1 Chứng minh rằng tứ diện có các cạnh đối vuông góc và hình chiếu của O xuống mặt phẳng ABC là trực tâm của tam giác ABC a3 3 2 Tính thể tích V của tứ diện OABC.. 3 Tìm tâm và bán kính R[r]
(1)CHỦ ĐỀ 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆUVÀ TÌMCỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Xét tính đơn điệu hs y = f(x) nhờ đạo hàm: Hs y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a;b) <=> y’ (y’ 0) x (a;b) ( y’ xảy số hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b)) Phương pháp tìm cực trị hàm số y = f(x): * PP1: B1: Tìm TXĐ ' ' ' B2: Tìm y và các điểm tới hạn x0 ( x0 TXĐ mà y ( x0 ) = y ( x0 ) không XĐ) B3: Lập bảng biến thiên B4: Tìm cực trị có / Chú ý: Khi x vượt qua x0 mà y đổi dấu từ (+) sang (-) thì x0 hs đạt giá trị cực đại y / đổi dấu từ (-) sang (+) thì x0 hs đạt giá trị cực tiểu y / không đổi dấu thì x0 hs không đạt cực trị * PP2: B1: Tìm TXĐ ' ' ' B2: Tìm y và các điểm tới hạn x0 ( x0 TXĐ mà y ( x0 ) = y ( x0 ) không XĐ) B3: Tìm y”, y”( x0 ) và tìm cực trị có Chú ý: Nếu y”( x0 ) < thì x0 hs đạt giá trị cực đại Nếu y”( x0 ) > thì x0 hs đạt giá trị cực tiểu Nếu y”( x0 ) = thì ta chuyển PP1 để tìm cực trị / Hàm số y = f(x) có n điểm cực trị <=> y = có n nghiệm phân biệt f / ( x0 ) 0 // x f(x) đạt cực đại tại nếu f ( x0 ) ; f(x) đạt cực tiểu tại x0 nếu f / ( x0 ) 0 x x0 f ( x0 ) c f(x) có đạo hàm và đạt cực trị bằng c tại f / ( x0 ) 0 // f ( x0 ) * BÀI TẬP: (1) Tìm khoảng đơn điệu và cực trị Hs sau: 16 x x4 2/ y = 16x + 2x - 4/ y = ( x 1) (5 x) 1/ y = x 8x 3/ y = (1 x ) 5/ y = (x + 2) (x – 3) x 7/ y = x x 9/ y = x ( x 5) 11/ y = (7 x) x 13/ y = 15/ y = x 2x x x 20 x3 17/ y = x2 x 1 6/ y = x x 48 x 8/ y = 10/ y = x - x 12/ y = x ( x 3) 14/ y = 25 x x 16/ y = x 100 x 18/ y = 10 x (2) 20/ y = sin 2x 19/ y = cosx - sinx (2) Chứng minh bất đẳng thức: a/ tanx > x (0<x< ) c/ sinx + tanx > 2x ( < x < ) x2 x 1 x 1 x 1 ( < x < + ) e/ (3) Cho hàm số: y = x mx m x3 b/ tanx > x + 3x 2sinx t anx 2 d/ a3 g/ a - < sina < a 1 (0<x< ) (0<x< ) ( a >0 ) (m: tham số) a/ Tùy theo m, hãy xét biến thiên y b/ Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng (1; 2) (4) Tìm m để hàm số: x3 (m 2) x (2m 7) x 3m a/ y = x3 x2 (3m 1) (2m 2m) x m b/ y = (2m 1) x 2m mx + m (5) Tìm m để hàm số: y = đồng biến khoảng (0; + ) đồng biến khoảng (0; 2) nghịch biến trên KXĐ nó (6) Tìm m để hs: a/ y = x3 (m m 2) x (3m 1) x m 2 đạt cực trị x = -2 b/ y = (m 1) x 3mx m có ba điểm cực trị x mx (m m 1) x c/ y = đạt cực đại x = (7) Tìm a ; b để hs : y = x + ax + b có cực trị x = 1 y x3 mx x m (Cm ) (8) Cho hàm số a CMR : với m hàm số đã cho luôn có cực trị b Hãy xác định m cho khoảng cách từ các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất 4 (9) Cho hàm số y x 2mx 2m m Tìm m để hàm số luôn có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác (10) Tìm m để hàm số y x (m 1) x m có cực trị (11) Cho hàm số y x 2mx m Xác định m để hàm số có CĐ, CT thoả mãn a) Lập thành tam giác b) Lập thành tam