b Tìm trên C những điểm M mà tiếp tuyến của đồ thị tại đó cắt các đường tiệm cận của C tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác I AB có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng.. I là g[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 TÀI LIỆU TOÁN THPT Môn: TOÁN NGÀY 23-02-2013 http://www.k2pi.net ĐỀ SỐ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu (2 điểm) Cho hàm số y = x −2 (C ) x +1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C ) b) Tìm trên (C ) điểm M mà tiếp tuyến đồ thị đó cắt các đường tiệm cận (C ) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác I AB có bán kính đường tròn ngoại tiếp bán kính đường tròn nội tiếp ( I là giao điểm hai đường tiệm cận) Câu (2 điểm) sin 2x sin x + (cos x + 1) (cos x + 2) =1 sin (2x¡ + cos 2x¢+ sin x + cos x + 2 x + y +1 xy =x +y ¡ ¢ ¡ ¢ b) Giải hệ phương trình : x + y xy − y = 4x y 4x y + x − a) Giải phương trình : Câu (1 điểm) Tính tích phân : π Z I= x (7 − cos 2x) + dx cos x + Câu (1 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABC D có đáy ABC D là hình thoi tâm O , O A = 2OB = 2a Cạnh SO vuông góc với mặt phẳng đáy Một mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC , SD B ,C , D Gọi M là trung điểm AB Tính thể tích khối chóp S.ABC D và góc đường thẳng SM với mặt phẳng (α), biết 4B 0C D Câu (1 điểm) Cho các số thực x, y, z thuộc đoạn [1; 3] Tìm giá trị nhỏ biểu thức : ¡ ¢2 25 y + z ¡ ¢ T= 12x + 2012 x y + y z + zx PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh làm hai phần A B A Theo chương trình chuẩn Câu 6A (2 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các Ox y cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C ) : (x −2)2 +(y −3)2 = 45 Đường tròn (C ) có tâm K (−1; −3) cắt đường tròn (C ) theo dây cung song song với AC Biết diện tích tứ p p giác AIC K = 30 2, chu vi tam giác ABC 10 10 đó I là tâm đường tròn (C ) Hãy tìm điểm B có hoành độ âm b) Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các Ox y z cho tam giác ABC có C (3; 2; 3) Phương trình đường cao AH : x −1 y −4 z −3 x −2 y −3 z −3 = = , phương trình đường phân giác B D : = = Tính chu vi tam giác 1 −2 −2 ABC Câu 7A (1 điểm) Giải phương trình : ¡ ¢ 2x + 4x + 3x +3x = x + x + B Theo chương trình nâng cao Câu 6B (2 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các Oxy cho tam giác ABC cân A , phương trình cạnh bên AC : x+y −3 = Trên tia đối tia C A lấy điểm E Phân giác góc B AC cắt B E D Đường thẳng d qua D song song với AB cắt BC F Tìm tọa độ giao điểm M AF và B E biết