Khi thể tích của khối trụ T đạt giá trị lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của T đi qua điểm nào dưới đây?.. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1..[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề thi gồm có 05 trang ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2021 MÔN TOÁN – Khối lớp 12 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) MÃ ĐỀ 124 Họ và tên học sinh: Số báo danh: Câu Câu Khẳng định nào sau đây là đúng? A f x dx f x B f x dx f x C f x dx f x D f x dx f x Với a là số thực dương tùy ý, log8 a A log2 a Câu a x ln D 16 a B 2; 1 C 1;1 D 0;1 B x C x D x B y x ln C y x ln D y x Viết công thức tính diện tích xung quanh hình trụ có đường cao h , bán kính đường tròn R A S xq 2 h Câu C 4a Đạo hàm hàm số y log3 x là: A y Câu B 16a Nghiệm phương trình x1 là: A x Câu D log a Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ Hàm số đã cho đồng biến khoảng nào? A 1; Câu C 3log a Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao 4a Thể tích khối chóp đã cho là A Câu B 18 log a B S xq 2 Rh C S xq Rh D Sxq R h Hàm số dạng y ax bx c a 0 có nhiều bao nhiêu điểm cực trị? A B C D (2) Câu Cho f x dx 1 , đó f x dx B 1 A C 4 D 3 Câu 10 Cho hai số thực x, y thỏa mãn x và y Giá trị x y B A 10 C D 15 Câu 11 Phương trình log x 1 có nghiệm là A B C 11 D Câu 12 Đồ thị hàm số nào có dạng đường cong hình bên dưới? A y x 2x Câu 13 Đồ thị hàm số y B y x 4x C y x 2x D y x 4x 1 x cắt trục Oy điểm có tọa độ là x 1 A 0;1 B 1; C 0; 1 B e C D 1;1 x Câu 14 Tích phân e dx A e e 1 D e Câu 15 Cho hai số phức z1 i và z2 2i Khi đó phần ảo số phức z2 z1 bằng: A 2 B 3i C D 2i Câu 16 Môđun số phức z 3i bằng: A B 13 C D 13 Câu 17 Cho hàm số y f x có bảng biến thiên hình vẽ Mệnh đề nào đây đúng? A Hàm số đạt cực đại x B Hàm số đạt cực tiểu x (3) C Hàm số đạt cực đại x D Hàm số đạt cực tiểu x Câu 18 Từ nhóm gồm học sinh nam và học sinh nữ có bao nhiêu cách chọn hai học sinh bất kỳ? C C52 C82 B C132 A 13 Câu 19 Họ các nguyên hàm hàm số f x A cot x C D A132 là sin x B tan x C C cot x C D tan x C Câu 20 Một khối lăng trụ có diện tích đáy và thể tích thì chiều cao A B C D Câu 21 Cho cấp số nhân un biết u1 2, u2 Công bội cấp số nhân đó là B 2 A C D Câu 22 Cho hình nón có diện tích xung quanh 5 a và bán kính đáy a Độ dài đường sinh hình nón đã cho B 5a A 2a C 3a D 5a Câu 23 Cho số phức z 2i Điểm nào sau đây là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ? A H 1; B T 2; 1 C G 1; 2 D K 2;1 Câu 24 Trong không gian Oxyz , cho vectơ a 3; 2;1 và điểm A 4;6; 3 Tọa độ điểm B thỏa mãn AB a là A 1; 8; B 7; 4; 4 Câu 25 Đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y A x B y C 1;8; 2 D 7; 4; 2 x là 2x 1 D y C x Câu 26 Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên B y 3x A y tan x Câu 27 Cho f x dx và A 6 C y 4x x 3 f x g x dx 8 Tính tích phân B 3 C D y x g x dx D 5 Câu 28 Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi vuông góc và OA OB 2a , OC a Khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC A a B a C a D 3a Câu 29 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu S có tâm I 2;1; và bán kính R (4) A S : x y 1 z B S : x y 1 z C S : x y 1 z D S : x y 1 z 2 2 2 2 Câu 30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : 2 2 x 1 y z 1 Điểm nào đây 2 không thuộc ? A M 0; 2;1 B N 1; 0;1 C F 3; 4;5 D E 2; 2;3 Câu 31 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 2; 1;3 , B 4; 0;1 và C 10;5;3 Vectơ nào đây là vectơ pháp tuyến mặt phẳng ABC ? A n 1; 2;0 B n 1; 2; C n 1; 2; 1 Câu 32 Tập hợp nghiệm bất phương trình 5 x 4 1 5 D n 1;8; x2 3 x là A ; 1 6; B ; 1; C 1;6 D 6;1 Câu 33 Cho hai số phức z1 i, z2 i Tính z1 z1.z2 A B C 5 D Câu 34 Gọi M , m là giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số f x 2x 1 trên đoạn 0; 4 Giá trị x 1 5M 3m A B 10 C D Câu 35 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S : x y z2 x y z Bán kính mặt cầu S là: A R 14 B 14 C D Câu 36 Chọn ngẫu nhiên viên bi từ hộp gồm viên bi đen và viên bi trắng Xác suất để bi chọn cùng màu là: A B C D Câu 37 Cho hình lập phương ABCD AB C D Gọi M , N là trung điểm cạnh AC và B C ; là góc MN và mặt phẳng AB C D Tính giá trị sin A sin B sin C sin D sin m Câu 38 Có bao nhiêu giá trị thực tham số m thỏa mãn: 3x x dx m 10 ? A B C D (5) Câu 39 Cho hàm số y x m x m n Biết hàm số nghịch biến trên khoảng ; và giá trị lớn hàm số trên đoạn 1;1 Tính m n A m n B m n C m n 1 Câu 40 Cho z1 , z là hai số phức liên hợp thỏa mãn D m n z1 và z1 z2 Tính môđun z22 số phức z1 A z1 B z1 C z1 D z1 Câu 41 Trong không gian Oxyz , cho các điểm A 4; 3; , B 6;1; 7 và C 2;8; 1 Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ O và trọng tâm G tam giác ABC A x y z 1 1 B x y z 1 C x y z 3 D x y z 1 Câu 42 Lon nước có hình trụ còn cốc nước thì có hình nón cụt (như hình vẽ đây) Khi rót nước từ lon cốc thì chiều cao h phần nước còn lại lon và chiều cao phần nước có cốc là Hỏi đó chiều cao h nước lon gần là số nào sau đây? A 9,18cm B 14, 2cm C 8,58cm D 7,5cm Câu 43 Cho số thực dương x bất kì và số thực dương y thỏa mãn: x ln y1.y 4ln2 x Gọi M , m là giá trị lớn và giá trị nhỏ logy x Giá trị M.m A B 4 C D 2 x 1 t Câu 44 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : y t và mặt phẳng z 1 t : x y z Phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng , cắt và vuông góc với đường thẳng d là: x A y 2t z 1 t x B y t z 1 t x C y t z 2t x D y t z 1 t (6) Câu 45 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật, E là điểm trên cạnh AD cho BE 450 vuông góc với AC H và AB AE , cạnh SH vuông góc với mặt phẳng đáy, góc BSH Biết AH A 2a , BE a Thể tích khối chóp S ABCD 32a3 15 B 16a C 32 a Câu 46 Tìm tất các giá trị tham số a để phương trình ee 2x a D 8a3 x a có nhiều nghiệm là A a B a C a e D a 1 Câu 47 