giác vuông c) Lập thành tam giác có diện tích a x 2ax 9x + b (12) Tìm a; b để hs : y = x = - là điểm cực đại có cực đại, cực tiểu là số dương và (3) x 3 (13) Cho hàm số: y = x a/ Tìm khoảng đơn điệu và cực trị hàm số b/ Tùy theo m, biện luận số nghiệm phương trình: x + = m x CHỦ ĐỀ 2: GIÁ TRỊ CỰC TRỊ VÀ ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM CỰC TRỊ y f ( x ) ax bx cx d (a 0) * HÀM BẬC BA: / / (C) y f ( x) 3ax 2bx c Để Hs có cực trị thì y’ = phải có hai nghiệm phân biệt x ; x ( / Chia f(x) cho f/(x) ta y f ( x ) f ( x ).q ( x ) x y' > 0) y1 x1 y x2 1 2 Gọi (x ;y ), (x ;y ) là hai điểm cực trị, ta có: => Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị: y x y * HÀM HỮU TỈ: y/ Ta có: ax bx c a1 x b1 ( aa1 0) aa1 x 2ab1 x bb1 a1c (a1 x b1 ) 2 Hàm số có cực trị phương trình g(x) = aa1 x 2ab1 x bb1 a1c = b có hai nghiệm phân biệt khác x0 = a1 <=> / g ( x0 ) 0 2ax1 b y1 a y 2ax2 b a1 1 2 Gọi (x ;y ), (x ;y ) là hai điểm cực trị, ta có: y => Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị: * BÀI TẬP: (14) Tìm cực trị Hs sau: x3 2x x a/ y = 3 (15) Cho hàm số : y = x 3mx x 3m 2ax b a1 x 2x+3 x-1 b/ y = a/ Xác định m để đồ thị có điểm cực trị b/ Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị (16) Cho hàm số : y = x x 3(m 2) x m Xác định m để : a/ Hàm số có cực trị b/ Hàm số có cực trị cùng dấu c/ Phương trình x x 3(m 2) x m = 3 có ba nghiệm phân biệt (17) Cho y = f(x) = ( x a ) ( x b) x a/ Các số a, b thỏa mãn điều kiện gì để hàm số có cực đại và cực tiểu (4) 3 b/ Chứng minh với a, b phương trình: ( x a) ( x b) x = không thể có nghiệm phân biệt CHỦ ĐỀ 3: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ (C) : y = f(x) 1/ Phương pháp tìm tiệm cận: - Đứng: - Ngang: - Xiên: 2/ BÀI TẬP: (18) Tìm các tiệm cận đồ thị hàm số: 2x 5x +1 x -2 a) y = 3x b) y = ( x 1).( x 2) d) y = 2x + x e) y = x2 x + x -1 x x 1 3x +1 c) y = (37) Tùy theo m, tìm các tiệm cận đồ thị hàm số: g) y = x x 1 m x 2mx x 1 b) y = x+2 a) y = x 4x + m (19) Tìm m để đồ thị hs: mx 2m(m 1) x 3m m x2 a) y = có tiệm cận xiên qua điiểm A(-1; -3) x mx x -1 b) y = có tiệm cận xiên tạo với các trục tọa độ tam giác có diện tích -3x mx 4x m c) y = có tiệm cận vuông góc với tiếp tuyến điểm có hoành độ x = CHỦ ĐỀ 4: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HS y = f(x) B1: Tập xác định B2: Giới hạn- Tiệm cận (nếu có) B3: Chiều biến thiên: (Tìm y’; nghiệm y’; lập bảng biến thiên) B4: Điểm uốn (Tìm y’’ ; xét dấu y’’ ; suy khoảng lồi lõm và điểm uốn) B5: Vẽ đồ thị: (Tìm điểm đặc biệt, vẽ tiệm cận, vẽ đồ thị hs, nx dạng đồ thị) CHỦ ĐỀ 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐỒ THỊ Cho đường: (C1) : y = f(x) và (C2) : y = g(x) Pt hoành độ giao điểm hai đường là : f(x) = g(x) Số nghiệm Pt (*) là số giao điiểm hai đường (C1) & (C2) (*) f ( x ) g ( x ) Điều kiện tiếp xúc: để (C1) tiếp xúc (C2), điều kiện là hệ Pt : f '( x) g '( x) có nghiệm * BÀI TẬP: (20) Cho (C) : y = x - 5x + a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tìm