Khó có thể chỉ ra phương pháp chung dùng diện tích để chứng minh các đường thẳng đồng quy ở đây ta có thể nói rằng không có phương pháp diện tích thì bài toán chứng minh các đường thẳng[r]
(1)A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lời mở đầu Trong toán học nói chung hình học nói riêng, việc giải các bài toán có nhiều phương pháp khác Trong đó bài toán có nhiều phương pháp sử dụng diện tích hình phẳng để giải các bài tập hình học là phương pháp thú vị Việc sử dụng phương pháp này để giải các bài toán hình học mang ý nghĩa tổng quát và có lúc đem lại cho ta kết ngắn gọn bất ngờ Phương pháp diện tích cho phép ta hiểu sâu thêm các tiêu đề hình học, đó đáng quan tâm các tiêu đề diện tích đồng thời cho phép người đọc thấy rõ chất các vấn đề nêu Giải các bài toán phương pháp diện tích còn gây hứng thú tìm tòi cho người giải toán Bởi lẽ không phải bài toán nào có thể giải phương pháp đó Song cố gắng tìm tòi thì ta có thể khai thác nhiều vấn đề thú vị các bài toán Trong quá trình giảng dạy môn toán lớp trường THCS Vĩnh Thịnh, tôi thấy các em đã hiểu bài chưa vận dụng phương pháp diện tích để giải toán hình học Với lý đó tôi đã nghiên cứu “Một số biện pháp sử dụng phương pháp diện tích để giải bài toán hình học lớp 8” nhằm giúp HS làm tốt các bài toán hình học II Thực trạng công tác dạy học việc sử dụng phương pháp diện tích để giải các bài toán hình học lớp trường THCS Vĩnh Thịnh Thực trạng: Giáo viên: Ưu điểm: Trong trường đã có đầy đủ giáo viên dạy môn Toán có lực, nhiệt tình giảng dạy, nên HS học đầy đủ số tiết số bài, và quan tâm nhiều (2) Nhược điểm: Mặc dù các GV có tinh thần trách nhiệm cao và có trình độ, việc sử dụng phương pháp diện tích vào bài toán hình học, còn chưa tìm hiểu, nghiên cứu sâu để hướng dẫn kĩ cho HS, đặc biệt là HS khá giỏi Học sinh: Các em thích học toán và luôn xem đây là môn quan trọng Nhưng việc dùng phương pháp diện tích để giải bài toán hình học thì các em chưa nhạy bén, chưa tìm hướng làm bài nhanh và cách trình bày dễ hiểu Trong năm dạy toán Trường THCS Vĩnh Thịnh, thông qua việc tìm hiểu số lượng bài tập hình học thì các bài toán giải phương pháp diện tích trình bày quá ít Chính vì học sinh thường lúng túng đứng trước bài toán Bởi thế, để giúp học sinh giải tốt các bài toán hình học nói chung và phần bài tập diện tích đa giác nói riêng là điều mà thầy cô giáo quan tâm và suy nghĩ Vì tôi đã chọn kiến thức và bài tập phần diện tích đa giác lớp để đưa kinh nghiệm “Một số biện pháp sử dụng phương pháp diện tích để giải bài toán hình học lớp 8” Kết quả, hiệu thực trạng việc sử dụng phương pháp diện tích để giải các bài toán hình học lớp Khi chưa áp dụng đề tài, việc giải bài tập dạng sử dụng phương pháp diện tích giải toán hình học các em gặp nhiều khó khăn Kết thu HK1 năm học 2011 - 2012 sau: Lớp Sĩ số 8A1 8A2 39 39 Kết đạt Khá Trung bình 21% 44% 24% 45% Giỏi 6% 8% B CÁC GIẢI PHÁP CẢI TIẾN I Các giải pháp thực hiện: Yếu 29% 23% (3) Dựa trên đặc điểm tình hình nhà trường, vào các kết đạt năm trước và chất lượng học tập đặc điểm lớp phụ trách, dựa vào lực học sinh, tôi đề các