Phương pháp tọa độ hóa hình 12

Phương pháp tọa độ hóa hình 12

Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Nơi ý chí làm nên thành cơng ! PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN – Oxyz § PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA A CƠ SỞ LÍ THUYẾT & PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG PHÁP CHUNG:  Bước 1: Gắn trục tọa độ lên hình vẽ  Bước 2: Tìm tọa độ điểm liên quan CƠ SỞ LÍ THUYẾT  Tọa độ vectơ: Cho hai vectơ: u   x1 ; y1 ; z1  v   x2 ; y2 ; z2     u  x12  y12  z12 ku   kx1 ; ky1 ; kz1   x1  x2  u  v   y1  y2 u  v   x1  x2 ; y1  y2 ; z1  z2  z  z  x1 x2  y1 y2  z1 z2 u.v cos  u, v    2 2 2 u.v x1  y1  z1 x2  y2  z2  Tọa độ điểm:  AB   xB  xA ; yB  y A ; zB  z A   AB  AB  x  xA    yB  y A    zB  z A  B 2  x  xB y A  y B z A  z B   Trung điểm AB là: M  A ; ;  2    x  xB  xC y A  yB  yC z A  zB  zC   Trọng tâm tam giác ABC là: G  A ; ;  3    x  xB  xC  xD y A  yB  yC  yD z A  zB  zC  zD   Trọng tâm tứ diện ABCD G  A ; ;  4    Tích có hướng ứng dụng: Cho hai vectơ a   a1 ; a2 ; a3  , b   b1 ; b2 ; b3  a a a a a a  Khi đó:  a , b    ; ;    a2 b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2 b1    b b b b b b    3  Diện tích hình bình hành ABCD : SABCD   AB, AD   Diện tích tam giác ABC : SABC  1 AB, AC   2  Thể tích hình hợp ABCD.ABCD : VABCD ABCD   AB, AD  AA    Thể tích tứ diện ABCD : VABCD  1 AB, AC  AD  6 Cao Tuấn Education - Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Tầng số 41 Vạn Bảo  Bước 3: Sử dụng kiến thức liên quan để giải quyết yêu cầu bài toán Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Nơi ý chí làm nên thành cơng !  Cơng thức góc  Góc gữa hai mặt phẳng: Gọi  là góc hai mặt phẳng  0    90  :  P  : Ax  By  Cz  D   P : Ax  By  Cz  D    Khi đó: cos   cos nP , nQ  nP nQ nP nQ A.A  B.B  C.C   A2  B2  C A2  B2  C2  Góc hai đường thẳng: o 1 có mợt vectơ phương u1   x1 ; y1 ; z1  o  có mợt vectơ phương u2   x2 ; y2 ; z2  Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Tầng số 41 Vạn Bảo Gọi  là góc hai đường thẳng 1  Khi đó: cos   u1 u2 u1 u2  x1 x2  y1 y2  z1 z2     90 x12  y12  z12 x22  y22  z22  Góc đường thẳng mặt phẳng o Đường thẳng  có mợt vectơ phương u   x; y ; z  o Mặt phẳng  P  có mợt vectơ pháp tún n   A; B; C  Gọi  là góc hai đường thẳng   P  Khi đó: sin   u.n u.n  Ax  By  Cz A  B C x  y  z 2 2     90  Công thức khoảng cách  Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M  x0 ; y0 ; z0  đến  Ax0  By0  Cz0  D  mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D  là: d M ,  P   A  B2  C  Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho đường thẳng  qua M, có mợt vectơ u, AM    phương u và một điểm A Khi đó: d  A ,    u Cho 1 //  Khi đó, với M  1 , N   d  1 ,    d  M ,    d  N , 1   Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: o 1 qua M và có mợt vectơ phương u1 o  qua N và có mợt vectơ phương u2 Khoảng cách hai đường thẳng 1  là: d   ,   u1 , u2  MN u1 , u2    Khoảng cách đường thẳng  mặt phẳng   ,  //   :    Nếu  //   M  d  ,    d M ,   - Cao Tuấn Education  Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Nơi ý chí làm nên thành cơng ! MỘT SỐ MƠ HÌNH GHÉP HỆ TRỤC TỌA ĐỘ  Hình lập phương, hình hộp chữ nhật A  0; 0;  B  a; 0;  C  a; a;  D  0; a;  A  0; 0; a  B  a; 0; a  C   a; a;  D  0; a; a  z A' a D' B' C' D a A≡ O B x y C a z A' c B' D' C' A≡ O B x a D b y C A  0; 0;  B  a; 0;  C  a ; b;  D  0; b;  A  0; 0; c  B  a; 0; c  C   a ; b; c  D  0; b; c   Hình hộp đáy hình thoi z A' D' Chọn hệ trục tọa độ cho:  Gốc tọa độ trùng với giao điểm O hai đường chéo hình thoi ABCD (vì hai đường chéo vơng góc nhau)  Trục Oz qua