m để (C) tiếp xúc với (P) : y = x + m Tìm tọa độ các tiếp điểm (5) 2 (21) Cho (C) : y = x - (m + 10)x + a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs với m = b) CMR với m 0, đồ thị luôn cắt Ox điểm phân biệt Trong các giao điểm đó có hai điểm nằm khoảng (-3 ; 3) và có hai điểm nằm ngoài khoảng (-3 ; 3) (22) Cho (C m ) : y = 2x + 3(m – 3)x + 11 – 3m 19 a) Tìm pt các đường thẳng qua A( 12 ; 4) và tiếp xúc với đồ thị (C ) hs b) Tìm m để (C m ) có cực trị, đồng thời các điểm cực trị M ; M và B(0 ; -1) thẳng hàng (23) Cho (C) : y = 2x - x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs 2 b) Tìm m để (d): y = m cắt (C) ba điểm có hoành độ x ; x ; x Tính tổng: x1 x2 x3 ? x 1 (24) Cho (C) : y = x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx + 2m - cắt (C) hai điểm trên cùng nhánh x +1 (25) Cho hs : y = x -1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) CMR đường thẳng (d): 2x – y + m = luôn cắt (C) hai điểm phân biệt A, B trên nhánh (C) c) Tìm m để đoạn AB ngắn nhất x 1 (26) Cho (C) : y = x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tìm m để đường thẳng (d): y = – x + 3m cắt (C) hai điểm A, B cho AB = 2 Tìm tọa độ A ; B x 1 (27) Cho (C) : y = x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx – m + cắt (C) hai điểm phân biệt A(x ;y ), B(x ;y ) Tìm hệ thức x ; x độc lập với m CHỦ ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI Đ/CONG y = f(x) Điều kiện tiếp xúc : Cho hai hs : y = f(x) và y = g(x) có đồ thị là (C) và (C’) f ( x ) g ( x) (C) tiếp xúc với (C’) <=> f '( x) g '( x) có nghiệm x (x là hoành độ tiếp điểm) Các dạng bài tập Phương trình tiếp tuyến (pttt) : Dạng : Viết pttt với (C) : y = f(x) điểm M ( x0 ; y0 ) PPG : - Tìm y’(x ) => Pttt : y = y’(x ).(x - x ) + y Dạng : Viết pttt với (C) : y = f(x) biết tt qua điểm A( xA ; yA ) PPG : - Pttt có dạng : y = k.(x - x A ) + y A (6) f ( x ) k.(x - x A ) + y A f '( x ) k - Áp dụng điều kiện tiếp xúc để tìm k => Pttt Dạng : Viết pttt với (C) : y = f(x) biết tt có hệ số góc k PPG : - Pttt có dạng : y = k.x + b f ( x ) k.x + b - Áp dụng điều kiện tiếp xúc f '( x ) k để tìm b => Pttt * BÀI TẬP : y x3 3x2 (C ) (28) a Cho hàm số Viết pttt đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với : x y 0 y x x (C ) b Cho hàm số Viết pttt đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với : x y 0 1 y x x , (C ) 2 c Cho hàm số Viết pttt kẻ từ gốc toạ độ đến đồ thị hàm số x2 y , (C ) x d Cho hàm số Viết pttt qua điểm A(-6;5) với đồ thị hàm số 3( x 1) y , (C ) x (29) Cho hàm số a Viết pttt qua điểm O(0 ; 0) với đồ thị hàm số b Tìm các điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên (30) a Cho hàm số y x x, (C ) Tìm trên đường thẳng y = điểm mà từ đó c1 Kẻ tiếp tuyến với (C) c2 Kẻ tiếp tuyến với (C) c3 Kẻ tiếp tuyến với (C) b Cho hàm số y x x 1, (C ) Tìm trên trục tung điểm mà từ đó d1 Kẻ tiếp tuyến với (C) d2 Kẻ tiếp tuyến với (C) d3 Kẻ tiếp tuyến với (C) d4 Kẻ tiếp tuyến với (C) m y x3 x2 3 (31) Cho