nghiên cứu BĐT Cauchy-Schwarz và ứng dụng

Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011 1 A. LI M U Kớnh tha cỏc thy cụ v cỏc bn! Nh chỳng ta ó bit, bt ng thc l mt vn khỏ phc tp v cú ng dng phong phỳ trong toỏn hc. Nú liờn quan n nhiu lnh vc khỏc nh: Gii tớch, lng giỏc, hỡnh hc . Do ú, õy l lý thuyt rt quan trng, trong ú c bit l BT Cauchy-Schwarz. õy l mt bt ng thc c ng dng rng rói trong gii toỏn cao cp v toỏn s cp, c vn dng vo gii cỏc bi toỏn hay v khú trong cỏc k thi quan trng nh: thi chn hc sinh gii, thi quc gia hay thi Olympic quc t Hn na, i vi hc sinh ph thụng, bt ng thc l chuyờn phc tp v khụng d. Phn ụng hc sinh u khụng gii c bi toỏn bt ng thc v cỏc bi toỏn cú liờn quan. Mt phn do cỏc bn cha bit cỏch vn dng bt ng thc c bn, mt phn cỏc bn cha nm c bt ng thc ny. Vỡ vy, vic nghiờn cu ng thc Cauchy-Schwarz cú ý ngha c bit quan trng. Nú khụng nhng cú ý ngha ln trong vic kho cu cỏc bt ng thc c bn m cũn cú tỏc dng ln trong vic hc tp sau ny. Do t lý do trờn õy nờn chỳng em ó tp trung nghiờn cu BT Cauchy- Schwarz v ng dng ca nú vit nờn chuyờn Mt s k thut s dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, nhm thc hin hai nhim v: lm rừ cỏc dng ca hai bt ng thc trờn; vn dng chỳng vo bi toỏn ph thụng. lm c iu ny, tp th lp 11 Toỏn ó tin hnh c mt s ti liu cú nhc n cỏc ni dung trờn, t ú phõn tớch, tng hp li, h thng nhng gỡ lm c mt cỏch hp lý. Ni dung nghiờn cu c trỡnh by theo cỏc phn: Phn I. Nhc li mt s kin thc c bn Phn II. Cỏc phng phỏp v k thut ỏp dng BT Cauchy-Schwarz: Đ1. Mt s bi toỏn m u Đ2. K thut thờm bt mt lng Đ3. K thut i bin Đ4. Cõn bng h s trong bt ng thc Cauchy-Schwarz Đ5. Phộp bin i Thun-Nghch trong Cauchy-Schwarz Đ6. BT Cauchy-Schwarz vi du bng khi a=b=c=1 Đ7. BT Cauchy-Schwarz trong hỡnh hc v lng giỏc BI TP TNG HP Phn III. Ph lc : Ph lc 1: p dng BT Holder trong vic chng minh BT Ph lc 2: Nhng bi toỏn hay Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011 2 Vi vic trỡnh by cỏc ni dung theo mt h thng chuyờn trong ti Mt s k thut s dng BT Cauchy-Schwarz nh trờn, hy vng s giỳp mi ngi hiu rừ v cú thờm mt s phng phỏp chng minh bt ng thc hiu qu hn. ng Hi, ngy thỏng nm Tp th lp 11 Toỏn Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011 3 B. NI DUNG I. NHC LI MT S KIN THC C BN: Bt ng thc Cauchy-Schwarz: Vi 2 dóy s thc tựy ý n aaa , , 21 v n bbb , , 21 , ta luụn cú bt ng thc: 2 2211 22 2 2 1 22 2 2 1 ) () )( ( nnnn babababbbaaa +++++++++ ng thc xy ra khi v ch khi ), ,( 21 n aaa v ), ,( 21 n bbb l 2 b t l, tc l tn ti s thc k a i =kb i, ni ,1= CHNG MINH: Cú th chng minh BT trờn bng 3 cỏch n gin sau: Cỏch 1: Chng minh bng phng phỏp tam thc bc 2. õy l phng thc rt quen thuc: Xột tam thc sau: 22 22 2 11 )( )()()( nn bxabxabxaxf +++= Khai trin ra ta cú: )()(2)()( 1 2 1 2 1 2 === += n i i n i ii n i i bbaxaxf Mt khỏc vỡ Rxxf 0)( nờn theo nh lớ v du ca tam thc bc 2: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 0 ( )( ) ( ) n n n n f a a a b b b a b a b a b + + + + + + + + + ng thc xy ra khi phng trỡnh f(x)=0 cú nghim, núi cỏch khỏc ), ,( 21 n aaa v ), ,( 21 n bbb l 2 b t l. Cỏch 2: Phng phỏp s dng ng thc. Ta cú hng ng thc sau: 2 1, 2 11 2 1 2 )()())(( ==== = n ji ijji n i ii n i i n i i babababa V do ú, hin nhiờn cú: 2 2211 22 2 2 1 22 2 2 1 ) () )( ( nnnn