hai tâm hai đáy O' B' y C' A D O C B x  Hình chóp tứ giác Giả sử cạnh hình vng a và đường cao SO  h Gọi O là tâm hình vuông ABCD Chọn hệ trục tọa đợ hình vẽ: Khi đó:  a  a   O  0; 0;  , A   ; 0;  , C  ; 0;            a  a   B  0;  ;  , D  0; ;  , S  0; 0; h      2     z S y A D O C B x  Hình chóp tam giác z S y A C H I B x Giả sử cạnh tam giác a và đường cao SH  h Gọi I là trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi đó:  a  a   I  0; 0;  , A   ; 0;  , B  ; 0;    2    a   a  C  0; ;  , S  0; ; h          Cao Tuấn Education - Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Tầng số 41 Vạn Bảo Hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB  a, AD  b, AA  c Hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh a Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Nơi ý chí làm nên thành cơng !  Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy đáy hình vng, hình chữ nhật,… z S Giả sử đáy là hình chữ nhật có AB  a, AD  b Chọn hệ trục tọa đợ hình vẽ đó:  A  0; 0;  y A D B C x  B  a; 0;  , C  a; b;  , D  0; b;   S  0; 0; h   Hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy đáy ABC tam giác vng B z Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Tầng số 41 Vạn Bảo S Giả sử tam giác ABC vng B có BA  a, BC  b chiều cao h Chọn hệ trục tọa đợ hình vẽ Khi đó: A  a; 0;  , B  0; 0;  , C  0; b;  , S  a; 0; h  y x C A B  Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy z Chọn hệ trục tọa độ cho hai trục Ox, Oz nằm mặt bên vuông góc với mặt đáy hình vẽ đáy x O y CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN B Câu Cho hình lập phương ABCD.EFGH cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AH BD A a a B a  Lời giải: C D Chọn hệ trục tọa đợ hình vẽ Khi đó: A  0; 0;  , B  a; 0;  , D  0; a;  , H  0; a; a  z  Ta có:  AH , BD   a ; a ; a   2    AH , BD  AD  a H G  AH , BD  AD a3 a   Vậy d  AH , BD   Chọn C    AH , BD  a   - Cao Tuấn Education F E Suy ra: AH   0; a; a  , BD   a; a;  , AD  0; a;  a B A D y C x Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Nơi ý chí làm nên thành công ! Câu Cho hình lập phương ABCD.ABCD Gọi M , N là trung điểm AD , BB Cơsin góc hợp MN AC B C z A' D  Oy , A  Oz Khi đó: A  0; 0;  , B  1; 0;  , D  0;1;  ,  D' B' A  0; 0;1 , B  1; 0;1 , C  1;1;1 Ta có: AC    1;1;1  D   M là trung điểm AD  M  0; ;     1 N là trung điểm BB  N  1; 0;  2  C' N D M y A≡O B C x  1 Suy MN   1;  ;  2    Khi đó: cos  MN , AC    cos MN , AC   MN AC  MN AC    Chọn A Câu [THPT QG 2018 – Mã đề 111] Cho hình lập phương ABCD.ABCD có tâm O Gọi I là tâm hình vuông ABCD M là điểm thuộc đoạn thẳng OI cho MO  MI (tham khảo hình vẽ) Khi sin góc tạo hai mặt phẳng  MC D  A B' C' M I 85 17 13 D 85 65  Lời giải: Gọi độ dài cạnh hình lập phương ABCD.ABCD  1 Chọn hệ trục tọa đợ Oxyz hình vẽ Khi đó: M  0; 0;  , 6  13 65 D O  MAB  A C B B 85 85 C  1  1   1  1  C    ; ;  , D  ; ;  , A  ;  ;1  , B   ;  ;1   2   2  2  2   1 1 1 1 Ta có: MC    ; ;   , MD   ; ;    2 6 2 6 1 5  1 5 MA   ;  ;  , MB    ;  ;  2 6  2 6 D' A' z C B A D O B' M C' y I A' D' x Suy ra: n MCD  6  MC , MD   0;1;  n MAB  6  MA , MB    0; 5;      Gọi        MCD ,  MAB  cos   cos n MCD , n MAB   sin    cos   n MCD n MAB  n MCD n MAB 14 10 34  85 85 85 Chọn B 85 Cao Tuấn Education - Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Tầng số 41 Vạn Bảo  Lời giải: Gọi độ dài cạnh hình lập phương ABCD.ABCD Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ: O  A , B  Ox , A Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Nơi ý chí làm nên thành cơng ! Câu Cho hình hợp chữ nhật ABCD.ABCD có cạnh AB  2, AD  3; AA  Góc hai mặt phẳng  ABD   AC D   Tính