hàm số (Cm ) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) m = b) Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ – Tìm m để tiếp tuyến (Cm) điểm M song song với đường thẳng 5x – y = (32) Cho hs : y = 4x 3x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) điểm A(- ; 1) và tìm giao điểm B (khác A) (d) và (C) y x 3x 2 (33) Cho hàm số c) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs d) Gọi M là điểm thuộc (C) có hoành độ x M = a Tìm a để tiếp tuyến (C) điểm M cắt (C) hai điểm khác M (7) (34) Cho hs : y = 2x 3x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) CMR qua điểm A(- 27 ; -1) ta kẻ ba tiếp tuyến với (C), đó có hai tiếp tuyến vuông góc với (35) Cho hs : y = x 3x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tìm trên trục hoành các điểm từ đó có thể kẻ ba tiếp tuyến với (C) ; đó có hai tiếp tuyến vuông góc với (36) Cho hs : y = x 3x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs 23 b) Lập Pttt với (C) qua điểm A( ; -2) c) Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với (37) Cho hs : y = x 3x mx +1 có đồ thị là (C m ) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs m = b) Tìm m để (C m ) cắt đường thẳng y = ba điểm A(0 ; 1), B, C cho tiếp tuyến (C ) B và C vuông góc với (38) Cho hs : y = x 3x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tìm điểm M (C) cho qua M ta kẻ và tiếp tuyến với (C) m x (39) Cho hs : y = x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Viết Pttt ( ) với (C) điểm A(a ; y) với a -1 c) Tính khoảng cách từ M(-1 ; 1) tới ( ) Tìm a để khoảng cách đó lớn nhất x 3 (40) Cho hs : y = x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tiếp tuyến điểm S (C) cắt hai tiệm cận P và Q Chứng minh S là trung điểm PQ x 3x m (41) Cho hs : y = và y = x a) Tìm m để đồ thị các hs trên tiếp xúc b) Viết Pttt chung hai đồ thị ứng với m tìm CHỦ ĐỀ : BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT : F(x,m) = BẰNG ĐỒ THỊ * Chú ý : Số nghiệm pt : f(x) = g(x) là số giao điểm hai đường y = f(x) và y = g(x) (43) Cho hs : y = x 2x x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm và xét dấu các nghiệm Pt : x 2x m 0 (44) Cho hs : y = - (x +1) (x + 4) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs 2 b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm Pt : (x +1) (x + 4) = (m +1) (m + 4) (8) (45) Cho hs : y = (x +1) (2 x ) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs 2 b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm Pt : (x +1) (2 x) = (m +1) (2 m) CHỦ ĐỀ : ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Từ đồ thị (C) hàm số y f ( x) , suy ra: Đồ thị hàm số (C1): y1 f ( x ) y f ( x) f ( x) Ta có : đây là hàm số chẵn nên (C1) nhận trục tung làm trục đối xứng Đồ thị (C1) được suy từ đồ thị (C) bằng cách: Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy Bỏ phần đồ thị (C) bên trái trục Oy và lấy đối xứng phần bên phải (C) qua trục Oy Đồ thị hàm số (C1): y1 f ( x) y nêu f(x) 0 y1 -y nêu f(x) 0 Ta có: Vì