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 3; 2;0 , B 1; 2; Xét hình trụ T nội tiếp mặt cầu đường kính AB và có trục nằm trên đường thẳng AB Khi thể tích khối trụ T đạt giá trị lớn thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy T qua điểm nào đây? A C 0; 1; Câu 48 Cho hàm số y f ( x) B C 0; 1; C C 1; 0; D C 1;0; x ax3 bx cx có đồ thị C hàm số y f x hình vẽ sau: Đặt g x f f x , h x f f x Tổng số điểm cực trị hàm số g x , h x là: A 12 C 10 B 11 D Câu 49 Hàm số bậc ba y f x có đồ thị C1 qua điểm A 1;0 ; hàm số bậc hai y g x có đồ thị C2 qua điểm B 1; C1 , C2 cắt ba điểm phân biệt có hoành độ là 1; 2;3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị C1 , C2 A 11 B 32 C Câu 50 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn 71 z1 i 1, D 112 z2 i Số phức z z z 1 i z và z z i z là các số ảo Tìm giá trị nhỏ A B C HẾT D thỏa mãn z 2i (7) BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.D 3.A 4.A 5.C 6.B 7.B 8.D 9.D 10.D 11.A 12.D 13.A 14.D 15.C 16.B 17.A 18.B 19.A 20.A 21.C 22.B 23.C 24.C 25.D 26.B 27.C 28.B 29.D 30.A 31.B 32.D 33.C 34.B 35.D 36.A 37.B 38.A 39.A 40.A 41.B 42.C 43.B 44.D 45.A 46.B 47.D 48.D 49.C 50.A Xem thêm: ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN https://toanmath.com/de-thi-thu-mon-toan (8) Câu HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Khẳng định nào sau đây là đúng? A f x dx f x B f x dx f x C f x dx f x D f x dx f x Lời giải Ta có: Câu f x dx f x Với a là số thực dương tùy ý, log8 a A log2 a C 3log a B 18 log a D log a Lời giải Ta có: log8 a log 23 a log a log a Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao 4a Thể tích khối chóp đã cho là Câu A a C 4a B 16a D 16 a Lời giải 1 Thể tích khối chóp đã cho là: V Bh a 4a a3 3 Câu Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ Hàm số đã cho đồng biến khoảng nào? A 1; B 2; 1 C 1;1 D 0;1 Lời giải Từ đồ thị hàm số, suy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng 1; và 1; Câu Nghiệm phương trình x1 là: A x B x C x Lời giải Ta có x1 x1 23 x x Vậy nghiệm phương trình x1 là x Câu Đạo hàm hàm số y log3 x là: D x (9) A y x ln B y x ln D y C y x ln x Lời giải Tập xác định D 0; Ta có log x Câu x.ln Viết công thức tính diện tích xung quanh hình trụ có đường cao h , bán kính đường tròn R B S xq 2 Rh A S xq 2 h C S xq Rh D S xq R h Lời giải Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ có đường cao h , bán kính đường tròn R là S xq 2 Rh Câu Hàm số dạng y ax bx c a 0 có nhiều bao nhiêu điểm cực trị? B A C D Lời giải Hàm số dạng y ax bx c a 0 có nhiều điểm cực trị Câu Cho 2 1 f x dx 1 , đó f x dx C 4 B 1 A D 3 Lời giải 2 1 Ta có f x dx 3 f x dx 1 3 Câu 10 Cho hai số thực x, y thỏa mãn x và y Giá trị x y A 10 B C D 15 Lời giải Ta có x y x.4 y 5.3 15 Câu 11 Phương trình log x 1 có nghiệm là A B C 11 Lời giải Ta có log x 1 x x Vậy phương trình có nghiệm x Câu 12 Đồ thị hàm số nào có dạng đường cong