babababbbaaa +++++++++ Cỏch 3: S dng trc tip BT AM-GM vi 2 s. Ta cú: ))(( 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 == == + n j j n j j ii n j j i n j j i ba ba b b a a Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011 4 Cho i chy t 1 n n ri cng c n v BT li ta cú kt qu. õy cng l mt chng minh rt ngn gn. Khi ỏp dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, chỳng ta cn chỳ ý thờm cỏc h qu quan trng ca nú ỏp trong vic gii toỏn. H qu 1: (BT Schwarz) õy l h qu trc tip ca BT Cauchy- Schwarz Vi 2 dóy s ), ,( 21 n aaa v ), ,( 21 n bbb , nib i ,10 = , ta luụn cú: n n n n bbb aaa b a b a b a +++ +++ +++ ) ( 21 2 21 2 2 2 2 1 2 1 H qu 2: Vi 2 dóy s thc a 1 , a 2 , ,a n v b 1 , b 2 , ,b m , ta cú 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) n n n n a b a b a b a a a b b b+ + + + + + + + + + + + + CHNG MINH: Ta ch cn chng minh trong trng hp n=2. Sau ú dựng quy np chng minh cỏc trng hp khỏc. Vi n=2, ta cú: 2 2211 2 2 2 1 2 2 2 1 2 21 2 21 2 2 2 2 2 1 2 1 )())(( )()( bababbaa bbaababa +++ ++++++ ng thc cng xy ra khi ), ,( 21 n aaa v ), ,( 21 n bbb l 2 b t l. H qu 3: Vi mi dóy s thc a 1 , a 2 , ,a n ta cú: 2 21 22 2 2 1 ) () ( nn aaaaaan ++++++ Dựng trc tip BT Cauchy-Schwarz vi 2 b s ), ,( 21 n aaa v (1, 1, 1), trong ú b s th 2 cú n s 1, ta cú pcm. Chỳng ta cũn cú th s dng mt m rng ca BT Cauchy-Schwarz l 1 cụng c mnh hn trong vic gii toỏn: M rng ca BT Cauchy-Schwarz: Vi m dóy s dng ), ,,(), ,, ,,(),, ,,( ,2,1,,22,21,2,12,11,1 nmmmnn aaaaaaaaa , ta cú: m m i n j m m i ji n j ji aa = = = = 1 1 1 , 1 , ng thc xy ra khi m dóy ú tng ng t l. õy chớnh l BT Holder, mt bt ng thc mnh, cú nhiu ng dng. Tuy khụng c s dng ph bin trong chng trỡnh ph thụng hin nay, nhng li Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011 5 rt hu ớch i vi vic chng minh cỏc bi toỏn HSG, Olympic. BT Cauchy- Schwarz l h qu trc tip ca BT Holder vi m=2. CHNG MINH: S dng trc tip BT AM-GM cho m s dng: m m i n j ji m m j j n i im m n i i n i i a a m a a a a a a = = = === +++ 1 1 , 1 ,1 1 , 1, 1 ,2 1,2 1 ,1 1,1 Xõy dng n-1 bt ng thc tng t na: m m i n j ji m m j j n i im m n i i n i i a a m a a a a a a = = = === +++ 1 1 , 1 ,1 1 , 2, 1 ,2 2,2 1 ,1 2,1 1, 1 1, 2, , 1, 2, , , 1 1 1 1 1 m m j j n n m n n n n m n m i i m i i j i i i j i a a a a m a a a a = = = = = = + + + Sau ú cng theo tng v ca n bt ng thc ta suy ra c pcm. Ta cú 2 h qu trc tip ca BT Cauchy-Schwarz suy rng l: H qu 4: Vi dóy s dng a 1 , a 2 , a n ta cú: n n nn aaaaaa ) 1()1) (1)(1( 2121 ++++ H qu 5: Vi dóy s dng a 1 , a 2 , a n ta cú: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( )( )( ) ( )a b c x y z m n p axm byn czp+ + + + + + + + Trờn õy l 1 s lớ thuyt c bn v BT Cauchy-Schwarz. Sau õy chỳng ta s tỡm hiu v cỏc phng phỏp v k thut ỏp dng BT Cauchy-Schwarz vo gii toỏn. Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011 6 II. CC PHNG PHP V K THUT P DNG BT CAUCHY-SCHWARZ: Đ1. Mt s bi toỏn m u: M u l mt bt ng thc rt quen thuc, bt ng thc Nesbit Bi toỏn 1: Cho a, b, c >0. CMR : 3 2 a b c b c c a a b + + + + + Li gii cho bi toỏn : p dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, ta cú : [ ] 2 ( ) ( ) ( ) ( ) a b c a b c b c a c a b a b c b c c a a b + + + + + + + + + + + + Ta s chng minh: 2 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 2 a b c a b c b c a c a b + + + + + + + 2 2 2 2( 2 2 2 ) 6( )a b c ab bc ca ab bc ca + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 0 2 a b c ab bc ca a b b c c a + + + + + + iu ny hin nhiờn ỳng, vy BT (2.1) c chng minh. Du bng xy ra khi a=b=c Ta tip tc vi bi toỏn sau: Bi toỏn 2:(Mathscope.org)Cho a, b, c l cỏc s thc dng. CMR : 2 2 2 1 2 4 3 2 4 3 2 4 3 a b b c c a a b c b c a c a b + + + + + + + + + + + Hng gii : Bt ng thc cn chng minh tng ng vi: 1 2 4 3 2 4 3 2 4 3 3 c a b a b c b c a c a b + + + + + + + + p dng bt ng thc Cauchy-Schwarz v h qu 1, ta cú : Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011 7 2 4 3 2 4 3 2 4 3 c a b a b c b c a c a b + + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 2 4 3 2 4 3 2 4 3 3( ) 3 c a b a b c ac bc c ba ca a cb ab b a b c + + = + + = + + + + + + + + T ú ta cú iu phi chng minh. Bi toỏn 3: (THTT-1/2011)Cho a,b,c>0 v tha món 1abc = . CMR: 5 2 5 2 5 2 1 1 1 1 3 6 3 6 3 6a a ab b b bc c c ca + + + + + + + + Li gii bi toỏn: Ký hiu A l v trỏi ca bt ng thc cn chng minh p dng bt ng thc Cauchy, ta cú: 5 2 5 2 2 1 3 6 3 3 2( 1) 4 a a a a a a a a + + + + + 5 2 5 2 1 1 3 6 3( 1) 3( 1) 3 6 a a ab ab a ab a a a ab + + + + + + + + Tng t, ta cú : 5 2 1 1 3( 1) 3 6 bc b b b bc + + + + 5 2 1 1 3( 1) 3 6 ca c c c ca + + + + Vy, 1 1 1 3( 1) 3( 1) 3( 1) A ab a bc b ca c + + + + + + + + p dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, ta cú: 2 2 1 1 1 3( 1) 3( 1) 3( 1) A ab a bc b ca c + + + + + + + + 1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 1 1ab a bc c ca c + + + + + + + + + + Ta li cú: Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011 8 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ab a bc c ca c a ab ab a ab a abc ab a a bc abc ab ab a + + = + + + + + + + + = + + = = + + + + + + + + Nờn 2 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 A ab a bc c ca c + + = + + + + + + 1A T ú ta cú iu phi chng minh. Du bng xy ra khi a=b=c=1 2 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 1 A A ab a bc c ca c + + = + + + + + + Bi toỏn 4: Cho cỏc s thc dng 1 2 3 ; ; ; ; n x x x x cú tng bng 1. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 n n x x x x x x x x + + + + + + + + Li gii: p dng h qu 3, ta cú: 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + + + + + + + + + + v 2 2 1 2 1 2 3 1 1 1 n n n n x x x x x x x + + + = + + + T ú suy ra 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 (1 ) n n n x x x x x x x x n + + + + + + + + + Du bng xy ra khi: 1 2 3 n x x x x= = = = 1 n = Bi toỏn 5: (IranMO1998) Gi s , , 1x y z v 1 1 1 2 x y z + + = . CMR: 1 1 1x y z x y z+ + + + Li gii: Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011 9 Vỡ 1 1 1 2 x y z + + = nờn 1 1 1 1 x y z x y z + + = p dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, ta cú : 2 1 1 1 ( )( ) ( 1 1 1) x y z x y z x y z x y z x y z + + = + + + + + + 1 1 1x y z x y z + + + + T ú ta cú iu phi chng minh. Du bng xy ra khi 3 2 x y z= = = . Bi toỏn 6: Chng minh rng: vi mi a, b, c, d, p, q > 0 ta cú: qapc qp qcpb qp qbpa qp cba + + + + + + + + ++ '111 Theo bt ng thc Cauchy-Schwarz: ( ) ( ) qbpa b q a p qb b q pa a p qp + + +=+ 2 2 Tng t: ( ) 2 ( ) p q p q pb qc b c + + + ( ) ( ) 2 p q p q pc qa c a + + + Do