y1 0 nên (C1) ở phía trên trục Ox Đồ thị (C1) được suy từ đồ thị (C) bằng cách: Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục Ox Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox và lấy đối xứng phần đồ thị này qua trục Ox Đồ thị hàm số y1 f ( x) Nếu y1 0 y1 f ( x) : (C1 ) (C ) ở trên trục Ox Nếu y1 0 y1 f ( x ) : (C1 ) đối xứng với (C) ở trên trục Ox qua Ox Đồ thị (C1) được suy từ (C) bằng cách Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên Ox Bỏ phần đồ thị ở Ox và lấy đối xứng phần đồ thị (C) ở trên trục Ox qua trục Ox P( x) Q( x) có đồ thị (C) Cho hàm số P ( x) nêu Q(x) > P ( x ) Q( x) y1 Q( x ) P(x) nêu Q ( x) Q(x) a Vẽ đồ thị (C1): y Đồ thị (C1) được suy từ đồ thị (C) bằng cách: Phần đồ thị (C) ở miền Q ( x ) giữ nguyên Bỏ phần đồ thị (C) ở miền Q( x) và lấy đối xứng phần này qua trục Ox P( x) nêu P(x) 0 P( x) Q( x) y1 Q( x) P(x) nêu P ( x) 0 Q(x) b Vẽ đồ thị (C1): Đồ thị (C1) được suy từ đồ thị (C) bằng cách: Phần đồ thị (C) ở miền P( x) 0 giữ nguyên Bỏ phần đồ thị (C) ở miền P( x) 0 và lấy đối xứng phần này qua trục Ox * BÀI TẬP: (46) Cho hs : y = x - 3x + a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs (9) x - 3x + b) Tìm m để Pt : - 2m + m = có nghiệm phân biệt (47) Cho hs : y = - x 2x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs 2 b) Tìm m để Pt : - 3m + 2m - (1 - x ) = có nghiệm phân biệt (48) Cho hs : y = - x x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs x + x m2 3m b) Tìm m để Pt : = có nghiệm phân biệt (49) Cho hs : y = x - 3mx + (m – 1)x + a) Tìm m để hs có cực tiểu x = khảo sát và vẽ đồ thị với m tìm b) Biện luận số nghiệm Pt : (x - 2x – 2) x = k theo tham số k x (50) Cho hs : y = 2x + a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tìm m để Pt : 2m 4x 4x+1 = x - có đúng nghiệm 3x 1 (51) Cho hs : y = x - a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tìm trên (C) hai điểm M ; N đối xứng qua điểm A(-2 ; -1) c) Từ (C) suy đồ thị hs y = x 1 x -2 CHỦ ĐỀ 9: BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM CỦA (C) VỚI TRỤC HOÀNH I Hàm số bậc ba: y f ( x, m) ax bx cx d Tìm m để (C) cắt Ox tại điểm phân biệt y / 0 c ó nghiêm x1 ; x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ĐK PP1: PP2: (C) Giải hệ này tìm m - Đoán nhận x là nghiệm f(x; m) = - (1) Chia f(x; m) cho (x - x ) đưa (1) dạng: (x - x ).g(x) = ; g ( x0 ) 0 đó g(x) là tam thức bậc hai thỏa Giải hệ này tìm m Tìm m để (C) cắt Ox tại điểm phân biệt có hoành độ dương y / 0 c ó nghiêm x1 ; x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 x1 x2 a y (0) PP1: ĐK ĐK PP2: - Giải hệ này tìm m Đoán nhận x >0 là nghiệm f(x; m) = (1) Chia f(x; m) cho (x - x ) đưa (1) dạng: (x - x ).g(x) = ; đó g(x) là tam thức bậc hai thỏa: P S g ( x0 ) 0 Giải hệ này tìm m (10) y / 0 co nghiêm x1 x2 y y max a y (0) x x Tìm m để (C) cắt Ox tại điểm phân biệt có hoành độ âm y / 0 co nghiêm x1 x2 y y max a y ( ) x x (C) cắt Ox tại điểm có hoành độ lớn y / 0 co nghiêm x1 x2 y y max a y ( ) x x * (C) cắt Ox điểm có hoành độ nhỏ y / 0 co nghiêm x1 x2 y y max a y (0) x * (C) cắt Ox điểm, đó có hai điểm có hoành độ âm y / 0 co nghiêm x1 x2 y y max a y (0) x * (C) cắt Ox điểm, đó hai điểm có hoành độ dương Tìm m để (C) cắt Ox tại điểm phân biệt PP1: y / 0 c ó nghiêm x1 ; x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 ĐK PP2: - Đoán nhận x là nghiệm f(x; m) = - Giải hệ này tìm m (1) Chia f(x; m) cho (x - x ) đưa (1) dạng: (x - x ).g(x) = ; 0 hoac g ( x0 ) 0 đó g(x) là tam thức bậc hai thỏa g ( x0 ) 0 Giải hệ tìm m Tìm m để (C) cắt Ox tại điểm PP1: y' 0 y / 0 c ó nghiêm x1 ; x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ĐK PP2: - Đoán nhận x là nghiệm f(x; m) = - Giải tìm m (1) Chia f(x; m) cho (x - x ) đưa (1) dạng: (x - x ).g(x) = ; 0 hoac g ( x0 ) 0 Giải hệ tìm m đó g(x) là tam thức bậc hai thỏa Tìm m để (C) có hai điểm cực trị M ( x1 ; y1 ); M ( x2 ; y2 ) nằm khác phía đối với đường y / 0 c ó nghiêm x1 ; x2 ( Ax1 By1 C )( Ax2 By2 C ) thẳng (D): Ax By C 0 (11) Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1 ; x2 thỏa mãn hệ thức F ( x1; x2 ) 0 (1) Điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu là: a 0 y / => điều kiện tham số m y / 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 b x1 x2 a c x1.x2 a F ( x1 ; x2 ) 0 x1 và x2 thỏa mãn hệ thức (1) Giải hệ suy m So sánh điều kiện nhận hay loại giá trị m Chú ý: Để tính ymax ; ymin ta nên làm theo thứ tự sau: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số y x Nếu x1 ; x2 đơn giản thì tính thẳng x1 ; x2 Khi đó ymax ymin ( x1 )( x2 ) Nếu x1 ; x2 phức tạp thì sử dụng định lí Viet ymax ymin ( x1 )( x2 ) P S II HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG: y ax bx c x 0 y / 4ax3 2bx 2 x(2ax b) Cho y / 0 x(2ax b) 0 2ax b 0 (1) (2) Hàm số có cực trị <=> (2) có hai nghiệm phân biệt khác <=> a.b < Hàm số có cực trị <=> (2) VN có nghiệm có nghiệm kép a 0 & b 0 a 0 & ab 0 ax bx c y / b x c/ III HÀM SỐ HỮU TỈ y / 0 g ( x) ab / x 2ac / x bc / cb / (b / x c / 0) / ab 0 / g y Hàm số có cực đại và cực tiểu <=> có nghiệm phân biệt / Hàm số không có cực trị y 0 vô nghiệm có nghiệm kép Đ.thị có cực trị nằm cùng phía với Ox Đ.thị có cực trị nằm phía với Ox * BÀI TẬP: ab / 0 ab / 0 g g y 0 co nghiêm phân biêt ymax ymin ab / 0 ab / 0 g y 0 vô nghiêm ymax ymin m (52) a Tìm m để hs : y = x + mx + (3m – 2)x cắt trục hoành điểm phân biệt b Tìm m để pt : x + 3x - 9x + m = có nghiệm phân biệt (53) a Tìm m để hs : y = x - 3x - 9x + m cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Tìm cấp số cộng đó (12) b Tìm a, b để pt : x + ax + b = có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Tìm cấp số cộng đó 2 (54) a Giả sử pt : x - x + ax + b = có nghiệm phân biệt CMR : a + 3b > d Tìm a để pt : x - x + 18ax – 2a = có nghiệm dương phân biệt b Tìm a để pt : x - 3x + a = có nghiệm phân biệt, đó có hai nghiệm lớn 2 c Cho HS: y = x - 3(m + 1)x + 2(m + 4m + 1)x – 4m(m + 1) (C m ) Tìm m để (C m ) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lớn 