giá trị gần góc  A 45,2 B 38,1 C 53,4 D 61,6  Lời giải: Gắn hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD vào hệ trục tọa độ z hình vẽ Khi A  0; 0;  , B  2; 0;  , D  0; 3;  , C  2; 3;  , A' A  0; 0;  , B  2; 0;  , D  0; 3;  , C   2; 3;  D' C' B'  AB   2; 0;    AB, AD   12;  8;      AD   0; 3;   AC   2; 3;      AC, AD    12; 8;      A D   0; 3; 4  Vectơ pháp tuyến  ABD  n1    AB, AD   6; 4;    2 Vectơ pháp tuyến  AC D  n2    AC , AD    6;  4;    2 Gọi  là góc hai mặt phẳng  ABD   AC D  Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Tầng số 41 Vạn Bảo  Khi đó: cos   n1 n2 n1 n2  D y A≡O B C x 29    61,6 Chọn D 61 Câu Cho hình lập phương ABCD.ABCD Gọi M, N , P là trung điểm cạnh AB, BC , DD Sin góc tạo AC với mặt phẳng  MNP  D 2  Lời giải: Gọi độ dài cạnh hình lập phương ABCD.ABCD Chọn hệ trục tọa đợ Oxyz hình vẽ Khi đó: A  0; 0;1 , A B C  1   1  C   1;1;  , M  ; 0;  , N  1; ;1  , P  0;1;  2   2   1   1 Ta có: AC   1;1; 1 , MN   ; ;1  , MP    ;1;  2   2 Vectơ pháp tuyến  MNP  là: n    C P A'≡O B' D' M C' 4 MN , MP    1; 1;1  n   AC   AC    MNP   3 Vậy sin AC,  MNP   sin 90  Chọn A - Cao Tuấn Education D N B x  3 3 Suy ra:  MN , MP     ;  ;     4 4 z A y Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Nơi ý chí làm nên thành cơng ! Câu Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh Tính khoảng cách hai mặt phẳng  ABD   BC D  A B C 3 D  Lời giải: z Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ A'   A  0; 0;  , B  2; 0;  , C  2; 2;  , D  0; 2;  Khi đó:      A 0; 0; , B 2; 0; , C 2; 2; , D 0; 2;            AB   2; 0;  , AD   0; 2;  Suy ra:   BD   2; 2; , BC  0; 2;      y C 1 AB, AD   1; 1;1 làm vectơ  4 pháp tuyến  Phương trình  BC D  : x  y  z    B 1 BD , BC    1;1; 1 làm vectơ  4  BC D  song song với    Do đó: d  ABD  ,  BCD   d A ,  BCD   0002 12  12   1  Chọn A Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC tam giác vng BA  BC  a , cạnh bên AA  a Gọi M là trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM BC B d  AM , BC   A d  AM , BC   a a D d  AM , BC    Lời giải: Cách Gọi E là trung điểm BB Khi đó: BC //  AME  a a C d  AM , BC       B M C Suy ra: d  AM , BC   d BC ,  AME   d C ,  AME  Mà    BM   h  d B, AME  d C , AME       d C ,  AME   CM d B,  AME  Vì tứ diện BAME có BA, BM , BE đơi mợt vng góc với 1 1 1       2 2  2 2 h BA BM BE h a a a a a a h  d  AM , BC   Chọn A 7 E A C' B' A' Cao Tuấn Education - Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Tầng số 41 Vạn Bảo x qua B  2; 0;  nhận vectơ m  Suy hai mặt phẳng  ABD  D A≡O pháp tuyến  Phương trình  ABD  : x  y  z   BC D  C' B'  Mặt phẳng  ABD  qua A  0; 0;  nhận vectơ n   Mặt phẳng D' Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Nơi ý chí làm nên thành cơng ! z Cách [Phương pháp tọa độ hóa] Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ     a  Ta có: B  0; 0;  , C a; 0; a , A 0; a; a , M  ; 0; a  2  a  a  Suy AM   ; a;  , BC  a; 0; a , MC   ; 0;  2  2    Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Tầng số 41 Vạn Bảo hình vẽ bên) Cosin góc tạo hai mặt phẳng 51 102 B C 51 51 O ≡ B' A' y C' CMN  D' B' N A' M D C 51 51 D x C'  ABD 51 102 C A  AM , BC  MC a   Vậy d  AM , BC   Chọn A  AM , BC    Câu Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh Gọi M , N là trung điểm cạnh AB AD (tham khảo A M B A B  Lời giải: Chọn hệ trục tọa đợ Oxyz hình vẽ z Khi đó: C  0; 0;  , A  2; 2;  , B  0; 2;  , A  2; 2;  , D  2; 0;  C'  M  1; 2;  N  2;1;    Gọi CM   1; 2;   CM , CN    2; 2; 3     CN   2;1;  CMN  có VTPT n1  CM , CN    2; 2; 3   AB   2; 0;    AB, AD   4; 4;      AD   0; 2;   ABD có VTPT n2  41  AB, AD  1;1;1 B' A' N M D