Luận văn sư phạm Nghiên cứu về khái niệm giới hạn hàm số trong dạy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH ********************* NGUYỄN THÀNH LONG NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NIỆM GIỚI HẠN TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành : LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN Mã số : 60.14.10 Người hướng dẫn : TS Năm 2004 LÊ VĂN TIẾN Chân thành cảm ơn Quý thầy cô : ♦ GS CLAUDE COMITI ♦ GS ANNIE BESSOT ♦ TS ALAIN BIREBENT ♦ TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU ♦ TS LÊ VĂN TIẾN ♦ TS ĐOÀN HỮU HẢI tận tình giảng dạy dẫn dắt vào Didactic Toán U U TS LÊ VĂN TIẾN tận tình hướng dẫn mặt nghiên cứu khoa học góp phần quan trọng vào việc hoàn thành luận văn BGH Trường THPT Nguyễn Chí Thanh , Quận Tân Bình, thành phố Hồ Chí Minh GVCN học sinh lớp 11.1 tạo điều kiện nhiệt tình tham gia buổi thực nghiệm luận văn U Phòng Khoa học Công nghệ - Sau Đại học Khoa Toán – Tin học thuộc Trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ nhiều suốt khóa học U BGH Trường THPT Trịnh Hoài Đức , tỉnh Bình Dương Các đồng nghiệp Tổ chuyên môn Toán – Lý – Tin học hỗ trợ nhiều mặt giúp yên tâm tập trung cho việc học tập nghiên cứu U MỤC LỤC ĐẶT VẤN ĐỀ Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát .3 Mục đích nghiên cứu .4 Phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp giả thuyết nghiên cứu 4 Tổ chức luận văn CHƯƠNG I : ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM GIỚI HẠN I.- MỤC ĐÍCH PHÂN TÍCH II.- ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM GIỚI HẠN Giai đoạn : Từ thời Hi lạp cổ đại đến đầu kỷ XVII Giai đoạn : Từ kỷ XVII đến nửa đầu kỷ XVIII 15 Giai đoạn : Từ nửa sau kỷ XVIII đến kỷ XIX 21 III.- MỘT VÀI YẾU TỐ KẾT LUẬN 23 Các giai đoạn nảy sinh phát triển 23 Phạm vi tác động khái niệm giới hạn toán chủ yếu 24 Các đối tượng có liên quan .26 Các quan điểm giới hạn .27 CHƯƠNG II : MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM GIỚI HẠN TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG I.- MỤC ĐÍCH 30 II.- PHÂN TÍCH CHƯƠNG TRÌNH 31 Chương trình năm 1990 .31 Chương trình năm 2000 (chương trình chỉnh lý hợp nhất) 31 III.- PHÂN TÍCH SÁCH GIÁO KHOA HIỆN HÀNH 33 Phần lý thuyết 33 § Giới hạn dãy số .33 § Giới hạn hàm số 37 Các tổ chức toán học 40 IV.- KẾT LUẬN .49 Nhìn từ quan điểm khoa học luận .49 Về phạm vi tác động khái niệm giới hạn 49 Về đối tượng liên quan đến khái niệm giới hạn 50 Từ khía cạnh hợp đồng didactic 50 Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic khái niệm giới hạn CHƯƠNG III : THỰC NGHIỆM I.- MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM 51 II.- XÂY DỰNG TÌNH HUỐNG TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 52 Một vài điểm tựa 52 Phân tích tiên nghiệm tình tổng quaùt 55 2.1 Các biến didactic 55 2.2 Các biến tình 58 2.3 Các chiến lược 59 Các tình chọn kịch thực nghiệm .62 3.1 Các toán .62 3.2 Kịch .63 3.3 Các bảng giá trị biến đặc trưng 63 3.4 Giải thích lựa chọn giá trị biến đặc trưng .64 3.5 Phân tích chi tiết chiến lược quan sát 68 Phân tích kịch baûn .72 4.1 Buổi thứ .72 4.2 Buổi thứ .73 Phân tích hậu nghiệm (a postériori) 74 5.1 Phân tích hoạt động thực nghiệm diễn 74 5.2 Sự xuất tiến triển yếu tố xấp xỉ 81 5.3 nh hưởng việc lựa chọn giá trị biến chiến lược 82 5.4 Về xuất ký hiệu Δx làm nhóm 84 Kết luận phần thực nghiệm 85 KẾT LUẬN CHUNG 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO 89 PHẦN PHỤ LỤC 91 − Các đề hình vẽ 93 − Baøi laøm nhóm hoạt động 97 − Bài làm nhóm hoạt động 102 − Baøi làm nhóm hoạt động 107 − Protocole .112 Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic khái niệm giới hạn Đặt vấn đề