phương trình đường thẳng AF : 2x + y − = và I (−1; −3) là trung điểm DF b) Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các Oxyz cho tứ diện ABC D có A(2; 0; 0), B (0; 2; 0),C (0; 0; 2), D(2; 2; 2) và mặt cầu (S) : (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 16 Gọi M là điểm có tọa độ nguyên nằm tứ diện Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M và cắt (S) theo đường tròn có chu vi bé Câu 7B (1 điểm) Cho các số phức z , z thỏa mãn : z không phải là số ảo và z − z |z |2 là số ảo ; z là số thực ¡ ¢ và z + z |z |2 là số thực Tính |z |2012 + |z |2013 ¡ ¢ ———————————————–Hết—————————————————- (2) TỔNG HỢP LỜI GIẢI TRÊN DIỄN ĐÀN Câu Cho hàm số y = x −2 x +1 (C ) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C ) b) Tìm trên (C ) điểm M mà tiếp tuyến đồ thị đó cắt các đường tiệm cận (C ) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác I AB có bán kính đường tròn ngoại tiếp bán kính đường tròn nội tiếp (I là giao điểm hai đường tiệm cận) a) Lời giải (hungchng): x −2 có tập xác định: D = R\{−1} x +1 * Đạo hàm y = (x + 1)2 > ∀x ∈ D , Hàm số đồng biến trên (−∞; −1), (−1; +∞) lim + y = −∞; lim − y = +∞; x = −1 là Hàm số y = * Đồ thị x→−1 x→−1 phương trình tiệm cận dọc lim y = 1; lim y = 1; y = là phương trình x→−∞ x→+∞ tiệm cận ngang * Bảng biến thiên x −∞ y0 +∞ −1 + + +∞ −4 −3 −2 −1 −1 y −2 −∞ −3 b) Lời giải (hbtoanag): Tiếp tuyến điểm M x ; y ∈ (C ) có dạng ∆ : y = ¡ ¢ x 02 − 4x − + (x + 1)2 (x + 1)2 3x Giao điểm hai tiệm cận là I (−1; 1) µ ¶ x0 − Giao điểm ∆ với tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là A −1; và B (2x + 1; 1) x0 + s Khi đó I A = , I B = 2|x + 1|, AB = (x + 1)2 + |x + 1| (x + 1)2 I A.I B.AB Diện tích tam giác I AB là S = pr = 4R AB ⇐⇒ 4pRr = I A.I B.AB ⇐⇒ pR = 12AB ⇐⇒ p = 3AB ⇐⇒ AB.p = 30 5à 5s ! s 9 2 ⇐⇒ (x + 1) + + |x + 1| + (x + 1) + = 15 (x + 1)2 |x + 1| (x + 1)2 p Đặt t = |x + 1| + , t ≥ 3, phương trình trên trở thành |x + 1| ³ p ´ ³ p ´ p p p t − t + t − = 15 ⇐⇒ t − = 15 t − t − ⇐⇒ t − = 5t ⇐⇒ t = = ta các nghiệm x = 1, x = −3, x = , x = − Giải phương trình |x + 1| + |x + 1| 2 ¡ ¢ ¡ ¢ ¡1 ¢ ¡ 52 ¢ Vậy có bốn điểm thỏa yêu cầu bài toán M1 1; −1 , M −3; , M ; −1 , M − ; 2 Câu 2.a Giải phương trình : sin 2x sin x + (cos x + 1) (cos x + 2) =1 sin 2x + cos 2x + sin x + cos x + Lời giải (Mai Tuấn Long): http://www.k2pi.net (3) 2 sin x + cos x 6= ĐK: cos x 6= − (cos x + 1)(2 − cos x)(2 cos x + 1) = ⇐⇒ (sin x − 1)2 = (2 sin x + cos x)(2 cos x + 1) π ⇐⇒ sin x = ⇐⇒ x = + k2π, (k ∈ Z)(TMĐK) π Vậy PT có nghiệm: x = + k2π, (k ∈ Z) ¢ ½ ¡ x + y + xy = x + y¡2 ¢ ¢ ¡ Câu 2.b Giải hệ phương trình : x + y x y − y = 4x y 4x y + x − PT ⇐⇒ Lời giải (nthoangcute): Đầu tiên, ta có: ¢ ¡ ¢ ¡ ¢2 ¡ ¢2 ¡ ¢ x + y x y − y − x y x y + x − = −x y x y − + x y(x + y) − y (−1 + x)2 − x y x y − ¡ ¢ ¢ ¡ Ta chứng minh x + y x y − y − x y x3 y + x − ≤ ¡ ¢ ¡ ¢2 ¡ ¢2 hay cần chứng minh: x2 y x y − − x2 y x + y + x2 y x y − ≥ ¡ ⇐⇒ 16x y ≥ (x + y)2 Đặt s = x + y, p = x y Giả thiết có: p = s2 s +3 3s (5s + 3)(s − 1) ≥0 (s + 3)2 s (s − 1) Theo Cauchy ta có: s − 4p = ≥0 s +3 ¡ ¢ Do đó BĐT chứng minh HPT có nghiệm là (x, y) = (0, 0); 12 , 12 BĐT cần chứng minh tương đương với: Lời giải (Lê Đình Mẫn): Phân tích ý tưởng cho bài toán: Đầu tiên, ta có thể biến đổi chút xíu P T (2) sau: P T (2) ⇐⇒ x y(x + y)(x − x y + y ) − y = 4x y (4x y + x − 1) (3) Để ý P T (3) có lượng biểu thức có chút tương đồng với P T (1) Cho nên ta thay đổi hình thức P T (1) lại xem Khi đó P T (1) ⇐⇒ (x + y)x y = x − x y + y Hãy quan sát mối tương đồng trên chúng ta nhận thấy điều đặc biệt đúng không Vậy chúng ta lại không sử dụng phép nhỉ! Nhưng đừng vội Để ý P T (3) các số hạng có chứa y vì chúng ta có thể thực phép sau để có thể đơn giản hoá lượng y đó Và ta có P T (3) ⇐⇒ x y (x + y)2 − y = 4x y (4x y + x − 1) (4) Đến đây, để giản ước lượng y thì đầu bài giải ta có thể xét trường hợp Từ hệ ban đầu chúng ta có + TH1: Nếu y = =⇒ x = và ngược lại Do đó (0; 0) là nghiệm hệ ban đầu + TH2: Xét x y 6= Lúc đó P T (4) ⇐⇒ (2x − 1)2 = x [(x + y)2 − 16x y ] Bây bài toán quy giải hệ phương trình sau ( (x + y + 1)x y = x + y (1) (2x − 1)2 = x [(x + y)2 − 16x y ] http://www.k2pi.net (5) (4) Hệ này gọn và chúng ta tiếp tục với phép Ta có P T (1) ⇐⇒ (x + y + 3)x y = (x + y)2 =⇒ x + y + 6= (x + y)2 , thay vào P T (5) ta x + y +3 ¸ · 3x (x + y)2 [1 − (x + y)][5(x + y) + 3] (x + y)4 2 2 ⇐⇒ (2x − 1) = (2x − 1) = x (x + y) − 16 (x + y + 3)2 (x + y + 3)2 nên P T (1) ⇐⇒ x y = (6) Đến đây, chúng ta nên suy nghĩ hướng giải nào hệ lại µkhông ¶ phải đối xứng hoàn 1 ; nên chúng ta có thể 2 toàn? Nhưng chúng ta có thể dễ dàng đoán hệ có nghiệm sử dụng đánh giá: (x + y)2 ≥ 4x y ∀x, y ∈ R Ta có · (x + y)2 x + y −1 (x + y)2 x+y ≥1 ≤ ⇐⇒ ≥ ⇐⇒ xy = x + y < −3 x + y +3 x + y +3 Suy [1 − (x + y)][5(x + y) + 3] ≤ Do đó 3x (x + y)2 [1 − (x + y)][5(x + y) + 3] P T (6) ⇐⇒ (2x − 1) = = ⇐⇒ x = y = (x + y + 3) µ ¶ 1 Tóm lại, hệ phương trình ban đầu có nghiệm (0; 0) và ; 2 Câu Tính tích phân : π Z I= x (7 − cos 2x) + dx cos x + Lời giải (Mai Tuấn Long): Z I= Z = π π ¡ ¢ 2x − cos2 x + π cos x + Z π Z 4x dx − x d(sin