hình bên dưới? D (10) A y x 2x B y x 4x C y x 2x D y x 4x Lời giải + Đồ thị đã cho có dạng đồ thị hàm số bậc 4, suy loại phương án A, C 4 + Xét hàm số y x 4x có y 4 x x , y x , suy hàm số y x 4x có điểm cực trị Loại phương án B Vậy đồ thị hàm số y x x có dạng hình vẽ đã cho Câu 13 Đồ thị hàm số y 1 x cắt trục Oy điểm có tọa độ là x 1 A 0;1 C 0; 1 B 1; D 1;1 Lời giải Cho x , ta y Vậy đồ thị hàm số y 1 1 1 1 x cắt trục Oy điểm có tọa độ là 0;1 x 1 x Câu 14 Tích phân e dx A e B e C e 1 D e Lời giải Ta có: e dx e x x e 1 Vậy e dx e x Câu 15 Cho hai số phức z1 i và z2 2i Khi đó phần ảo số phức z2 z1 bằng: A 2 B 3i C D 2i Lời giải Ta có z2 z1 1 2i i 3i Vậy phần ảo số phức z2 z1 là Câu 16 Môđun số phức z 3i bằng: A B 13 C D 13 (11) Lời giải Môđun số phức z 3i là z 3i 13 Câu 17 Cho hàm số y f x có bảng biến thiên hình vẽ Mệnh đề nào đây đúng? A Hàm số đạt cực đại x B Hàm số đạt cực tiểu x C Hàm số đạt cực đại x D Hàm số đạt cực tiểu x Lời giải Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại x Câu 18 Từ nhóm gồm học sinh nam và học sinh nữ có bao nhiêu cách chọn hai học sinh bất kỳ? C C52 C82 B C132 A 13 D A132 Lời giải Nhóm có 13 học sinh Số cách chọn hai học sinh từ 13 học sinh là C132 Câu 19 Họ các nguyên hàm hàm số f x A cot x C B tan x C là sin x C cot x C D tan x C Lời giải dx cot x C x sin x Câu 20 Một khối lăng trụ có diện tích đáy và thể tích thì chiều cao Ta có: A f x dx sin dx C B D Lời giải Thể tích khối lăng trụ là: V B.h Theo bài ra: 3h h Vậy chiều cao khối lăng trụ Câu 21 Cho cấp số nhân un biết u1 2, u2 Công bội cấp số nhân đó là A B 2 C D Lời giải Gọi q là công bội cấp số nhân un , ta có u2 u1.q q Vậy công bội cấp số nhân u2 u1 (12) Câu 22 Cho hình nón có diện tích xung quanh 5 a và bán kính đáy a Độ dài đường sinh hình nón đã cho A 2a B 5a C 3a D 5a Lời giải Gọi l , r là độ dài đường sinh, bán kính đáy hình nón Ta có S xq rl 5 a a.l 5 a l 5a Vậy độ dài đường sinh hình nón 5a Câu 23 Cho số phức z 2i Điểm nào sau đây là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ? A H 1; B T 2; 1 C G 1; 2 D K 2;1 Lời giải Ta có: z 2i z 2i Vậy điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ là điểm G 1; 2 Câu 24 Trong không gian Oxyz , cho vectơ a 3; 2;1 và điểm A 4;6; 3 Tọa độ điểm B thỏa mãn AB a là A 1; 8; B 7; 4; 4 C 1;8; 2 D 7; 4; Lời giải Gọi B x; y; z Ta có AB x 4; y 6; z 3 x 3 x AB a y y z z 2 Vậy tọa độ điểm B là B 1;8; 2 Câu 25 Đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y A x B y 2 x là 2x C x Lời giải 1 2 x Ta có lim y lim lim x x x x x 2 x 1 2 x lim y lim lim x x x x x 2 x Vậy đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số là y Câu 26 Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên D y (13) C y B y 3x A y tan x 4x x 3 D y x Lời giải + Hàm số y tan x có tập xác định D \ k Suy hàm số y tan x không đồng biến 2 trên , + Hàm số y x3 có y x 0, x ; y x Suy hàm số y 