giải pháp sau: Giải pháp 1: Nắm mục tiêu dưa vào giảng dạy Tìm tòi các bài toán để từ đó học sinh nắm và phát triển các bài toán Giải pháp 2: Phân loại các bài toán giải phương pháp diện tích II Các biện pháp tổ chức thực Biện pháp 1: Khắc sâu các công thức diện tích hay sử dụng cho tam giác Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c đối diện với các đỉnh A, B, C - ha, hb, hc: độ dài đường cao ứng với các cạnh a, b, c A - P = (a + b + c) là nửa chu vi tam giác c hb - r: bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC - ra, rb, rc: bán kính đường tròn Ta có công thức tính diện tích tam giác sau: 1 S = = b hb = c hc S = (1) p( p a)( p b)( p c ) (2) công thức Hêrông 1 Cˆ bcSinAˆ ac sin Bˆ 2 S = ab Sin abc S = 4R (3) ; S = p.r S = (p - a) - (p - b) rb = (p - c) rc hc a B tiếp ABC tiếp xúc với a, b, c b (4) (5) C (4) * Giá trị sử dụng các công thức: - Công thức (1) sử dụng biết cạnh và đường cao thực nó - Công thức (2) sử dụng biết cạnh - Công thức (3) sử dụng biết cạnh và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác - Công thức (4) sử dụng biết cạnh và bán kính đường tròn nội tiếp - Công thức (5) sử dụng biết cạnh và bán kính đường tròn tiếp tương ứng *Công thức diện tích: Diện tích hình vuông cso cạnh là a: S = a 2 Diện tích hình chữ nhật có hai kích thước là a, b: S = a b Diện tích hình bình hành có cạnh là a và chiều cao tương ứng h: S = a.h Diện tích hình thoi có đường chéo là l 1, l2: S = l1 l2 (diện tích hình thoi còn tính theo công thức tính diện tích hình bình hành) Diện tích hình thang có hai đáy là a, b b và đường cao h : (a b).h S= Diện tích hình thang có đường cao h, đường trung bình m: S = m h Bài toán 1: GT ABC, ADE, B, C, D, E thuộc đường thẳng a KL SABC = k SADE (k > 0) Chứng minh: Ta có BC và DE là đoạn thẳng nên luôn tồn số k > (5) BC k để DE => BC = k DE 1 Mặt khác ta lại có: SABC = AH.BC = AH K DE = k( AH.DE) => SABC = k SADE Hệ 1: Nếu C, B, P thẳng hàng (cùng thực đường thẳng a) và điểm A không thuộc đường thẳng a, BC = k CP thì S ABC = k SACP Hệ 2: Nếu PB = C thì S ABC = SAPC (k = 1) A Bài toán 2: GT ABC, A’BC A’ AH BC, A’H’ BC KL S ABC AH S ' A' BC AH ' B Chứng minh: S ABC S A' BC Thật H’ BC AH AH AH ' BC AH ' H’ ’ C Hệ 3: Nếu ABC có diện tích không đổi và có cạnh đáy a đường cao là h thì a và h là hai đại lượng tỉ lệ nghịch Biện pháp 2: Phân loại các bài toán giải phương pháp diện tích Loại 1: Chứng minh các đoạn thẳng tỉ lệ Loại 2: Tổng hiệu các đoạn thẳng đoạn thẳng khác Loại 3: Tổng hiệu diện tích các hình diện tích hình khác Loại 4: Tỉ số diện tích hai hình phẳng Loại 5: Chứng minh các bất đẳng thức hình học Loại 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy Loại 7: Chứng minh các bài toán cực trị hình học và số bài toán dạng khác (6) Loại 1: Phương pháp chứng minh “các đoạn thẳng tỉ lệ” Để chứng minh AB = k, ta có thể: - Hoặc rằng: S MAB = SMA’B’ d(M ; AB) = K d(M; AB) - Hoặc rằng: S MAB = SNA’B’ d(N ; A’B’) = K d(M; AB) - Hoặc rằng: S MAB = K SMA’B’ d(M ; AB) = K d(M; A’B’) - Hoặc rằng: S MAB = K SNA’B’ d(M ; AB) = d(M; A’B’) S ABM d ( M ; AB) K