Qua các ví dụ trên ta thấy kĩ thuật tách nhóm để sử dụng bất đẳng Cauchy-Schwarz thật đơn giản nhưng cho được những lời giải đẹp, vừa hay lại vừa độc đáo.. Khi phương pháp tách nhóm để đ[r]
(1)kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức cauchyschwarz Chúng ta đã biết khá nhiều bất đẳng thức cổ điển và ứng dụng chúng đễ giải toán bất đẳng thức Mỗi loại chúng có kĩ thuật sử dụng riêng và ta tinh ý thì phát nhiều lời giải đẹp, độc đáo mà nhiều kĩ thuật chứng minh khác không có Người làm toán, đặc biệt là người đam mê toán bất đẳng thức thực thích bài toán giải phương pháp sử dụng bất đẳng thức cổ điển Trong chuyên đề này chúng tôi xin giới thiệu với các bạn kĩ thuật thêm bớt bất đẳng cauchy-schwarz Một kĩ thuật thật đơn giản thú vị Đầu tiên xin nhắc lại nội dung bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Với hai số thực bất kì a1, a2, …, an và b1, b2, …, bn ta có bất đẳng thức: (a12+a22+ …+an2)(b12+b22+ …+bn2) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2 Dấu xảy và aibj=ajbi với i≠j Ta hãy nhìn bất đẳng thức trên dạng khác sau: Với hai số thực bất kì a1, a2, …, an và b1, b2, …, bn thoả mãn bi dương ta có: a (a a2 an ) a12 a22 n b1 b2 bn b1 b2 bn Đẳng thức xảy và aibj=ajbi với i≠j Để sử dụng thật tốt bất đẳng thức này các bạn phải có cái nhìn hai chiều với bất đẳng thức trên Nói chung thì bất đẳng trên ứng dụng giải toán nhiều hay dễ sử dụng bất đẳng thức dạng chính tắc Bây ta vào xét các ví dụ để thấy sức mạnh bất đẳng thức cauchy-schwarz Ví dụ Ta chứng minh bất đẳng thức Nettbits ba biến a,b,c là các số dương Chứng minh rằng: a b c b c c a a b Lời giải Lời giải bài toán trên đơn giản Sử dụng bất đẳng Cauchy-Schwarz ta a b c a2 b2 c2 (a b c )2 3(ab bc ca ) b c c a a b ab ac bc ab ac bc 2(ab bc ca ) 2(ab bc ca ) Đẳng thức xảy và a=b=c ♠ Ví dụ a, b, c là các số dương tuỳ ý Chứng minh bất đẳng thức bc ca ab a b c b c 2a c a 2b a b 2c Lời giải (2) Ta sử dụng nhận xét sau để giải bài toán trên: bc bc bc 1 bc bc ( ) ( ) b c 2a ( a b) ( a c ) a b a c a b a c Từ đánh giá trên ta bc ca ab ac bc a b c ( ) b c 2a c a 2b a b 2c a ,b ,c a b a b Đây là điều phải chưúng minh Đẳng thức xảy và a=b=c ♠ Lời giải trên thật thú vị phải không các bạn, điều đáng chú ý cách giải trên là việc phát đẳng thức sau ab ac ( a b a b ) a b c a ,b , c Cố gắng tạo các đẳng thức cách tách nhóm thích hợp ta có lời giải đẹp Kĩ thuật này có thể ứng dụng cho các ví dụ sau đây Ví dụ a,b,c là các số dương có tổng Chứng minh bất đẳng thức sau 1 1 2 2 2 4a b c a 4b c a b 4c 2 Lời giải Sử dụng tư tưởng trên Ta cố gắng tìm đẳng thức Ta chú ý đến đẳng thức sau a2 b2 ( 2 a b2 ) 3 a ,b , c a b Ta chú ý đến đẳng thức sau 4a2+b2+c2=2a2+(a2+b2)+(a2+c2) và sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta phân tích sau ( a b c) a2 b2 c2 4a b c 2a ( a b ) ( a c ) 2a a b a c Từ phân tích trên ta 9 a2 b2 c2 ( ) 2 2 2 2 4a b c 2a a b a c Từ đó ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy và a=b=c=1 ♠ Qua các ví dụ trên ta thấy kĩ thuật tách nhóm để sử dụng bất đẳng Cauchy-Schwarz thật đơn giản cho lời giải đẹp, vừa hay lại vừa độc đáo Khi phương pháp tách nhóm để đưa đẳng thức không còn hiệu thì ta nên sử lí nào? Nói chung việc ước lượng thông qua đẳng thức không quan trọng lắm, miễn là sau sử dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì ta còn có thể ước lượng các bước Thay vì cố gắng tìm kiếm đẳng thức ta có thể ước lượng thông qua các bất đẳng thức (3) Ta xem xét các ví dụ sau để thấy điều đó Ví dụ Chứng minh với số thực dương a,b,c ta có bất đẳng thức: a2 b2 c2 (2a b)(2a c) (2b a)(2b c) (2c a)(2c b) Lời giải Ta chú ý đến đẳng thức (2a+b)(2a+c)=(2a2+bc)+a(a+b+c)+a(a+b+c) Từ đó sử dụng Bất đẳng Cauchy-Schwarz ta 1 (2a b)(2a c) 2a bc a (a b c ) a (a b c ) a2 a2 2a ( ) (2a b)(2a c) 2a bc a b c Sử dụng ước lượng trên ta a2 a2 2a a2 ( ) ( (2a b)(2a c) 2a bc a b c 2a bc 2) Cuối cùng ta chứng minh bất đẳng thức a2 b2 c2 1 2a bc 2b ca 2c ab (*) Thật ta có a2 a2 bc 2a bc 1 2 2a2 bc 3 2a bc Nhưng mà theo bất bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có bc (bc) ( ab bc ca) 1 2a bc 2a 2bc (bc)2 (ab)2 2 a 2bc Ta điều phải chứng minh Bất đẳng thức đã cho minh hoàn toàn Có đẳng thức và a=b=c ♠ Ví dụ a,b,c là số thực không âm và có nhiều số không đó ta có a2 b2 c2 2 2 2 3a (b c) 3b (a c) 3c ( a b) Lời giải Chú ý là đẳng thức xảy điểm (a,b,c)=(t,t,0) (t R) và các hoán vị Ta chú ý đến đẳng thức 3a2+(b+c)2=(2a2+2bc)+(a2+b2+c2) Từ đó sử dụng bất đẳng Cauchy-Schwarz ta a2 a2 a2 1 ( ) 2 2 2 3a (b c) (2a 2bc) (a b c ) 2a 2bc a b c Sử dụng ước lượng trên ta (4) a2 a2 a2 a2 ( ( ) ( 3a (b c)2 2a 2bc a b2 c 2a bc 1) a2 b2 c2 1 2 Cuối cùng ta cần chứng minh 2a bc 2b ca 2c ab Bất đẳng này chính là bất đẳng thức (*) mà ta đã chứng minh ♠ Nói chung kĩ thuật tách nhóm thường cho lời giải đẹp và gọn gàng Nhưng trường hợp ta không tìm đựoc đẳng thức lẫn bất đẳng thức thì ta phải sử lí sao? Trong trường hợp này ta phải sử dụng đến kĩ thuật thêm-bớt Ta hãy xem xét các ví dụ sau Ví dụ Cho a,b,c là độ dài cạnh tam giác Chứng minh a b c 1 3a b c a 3b c a b 3c Lời giải Cả tử số và mẫu số các phân thức bất đẳng thức dương có vẻ áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz các bạn thử trực tiếp thì thấy bất đẳng thức đổi chiều Bây ta làm giảm tử số lượng đảm bảo tử số còn dương (nghĩa là dương càng nhỏ càng tốt) Với chú ý 4a-(3a-b+c)=a+b-c>0 Từ đó ta thấy bớt lượng ¼ là thích hợp Viết bất đẳng thức đã cho dạng tương đương a b c 1 )( )( ) 3a b c a 3b c a b 3c 4 a b c a b c a b c 1 3a b c a 3b c a b 3c ( Đến đây sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta cần chứng minh (a b c) (a b c )(3a b c ) Nhưng bất đẳng thức này chính là đẳng thức Ta có điều phải chứng minh ♠ Hi vọng các bạn ứng dụng tốt kĩ thuật này và thấy vẻ đẹp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cổ điển Cuối cùng chúc các bạn thành công.! (5)