O C y n1 n2 CMN  ,  ABD   Khi đó: cos   cos  n , n   n D' n2  x A B 2.1  2.1  17  51 Chọn D Câu Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a Gọi K là trung điểm DD Khoảng cách hai đường thẳng CK AD là 4a 2a 3a a A B C D 3  Lời giải: z Gọi M là trung điểm BB  CK // MA  CK //  AMD  A' D' C' Suy ra: d  CK , AD   d CK ,  AMD   d C ,  AMD  B'     K Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ  a Khi đó: D  0; a;  , A  0; 0; a  , C  a; a;  , M  a; 0;  2  - Cao Tuấn Education M D y A≡O x B C Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Nơi ý chí làm nên thành cơng !   a  a2 2  a2  AM   a; 0;       Ta có:   A M , A D  ; a ; a    1; 2;          AD  0; a; a    Mặt phẳng  AMD  qua điểm D  0; a;  và nhận n   1; 2;  làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: x   y  a   z   x  y  z  2a   a  2a  2a a  Chọn B 12  2  2 Câu 10 Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh a Một đường thẳng d qua đỉnh D tâm I mặt bên BCCB Hai điểm M , N thay đổi thuộc mặt phẳng  BCC B   ABCD  cho trung điểm K MN B' A' M C' D' K thuộc đường thẳng d (tham khảo hình vẽ) Giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng MN B N 2a 2a D 5 D  Lời giải: Khơng tính tổng qt ta chọn a  Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ sau: A a B 3a 10 d I A C C z B' A' M C' D' K d I A B N D y C x Khi đó: A  0; 0;  ; D 1; 0;1 ; B  0;1;  ; C  1;1;1  1 1 1 Do I là trung điểm BC  I  ;1;   DI    ;1;      1; 2;1 2  2 2  Phương trình đường thẳng DI qua D  1; 0;1 , có mợt vectơ phương là x   t  u   1; 2;1 là:  y  2t  t  z   t    K 1  t ; 2t ;1  t  KDI    M  x;1; z   Mặt phẳng  BCC B  : y   M BCC B Vì K là trung điểm MN nên N   x  2t ; 4t  1;  z  2t  Mặt khác N   ABCD    Oxy  : z   zN    z  2t   t  Suy ra: N  z  x;  z;   MN   z  x;  z;  z  z2 Cao Tuấn Education - Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Tầng số 41 Vạn Bảo  Khi đó: d  CK , AD   d C ,  ADM   Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Nơi ý chí làm nên thành cơng ! Khi đó: MN   x  z     z     z    x  z   5z  z  2 2   z   4 4 Chọn C   x  z    z      MN  , xảy   5 5  x   Câu 11 Cho hình chóp S.ABC có AB  SB, BA  AC , AC  SC , AB  2a, AC  a Biết khoảng 2a Tính cosin góc tạo hai mặt phẳng  BSA   SBC  10 11 30 A B C D 12 10  Lời giải: z Dựng hình chữ nhật ABDC Ta có: S  AB  BD    AB   SBD   AB  SD  AB  SB Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Tầng số 41 Vạn Bảo cách SA BC  AC  SC  AC   SCD   AC  SD   AC  CD Suy ra: SD   ABCD   y C O D Dựng hệ trục tọa độ Oxyz với D  O  0; 0;  , DB  Ox , DC  Oy , SD  Oz  A  1; 2;  , B  1; 0;  , C  0; 2;  , S  0; 0; m  x  SA   1; 2; m  , BC   1; 2;  , AB   0; 2;  A B SA, BC  AB 2m 2   Ta có: d  SA, BC       m  2  m   S  0; 0;  SA, BC  m2  m2    n   nSAB nSCB 30  SAB  SA, SB   4; 0;  Khi đó:   cos  SAB  ,  SBC    Chọn C   nSAB nSCB nSCB  SC , SB   4; 2;     Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng có đợ dài đường chéo a SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  Gọi  là góc hai mặt phẳng  SBD   ABCD  Nếu tan   thì góc hai mặt phẳng  SAC   SBC  A 30 B 60 C 45  Lời giải: Gọi I  AC  BD Hình vng ABCD có đợ dài đường chéo a suy hình vng có cạnh a  SBD    ABCD   BD      SI , AI   SIA Ta có SI  BD  AI  BD  SA   SA  AI  a Khi đó: tan   tan SIA  AI Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ 10 - Cao Tuấn Education D 90 z S D A≡O x B I y C Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Nơi ý chí làm nên thành cơng ! SA   0; 0;  a   Khi đó: A  0; 0;  , B  a; 0;  , C  a; a;  , S  0; 0; a  Suy ra: SB   a; 0;  a   SC   a; a;  a   Mặt phẳng  SAC  có vectơ pháp tuyến n1   1;1;   Mặt phẳng  