K d ( M ; A ' B ' ) S A' B ' M và BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài toán 1: Lấy điểm O ABC Các tia AO, BO, CO cắt OA OB OC 2 AP BQ CR BC, AC, AB P, Q, R Chứng minh Chứng minh: Từ O kẻ OK BC, từ A kẻ AH BC (K, H BC) S OBA Khi đó ta có: S ABC OK AH (hệ 2) Mặt khác OK // AH S OK OP OP OBZC S ABC AP (1) => AH AP A Chứng minh tương tự ta có: R S AOB OQ S ABC PQ (2) B O H K Q P C (7) S AOC OR S ABC CR (3) OP OQ OR S OBC S AOB S AOC 1 AP BQ CR S S S ABC ABC ABC Từ (1) (2) và (3) ta có: AO BO CD AP OP BQ OQ CR OR AP BQ CR AP BQ CR Ta có: OP OQ CO ) 3 2 = - ( AP BQ CR AO BO CO 2 => AP BQ CR (ĐPCM) Bài toán 2: Cho ABC có ba góc nhọn và ba đường cao AA’, BB’, HA' HB' HC ' CC’, gọi H là trực tâm ABC Chứng minh AA' BB' CC ' Chứng minh Ta nhận thấy CHB và CAB A là hai tam giác có chung đáy CB S CHB HA' S AA' (1) ABC Nên Tương tự ta có B’ C’ H S AHC HB' S ABC BB ' (2) B A’ C S HAB HC ' S ABC CC ' (3) HA' HB' HC ' S HBC S AHC S AHB Từ (1) (2) và (3) ta có AA' BB' CC ' S ABC S ABC S ABC S HBC S AHC S AHB S ABC = Do ABC có ba góc nhọn nên trục tâm H nằm miền ABC Do đó SHBC + SAHC + SAHB (8) S HBC S AHC S AHB S ABC 1 S ABC S ABC => HA' HB' HC ' => AA' BB' CC ' =1 Biện pháp 3: Phương pháp chứng minh tổng hiệu các đoạn thẳng đoạn thẳng khác Muốn chứng minh: AD + CD = PQ Ta chứng minh theo các cách sau: Cách 1: Chỉ tồn điểm M SMAB + SMCD = SMPQ d(M; AB) = d(M; CD) = d(M;PQ) Cách 2: Chỉ tồn hai điểm M, N SMAB + SMCD = SNPQ d(M; AB) = d(M; CD) = d(N;PQ) Cách 3: Chỉ tồn ba điểm M, N, R SMAB + SMCD = SRPQ d(M; AB) = d(N; CD) = d(R;PQ) BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài toán 1: Cho ABC (AB = AC) Một điểm D di chuyển trên cạnh đáy BC Từ D kẻ các đường thẳng DE và DF vuông góc với AC, AB Chứng minh tổng DE + EF không phụ thuộc vào vị trí điểm D trên BC Chứng minh: Để chứng minh DE + DE không phụ thuộc vào vị trí điểm D ta chứng minh A nó luôn đoạn thẳng có độ dài không đổi K Thật kẻ đường cao CK ta có E F B C (9) SABD + SACD = SABC 1 AB.DF , S ACD AC.DF mà SABD = SABC 1 1 AB.CK = => AB DF + AC DF = AB CK Do AB = AC (gt) => (DF + DE) AB = AB CK => DF + DE CK, CK là đường cao => CK không đổi Vậy DR + DE không đổi Bài toán 2: Chứng minh tổng các khoảng cách từ điểm thuộc miền tam giác ABC đến cạnh nó không phụ thuộc vào vị trí điểm Chứng minh: Ta có: SMAB + SMBC + SMAC = SABC Mà SMAB SMBC = MR.AB A = MB.BC SMAC = MQ.AC SMAB + SMAC SABC Q R M 1 B P MQ.AC = MR.AB + MB + BC + H C 1 1 = BC (MR + MD + MQ) = BC.AH Vậy MR + MP + MQ không đổi Biện pháp 4: Phương pháp chứng minh tổng hiệu các hình diện tích hình khác Để chứng minh: S + S2 + S3 + + Sn = S, ta có thể sử dụng: - Các công thức tính diện tích (10) - Các bài toán đã nêu BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập: Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh BC và AD, P là giao điểm các đường thẳmg AM và BN, Q là giao điểm các đường thẳng CN và DM Chứng minh SMPNQ - SAPB + SCQD Chứng minh; M B Hạ các đường vuông góc C BB, MM’, CC’ xuống AD (B’, M’ và C’ thuộc AD) Xét hình thang BB’CC’ có MN A là đường trung bình nên B’ M’ N