ĐẶT VẤN ĐỀ NHỮNG GHI NHẬN BAN ĐẦU VÀ CÂU HỎI XUẤT PHÁT Giới hạn khái niệm sở Giải tích – nội dung chiếm vai trò quan trọng dạy học toán trường phổ thông bậc đại học Theo nghiên cứu Lê Văn Tiến (2000), dù trải qua nhiều cải cách, giải tích cần giảng dạy trường THPT Việt Nam giải tích “Đại số hóa tăng cường”, nghóa Giải tích đặt sở chủ yếu kó thuật chất đại số Người ta tránh đến mức tối đa quy trình, kó thuật đặc trưng giải tích : chặn trên, chặn dưới, xấp xỉ Dấu ấn bật tư tưởng xấp xỉ dường xuất số định nghóa khái niệm giới hạn theo ngôn ngữ ε, N hay ε, δ Thế nhưng, đến lượt mình, dấu ấn bị loại bỏ khỏi chương trình chỉnh lý hợp năm 2000 hành Bản đề cương chỉnh lí hợp ba sách giáo khoa Toán THPT (trang 7) yêu cầu cách rõ ràng : không dùng ngôn ngữ (ε, ∂) để định nghóa khái niệm giới hạn dãy số giới hạn hàm số, định nghóa giới hạn hàm số thông qua giới hạn dãy số Quan điểm lần nhấn mạnh chương trình thí điểm (2004) Như vậy, vấn đề xấp xỉ gần hoàn toàn bị loại bỏ dạy học Giải tích Tuy nhiên, M.Legrand (1991) M.Artigue (1993) làm rõ : Đi vào Giải tích, hiểu xấp xỉ trung tâm vấn đề lớn giải tích, đồng thời trung tâm phương pháp kỹ thuật phạm trù Những nhận xét dẫn tới câu hỏi khởi đầu sau : − Làm hình thành học sinh tư tưởng xấp xỉ qua việc dạy học khái niệm giới hạn Giải tích đại số hóa, mà không cần đưa vào cách tường minh Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic khái niệm giới hạn Đặt vấn đề định nghóa theo ngôn ngữ ε, δ ? − Vấn đề toán học làm cho việc xây dựng tình cho phép nảy sinh số yếu tố cấu thành nên nghóa khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ ? − Những tình cụ thể cần thiết lập ? − Các yếu tố xấp xỉ nảy sinh học sinh đối diện với tình ? MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm câu trả lời cho câu hỏi đặt mục đích nhắm tới luận văn Cụ thể hơn, nhiệm vụ : − Tìm kiếm số kiểu toán làm điểm tựa cho việc xây dựng tình nêu − Tiến hành xây dựng số tình cụ thể cho phép làm nảy sinh số yếu tố cấu thành nên nghóa khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ − Thiết lập triển khai công đoạn học tập đặt sở tình xây dựng − Quan sát, thu thập phân tích số liệu thực nghiệm để làm rõ xem yếu tố xấp xỉ nảy sinh học sinh tình PHẠM VI LÝ THUYẾT THAM CHIẾU, PHƯƠNG PHÁP VÀ GIẢ THUYẾT NGHIÊN CỨU Nhiều nghiên cứu khoa học luận lịch sử toán học chứng tỏ khái niệm toán học đó, nghiên cứu cho phép làm rõ không số kiểu toán, kiểu tình khái niệm xuất tác động cách ngầm ẩn hay tường minh, mà đối tượng, khái niệm khác có mối quan hệ qua lại mật thiết với khái niệm góp phần vào nảy sinh phát triển Tổng quát hơn, cho phép làm rõ đặc trưng khoa học luận Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic khái niệm giới hạn Đặt vấn đề khái niệm Việc xây dựng tình công đọan học tập thông qua tình bị ràng buộc đặc trưng khoa học luận đối tượng toán học liên quan, mà bị chi phối ràng buộc hệ thống dạy học toán trường phổ thông Do vậy, làm rõ yếu tố khoa học luận ràng buộc sư phạm khái niệm giới hạn cần thiết nghiên cứu Để làm điều đó, thấy cần thiết đặt nghiên cứu phạm vi Didactic Toán Cụ thể, điểm tựa lý thuyết khái niệm lý thuyết trường quan niệm, lý thuyết nhân chủng học lý thuyết tình khái niệm : Trường quan niệm khái niệm toán học, quan hệ thể chế đối tượng tri thức, tổ chức toán học, hợp đồng didactic, biến didactic,tình huống, … Từ đó, trình bày lại câu hỏi đặt sau : − Những đặc trưng khoa học luận khái niệm giới hạn phân tích, tổng hợp làm rõ qua công trình nghiên cứu có ? Những kiểu toán, kiểu tình cho phép khái niệm giới hạn xuất tác động ? Những đối tượng toán học khác góp phần vào việc nảy sinh tiến triển khái niệm ? Vấn đề toán học điểm tựa