x) + dx = Z 2x(2 − cos x) dx + π d(tan x ) Z π dx cos x + tan2 x2 + ¯π Z π Z π x ¡ ¢¯ 2 d(tan ) ¯ = 2x − 2x sin x ¯ + sin x dx + x +3 tan 0 p π π = −π+2+ 0 Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABC D có đáy ABC D là hình thoi tâm O , O A = 2OB = 2a Cạnh SO vuông góc với mặt phẳng đáy Một mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC , SD B ,C , D Gọi M là trung điểm AB Tính thể tích khối chóp S.ABC D và góc đường thẳng SM với mặt phẳng (α), biết 4B 0C D Lời giải (dan_dhv): S C0 D0 I O0 B0 C D O M B A http://www.k2pi.net (5) Trong (S AC ), từ A vẽ AC ⊥ SC Ta có ( B D ⊥ AC =⇒ B D ⊥ SC =⇒ (α)//B D B D ⊥ SO Gọi O là giao SO và AC (α) giao (SB D) = B D //B D(B ∈ SB ; D ∈ SD) SB SC SD Gọi I là điểm trên SC thõa mãn: B I kB 0C Suy ra: = = =⇒ D I kC D SB SI SD Do tam giác B 0C D là tam giác suy Tam giác I B D là tam giác p cạnh B D = 2a p BD Ta có: B D ⊥ OI suy OI là đường cao tam giác I DB =⇒ OI = =a Ta có SC ⊥ (α) =⇒ SC ⊥ (I B D) =⇒ SC ⊥ OI =⇒ AC kOI Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông SOC ta có: p 1 1 1 + = =⇒ = − = =⇒ SO = 2a SO OC I O SO 3a 4a 12a p 1 8a 3 Diện tích đáy là AC B D = 4a Thể tích khối chóp S.ABC D là: V = SO.S ABC D = 3 p Ta có: SC = SO + OC = 4a = S A = AC =⇒ 4S AC Suy C là trung điểm SC Hay O là trọng tâm tampgiác S AC p 3a Ta có: AC = SO = 2a =⇒ AO = AC = 3 p p 4a 2a a 52 0 0 02 B D = BD = =⇒ B O = =⇒ AB = AO + OB = 3 3 C B 02 + AC 02 AB 02 7a − = SC Ta có : SC ⊥ (α) =⇒ g (SM ; (α)) = g (SMC ) = ϕ Vậy tan ϕ = = MC C M là trung điểm tam giác C B A , suy C M = Câu Cho các số thực x, y, z thuộc đoạn [1; 3] Tìm giá trị nhỏ biểu thức : ¡ ¢2 25 y + z ¡ ¢ T= 12x + 2012 x y + y z + zx Lời giải (nthoangcute): ¡ ¢2 25 y + z ¡ ¢ f (x) = 12x + 2012 x y + y z + zx ¡ ¢2 ¡ ¢ y + z x + 503 y + 503 z 25 f (x) = − ¡ ¢ <0 x + 503 x y + 503 y z + 503 zx 25 (y + z)2 T = f (x) ≥ f (3) = = g (y) 27 + 1509y + 1509z + 503y z ¡ ¢¡ ¢ 25 y + z 54 + 1509 y + 503 y z + 1509 z − 503 z g (y) = ¡ ¢2 27 + 1509 y + 503 y z + 1509 z Ta xét Thì Suy Dễ thấy: Suy Suy Vậy 54 + 1509 y + 503 y z + 1509 z − 503 z = 54 + 1509 y + 503 y z + 503z(3 − z) > 25 (1+z)2 g (y) ≥ g (1) = = h(z) 16 384+503z 25 (1 + z)(265 + 503z) h (z) = >0 16 (384 + 503z)2 25 h(z) ≥ h(1) = 3548 25 T≥ 3548 Lời giải (hbtoanag): Ta có T≥ http://www.k2pi.net 25(y + z)2 (y + z)2 12x + 2012x(y + z) + 2012 ≥ 25(y + z)2 12x + 2012x(y + z) + 503(y + z)2 (6) m(x) = 12x + 2012x(y + z) + 503(y + z)2 , x ∈ [1; 3], m (x) = 24x + 2012(y + z) > 0, ∀x ∈ [1; 3] Do đó m(x) đồng biến trên [1; 3], 25t suy T (x) nghịch