C’ BB 'CC ' MM’ = Mặt khác ta có AN = ND BB 'CC ' nên MM’ AD = AD 1 AD AD CC ' => M’M AD = B’B 2 => SAMN = SABN + SCND Mặt khác ta có: S MPNQ = SAMD - (SAPN + SMDQ) Thay SMPQN = (SABN + SCND) - (SAƠN + SNQD) SMPQN = (SABN - SAPN) + (SCND - SQND) vvậy SMPQN = SABP + SCQD Biện pháp : Phương pháp chứng minh tỉ số diện tích hai hình phẳng Để chứng minh SA1 A An SABC K K ' K K ' SA' B' C ' SA'1 A' Ta có thể chứng minh các cách sau: Cách 1: Chỉ ABC ~ A’B’C’ theo tỉ số k D (11) Cách 2: Chỉ SABC = K2 S A’B’C’ và dựa vào phương pháp chứng minh loại 1, loại Cách 3: Dùng tiêu đề diện tích để từ bài toán tổng quát đưa bài toán cho tam giác BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài toán: Chứng minh tam giác có đỉnh là giao điểm hai cạnh đối tứ giác lồi, hai đỉnh là hai trung điểm hai đường chéo tứ giác lồi có diện tích diện tích tứ giác Chứng minh: Gọi M và N là trung điểm các E đường chéo BD và AC tứ gác ABCD, E là giao điểm hai cạnh AD và BC B Ta có: SEMN = SEDC - SEMD - SDMN - SDNC SEMN = SEDC SEMN A 1 1 - SEBD - SEAC - SDNB - SDAC D 1 = ( SEDC - SEAC - SDAC) + M N 1 + ( SEDC + SEBD - SDNB) 1 1 1 SEMN = (SDNC + SBNC) = ( AABC + SADC) = (SABC + SADC) = SABCD Vậy SEMN = SABCD Biện pháp : Phương pháp chứng minh các bất đẳng thức hình học Cách 1: Sử dụng các phép biến đổi đại số và bất đẳng thức bất đẳng thức cosi trường hợp áp dụng cho hai số dương a2 b2 2 a >2 a2 + b2 > 2ba, b Hoặc số bất đẳng thức khác C (12) Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức tam giác a+b < a + b Cách 3: Sử dụng các phép biến đổi hình học làm xuất các bất đẳng thức từ các đại lượng số đo diện tích và các đa giác mà ta kiến lập nên Cách 4: Sử dụng mối quan hệ các cạnh tam giác (c-b) < a < c + b (a 1b1c là số đo cạnh tam giác) - Sử dụng mối quan hệ đường vuông góc và đường xiên cùng kẻ từ điểm đến đường thẳng Biện pháp 7: Phương pháp chứng minh các đường thẳng đồng quy Khó có thể phương pháp chung dùng diện tích để chứng minh các đường thẳng đồng quy ( đây ta có thể nói không có phương pháp diện tích thì bài toán chứng minh các đường thẳng đồng quy có thể thực (như sử dụng phương pháp toạ độ và số phương pháp khác) Vì việc tìm tòi phương pháp diện tích để chứng minh là sộ cố gấng Tuy nhiên, ta có thể dựa vào tính chất quan trọng hình bình hành sau đây để làm sở cho phương pháp chứng minh đồng quy Tính chất: ABCD là hình bình hành.M là điểm ABCD Qua M kẻ các đưởng thẳng song song với các cạnh ta bốn hình bình hành Khi đó C B M AC <=> SMA1,MB1 = SMC1DD1 hay A1C1, B1 D1, AC đồng quy <=> SMA,BB1 = SC1DD1M A1 Chứng minh: A Giả sử MCAC, thì ta có: A (A1 MB1B) M D1 C D = SABC - SAA1M - SMB1C = S ABC - SAD1M - SMC1D = SABC - SAD1M - SMC1C = SD1MC1D Ngược lại: Giả sử M không thuộc AC thì S A1MB1B SD1MC1D Do có thể M thuộc AC BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài toán: Trên cạnh AB, BC, CD, DA hình bình hành ABCD lấy các điểm M, H, K, P tương ứng cho MK//AD và HP//AB Chứng minh (13) các đường thẳng BP, MD, CD đồng quy điểm (O là giao điểm HP và MK) Chứng minh: Gọi E là giao điểm các đường thẳng CD và BP ta cần