SBC  có vectơ pháp tuyến n2   1; 0;1   Suy cos  SAC  ;  SBC   n1 n2  n1 n2 2      SAC  ;  SBC   60 Chọn B A d  a B d  a C d  2a D d  a  Lời giải: Gọi O  AC  BD ; I K là trung điểm AD OA ; H là hình chiếu vng góc I lên MK , ta có SB // MO   MAC   SB //  MAC   MC  Do d  SB, CM   d SB ,  MAC      S    d B,  MAC   d D ,  MAC   2d I ,  MAC   M  AC  MI  AC   MKI  Mặt khác, ta có   AC  KI  2a H A  Suy IH   MAC  hay d I ;  MAC   IH D K 2a B Vậy d  SB , CM   2IH  Chọn C  MI  IK  Bình luận: Ta sử dụng phương pháp tọa độ hóa, cụ thể sau: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có S  0; 0; a  , MI IK  a  B  a; 0;  , C  a; a;  M  0; ; a     a   SB   a; 0; 2 a  , CM   a;  ; a  SC   a; a; 2a    SB, CM  SC 2a    Vậy d  SB; CM   SB, CM     Chú ý: Để tính tốn nhanh chuẩn hóa a  I O a C z S M 2a A D y B a x C Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a , BC  a Cạnh bên SA  a và vng góc với đáy  ABCD  Cosin góc tạo đường thẳng BD và mặt phẳng  SBC  A B 14  Lời giải: C D 22 Cao Tuấn Education - 11 Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Tầng số 41 Vạn Bảo Câu 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là vng cạnh a , SA  2a và vng góc với  ABCD  Gọi M là trung điểm SD Tính khoảng cách d hai đường thẳng SB CM Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Nơi ý chí làm nên thành công ! Chọn a  Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với   A  O  0; 0;  B  1; 0;  , D 0; 3; , S  0; 0;1   Suy C 1; 3; SB   1; 0; 1  Ta có:   VTPT mặt phẳng  BC  0; 3;  n SB, BC   3; 0;  1; 0;1  3    SBC      n.BD  Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Tầng số 41 Vạn Bảo Đường thẳng BD có VTCP BD  1; 3; Khi sin BD ,  SBC      n BD  1 2.2    cos BD ,  SBC    sin BD , SBC   14 Chọn B Câu 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng A B có AB  BC  a , AD  2a , có SA vng góc với đáy và SA  a Gọi M , N là trung điểm SB CD Tính cosin góc MN  SAC  A B 55 10 C 10 D  Lời giải: Chọn a  và hệ trục tọa độ hình vẽ sau: z S M D K A y N x B C 1  1 1 Khi đó: A  0; 0;  , B  1; 0;  , C  1; 1;  , D  0; 2;  , S  0; 0; 1 , M  ; 0;  , N  ; ;  2 2  2  1   Ta có: MN   0; ;   Đường thẳng MN có mợt VTCP là: u  MN   0; 3;  1  2   Do CK  AB  a  CD (với K là trung điểm AD ) nên ACD vuông C CD  AC Do   CD   SAC  Suy ra: n  CD   1; 1;  VTPT  SAC  CD  SA Gọi  là góc MN mp  SAC  Ta có: sin   u.n u n  55  cos    sin   Chọn B 10 10 12 - Cao Tuấn Education Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Nơi ý chí làm nên thành cơng ! Câu 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vng A và B với AB  BC  a , AD  2a Biết SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  và SA  a Cơsin góc tạo hai mặt phẳng  SBC  và  SCD  10  Lời giải: Chọn a  hệ trục Oxyz hình vẽ Khi đó: 10 A B  1; 0;  , A  O  0; 0;  ,  B  10 10 C C  1;1;  , D 10 D  0; 2;  , S 0; 0;   n1  SB , BC   3; 0;1    VTPT mặt phẳng  SCD  là n2  SD , CD       Ta có: cos  SBC  ;  SCD     3; 3; n1 n2 n1 n2  10  10 Chọn A Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng  SAB  mợt góc 45 Gọi I là trung điểm cạnh CD Góc hai đường thẳng BI SD (Số đo góc làm trịn đến hàng đơn vị) A 48 B 51 C 42 D 39  Lời giải: Cách Giả sử hình vng ABCD cạnh   Ta có: SD ,  SAB   SDA  45  SAD vuông cân A z Suy ra: SA  AD  a Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ Khi S 1  đó: B  1; 0;  , I  ; a;  , D  0;1;  , S  0; 0;1 2  1  Suy IB   ;  1;  , SD   0;  1;1 2    Ta có: cos  IB, SD   cos IB, SD      H IB SD IB SD  IB, SD  51 Chọn B D y A K I B x C 10 2 Cách Gọi K là trung điểm AB Giả sử hình vuông ABCD cạnh a   Ta có: SD ,  SAB   SDA  45  SAD vuông cân A Suy ra: SA  AD  a SD  a Gọi K là trung điểm AB Vì KD // BI nên  IB, SD    KD , SD   SDK Cao Tuấn Education - 13 Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Tầng số 41 Vạn Bảo  VTPT mặt phẳng  SBC  là: Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Nơi ý chí làm nên thành cơng ! Ta có: SK  KD  AK  KD  a , SD SD a   2 Vì SKD cân K nên HK  SD  HKD vuông H Gọi H là trung điểm SD  HD  a HD 10   Suy ra: cos SDK  Do đó:  IB, SD    KD , SD   SDK  51 KD a 5 Câu 18 Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình thang vuông A B , biết AB  BC  a , Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Tầng số 41 Vạn Bảo AD  2a , SA  a SA   ABCD  Gọi M N là trung điểm SB , SA Tính khoảng cách từ M đến  NCD  theo a a 66 11  Lời giải: Cách Gọi I là giao điểm AB CD , AD  2BC A a 66 22 B a 66 C D a 66 44 S nên B là trung điểm AI Gọi G là giao điểm SB IN , dễ thấy G là trọng tâm tam giác SAI Do đó: SG  SB  SM  MG  SG 3 Vì SM   NCD   G nên    d M ,  NCD   M G    MG  SG d S ,  NCD   d M ,  NCD   K D A  d S ,  NCD  Mà SA   NCD   N   N B    SN  d  A ,  NCD   AN C d S ,  NCD       I    d S ,  NCD   d A ,  NCD   d M ,  NCD   d A ,  NCD  CD  AC SA a  ; AC  AB2  BC  a Ta có:   CD   SAC  AN  CD  SA 2    Gọi K là hình chiếu A lên NC Khi đó: d A ,  NCD   AK    Vậy d M ,  NCD    AN.AC AN  AC  a 66 11  1 a 66 d A ,  NCD   AK  Chọn D 4 44 Cách Gắn hệ trục Oxyz cho O  A, D  Ox, B  Oy , S  Oz và chọn a    3 3 Khi đó: A  0; 0;  , D  2; 0;  , B  0;1;  , C  1;1;  , S 0; 0; , N  0; 0; , M  0; ;    2         3 3 Suy ra: CN  1; 1; , CD  1;1;  , CM  1;  ;      2     14 - Cao Tuấn Education  Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Nơi ý chí làm nên thành công ! CN , CD  CM 66 a1 a 66   Khi đó: d M ,  NCD     d M ,  NCD   44 44 CN , CD        Câu 19 Cho hai tam giác ACD BCD nằm hai mặt phẳng vng góc với và AC  AD  BC  BD  a , CD  2x Tính giá trị x cho hai mặt phẳng  ABC   ABD  vng góc A a B a  Lời giải: a C D a Cách Gọi O là trung điểm CD , dễ thấy AO   BCD  Ta có: h2  a2  x2 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Mặt phẳng  ABD  qua điểm A  0; 0; h  , B  0; h;  , D  x; 0;  có phương trình: X Y Z    có vectơ pháp x h h 1 1 tuyến n1   ; ;  x h h Tương tự, mặt phẳng  ABC  qua điểm A  0; 0; h  , C   x; 0;  , B  0; h;  có phương trình: X Y Z    có x h h  1 1 vectơ pháp tuyến n2    ; ;   x h h Để hai mặt phẳng  ABC   ABD  vng góc n1 n2  nên:   h2  x2  a2  x2  x2  x  1   0 x h h a  Chọn C Cách Gọi O là trung điểm CD , suy AO   BCD    Ta có AO  BO  a  x  AB  a  x Gọi I là trung điểm AB , suy góc  ABC   ABD   AB  a2  x2 góc CID Lại có CI  DI  BC        ABC  vng góc  ABD   CID  90  CD2  2CI  4x2  a2  x2  x  a Cao Tuấn Education - 15 Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Tầng số 41 Vạn Bảo và đặt AO  BO  h Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Nơi ý chí làm nên thành cơng ! Câu 20 Cho hai tam giác ACD BCD nằm hai mặt phẳng vng góc với và AC  AD  BC  BD  a , CD  2x Tìm giá trị x để hai mặt phẳng  ABC   ABD  vng góc a A x  B x  a C x  a a D x   Lời giải: Chọn hệ trục tọa đợ Oxyz hình vẽ bên Khi đó: I  0; 0;  , Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Tầng số 41 Vạn Bảo B     a2  x ; 0; , D  0; x;  , C  0;  x;  , A 0; 0; a2  x      AB  a2  x ; 0;  a2  x   Suy  BD   a2  x ; x;   BC   a2  x ;  x;    AB, BD   x a  x ; a  x ; x a  x    2 2 2    AB, BC   x a  x ; a  x ;  x a  x           Chọn n1  x; a2  x ; x , n2  x;   a  x ; x  là VTPT  ABC   ABD  2 Khi đó:  ABC    ABD   n1 n2   3x  a2   x  a Chọn C Câu 21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác và nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng  ABCD  Gọi G là