2 e Cho HS: y = x - 3mx + 3(m - 1)x – m + (C m ) Tìm m để (C m ) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ âm (55) Cho HS: y = x - mx + (2m + 1)x – (m + 2) (C m ) Tìm m để (C m ) cắt trục hoành điểm phân biệt A(1 ; 0) ; B ; C thỏa : 2 OA OA 19 48 OB OC (56) Cho HS: y = x - mx - x + m + (C m ) Tìm m để (C m ) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ x ; x ; x thỏa : x12 x22 x32 > 15 (57) Cho HS: y = 2x - 3(m + 2)x + 6(m + 1)x – 3m + (C m ) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs m = - b) Tìm m để (C m ) cắt trục hoành điểm phân biệt 3 (58) Cho hs : y = (x + a) + (x + b) - x (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs a = , b = b) Tìm điều kiện a, b để hs (1) có cực đại cực tiểu 3 c) CMR a, b phương trình (x + a) + (x + b) - x = không thể có nghiệm phân biệt (59) Cho hs : y = x - 2(m + 1)x + 3(m – 1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs m = b) Tìm m để đồ thị hs cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Tìm cấp số cộng đó (60) Cho hs : y = - x + 2(m + 1)x - 2m – a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs m = b) Tìm m để đồ thị hs cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Tìm cấp số cộng đó CHỦ ĐỀ 10: BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH Các công thức : * Khoảng cách hai điểm A(x ; y ) ; B(x ; y ) là : AB = (x - x1 )2 + (y - y1 ) (13) - Nếu AB // Ox thì AB = x2 x1 - Nếu AB // Ox thì AB = y2 y1 Ax By0 C * Khoảng cách từ M( x ; y0 ) tới đường thẳng ( ): Ax + By + C = là: d = A2 B 2 BÀI TẬP: x 1 (61) Cho hs : y = x + a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tìm điểm M (C) mà tổng khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận bé nhất x 1 (62) Cho hs : y = x - a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) CMR đường thẳng 2x – y + m = luôn cắt đồ thị hai điểm A, B trên nhánh (C) c) Tìm m để đoạn AB ngắn nhất x (63) Cho hs : y = x + a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tìm điểm M (C) mà tổng khoảng cách từ đó đến hai trục tọa độ bé nhất x 1 (64) Cho hs : y = x - a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs x b) Tìm điểm M (C) cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ( ): y = - đạt giá trị bé nhất Trong trường hợp này, c/m ( ) song song với tiếp tuyến (C) M (65) Cho hs : y = x + 3x - a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Gọi A, B là hai điểm cực trị (C) Tìm m để tổng k/c từ A và B đến đường thẳng ( ): 3mx + 3y + 2m + = đạt GTLN, NN CHỦ ĐỀ 11: TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ Kiến thức liên quan : - Tập D gọi là đối xứng x D thì –x D - Hàm số y = f(x) gọi là hs chẵn thỏa ĐK : Tập xác định D đối xứng f(–x) = f(x) - Hàm số y = f(x) gọi là hs lẻ thỏa ĐK : Tập xác định D đối xứng f(–x) = – f(x) - Đồ thị hs chẵn nhận Oy làm trục đối xứng ; Đồ thị hs lẻ nhận gốc O làm tâm đối xứng BÀI TẬP: (14) (66) Xác định tính chẵn, lẻ hs : a/ y = (x – 1) 2010 + (x + 1) 1 x b/ y = log x 2010 2011 