3x đồng biến trên + Hàm số y 4x 4x 1 có tập xác định D \ 3 Suy hàm số y không đồng biến trên x 3 x 3 + Hảm số y x có tập xác định D , y 12 x3 ; y x Suy hàm số y x không đồng biến trên Vậy các hàm số đã cho, hàm số y 3x đồng biến trên Câu 27 Cho f x dx và f x g x dx 8 Tính tích phân A 6 B 3 C g x dx D 5 Lời giải 1 0 f x g x dx 8 f x dx g x dx 8 1 0 2 g x dx 8 g x dx Câu 28 Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi vuông góc và OA OB 2a , OC a Khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC A a B a C a D 3a Lời giải Gọi I là hình chiếu vuông góc O lên BC và H là hình chiếu vuông góc O lên AI OA OB Ta có OA BC OA OC BC OA Khi đó BC OAI BC OH , đồng thời OH AI nên OH ABC BC OI (14) Do đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC OH Ta có 1 1 1 OH a 2 2 OH OA OI OA OB OC a Vậy khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC a Nhận xét: Tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi vuông góc thì 1 1 2 d OA OB OC (1) Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng ABC tính theo công thức (2) H là hình chiếu vuông góc O lên mặt phẳng ABC H là trực tâm ABC Câu 29 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu S có tâm I 2;1; và bán kính R A S : x y 1 z B S : x y 1 z C S : x y 1 z D S : x y 1 z 2 2 2 2 2 2 Lời giải Mặt cầu S tâm I 2;1; và bán kính R có phương trình là x y 1 z Câu 30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : 2 x 1 y z 1 Điểm nào đây 2 không thuộc ? A M 0; 2;1 B N 1; 0;1 C F 3; 4;5 D E 2; 2;3 Lời giải Thay tọa độ điểm M 0; 2;1 vào phương trình chính tắc đường thẳng ta mệnh đề sai: 1 1 Suy điểm M 0; 2;1 không thuộc đường thẳng 2 Câu 31 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 2; 1;3 , B 4; 0;1 và C 10;5;3 Vectơ nào đây là vectơ pháp tuyến mặt phẳng ABC ? A n 1; 2;0 B n 1; 2; C n 1; 2; D n 1;8; Ta có AB 2;1; , AC 12; 6; Lời giải Mặt phẳng ( ABC ) có vectơ pháp tuyến là AB, AC 12; 24; 24 12 1; 2; Suy n 1; 2; là vectơ pháp tuyến mặt phẳng ABC 1 Câu 32 Tập hợp nghiệm bất phương trình 5 x 4 1 5 x2 3 x là: A ; 1 6; B ; 1; C 1;6 D 6;1 Lời giải (15) 1 Ta có 5 x 4 1 5 x 3 x x x x x x 6 x Vậy bất phương trình có tập nghiệm S 6;1 Câu 33 Cho hai số phức z1 i, z2 i Tính z1 z1.z2 A B C 5 D Lời giải Ta có z1.z2 10 i ; z1 z1.z2 11i Vậy z1 z1.z2 5 Câu 34 Gọi M , m là giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số f x 2x 1 trên đoạn 0; 4 Giá trị x 1 5M 3m A C B 10 D Lời giải +) Hàm số f x +) Ta có f x 2x 1 liên tục trên đoạn 0; 4 x 1 x 1 0, x 0; 4 nên hàm số đã cho đồng biến trên 0; +) Khi đó m f x f 1; M max f x f 0;4 0;4 Vậy 5M 3m 10 Câu 35 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S : x y z2 x y 4z Bán kính mặt cầu S là: A R 14 B 14 C D Lời giải Ta có phương trình mặt cầu S có dạng x y z2 2ax 2by 2cz d a b Từ đó suy c d Vậy mặt cầu S có tâm I 1;2;2 và bán kính R a2 b2 c d Câu 36 Chọn ngẫu nhiên viên bi từ hộp gồm