ú ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 1 p q p q pa qb pb qc pc qa a b c + + + + + + + + + 1 1 1 p q p q p q a b c pa qb pb qc pc qa + + + => + + + + + + + Bi toỏn 7: Cho , , 0a b c > v. 1a b c+ + = Chng minh rng: 3 2 ab bc ca c ab a bc b ca + + + + + Li gii: p dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, ta cú: ( ) 2 1 1 1ab bc ca ab bc ca c ab a bc b ca c ab b ca c ab + + + + + + + + + + + + 2 1 ( ) ( ) cyc cyc ab ab bc ca c ab c a b c ab + + + + + + Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011 10 2 1 1 1 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) cyc ab ab bc ca c ab a b b c c a a b c a b c + + + + + + + + + + + 2 2( ) ( ) ( )( )( ) ab bc ca ab bc ca c ab a bc b ca a b b c c a + + + + + + + + + + Gi ta s chng minh: 2( ) 9 ( )( )( ) 4 ab bc ca a b b c c a + + + + + (*) Tht vy: ( ) 9 9 9 (*) ( )( )( ) 8 (1 )(1 )(1 ) 8 8 ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b b c c a a b c ab bc ca abc + + + + + + + + + + + 9 ( )( )abc a b c ab bc ca + + + + Ta d dng chng minh bt ng thc cui cựng bng bt ng thc Cauchy Suy ra (*) ỳng. Vy ta cú iu phi chng minh. Du bng xy ra khi 1 3 a b c= = = Bi toỏn 8: Vi a, b, c, x, y, z , chng minh rng: ax + by + cz + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a b c x y z+ + + + ( )( ) 2 3 a b c x y x + + + + Li gii: Ta cú: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2c x y z a y z x b x z y+ + + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3c x y z z a y z x x b x z y y= + + + + + + + + = ( )( ) ( ) 2 3 axa b c x y z by cz+ + + + + + M ta li cú: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9x y z y z x x z y x y z+ + + + + = + + p dng bt ng thc Cauchy-Schwarz ta cú: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2c x y z a z y x b x z y+ + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x y z y z x x z y a b c + + + + + + + = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 9 x y z a b c+ + + + hay ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x y z y z x x z y a b c + + + + + + + [...]... thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz Đề tài nghiên cứu khoa học Bi 10: Cho a,b,c,d l cỏc s thc dng tha món iu kin abcd=1 Chng minh rng 1 1 1 1 1 2 + 2 + 2 + (1+a) (1+b) (1+c) (1+d)2 Bi 11: Cho a,b,c l cỏc s thc dng tha món iu kin abc=1 Chng minh rng 1 1 1 1 + + 2 2 2 2 2 (a+1) +b +1 (b+1)+c +1 (c+1) +a +1 2 Lớp 11 Toán 28 Năm học 2010-2011 Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz Đề tài nghiên cứu khoa... b2 b b 2 + 8ca b2 b b3 + 8abc + + c2 c c 2 + 8ab c2 c c 3 + 8abc 22 Năm học 2010-2011 Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz Đề tài nghiên cứu khoa học p dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, ta cú: cyc a2 a a3 + 8abc a + + 2 ( b c) 3 a a3 + 8abc + b b3 + 8abc + c c + 8 abc Tip tc ỏp dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, ta cú: ( a a 3 + 8abc + b b 3 + 8abc + c c 3 + 8abc ) (a + b + c)(a + b + c + 24abc ) 2 3... Gi ỏp dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, ta cú : Lớp 11 Toán 19 Năm học 2010-2011 Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz Đề tài nghiên cứu khoa học (a 2 + b 2 + c 2 )2 VT 3 a + b3 + c 3 + 2( a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 ) Ta s cm (a 2 + b 2 + c 2 )2 1 a 3 + b3 + c 3 + 2( a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 ) Tht vt , bt ng thc tng ng vi : a 4 + b 4 + c 4 a 3 + b3 + c 3 Li ỏp dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, ta cú:... 