thiết a(t0 ) ∈ int R(t0 ), hay là, int (x(t0 ) − R(t0 )) = φ Khi bất đẳng thức (3.10) cho ta p0 = 0, mâu thuẫn với tồn p0 = d a(T ) ∈ / int R(T ): Thật vậy, a(T ) ∈ int R(T ) theo khẳng định (c.) có số > cho a(t) ∈ R(t) với t ∈ [T − , T ] Từ suy ∃t1 < T : a(t1 ) ∈ R(t1 ) Điều mâu thuẫn với giả thiết thời gian T tối thiểu Theo khẳng định (d.), a(T ) ∈ / int R(T ) Vì R(T ) tập lồi compact, áp dụng định lý tách tập lồi (Định lý 1.13), có vectơ λ ∈ Rn , λ = cho λ, a(T ) − x ≥ 0, ∀x ∈ R(T ) Khi theo định nghĩa đạt R(T ), ta có T S(T )S −1 (t) Bu∗ (t) − Bu(t) dt, λ Ω ≥ 0, ∀u(.) ∈ U[0,T ] Vì S(T) khơng suy biến, nên từ bất đẳng thức suy T Ω S −1 (t) Bu∗ (t) − Bu(t) , λ dt ≥ 0, ∀u(.) ∈ U[0,T ] T ⇔ Ω S −1 (t)λ, Bu∗ (t) − Bu(t) dt ≥ 0, ∀u(.) ∈ U[0,T ] − 55 − Đặt S −1 (t)λ = p(t), kiểm tra p(t) nghiệm phương trình liên hợp (3.9) với P (T ) = λ (Định lý 1.20) Ω Với u(.) ∈ U[0,T ] ta có T B p(t), u∗ (t) − B p(t), u(t) dt ≥ 0 B p(t), u∗ (t) ≥ B p(t), u(t) , ∀u ∈ Ω Từ suy biểu thức cực đại (3.8) Định lý chứng minh 3.3 Bài toán tối ưu đẳng chu Bài toán đẳng chu đặt sau Xét hệ điều khiển   x˙ = f (x, u), t ∈ [0, T ] (3.11)  x(0) = x0 , x ∈ Rn , u ∈ Rm Cho trước vectơ β ∈ Rk , phiếm hàm mục tiêu T f (x, u)dt J(u) = (3.12) hàm g(x,u):Rn x Rm → Rk Hãy tìm điều khiển chấp nhận Ω u(.) ∈ U[0,T ] chuyển trạng thái x0 trạng thái x1 hệ (3.11) thỏa mãn điều kiện T g(x, u)dt = β (3.13) cho phiếm hàm (3.12) đạt giá trị nhỏ Như vậy, đặc thù toán đẳng chu khác với toán tối ưu nêu phần trước chỗ có thêm ràng buộc (3.13), ràng buộc mà ta ghép vào ràng buộc trạng thái điều khiển sau đưa toán tối ưu để sử dụng nguyên lý cực đại Pontriagin − 56 − Ở dùng phương pháp ghép thêm biến phụ để đưa tốn tối ưu khơng gian Rn+1 Xét hệ phương trình Rk sau   y˙ = g(x, u), t ∈ [0, T ] (3.14)  y(0) = Vì vế phải (3.14) khơng có biến trạng thái y(.) nên ln tìm nghiệm dạng tích phân t y(t) = g(x, u)dt Kết hợp với (3.13) ta có y(T ) = β Như vậy, xét không gian pha Rn+k biến trạng thái (x, y) mô tả quy luật (3.11) (3.14) Tìm n+k Ω điều khiển chấp nhận u(.) ∈ U[0,T ] đưa trạng thái (x0 , 0) ∈ R (0,0) làm cho phiếm hàm (3.12) đạt giá trị nhỏ Đó tốn tối ưu thơng thường với đầu mút cố định, ta áp dụng nguyên lý cực đại Ta có định lý sau nghiệm Định lý 3.2 Giả sử (x∗ (t), u∗ (t)) q trình tối ưu tốn đẳng chu (3.11), (3.12), (3.13) Khi tồn số λ0 ≤ 0, λ1 , , λk không đồng thời hàm vectơ p(t) ∈ Rn , p(t) = thỏa mãn phương trình liên hợp n p˙i (t) = − i=1 ∂fi (x∗ , u∗ ) pi (t) − ∂xi k i=1 ∂gi (x∗ , u∗ ) λi ∂xi cho biểu thức cực đại sau thỏa mãn với t ∈ [0, T ]: max H(p(t), x∗ (t), u) = H(p(t), x∗ (t), u∗ (t)) u∈Ω n H(p, x, u) = k pi (t)fi (x, u) + i=0 λi gi (x, u) i=1 − 57 − 3.4 Phương pháp tính điều khiển tối ưu Xét toán điều khiển tối ưu sau x˙ = f (x, u), t ∈ [0, T ] (3.15) Ω với x(0) = x0 , u(t) ∈ U[0,T ], Ω tập mở Rn , với hàm mục tiêu T f (x, u)dt + h(x(T )) −→ J(u) = (3.16) Xác định hàm Haminton H(p, x, u) = f (x, u) + p, f (x, u) Khi q trình tối ưu (x*,u*) toán tối ưu thỏa mãn nguyên lý cực đại H(p∗ (t), x∗ (t), u∗ (t)) = max H(p∗ (t), x∗ (t), u), t ∈ [0, T ] u∈Ω (3.17) p*(t) thỏa mãn phương trình liên hợp      p˙∗ (t) ∂f (x∗ , u∗ ) ∂f (x∗ , u∗ ) − = ∂x ∂x   ∂h(x(T ))   p∗ (T ) = ∂x p∗ (t) (3.18) Sử dụng điều kiện cần trên, có thuật tốn bước lặp sau để tính điều khiển tối ưu u*(t) • Thuật tốn thứ Ω Bước Cho u1 (.) ∈ U[0,T ] đặt n=1 Bước Giải phương trình vi phân (3.15) với u(t) = un (t), cho ta nghiệm xn (t) = xn (un )t − 58 − Bước Sử dụng liệu xn , un vừa tìm được, giải phương trình liên hợp (3.18) tìm pn (t) Bước Tính vectơ pháp tuyến sau gn (t) = ∂H (xn (t), un (t), pn (t)) ∂u (3.19) Bước (i) Nếu gn (t) = un+1 (t) = un (t) − gn (t) cách chọn > đủ nhỏ cho un+1 (t) ∈ Ω J(un+1 ) ≤ J(un ) Nếu J(un+1 ) − J(un ) ≤ δ với δ > đủ nhỏ dừng lại, không đặt un = un+1 , n = n + tiếp tục vào bước (ii) Nếu gn (t) = bước n, un tối ưu J(u) (tối ưu địa phương) Sự hội tụ thuật tốn chứng minh sau Gọi un , un+1 hai điều khiển chấp nhận mà chưa phải tối ưu Cho i=n, n+1, ký hiệu xi = x(ui ), pi = p(ui ) nghiệm hệ (3.15) (3.18) Theo cách xác định hàm Hamilton H(.) có J(un+1 ) − J(un ) = h(xn+1 (T )) − h(xn (T )) + T H(t, xn+1 , pn+1 , un+1 ) − H(t, xn , pn , un ) dt+ T f (t, xn , un ), pn − f (t, xn+1 , un+1 ), pn+1 dt Giả sử hàm f(.), f (.) Lipchitz khả vi liên tục hai lần theo x, u Theo tính liên tục nghiệm theo tham số, ta kiểm tra phần tử un+1 thuộc lân cận un T J(un+1 )−J(un ) = ∂H (t, xn , pn , un ), (un+1 − un ) dt+o ∂t Ta chọn − 59 − un − un+1 ∂H (t, xn , pn , un ) ∂u Ω ∈ U[0,T ] điều khiển chấp nhận un+1 (t) = un (t) − với > đủ nhỏ cho un+1 Ta có T J(un+1 ) = J(un ) − Vậy với ∂H (t, xn , pn , un ) dt + 0( ) ∂u > đủ nhỏ ta có J(un+1 ) < J(un ) Điều chứng tỏ dãy {un } xây dựng theo thuật tốn hội tụ • Thuật tốn thứ hai Bước Cho u0 ∈ Ω đặt n=0 Bước Giải phương trình (3.15) tìm nghiệm x(t), t∈[0,T] Bước Giải phương trình liên hợp (3.18) tìm p(t) Bước Tính vectơ pháp tuyến gn (t) dùng (3.19) Bước Tính hướng Sn theo cơng thức Sn = −gn , n = 0, gn n ≥ Sn = −gn + βn Sn−1 , với βn = gn−1 Bước Thiết lập số un + n n Sn > cho ∈ Ω J(un + n Sn ) < J(un ) Bước Cập nhật điều khiển un theo công thức: un+1 = un + n Sn Bước Phép lặp thực tiếp từ bước gn (t) = J(un+1 ) − J(un ) < δ − 60 − với δ > đủ nhỏ − 61 − KẾT LUẬN Trong khóa luận em hệ thống lại số kiến thức sở giải tích thực, đại số tuyến tính, giải tích hàm phương trình vi phân Tìm hiểu khái niệm đối tượng bị điều khiển Đồng thời phân loại nêu số ví dụ toán điều khiển tối ưu Nêu nguyên lý cực đại Pontriagin cách chứng minh số toán điều khiển tối ưu − 62 − TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Boltianskii V.G Mathematical Methods of Optimal Control Moskva, Nauka, 1969 [2] Đậu Thế Cấp, Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục, 1992 [3] Hồng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003 [4] Korobov V.I and Son N.K, Controllability of linear systems with constrained control in Banach spaces Diff Equations USSR, 16 (1980), 1010 - 1012 [5] Ngơ Việt Trung, Giáo trình Đại số tuyến tính, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [6] Nguyễn Thế Hoàn, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nhà xuất Giáo dục, 2000 [7] Nguyễn Doãn Phước-Phan Xuân Minh, Điều Khiển Tối Ưu Và Bền Vững, 1998 [8] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục, 1994 [9] Phạm Kỳ Anh, Phương Pháp Số Trong Lý Thuyết Điều Khiển Tối Ưu, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội 2001 [10] Trần Đức Vân, Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 [11] Sontag, Mathematical Control Theory, 1998 [12] Vũ Ngọc Phát, Nhập mơn lý thuyết điều khiển Tốn học, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 − 63 − ... GIỚI THIỆU VỀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU 24 2.1 Khái niệm đối tượng bị điều khiển 24 2.2 Đặt toán điều khiển điều khiển tối ưu 25 2.3 Phân loại toán điều khiển tối ưu ... I Điều khiển u*(t) tìm gọi điều khiển tối ưu cho toán tối ưu, cặp (u*(t), x*(t)) gọi trình tối ưu hệ (2.1)-(2.2) 2.3 Phân loại toán điều khiển tối ưu Người ta phân loại toán điều khiển tối ưu. .. đích điều khiển tối ưu tìm tín hiệu tối ưu u∗ để hàm mục tiêu J(u) đạt giá trị cực đại cực tiểu 2.2 Đặt toán điều khiển điều khiển tối ưu Các hệ thống có đối tượng điều khiển (hay hệ điều khiển)