viên bi đen và viên bi trắng Xác suất để bi chọn cùng màu là: A B C D Lời giải Chọn ngẫu nhiên viên bi từ hộp viên bi ta có C92 36 (cách) n 36 (16) Gọi A là biến cố “Hai viên bi chọn cùng màu” Trường hợp 1: Hai bi chọn cùng màu đen Có C52 10 (cách) Trường hợp 2: Hai bi chọn cùng màu trắng Có C42 (cách) n A 10 16 Vậy xác suất biến cố A là p A n A n 16 36 Câu 37 Cho hình lập phương ABCD AB C D Gọi M , N là trung điểm cạnh AC và B C ; là góc MN và mặt phẳng AB C D Tính giá trị sin A sin B sin C sin D sin Lời giải Gọi M là trung điểm đoạn thẳng AC Khi đó M là tâm hình vuông A B C D và ta có MM AB C D ( MM // AA và AA A B C D ) Từ đó ta suy M N là hình chiếu vuông góc MN trên mặt phẳng AB C D Do đó MN , A B C D MN , M N MNM Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương ABCD AB C D Khi đó ta có MM AA a và M N AB a 2 Tam giác MM N vuông M nên có MN MM M N a a2 5a a 4 MM a Vậy sin sin MNM MN a m Câu 38 Có bao nhiêu giá trị thực tham số m thỏa mãn: 3x x dx m 10 ? A B C Lời giải D (17) m Đặt I 3x x dx Bảng xét dấu x x : Ta xét các trường hợp sau: +) Trường hợp 1: m m Khi đó I 3x x dx x3 x m m3 m Suy I m 10 m3 m2 m 10 m 2 , (thỏa mãn) +) Trường hợp 2: m 10 Khi đó I (do 3x x 0, x ) và m 10 nên m 10 không thỏa mãn yêu cầu bài toán Trường hợp 3: m 10 Khi đó m m I x x dx x x dx x x d x x x x x m m 0 Suy I m 10 m3 m m 27 278 m 10 m3 m2 m 27 27 8 m m2 3m 0, m 10 27 27 Suy trường hợp này không có m thỏa mãn Ta có: m3 m2 m 10 Vậy m 2 Câu 39 Cho hàm số y x m x m n Biết hàm số nghịch biến trên khoảng ; và giá trị lớn hàm số trên đoạn 1;1 Tính m n A m n B m n C m n 1 D m n Lời giải Ta có: y x m x m x 1 m Suy ra: y x m x m 1 x 1 m Bảng xét dấu y Suy hàm số nghịch biến trên khoảng 1 m;1 m 1 m m 1 Hàm số nghịch biến trên trên khoảng 0; m 1 1 m m 1 (18) Với m 1 ta có y x 1 x 1 n ; y x 1 x 1;1 y x 1 x 1;1 Ta có y 1 n , y n , y 1 n Suy max y n 1;1 max y n n 1;1 Vậy m n 1 Câu 40 Cho z1 , z là hai số phức liên hợp thỏa mãn z1 và z1 z2 Tính môđun z22 số phức z1 B z1 A z1 C z1 D z1 Lời giải Đặt z1 a bi, a, b z2 z1 a bi Điều kiện: z1 a b Ta có z1 z2 a bi a bi b b b z1 z1 z13 z22 z1 z1.z1 Vì a bi a 2 b 2 a 3ab2 a b 3a 2b b3 a 2 b2 i b KTM z1 nên 3a 2b b3 2 z2 b 3a * Thay b vào * ta a Vậy z1 a b Câu 41 Trong không gian Oxyz , cho các điểm A 4; 3; , B 6;1; 7 và C 2;8; 1 Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ O và trọng tâm G tam giác ABC A x y z 1 1 B x y z 1 C x y z 3 D x y z 1 Lời giải Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là G 4; 2; 2 Đường thẳng d qua O và G có vectơ phương là u OG 2;1; 1 Vậy đường thẳng d có phương trình chính tắc là x y z 1 Câu 42 Lon nước có hình trụ còn cốc nước thì có hình nón cụt (như hình vẽ đây) Khi rót nước từ lon cốc thì chiều cao h phần nước còn lại lon và chiều cao phần nước có cốc là Hỏi đó chiều cao h nước lon gần là số nào sau đây? (19) A 9,18cm B 14, 2cm C 8,58cm D 7,5cm Lời