biến trên [1; 3] Suy T (x) ≥ T (3) = = f (t ), với t = y +z ∈ [2; 6] 108 + 6036t + 503t 150900t + 540t Lại có f (t ) = ¡ ¢2 > 0, ∀t ∈ [2; 6] nên f đồng biến trên [2; 6], 108 + 6036t + 503t 25 25 và đó f (t ) ≥ f (2) = Cuối cùng T = x = 3; y = z = 3548 3548 Xét hàm có Lời giải (Miền cát trắng): Ta có 25(y + z)2 T≥ 12x + 2012x(y + z) + 2012 đặt t = (y + z) 25 ≥ 12 25 x , xét hàm số f (t ) = ············ y +z 12t + 2012t + 503 x x + 2012 + 503 (y + z)2 y +z Câu 6A.a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các Ox y cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C ) : (x − 2) + (y − 3)2 = 45 Đường tròn (C ) có tâm K (−1; −3) cắt đường tròn (C ) theo dây p p cung song song với AC Biết diện tích tứ giác AIC K = 30 2, chu vi tam giác ABC 10 10 đó I là tâm đường tròn (C ) Hãy tìm điểm B có hoành độ âm Lời giải (Lê Đình Mẫn): B A I A0 M E C K N p Tâm (C ) là I (2; 3) Ta có R (C ) = I K = Kiểm chứng K (−1; −3) ∈ (C ) Gọi M N = (C ) ∩ (C ) Suy M N ⊥ I K Mà AC ∥ M N =⇒ AC ⊥ I K p p I K AC = 30 =⇒ AC = 10 p p Lại có AB + BC +C A = 10 10 =⇒ B A + BC = 10 (1) Bây ta có thể tìm tọa độ A, C Kẻ A A là đường kính (C ), q p p p 1 p 02 gọi E = I K ∩ AC Suy I E = A C = A A − AC = (6 5)2 − (4 10)2 = 2 −→ − → Suy I K = I E =⇒ E (1; 1) Phương trình đường thẳng AC qua E (1; 1) và vuông góc với I K có phương trình: p x + 2y − = p p p Như A, C là giao điểm AC và (C ), suy A(1 − 2; + 2), + 2; 1p−´2 2) ³ C (1p Cuối cùng, cần giải hệ gồm PT(1) và PT (C ) ta tìm B − 3; 12+3 Do đó S AIC K = http://www.k2pi.net (7) Câu 6A.b Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các Ox y z cho tam giác ABC có C (3; 2; 3) y −3 z −3 x −2 = = , phương trình đường phân giác 1 −2 x −1 y −4 z −3 BD : = = Tính chu vi tam giác ABC −2 Phương trình đường cao AH : Lời giải (Mai Tuấn Long): − → = (1; 1; −2) là véc tơ phương AH H ∈ AH =⇒ H = (2 + a; + a; − 2a) u −−→ −−→ =⇒ C H = (a − 1; u = =⇒ a = =⇒ H = (2; 3; 3) 1 + a; −2a) H ∈ BC =⇒ C H ~ x = − t , (t ∈ R) =⇒ BC có PT: y = + t z =3 T − → u = (1; −2; 1) là véc tơ phương B D B = BC B D =⇒ B = (1; 4; 3) −→ → I ∈ B D =⇒ I = (1 + b; − 2b; + b) I H ⊥ B D =⇒ I H − u = =⇒ I = ( 32 ; 3; 27 ) −−−→ H1 là điểm đối xứng H qua B D =⇒ I là trung điểm H H1 =⇒ H1 = (1; 3; 4) =⇒ B H1 = (0; −1; 1) x = , (s ∈ R) H1 ∈ AB =⇒ AB có PT: y = − s z = 3+s p p A = AB ∩ AH =⇒ A = (1; 2; 5) =⇒ AB = AC = BC = 2; =⇒ C ABC = AB + AC + BC = Câu 7A Giải phương trình : ¡ ¢ 2x + 4x + 3x +3x = x + x + Lời giải (Mai Tuấn Long): £ ¤ ⇐⇒ (x + 3x + 2) + (x + x + 3) 3x +3x+2 = x + x + 2x + 4x + = (x + 3x + 2) + (x + x + 3) > x + 3x + < 0¤ ⇐⇒ 3x +3x+2 < £ =⇒ V T = (x + 3x + 2) + (x + x + 3) 3x +3x+2 < (x + 3x + 2) + (x + x + 3) < x + x + = V P Nếu: x + 3x + > 0¤ ⇐⇒ 3x +3x+2 > £ =⇒ V T = (x + 3x + 2) + (x + x + 3) 3x +3x+2 > (x + 3x + 2) + (x + x + 3) > x + x + = V P · x = −1 Nếu: x + 3x + = ⇐⇒ =⇒ V T = V P x = −2 · x = −1 Vậy PT có hai nghiệm: x = −2 PT Ta có: Nếu: Câu 6B.a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các Oxy cho tam giác ABC cân A , phương trình cạnh bên AC : x + y − = Trên tia đối tia C A lấy điểm E Phân giác góc B AC cắt B E D Đường thẳng d qua D song song với AB cắt BC F Tìm tọa độ giao điểm M AF và B E biết phương trình đường thẳng AF : 2x + y − = và I (−1; −3) là trung điểm DF Lời giải (Sv_ĐhY_013): Cho P là trung điểm BC Ta có: DF kAB =⇒ AM P B AM PC AF FC = =⇒ = =⇒ = =⇒ P M kAC =⇒ P M kEC =⇒ M B = M E MF PF MF PF MF PF Kẻ đường thẳng M P giao AB trung điểm J , cắt (d ) I ta chứng minh I ≡ I I 0F I 0D = =⇒ I là trung điểm DF JB JA Vậy P M qua trung điểm I DF Cuối cùng M là giao điểm P I và AF suy M (9; −13) Dùng định lý Ta lét ((d ) song song AB ) : Câu 6B.b Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các Oxyz cho tứ diện ABC D có A(2; 0; 0), B (0; 2; 0),C (0; 0; 2), D(2; 2; 2) và mặt cầu (S) : (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 16 Gọi M là điểm có tọa độ nguyên nằm tứ diện Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M và cắt (S) theo đường tròn có chu vi bé http://www.k2pi.net (8) Lời giải (Mai Tuấn Long): Mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; 3) và bán kính R = Điểm M thuộc miền tứ diện và có tọa độ nguyên =⇒ có nhất: M = (1; 1; 1) p −−→ I M = (0; −1; −2) =⇒ I M = < R nên M nằm mặt cầu (S) Mặt phẳng (α) cắt (S) theo đường tròn có chu vi nhỏ khoảng cách từ I đến (α) là −−→ lớn và I M =⇒ (α) là mặt phẳng qua M và nhận I M là véc tơ pháp tuyến Vậy (α) có PT: y + 2z − = Câu 7B Cho các số phức z , z thỏa mãn : z không phải là số ảo và z − z |z |2 là số ảo ; z ¡ ¢ là số thực và z + z |z |2 là số thực Tính |z |2012 + |z |2013 ¡ ¢ Lời giải (dan_dhv): ¡ ¢ ¡ ¢ ¢ ¡ ¢ ¡ Ta có z − z |z |2 là số ảo ⇐⇒ z − z |z |2 = − z − z |z |2 ⇐⇒ z − z (|z |)2 = −z + z (|z |)2 ¢ ¡ ¢¡ ⇐⇒ z + z 1 − (|z |)2 ⇐⇒ (|z |)2 = ⇐⇒ |z | = (Do z không là số ảo nên z 6= −z ) ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ z + z |z |2 là số thực ⇐⇒ z + z |z |2 = z + z |z |2 ⇐⇒ z + z |z |2 = z + z |z |2 ¡ ¢ ¢¡ ⇐⇒ z − z − |z |2 ⇐⇒ |z | = (Do z không phải là số thực Khi đó z 6= z ) Vậy P = |z |2012 + |z |2013 = http://www.k2pi.net (9)