trọng tâm tam giác SAB M , N là trung điểm SC , SD Tính cơsin góc hai mặt phẳng GMN   ABCD  39 13 D 13 13  Lời giải: Gọi O là trung điểm AB Do tam giác SAB và nằm mặt phẳng vng góc  ABCD  A 39 39 B C nên SO   ABCD  z Chọn a  và hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi đó:  S  S 0; 0; ; A  1; 0;  ; B  1; 0;  ; C  1; 2;  ; D  1; 2;   1  3 3 3  G  0; 0; ; M  ;1; ; N   ;1;      2   2        1 3 GM   ;1;  2        GM , GN    0;  ;1           GN   ;1;       Mặt phẳng  ABCD  có vectơ pháp tuyến là k   0; 0;1 16 - Cao Tuấn Education N G M A D O y B x C Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Nơi ý chí làm nên thành công !   Mặt phẳng  GMN  có vectơ pháp tuyến là n  GM , GN    0;  ;1        Gọi  là góc hai mặt phẳng  GMN   ABCD  Ta có: cos  n.k  n.k  39 Chọn C 13 19 a 19  Lời giải: Gọi H là trung điểm AD , tam giác SAD nên SH  AD  SAD    ABC   Do  SAD    ABC   AD  SH   ABC    SAD   SH  AD Chọn a  và hệ tọa độ Oxyz hình vẽ, với A 13a 13 B 19 a 19 C   3 ; 0;  S       3 ; 0;   SA     2  O  D Khi đó:  A 3; 0;    B    B  0; 1;   BA   3; 1;  C  0;1;   3 3 Suy ra: SA, BA     ; ;     2   x  Mặt phẳng  SAB  có vectơ pháp tuyến là n   SA , BA       nên có phương trình là:   Vậy d C , SAB    D 13a 13 z S  D C y H A   3; 3;1 và qua B  0; 1;  3x  y  z   3  391    13 a1 13a Chọn D  d C , SAB   13 13 Cao Tuấn Education - 17 Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Tầng số 41 Vạn Bảo  3       Câu 22 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh 2a Gọi D là trung điểm BC , tam giác SAD và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SAB  Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Nơi ý chí làm nên thành cơng ! Câu 23 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh S a , ABC  60 Cạnh bên SD vng góc với đáy  ABCD  SAB   SBC  (tham khảo hình vẽ) Khoảng cách hai đường thẳng SA BD A a B a 42 C a 42 14 D a 42 21 B A D  Lời giải: Chọn a  hệ trục Oxyz hình vẽ với O  0; 0;  C S    Suy A  1; 0;  D  0;  3;  SA  1; 3;  x    VTPT mặt phẳng SAB A     AB   1; 3;   D SA , AB    x 3;  x; 2   n   SB  0; 3;  x    VTPT mặt phẳng SBC  SB, BC   x        BC   1;  3;    z Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Tầng số 41 Vạn Bảo C  1; 0;  , B 0; 3; , S 0;  3; x với x  SD  B C y x  3;  x; 2  n2 Từ giả thiết bài toán, ta có n1 n2   x   x      SA  1; 3;   SA , DB AB 42 42 a 42    Khi  AB  1; 3;  d  SA , BD      Chọn C 14 14   SA , DB     DB  0; 3;    Câu 24 Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có AB  AC  BB  a , BAC  120 Gọi I là trung điểm CC Tính cos góc tạo hai mặt phẳng  ABC   ABI  A B 12  Lời giải: C Cách 1 a2  SABC  AB.AC.cos A    AB  a a a 13  a   a AB  AI  BI  2 p   Ta có:  AI  2   a 13  BI   Suy ra: SABI  p  p  AB  p  AI  p  BI   18 - Cao Tuấn Education a 10 D 30 10 Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Nơi ý chí làm nên thành cơng ! Vì ABC là hình chiếu ABI lên mặt phẳng  ABC    Do đó: cos  ABC  ,  ABI   SABC SABI a2 30   Chọn D 10 a 10 Cách Gọi O là trung điểm BC Ta có: BC  AB2  AC  AB AC cos120 a AO  AB2  BO  a2  a2  Chọn a  và hệ trục O.xyz hình vẽ bên  1   1  Khi đó: A  ; 0;  , B  0;  ; ;1  , I  0;    2  2       Mặt phẳng  ABC    Oxy  có mợt VTPT là k   0; 0;1    ;1   AB    ;   2   3  3   Ta có:    AB, AI     ; ;   3;1;     4   1   AI   ; ;     2 2    Mặt phẳng  ABI  có mợt VTPT là: n  4  AB, AI   3;1;         Vậy cos  ABC  ,  ABI   cos k , n  k.n k.n    30 Chọn D 10 Câu 25 Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC có tất cả cạnh a , gọi M , N là trung điểm cạnh AA AB Khoảng cách hai đường thẳng MN BC a  Lời giải: Chọn a  và hệ trục Oxyz hình vẽ Khi đó: A a