giải Thể tích lon nước lúc đầu là V 32.15 135 Gọi V1 là thể tích nước còn lại lon sau rót cốc Ta có V1 32.h 9 h Gọi V2 là thể tích nước đã rót Ta có V2 h r r 2 rr đó r , r là bán kính mặt trên phần nước cốc Ta có r 15 2h 30 r (do r ) r 15 h 15 h 2h 30 2h 30 Vì V V1 V2 nên ta có phương trình 9 h 135 15 15 4h3 180h2 8775h 91125 h 8,58 Câu 43 Cho số thực dương x bất kì và số thực dương y thỏa mãn: x ln y1.y 4ln2 x Gọi M , m là giá trị lớn và giá trị nhỏ logy x Giá trị M.m A B 4 C Lời giải D 2 (20) Với x 0, y 0, y x ln y1.y 4ln2 x logy x ln y1 ln2 x ln y 1.log y x ln2 x ln x logy x ln2 x logy x ln x ln2 x Xét f x ln x ln2 x , x , 2 ln x Đặt t ln x , 2 t xét f (t) t t , f (t ) 1 t t f (t ) 1 t t t TM t2 t L Ta có bảng biến thiên: t t2 Dựa vào bảng biến thiên, ta có Hàm f (t ) đạt giá trị lớn M 2 t , hay logy x đạt giá trị lớn M 2 ln x x e (TM ) Hàm f (t ) đạt giá trị nhỏ m 2 t , hay log y x đạt giá trị nhỏ m 2 ln x 2 x e2 (TM ) Vậy M m 2.2 4 x 1 t Câu 44 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : y t và mặt phẳng : x y z z 1 t Phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng , cắt và vuông góc với đường thẳng d là: x A y 2t z 1 t x B y t z 1 t x C y t z 2t Lời giải u [n , ud ] 0;2; 2 2 0; 1;1 +) Ta có d +) Gọi I d x D y t z 1 t (21) +) I d I 1 t ;1 t ;1 t +) Vì I , nên I t I 1;1;1 x +) Do đó phương trình đường thẳng là: y t z 1 t Câu 45 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật, E là điểm trên cạnh AD cho BE 450 vuông góc với AC H và AB AE , cạnh SH vuông góc với mặt phẳng đáy, góc BSH Biết AH A 32a3 15 2a , BE a Thể tích khối chóp S ABCD B 16a C 32 a D 8a3 Lời giải S E A D H B C Tam giác ABE vuông A và có đường cao AH nên ta có: AB AE 2a AB AE AH BE AB AE 2a AB AE 2a 2 2 2 AB AE 5a AE AB BE AB AE 3a AB AE AB AE 5a Suy độ dài các đoạn AB, AE là hai nghiệm phương trình X 3aX 2a AB 2a Vì AB AE nên AE a 4a Tam giác AHB vuông H nên BH AB AH 4a Tam giác SHB vuông H nên SH BH cot BSH Tam giác ABC vuông B và có đường cao BH nên 1 BC 4a 2 BH BA BC 1 4a 32a 32a Vậy thể tích khối chóp S ABCD là VS ABCD SH S ABCD 2a.4a 15 3 5 Câu 46 Tìm tất các giá trị tham số a để phương trình ee 2x a x a có nhiều nghiệm là (22) A a B a C a e Lời giải D a 1 Đặt e x a 2t Phương trình đã cho trở thành e 2t x a (1) e2 x 2t a e x e2t 2t x e2 x x e 2t 2t Xét hệ phương trình 2t e x a Dễ thấy hàm số f x e x x đồng biến trên Phương trình f x f 2t x 2t x t Thay x t vào phương trình 1 e2 x x a 3 Xét hàm số y g x e2 x x Tập xác định: Ta có y 2e x y e x x lim g x , lim g x x x Bảng biến thiên hàm số y g x : Phương trình 1 có nhiều nghiệm phương trình có nhiều nghiệm a Câu 47 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 3; 2;0 , B 1; 2; Xét hình trụ T nội tiếp mặt cầu đường kính AB và có trục nằm trên đường thẳng AB Khi thể tích khối trụ T đạt giá trị lớn thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy T qua