phải chứng minh MD qua E Ta có: Qua E kẻ P’H’ // PH và M’K’ // MK Ta có P’H’ cắt MK F, M’K’ cắt PH G Do điểm O CE nên theo kết bài toán trên => SFOHH’ = SGOKK’ H ’ B ta có: SFOHH’ = SGOKK’ H C (1) Do điểm E BP => SAM’EP’ = SEGHH’ (2) Từ (1) và (2) suy ra: SEFKK’ = SAM’EP; Điều này chứng tỏ điểm E M M’ A F E P P ’ O K K ’ D phải thuộc đường chéo MD hay ba đường thẳng BP, MD và CO đồng quy Biện pháp : Phương pháp chứng minh các bài toán cực trị hình học Về phương pháp chứng minh tương tự giống loại chú ý thêm: + Tổng các số dương không đổi thì tích các số đó đạt giá trị lớn chúng + Nếu tích các số dương không đổi thì tổng các số đó đạt giá trị bé chúng Từ đó suy ra: + Trong các hình chữ nhật (hình thoi) có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn + Trong các hình chữ nhật (hình thoi) có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé BÀI TẬP VẬN DỤNG: (14) Bài toán: Cho M nằm tam giác ABC Các đường thẳng AM, BM, CM cắt các cạnh BC, CA, AB A 1, B1, C1 Hãy xác định điểm M A tám giác cho: MA MB MC a MA1 MB1 MC1 là bé b MA1 MB1 MC1 MA MB MC C1 B1 S3 S2 M là bé S1 Chứng minh: a Đặt AMBC = S1, SMAC = S2, SMBA = S3 B A1 S S2 S MA S MAC MAB S1 Ta có: MA1 S MA1C S MA1B S S S2 S MB MA MB MC MAC MAB MB S S S MA MB MC1 MA1C MA1B 1 Tương tự => S S1 S S1 S S S S S S S S2 > = MA MB MC MA MB MC1 đạt giá trị bé là 1 Vậy S2 S2 MC1 S3 MA MB ; , b MA1 S S MB1 S1 S MC S1 S Gọi S = S1 = S2 = S3 Xét 1 S3 S1 S2 S S S S S S S S S S S S 3 (S +S +S ) P= -3 1 S S S S S S1 S S S S S S 3 1 P= > 9-3= Vậy P = MA1 MB1 MC1 MA MB MC > C (15) Do đó MA1 MB1 MC1 MA MB MC đạt giá trị bé là S1 = S2 = S3 => M là trọng tâm ABC C KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM Sau sử dụng phương pháp vào dạy học tôi thấy HS đã có hứng thú học hình, 100% học sinh hiểu bài Đặc biệt là các em đã biết vận dụng phương pháp diện tích để làm bài toán hình học I Kết đạt Do đặc trưng và tính chất đề tài nên việc áp dụng và thử nghiệm đề tài không thực trên diện rộng, mà dành cho học sinh khá giỏi lớp Qua việc hướng dẫn cho học khối lúc cuối năm lớp 8A1 và 8A 2, năm học 2011 - 2012, tôi thu kết sau: Lớp Sĩ số 8A1 8A2 39 39 Giỏi 30% 28% Kết đạt Khá Trung bình 21% 49% 24% 48% Yếu 0% 0% II Bài học kinh nghiệm Sau đưa các biện pháp sử dụng phương pháp để giải bài toán hình học cho HS lớp vào quá trình giảng dạy phần diện tích đa giác lớp Đối với thân, tôi rút bài học sau: - GV nắm vững kiến thức, bám sát chuẩn nghề nghiệp để dạy cho HS - GV thực yêu nghề, yêu quý HS - Thường xuyên tự học tự bồi dưỡng, tìm thêm tài liệu nghiên cứu - Tăng cường dự giờ, học hỏi đồng nghiệp Lắng nghe ý kiến đồng nghiệp để rút phương pháp dạy tốt - Chuẩn bị bài chu đáo trước lên lớp Sử dụng đồ dùng dạy học triệt để và có hiệu (16) - Quan tâm đến việc phát triển học sinh Trên đây, là số kinh nghiệm mà quá trình giảng dạy tôi rút Rất mong các đồng nghiệp góp ý và bổ sung để tôi có thêm kiến thức và vận dụng vào giảng dạy đưa chất lượng giáo dục trưòng ngày lên Vĩnh Thịnh, ngày 01 tháng 10 năm 2012 Nhận xét hội đồng Người thực khoa học nhà trường Nguyễn Hữu Ninh (17)