B a 10 C D a 15    1 1 1  N  0; 0;  , C  0; ;  , M  ; 0;  , B  ; 0;1    2  2      1  1 1  ;  1  MN   ; 0;  , BC   ;  2   2    Suy      NC   0; ;      MN ; BC  NC a 1   Vậy d  MN , BC     d  MN , BC   a Chọn B 10 10  MN ; BC    Cao Tuấn Education - 19 Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Tầng số 41 Vạn Bảo  a  a  2a.a cos120  a Trong AOB vuông O, ta có: Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Nơi ý chí làm nên thành cơng ! Câu 26 Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC có cạnh bên cạnh đáy Đường thẳng MN NB  M  AC ; N  BC là đường vng góc chung AC BC Tỷ số NC  A B C D  Lời giải: Kết quả toán sẽ không thay đổi nếu ta xét lăng trụ ABC.ABC có cạnh bên cạnh đáy Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ ( O là trung điểm   BC ) Khi đó: A 0;  3; , B  1; 0;  , C  1; 0;  , C   1; 0;  ,   Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Tầng số 41 Vạn Bảo CA  1;  3; , BC    2; 0;    CM  mCA  M 1  m;  3m; 2m Do    BN  nBC   N   2n; 0; 2n     MN  m  2n  2; 3m; 2n  2m Đường thẳng MN là đường vng góc chung AC BC  m      MN  CA MN CA   m  n       BN  n   NB  Chọn B     BC  NC    m  4n  n     MN  BC  MN.BC   C' Câu 27 [Đề tham khảo THPT QG 2018] Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có AB  AA  Gọi M, N , P là trung điểm cạnh AB, AC BC (tham khảo hình vẽ bên) Cơsin góc tạo hai mặt phẳng  ABC   MNP  A 13 65 B 13 65 C 17 13 65 D N P B giác ABC AP  Mặt khác: AA   ABC   Gắn hệ trục tọa độ Oxyz với O  P ; tia PA trùng với tia Ox , tia PC trùng với tia Oy , tia Pz vng góc với  ABC  , (như hình vẽ bên) 3 3   ;2, N ; ;2 Khi đó: P  0; 0;  , M  ;  2  2          A  3; 0;  , B 0;  3; , C  0; 3; 20 - Cao Tuấn Education A' C 18 13 65  Lời giải: Vì ABC.ABC là lăng trụ tam giác nên tam M B' A Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Nơi ý chí làm nên thành cơng !  3  3  PM   ;  ;   vectơ pháp tuyến  MNP  ;  PN   ; 2 2        3 n1  2  PM , PN   2  2 3; 0;   3; 0; 3             AB  3;  3; AC   3; 3;  vecto pháp tuyến  ABC       1 n2    AB, AC    4 3; 0; 6  3; 0; 3   2 n n 13 Gọi  góc tạo hai mặt phẳng  ABC    MNP  Khi đó: cos    Chọn B 65 n1 n2 A 13 65 C  B 13 130 A B C 13 130 D  13 65 B' A' N M C'  Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi đó: N  0; 0;  ,  z B       AB  0; 2 3; 2    n  3; 6; là vectơ pháp      AC   3;  3; 2   A A 0; 3; , B 0;  3; , C   3; 0;  , B 0;  3;  C tuyến mặt phẳng  ABC       BC  3; 3;   n2  2 3; 6; 3    BN  0; 3; 2  tuyến mặt phẳng  BCMN     là vectơ pháp O≡N B' n1 n2 n1 n2   C'  2   6   3.3 2     2       3    6   y M Gọi  là góc hai mặt phẳng  ABC   và  BCMN  Vậy cos   A' 2 2  x 13 Chọn A 65 Cao Tuấn Education - 21 Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Tầng số 41 Vạn Bảo Câu 28 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có AB  AA  Gọi M N là trung điểm AC AB (như hình vẽ bên) Tính cosin góc tạo hai mặt phẳng  ABC    BCMN  Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Tầng số 41 Vạn Bảo Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Nơi ý chí làm nên thành công ! 22 - Cao Tuấn Education ...  z1 z2     90 x12  y12  z12 x22  y22  z22  Góc đường thẳng mặt phẳng o Đường thẳng  có mợt vectơ phương u   x; y ; z  o Mặt phẳng  P  có mợt vectơ pháp tún n   A; B;... Mặt phẳng D' Cao Tuấn Education – 0975 306 275 – Nơi ý chí làm nên thành cơng ! z Cách [Phương pháp tọa độ hóa] Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ     a  Ta có: B  0; 0;  , C a; 0;... MAC   IH D K 2a B Vậy d  SB , CM   2IH  Chọn C  MI  IK  Bình luận: Ta sử dụng phương pháp tọa độ hóa, cụ thể sau: Chọn hệ trục tọa đợ hình vẽ, ta có S  0; 0; a  , MI IK  a 