điểm nào đây? A C 0; 1; B C 0; 1; C C 1; 0; Lời giải D C 1;0; (23) Mặt cầu đường kính AB có tâm I 1;0; , bán kính R AB 2 Giả sử hình trụ T nội tiếp mặt cầu đường kính AB có chiều cao h x , bán kính đáy r Ta có r R x 12 x Khi đó thể tích khối trụ T là V r h 2 12 x x 2 x3 24 x với x +) V 6 x 24 ; V x 2 Bảng biến thiên Suy thể tích khối trụ lớn x Khi đó, mặt phẳng P chứa đường tròn đáy hình trụ T có vectơ pháp tuyến là AB 4; 4; nên phương trình mặt phẳng P có dạng x y z d Ta có d I , P d 1 d 1 Phương trình mặt phẳng chứa hai đường tròn đáy hình trụ T là: P1 : x y z , P2 : x y z Kiểm tra ta điểm C 1; 0; thuộc mặt phẳng P2 Câu 48 Cho hàm số y f ( x) x ax3 bx cx có đồ thị C hàm số y f x hình vẽ sau: Đặt g x f f x , h x f f x Tổng số điểm cực trị hàm số g x , h x là: A 12 B 11 C 10 Lời giải Ta có : f x x 3ax 2bx c có đồ thị C D (24) Dựa vào đồ thị ta có : f x x x 1 x3 3x Đồng hệ số ta a 1; b 0; c Suy f x x x x ; f x 3x x + Xét hàm số y g x f f x Ta có g x f x f f x x x x f x x2 g x (*) f ' x x x 1 f f x x x 1 f ' x 1 Do phương trình 1 có nghiệm, phương trình có nghiệm nên hệ phương trình (*) có nghiệm, đó có nghiệm bội chẵn phương trình 1 Do đó hàm số g x có điểm cực trị + Xét hàm số h x f ' f x Ta có h ' x f x f f x x x 1 x f x x 1 h ' x x4 x3 x f x f f x 4 f x x4 x3 x 3 ** 4 Do phương trình có nghiệm đơn, phương trình có nghiệm đơn nên hệ phương trình (**) có nghiệm, đó có nghiệm bội chẵn x Do đó hàm số h x có điểm cực trị Vậy tổng số điểm cực trị hai hàm g x , h x là Câu 49 Hàm số bậc ba y f x có đồ thị C1 qua điểm A 1;0 ; hàm số bậc hai y g x có đồ thị C2 qua điểm B 1; C1 , C2 cắt ba điểm phân biệt có hoành độ là 1; 2;3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị C1 , C2 A 11 B 32 C 71 D 112 Lời giải Ta có: C1 qua điểm A 1;0 nên f 1 C2 qua điểm B 1; 4 nên g 1 4 Vì C1 , C2 cắt ba điểm phân biệt có hoành độ là 1; 2;3 nên ta có: f x g x a x 1 x x 3 (*), a Thay x vào hai vế (*) ta được: f 1 g 1 4a 4a a (thỏa mãn) Suy f x g x x 1 x x 3 Vậy diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị C1 , C là: (25) S x 1 x x 3 dx 1 x 1 x x 3 dx Câu 50 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 i 1, 71 z2 i Số phức z z z 1 i z và z z i z là các số ảo Tìm giá trị nhỏ 1 A C B thỏa mãn z 2i D Lời giải Giả sử z1 x1 y1i , z2 x2 y2i , z x yi với x1 , y1 , x2 , y2 , x, y Gọi các điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , z là M x1 ; y1 , M x2 ; y2 , M x ; y Ta có +) z1 i M thuộc đường tròn C1 có tâm I1 1;1 , bán kính R1 +) z2 i M thuộc đường tròn C2 có tâm I 2; 1 , bán kính R2 +) z z1 1 i z1 là số ảo x x1 1 x1 y y1 1 y1 M 1M M I1 MM1 là tiếp tuyến đường tròn C1 +) z z2 i z là số ảo x x x y y 1 y M M M I 2 2 2 2 MM là tiếp tuyến đường tròn C2 Ta thấy, điểm A 3; nằm ngoài hai đường tròn C1 , C2 nên từ A kẻ tiếp tuyến tới hai đường tròn trên Do đó z 2i MA đạt giá trị nhỏ M A Vậy giá trị nhỏ z 2i HẾT (26)