cho việc xây dựng tình cho phép nảy sinh số yếu tố cấu thành nên nghóa khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ ? − Mối quan hệ thể chế khái niệm giới hạn hình thành tiến triển ? ràng buộc đối tượng giới hạn ? − Dưới ràng buộc khoa học luận ràng buộc sư phạm làm rõ trên, làm xây dựng triển khai tình ? Với lựa chọn biến tình ? − Các yếu tố xấp xỉ nảy sinh học sinh đối diện với tình Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic khái niệm giới hạn Đặt vấn đề thiết lập ? Từ phân tích trên, phương pháp nghiên cứu mà chọn : • Tổng hợp số nghiên cứu khoa học luận lịch sử khái niệm giới hạn để làm rõ đặc trưng khoa học luận khái niệm này, đặc biệt toán, tình khái niệm giới hạn nảy sinh tác động cách ngầm ẩn hay tường minh, đối tượng đặt điều kiện cho nảy sinh khái niệm giới hạn • Phân tích chương trình sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 hành, để làm rõ mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn, qua ràng buộc sư phạm đối tượng Các kết đạt từ hai nghiên cứu cho phép đề giả thuyết công việc sau : Về mặt toán học, vấn đề tính diện tích hình phẳng sở việc thiết lập tình cho phép làm nảy sinh số yếu tố cấu thành nên nghóa khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ Giả thiết tiền đề cho công việc sau luận văn • Thiết lập tình công đọan didactic cho phép nảy sinh số yếu tố cấu thành nên nghóa khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ Các tình công đoạn dựa tình sở sau : “Cho hàm số y = f(x) liên tục không âm đoạn [a;b] với a ≥ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số cho, trục hoành Ox hai đường thẳng x =a x = b.” • Thực nghiệm : Triển khai lớp 11 công đoạn học tập dựa tình xây dựng Quan sát, thu thập phân tích số liệu Thực nghiệm có mục đích đưa vào kiểm chứng tính thích đáng giả thuyết nghiên cứu sau : Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic khái niệm giới hạn Đặt vấn đề “Các tình tính diện tích hình phẳng chọn cho phép làm nảy sinh học sinh vài yếu tố cấu thành nên nghóa khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ, vắng mặt định nghóa hình thức theo ngôn ngữ ε, δ ” TỔ CHỨC CỦA LUẬN VĂN Luận văn bao gồm phần : • Đặt vấn đề • Chương : Đặc trưng khoa học luận khái niệm giới hạn • Chương : Mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn dạy học Toán trường trung học phổ thông • Chương : Thực nghiệm • Kết luận chung Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic khái niệm giới hạn Chương I – Đặc trưng khoa học luận khái niệm giới hạn CHƯƠNG I ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM GIỚI HẠN I.- MỤC ĐÍCH PHÂN TÍCH Chương mục đích thực nghiên cứu gốc khoa học luận lịch sử hình thành phát triển khái niệm giới hạn Chúng tổng hợp phân tích kết có từ số công trình nghiên cứu khoa học luận, nhằm làm rõ đặc trưng khái niệm này, cụ thể để tìm câu trả lời cho câu hỏi sau : − Khái niệm giới hạn xuất tác động kiểu toán, kiểu tình ? Nó có đặc trưng ? − Những đối tượng, khái niệm toán học có liên quan góp phần làm nảy sinh phát triển khái niệm giới hạn ? − Phạm vi toán học mà từ xuất tình tạo nên nghóa khái niệm giới hạn ? đặc biệt nghóa gắn liền với quan điểm xấp xỉ ? − Có quan niệm khác khái niệm giới hạn ? Các công trình nghiên cứu khoa học luận mà tiến hành phân tích : CORNU B (1982) , CORNU B (1983) , ROBINET J (1983) , TROUCHE L (1996) , FICHTENGOÂN G.M (1977) Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic khái niệm giới hạn Kết luận chung chuyển từ xấp xỉ hình học sang xấp xỉ số (Tương tự Pascal đối chiếu không chia hình học với số số học) Tóm lại ta có đường dẫn đến tiếp cận khái niệm giới hạn sau : tính diện tích → xấp xỉ hình học → xấp xỉ số → định nghóa giới hạn Qua phân tích chương trình sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 chương II lưu ý đến ràng buộc thể chế khái niệm giới hạn sau : 2.1 Các toán giới hạn chủ yếu giải dựa định lý đại số giới hạn Thể chế mong muốn học sinh việc thao tác kỹ thuật có chất đại số để tìm giới hạn, không trọng đến kỹ thuật có chất giải tích Học sinh quan tâm đến việc tìm giới hạn dãy số hay hàm số cho tìm hiểu nội dung ý nghóa khái niệm giới hạn 2.2 Các toán giới hạn chủ yếu thuộc phạm vi số đại số Sự thiếu vắng phạm vi hình học, học yêu cầu giảm tải chương trình, làm hội thể ý nghóa lịch sử khái niệm giới hạn Từ ràng buộc thể chế đồng thời vào đặc trưng khoa học luận khái niệm giới hạn, đưa vào thực nghiệm công đoạn didactic gồm tình tính diện tích hình thang cong (theo kịch bản) Yêu cầu thực nghiệm tính kết diện tích hình thang cong cách mà tính giá trị gần diện tích đánh giá sai số tương ứng Phạm vi hình học toán thực nghiệm nhằm tạo môi trường tương tác nhận thức học sinh với ý tưởng giải toán Quá trình thực nghiệm cho thấy học sinh vừa biết thực thao tác đại số (khi tính giá trị gần đúng) vừa nhận thức yếu tố ban đầu xấp xỉ (khi so sánh sai số ) Đại số hóa xấp xỉ hai mặt biện chứng nhận thức khái niệm giới hạn Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic khái niệm giới hạn 87 Kết luận chung nói riêng giải tích nói chung Trong ràng buộc thể chế dù nhấn mạnh đến quan điểm đại số hóa tiếp cận quan điểm xấp xỉ Chúng nghó nghiên cứu để xây dựng hệ thống tình nhằm tăng cường quan điểm xấp xỉ dạy học giải tích trường THPT Đó hướng mở rộng luận văn Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic khái niệm giới hạn 88 Tài liệu tham khảo TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT LÊ THỊ HOÀI CHÂU − LÊ VĂN TIẾN , Vai trò phân tích khoa học luận lịch sử toán học nghiên cứu thực hành dạy – học môn toán, Đề tài NCKH cấp Bộ, ĐHSPtpHCM , 2003 NGUYỄN MẠNH CHUNG, Thực nghiệm dạy học khái niệm toán học chương “Giới hạn” − Đại số Giải tích 11, Nghiên cứu giáo dục, số 4/2000, Hà Nội, 2000 VĂN NHƯ CƯƠNG – TRẦN VĂN HẠO – NGÔ THÚC LANH, Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 11, Nxb Giáo dục, Hà Nội, 2000 TRẦN VĂN HẠO (chủ biên), Đại số Giải tích 11 (sách giáo viên), Nxb Giáo dục, TpHCM, 1991 TRẦN VĂN HẠO (chủ biên I) − NGÔ THÚC LANH (chủ biên II), Đại số Giải tích 11, Nxb Giáo dục, TpHCM, 2000 NGUYỄN PHỤ HY, Ứng dụng giới hạn để giải toán trung học phổ thông, Nxb Giáo dục, Tp HCM, 2000 NGUYỄN BÁ KIM (chủ biên), Phương pháp dạy học môn Toán (phần đại cương), Nxb Giáo dục, Hà Nội ,1994 NGUYỄN BÁ KIM (chủ biên), Phương pháp dạy học môn Toán (những vấn đề cụ thể), Nxb Giáo dục, Hà Nội ,1994 LÊ VĂN TIẾN, Một số quan điểm khác giảng dạy giải tích trường phổ thông, Nghiên cứu giáo dục, số chuyên đề (338) số 3/2000 , Hà Nội, 2000 DỊCH SANG TIẾNG VIỆT 10 11 ARSAC G , CHAPIRON G , COLONNA A , GERMAIN G , GUICHARD Y , MANTE M , Nhập môn lập luận suy diễn trường trung học sở, Nxb Giáo dục, Hà Nội, 1995 FICHTENGÔN G M , Cơ sở giải tích toán học , tập I , Nxb Đại học trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1977 Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic khái niệm giới hạn 89 Tài liệu tham khảo TIẾNG PHAÙP 12 13 14 15 16 17 18 BALTAR P M., Une eùtude de situations et d’invariants : outil pour l’analyse de la construction du concept d’aire au collège, «petit x» no 49, pp 45 aø 78, 1998 – 1999 BRUN J (sous la direction de), Didactique des matheùmatiques, Delachaux et Niestleù, Paris, 1990 CORNU B , Grandes lignes de l’eùvolution historique de la notion de limite, Bulletin de l’A.P.M.E.P., no 335, septembre 1982 CORNU B , Apprentissage