11 Toán 16 Năm học 2010-2011 Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz Đề tài nghiên cứu khoa học x2 + Vy 1 1 1 + y 2 + 2 + z 2 + 2 82 2 x y z Bi toỏn 15: Cho a, b > o v tha a 2 + b 2 = 9 Chng minh: 3 ab 2 3 a+b+3 2 Li gii: Ta cú: a 2 + b 2 = 9 2ab = ( a + b ) 9 2 2ab = ( a + b + 3)( a + b 3) 2ab = a +b 3 a+b+3 ab a+b 3 = a+b+3 2 2 M theo BDT Cauchy-Schwarz thi a + b 2 a 2 + b 2 = 3 2 ab... + 1 + b a 1 + c b 1 + a c 2b + c 2c + a 2a + b p dng BT Cauchy-Schwarz ta cú: Nờn 2 a a ( 2b + c ) ( a + b + c ) = cyc 2b + c b c a + + a ( 2b + c ) + b ( 2c + a ) + c ( 2a + b ) 2b + c 2c + a 2a + b 2 (a + b + c)2 A 3(ab + bc + ca ) Lớp 11 Toán 17 Năm học 2010-2011 Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz Đề tài nghiên cứu khoa học Ta li cú: (a + b + c) 2 3(ab + bc + ca ) A... dng BT Cauchy-Schwarz, ta cú th chng minh cỏc bi toỏn trờn mt cỏch thun tỳy i s Vi mi kiu bi ta u cú th s dng cỏc cỏch ỏp dng BT Cauchy-Schwarz chng minh mt cỏch nhanh chúng v phự hp Cỏc bi toỏn nờu ra Đ1 nhm giỳp cỏc bn lm quen vi BT CauchySchwarz v cú mt cỏi nhỡn khỏi quỏt v nú Sau õy l mt s k thut ỏp dng BT Cauchy-Schwarz thng dựng Lớp 11 Toán 18 Năm học 2010-2011 Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz. .. y 2 + z 2 + t 2 ) 1 ( a + b + c + d )( x + y + z + t ) 2 Lớp 11 Toán 11 Năm học 2010-2011 Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz Đề tài nghiên cứu khoa học (pcm) Bi toỏn 7: Cho a, b, c > 0 Chng minh rng: a b c ab + bc + ca + + 2 b+c c+a a+b 2(a 2 + b 2 + c 2 ) Li gii: p dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, ta cú : b c a 2 + + ( a (b + c) + b(c + a ) + c (a + b) ) (a + b + c ) b+c c+a a+b a b c... bt ng thc Cauchy-Schwarz ta cú : a4 b4 c4 (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 + + a 3 + 2b 2 a 2 b3 + 2b 2c 2 c 3 + 2c 2 a 2 a 3 + b3 + c 3 + 2a 2b 2 + 2b 2c 2 + 2c 2 a 2 (a 2 + b 2 + c 2 )2 Ta s chng minh 3 1 a + b3 + c3 + 2a 2b 2 + 2b 2c 2 + 2c 2 a 2 Tht vy bt ng thc tng ng vi : a 4 + b 4 + c 4 a 3 + b3 + c 3 Lớp 11 Toán 20 Năm học 2010-2011 Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz Đề tài nghiên cứu khoa học... thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz Đề tài nghiên cứu khoa học (a + b c)(b + c a ) a+bc+b+ca =b 2 Nhõn v theo v bt ng thc ta cú c: (a + b c )(b + c a )(c + a b ) abc 4abc Vy ta cú c iu phi chng minh.Du bng xy ra khi a = 0; b = c 0 v cỏc hoỏn v Bi toỏn 4: Cho a, b, c l cỏc s thc dng Chng minh rng : a b c 27 + + bc(c + a ) ca (a + b) ab(b + c ) 2(a + b + c )2 Li gii: ỏp dng bt ng thc Cauchy-schwarz, ... dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, ta cú : x2 y2 ( x + y)2 + x2 + z 2 y 2 + z 2 x2 + y 2 + 2 z 2 Tng t, ta cú: x2 z2 ( x + z) 2 + 2 2 x2 + y 2 z + y 2 x + 2 y 2 + z 2 y2 z2 ( y + z) 2 + y 2 + x2 z 2 + x2 2 x2 + y 2 + z 2 Cng ln lt cỏc bt ng thc li ta cú iu phi chng minh Du bng xy ra khi x = y = z Lớp 11 Toán 13 Năm học 2010-2011 Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz Đề tài nghiên cứu khoa học Bi