de la notion de limite : conceptions et obstacles, Theøse de Doctorat de troisième cycle de mathématiques pures, Université Scientifique et Médicale de Grenoble , 1983 DAHAN-DALMEDICO A et PEIFFER J , Une histoire des matheùmatiques, Eùditions du Seuil, Paris , 1986 ROBINET J , Une expeùrience d’ingenierie didactique sur la notion de limite de fonction, Recherches en Didactique des Matheùmatiques, Vol 4, no 3, pp 223-292, 1983 TROUCHE L , A propos de l’apprentissage des limites de fonctions dans “un environnement calculatriche” : Etude des rapports entre processus de conceptualisation et processus d’instrumentation, Thèse Spécialité : Didactique des mathématiques, Université Montpellier II, le 14 Décembre 1996 Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic khái niệm giới hạn 90 PHẦN PHỤ LỤC Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic khái niệm giới hạn 91 Phụ lục PHỤ LỤC (Các liệu liên quan đến thực nghiệm) • Các đề hình vẽ • Bài làm nhóm hoạt động • Bài làm nhóm hoạt động • Bài làm nhóm hoạt động • Protocole pha thảo luận Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic khái niệm giới hạn 92 Protocole PROTOCOLE PHA 2 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 GV Một cách tình cờ, nhóm Các nhóm khác chuẫn bị phát biểu ý kiến « Nhắc lại nội dung làm nhóm » (xem phụ lục) Nhóm tính diện tích hình thang cong chưa ? cách tính không ? HS Chưa, sai số lớn HS2 Nhóm em tính cách lấy hình chữ nhật nhỏ cộng với tam giác trừ diện tích cung AB GV Vậy toán giải chưa ? HS Chưa, sai số, diện tích cung AB GV Bây đến nhóm « Nhắc lại nội dung làm nhóm » (xem phụ lục) « Một học sinh nhóm lên bảng trình bày cách tính diện tích S2 cách chia hình nhiều tam giác » Các nhóm khác có ý kiến không ? Tính diện tích hình thang cong chưa ? HS Khó tính được, phải chia nhiều lần GV Như hay không ? HS Không GV Nhóm bảo được,nhóm bảo không,còn nhóm khác ? HS Không tính GV Ai giải thích ? HS5 Mỗi lần đặt trung điểm sai số giảm xuống GV Có đồng ý không ? HS Đồng ý, chấp nhận GV Tính diện tích hình thang cong chưa ? Vì ? HS Chưa, sai số HS Chưa, đường cong không đường thẳng HS Chưa, sai số nhỏ cách tính dài dòng HS Chưa, không tính phần diện tích cong GV Như có nhóm cho không tính Bây đến nhóm « Nhắc lại nội dung làm nhóm » (xem phụ lục) Nếu chia nhỏ đường cong coi đường thẳng không ? HS Như sai số Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic khái niệm giới hạn 112 Protocole 23 24 25 26 HS1 HS HS GV 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 HS HS GV HS1 GV HS1 GV HS1 GV HS1 HS 38 GV 39 40 41 HS HS HS3 42 43 44 GV HS GV 45 46 HS HS Vẫn sai số sai số nhỏ Sai số tăng lên cộng nhiều sai số nhỏ thành sai số lớn Chia n lần sai số tăng lên n lần Thày hỏi câu : Qua phát biểu nhóm sai số tăng, lớn hay nhỏ chưa thống tất thống có sai số Coi lại toán, tính diện tích hình thang cong chưa ? Chưa, sai số Chỉ tính gần lớn tí Thống tính hay không? Nhóm tính sai số ? n lớn sai số nhỏ, sai số không Vậy sai số ? Thay n số tính sai số Vậy tính diện tích gần hay diện tích xác ? Diện tích gần toán giải chưa ? Chưa Sai số nhỏ Nếu ta hạ xuống trung điểm sai số nhỏ Nhóm có chấp nhận không ? Tổng kết lại : Có nhóm đồng ý tính được, n lớn sai số không, diện tích diện tích hình thang cong Có nhóm không đồng ý, chưa tính Có nhóm cho tìm sai số nhỏ Bây đến nhóm « Nhắc lại nội dung làm nhóm » (xem phụ lục) Các em có đồng ý với nhóm không ? Sai số lớn Không, chưa tính diện tích hình thang cong Nhóm em tính diện tích hình thang cong không kịp Có sai số Như không tính xác phải không ? Đồng ý Đến nhóm « Nhắc lại nội dung làm nhóm » (xem phụ lục) Tương tự, cách giải sai số Tổng kết lại, có nhóm tính xác diện tích hình thang cong ? Không, sai số Cho em hỏi, phần muốn bỏ hình có phải ¼ hình elip không ? Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic khái niệm giới hạn 113 Protocole 47 48 GV HS 49 GV Nếu hình elip ? Do ta tính diện tích hình elip nên tính phần bỏ Được rồi, ta dừng lại đây, có trở lại sau Sang phần Lúc tất thống tính xác, mà tính gần Trong hoạt động yêu cầu tính gần PHA 50 GV 51 HS2 52 53 54 GV HS2 GV 55 56 57 HS GV HS2 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 HS GV HS GV HS HS2 HS HS2 GV HS GV HS2 GV HS GV Đây toán mà khoảng 300 năm trước công nguyên, Archimède làm Nào tất nhìn lên bảng, xem làm nhóm Nào, em nhóm lên trình bày Nếu làm theo cách tụi em sai số nhiều «Trình bày nội dung áp phích nhóm 2» Các nhóm theo dõi, không hiểu hỏi Chia hai để sai số nhỏ Em lấy tam giác lớn này, chia đôi tính S = Các em có ý kiến không ? Sai số lớn S2 diện tích phần màu đỏ có phải giá trị gần S không ? S2 chưa tìm có sai số nhỏ tức sai số S−5 nhỏ sai số S−4 (Cười) Sai Có đồng ý không ? Không Tính giá trị gần chưa ? Tính sai số phải có giá trị tuyệt đối Do giá trị gần thiếu nên không cần ghi giá trị tuyệt đối Nhưng S2 giá trị gần thừa Xin sửa lại sai số 5−S Vậy kết em chưa ? Đúng Sai số S1 phần ? Phần gạch đỏ trừ phần gạch đỏ So sánh hai sai số S−4 với 5−S chưa ? Chưa Dù nhớ cách tính nhóm Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic khái niệm giới hạn 114 Protocole 73 74 75 76 HS4 GV HS4 GV 77 78 HS3 GV 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 HS HS3 HS HS HS GV HS HS3 GV HS5 HS HS5 GV HS HS5 GV 95 96 HS5 GV 97 HS1 98 99 100 GV HS1 GV Bây đến nhóm Nhóm trình bày rõ ràng tính S1 = 4,8 ; S2 = Không biết sai số lại so sánh sai số , ? Được hình vẽ sai số S2 lớn sai số S1 Như trực giác phải không ? Phải Các nhóm đồng ý hay không đồng ý ? ( ) Vậy có nhóm không đồng ý, nhóm đồng ý Trực giác thấy có cần phải chứng minh không ? Bây đến nhóm «Trình bày nội dung áp phích nhóm 3, tính S1= 4,86 » «Kiễm chứng lại (đúng) » Các em có ý kiến không ? Tại biết HH’ = ? Do chiếu xuống trục hoành Chiếu H xuống Ox có không ? Chiếu H xuống Oy có phải không ? Có thể tính từ hàm số y = x2 + Nhóm tính S2 = 4,82 Sao tính SQKP = 0,32 ? Tính hai cạnh góc vuông chiếu xuống trục hoành, trục tung Bây đến nhóm Phải nói cách làm nói đến kết Chia EF thành 128 lần Tính S128 (diện tích hình thứ 128) Tính y = 2,000244141 sai, y phải − = Chấp nhận Vậy nhóm tính nhầm ? x128l hoành độ Đồng ý Vậy nhóm tính phải không ? Dù kết S1 không đúng, cách tính đáng ý Nhóm em áp dụng nhầm diện tích tam giác vào hình thang ! Bây đến S2 = 4,75 Tính sai số ? ( ) Không Đến nhóm ( ) Các em nhóm hội ý lâu ! Chia đoạn [0,2] n lần, có n hình thang mà đường cao Δx « Nội dung áp phích nhóm 1» « Bổ sung kết S = 14/3 + 4/3n2 , » Vậy S1 maáy ? Cho n = 100 : S1 = 14/3 + 4/30000 , sai số 4/30000 Đánh giá mặt phương pháp chưa ? Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic khái niệm giới haïn 115 Protocole 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 HS GV HS1 GV HS1 Đúng Đó S1, S2 tính chưa ? Cho S2 = 14/3 − 4/30000 Tại thay dấu + dấu − ? Cho n lớn coi sai số 14/3 diện tích hình Do 4/3n2 sai số nhỏ, cộng hay trừ ? HS 4/3n2 HS1 Thế n = 100 Chia 100 phần 4/30000 = 0,000133 nhỏ coi GV Các nhóm có hiểu chưa ? HS (Cười) Rồi GV Thôi vụ ± để xét lại sau Có đáng tranh cãi tranh cãi ? Tổng kết lại, qua làm nhóm ta thấy có cách tính : − Cách : Chia thành nhiều hình thang − Cách : Ghép hình trừ Sang hoạt động 3, em làm toán tiếp Có thể sử dụng phương pháp mới, phương pháp , bạn PHA 111 112 113 114 115 116 117 118 119 GV Chúng ta nhóm Để khỏi giờ, thày trực tiếp giới thiệu « Nội dung áp phích nhóm » Sai số S1,S2 bé ? HS5 Sai số S2 bé S1 GV Như vậy, lấy cuối S4 = 4,6875 tổng diện tích hình thang Hãy kiễm tra diện tích ? HS SDQXC GV « Kiễm chứng SCDQX = 45/128 » Đến nhóm 4, tính S4 cách chia làm 16 phần Nhóm trình bày cách tính S12 ? HS4 chia 16 1/8 đường cao hìnhthang Muốn tính S12 phải tính S11 trước ! HS Tại không tính ngang xương ? HS5 Hồi nhóm chúng em tính ngang xương mà nhóm không ? GV Trong lúc em tính, nghe thày hỏi : Có thể so sánh sai số S4 nhóm với sai số S4 nhóm trước mà không cần nhìn đáp số không ? Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic khái niệm giới hạn 116 Protocole 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 HS HS Không so sánh Diện tích nhiều sai số nhỏ nên sai số nhóm nhỏ sai số nhóm HS5 Nhưng mà làm làm chả đượïc Phải có kết ! GV Chúng ta xem em tính ? 12/16 x, tính y ; 13/16 x, tính y S12 0,59 Vậy S12 hay sai ? HS Tính tính S13 S12 GV Vậy muốn tính S12 ? HS Lui lại GV Như S13 0,59 tổng thể chấp nhận S4 = 4,67 không ? HS Được GV Bây đến nhóm Một em nhóm lên trình bày làm nhóm Cần giải thích thật rõ ràng để nhóm khác theo dõi HS3 Chia hình thành 10 hình nhỏ hình thang có đường cao 2/10 = 0,2 Với x1 = 0,2 ta tính y1 = 1,04 Và tính tới y10=5.Cộng diện tích 10 hình thang nhỏ ta S1=5,006 Tổng quát ta có công thức tính gần với + yn-1)] S = h/2 [y1 + yn + 2(y2 + HS Tính sót hình thang nhỏ HS3 Đã tính đủ từ y1 đến y10 mà ! HS Từ y1 đến y10 có hình thang Còn thiếu cạnh yo = HS3 Đúng ! Vậy nhóm em tính thiếu S1 rồi, công thức tổng quát sai GV Vậy nhóm có sai sót tính S1 Tuy nhiên ý tưởng muốn tổng quát hóa thành công thức tính gần hay Ta trở lại vấn đề sau Bây đến nhóm 2, em lên trình bày ? HS2 Nhóm em tính S1 = cách lấy diện tích hình chữ nhật lớn trừ diện tích tam giác lớn trừ cho hai diện tích tam giác BNK MNK HS Kết giống kết nhóm chúng em GV Các em giải thích lại giống không ? HS Giống diện tích hình thang Nhóm tính cách trừ nhóm chúng em tính cách cộng lại Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic khái niệm giới hạn 117 Protocole 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 GV HS GV HS2 Các em đồng ý với giải thích em không ? Đồng ý ! Vậy nhóm tiếp tục trình bày Tương tự thế, ta tính S2 = 4,875 cách lấy S1 trừ cho hai diện tích tam giác KIT MIT HS Tại SKIT = SMIT = 1/16 ? HS2 Bởi SKIT = ½ IT.KH mà KH = ½ , IT = ID = ¼ nên SKIT = 1/16 HS IT ID T đâu phải trung điểm IH ! HS2 Ừ ! Vậy kết sai ! GV Nhóm giải toán cách “trừ dần” Đó ý tưởng hay tính toán mắc sai lầm Tình trạng nhóm vừa Bây cuối đến nhóm Xin mời nhóm HS1 Ta chia n lần hình cho Vậy hình thang nhỏ có đường cao Δx.Tính diện tích hình thang nhỏ : S1, S2, S3, , Sn Nhận thấy Sn− S1 có dạng (n2 − n)Δx3 Vậy tổng S1 + S2 + + Sn có dạng này, mà Δx = 2/n, rút gọn ta kết 14/3 + 4/3n2 Nếu n lớn tổng gần với diện tích hình thang cong S Cho n = 100 , ta giá trị gần S1 = Cho n = 105 , giá trị gần S2 = Cho n = 110 , S3 = Cho n = 111115 , S4 = HS Nhóm nói đến công thức tính 12 + 22 + + n2 vaø + + + n Những công thức từ đâu ? Có không ? HS1 Những công thức biết hồi học cấp II Sách Đại số lớp 11 có nhắc lại HS Khi cho n = 111115, dùng máy tính tính S4 = 4,666666667 có “8 số 6” Sao kết nhóm có tới “11 số 6” lận ? HS1 Máy tính tới 12 số lẻ thập phân Do 14/3 + 4/3n2 lớn 14/3 số 4/3n2 Khi n = 111115 4/3n2 nhỏ, S4 lớn 14/3 ít, mà 14/3 = 4,666 nên bọn cho 4,666666666667 có “11 số 6” chữ số cuối lấy GV Trở lại yêu cầu toán, em thấy làm nhóm so với nhóm khác ? HS Rất tổng quát, có công thức tổng quát GV Như nhóm trình bày xong làm Ta thống với có cách giải toán ? HS Có cách : Một chia thành tam giác Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic khái niệm giới hạn 118 Protocole 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 Hai chia thành hình thang HS Có cách : Một chia thành nhiều hình thang nhỏ Hai từ hình lớn chia thành nhiều tam giác, hình thang HS Có thể gộp lại cách : Chia hình thang cong dùng phép cộng theo phép trừ để tính GV Gộp lại chia hình Nhưng chia ? HS Theo phép cộng theo phép trừ Vậy lại có cách GV Như hoạt động nhóm làm theo cách hoạt động : − Cách : Chia hình thang cong thành nhiều hình thang nhỏ Cộng diện tích hình thang nhỏ lại − Cách : Trừ lần tam giác hình thang lớn hình thang cong Các em đồng ý không ? HS Đồng ý ! GV Như có nhóm tính giá trị gần thừa S1, S2, S3, S4 Kết nhóm có sai số tuyệt đối nhỏ nhóm với ? HS Nhóm GV Tại nhóm ? HS Bởi nhóm tính S4 nhỏ nhóm, mà S4 giá trị gần thừa nên S4 có sai số nhỏ GV Vậy nhóm nhóm thắng Thày hỏi nhóm này, em tính S4 nhỏ không ? HS2 Thì em tiếp tục trừ thêm tam giác GV Thế nhóm 4, em để S4 nhỏ ? HS4 Bọn em chia thành nhiều hình thang nữa, chẳng hạn chia thành 20 hình phải tính toán nhiều có không ? GV Còn nhóm 1, để S4 nhỏ ? HS1 Bọn em chọn n lớn 111115, ví dụ n = 1000000 GV Như dù theo cách em tính S4 nhỏ Bây em ý nghe thày hỏi câu quan trọng : Các em tính gần diện tích S hình cho vớiù sai số nhỏ số dương không ? HS Chỉ nhóm làm ! GV Tại ? Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic khái niệm giới hạn 119 Protocole 177 HS Nhóm có công thức tổng quát cần n lớn Còn nhóm khác tính hình nên sai số nhỏ phải tính nhiều hình nhỏ nên 178 GV Đó trở ngại mặt kỹ thuật tính toán Nếu xét mặt ý tưởng tính diện tích gần với sai số nhỏ không ? 179 HS Được, phải có nhiều thời gian 180 GV Vậy hay không ? 181 HS Dạ 182 GV Vậy em bước đầu hiểu việc tính diện tích thời Archimède Ông tính gần diện tích phần parabol diện tích đa giác nội tiếp với sai số nhỏ tùy ý, nghóa chênh lệch hai diện tích nhỏ mong muốn tăng số cạnh đa giác Đến kỷ 17, nhà toán học tính diện tích parabol cách lấp đầy vô số hình chữ nhật « Vẽ hình minh họa bảng » Tính tổng diện tích hình chữ nhật đơn giản dễ khái quát thành công thức tổng quát theo n Còn em lấp đầy hình thang nên tính toán gặp rắc rối nhiều Tại em lại chia hình thành hình thang mà nhóm nghó đến hình chữ nhật ? 183 HS Vì bọn em thấy giống hình thang 184 HS Khi giải thích đề toán, thày nói S diện tích hình thang cong 185 HS Vì vẽ hình chữ nhật em thấy sai số lớn vẽ hình thang 186 GV Bây thày tóm tắt lại hai buổi thực nghiệm vừa qua Trong hoạt động 1, em thấy tính xác diện tích S với kiến thức mà em có Sang hoạt động 2, em bắt đầu tính gần diện tích S với sai số minh họa hình vẽ Đến hoạt động 3, em biết tính diện tích gần thừa với sai số nhỏ Qua em tin tưởng tính diện tích gần với sai số nhỏ Như em tiếp cận gần với diện tích S Điều gợi ý tốt, giúp ích cho em học đến khái niệm Giới hạn học kỳ II Thực nghiệm đến chấm dứt, thày cảm ơn tham gia tích cực, đầy nhiệt tình tất em ( ) Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic khái niệm giới haïn 120 ... GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ NỘI DUNG CỦA ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN GIỚI DÃY SỐ Đk cần giới hạn dãy số Đk đủ giới hạn dãy số Một dãy số có giới hạn Tính Kẹp Phép toán đại số Giới hạn ∞ Dấu hàm số. .. tự : Giới hạn hàm số → Giới hạn dãy số Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic khái niệm giới hạn → Hàm số liên tục 31 Chương II – Mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn hay : Hàm số liên... §1 Giới hạn dãy số §2 Giới hạn hàm số §3 Hàm số liên tục Trong luận văn này, phân tích §1 §2 Phần lý thuyết §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1) Về định nghóa giới hạn dãy số Định nghóa : ? ?Số b gọi giới hạn