c/ y = sinx + cosx (67) CM đồ thị hs : b có trục đối xứng là đường thẳng x = - 2a a/ y = ax + bx + c (a 0) b/ y = (x – a) 2010 c/ y = (x – a) 2010 d/ y = (x – a) 2011 + (x – b) 2010 + (x – b) 2010 + (x – b) 2011 a b có trục đối xứng là đường thẳng x = a b có trục đối xứng là đường thẳng x = a b có tâm đối xứng là I( ; 0) e/ y = x - 4x - 2x + 12x - có trục đối xứng là đường thẳng x = Tìm giao đồ thị với trục hoành g/ y = x - 4x + 8x + có trục đối xứng là đường thẳng x = Tìm giao đồ thị với trục hoành x (68) Cho hs : y = x + a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) CMR đường thẳng (d): y = x + là trục đối xứng (C) BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH : y mx (3m 2) x (1), x 3m với m là tham số thực Câu : (A08) Cho hàm số a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm các giá trị tham số m để góc hai đường tiệm cận đồ thị hàm số (1) tạo với góc 450 1 : ax by c 0 / / / HD: b Tìm hai đường tiệm cận: : a x b y c 0 Câu 2: (B08) Cho hàm số y 4 x x (2) => cos(1 ; ) 2 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (2), biết tiếp tuyến đó qua điểm M(-1;-9) Câu 3: (D08) Cho hàm số y x 3x (3) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (3) b Chứng minh đường thẳng qua điểm I(1;2) với hệ số góc (k > -3) cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm đoạn thẳng AB HD: b) Gọi d là đường thẳng qua I và có hệ số góc k Lập phương trình hoành độ giao điểm d với (C) Điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có ba nghiệm thỏa điều kiện x A xB 2 xI x 2(m 1) x m 4m y (1), x2 Câu 4: (A07) Cho hàm số với m là tham số thực (15) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = - b Tìm tham số m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời hai điểm cực trị đồ thị cùng với góc tọa độ O tạo thành tam giác vuông O - Giải phương trình OA.OB 0 => m là giá trị cần tìm HD:b) – Tìm hai điểm cực trị A; B ; 2 Câu 5: (B07) Cho hàm số y x 3x 3(m 1) x 3m (1), m là tham số a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm tham số m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cách gốc tọa độ HD: b) Tìm hai điểm cực trị A; B Giải phương trình OA OB => m là giá trị cần tìm y 2x x (1) Câu 6: (D07) Cho hàm số a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M cắt hai trục tọa độ Ox, Oy A, B và tam giác OAB có diện tích 1 AO OB => điểm M HD: Gọi M ( x0 ; y0 ) (C ) => tọa độ điểm A, B => Câu 7: (A06) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y 2 x x 12 x a Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm phân biệt x x 12 x m HD: Vẽ đồ thị hs y 2 x x 12 x , biện luận số giao điểm (C) với đường thẳng y = m y x x 1 x (1) Câu 8: (B06) Cho hàm số b Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b) Viết pt tiếp tuyến đồ thị (1), biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên đồ thi Câu 9: (D06) Cho hàm số y x 3x a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) b Gọi d là đường thẳng qua điểm M(3;20) và có hệ số góc là m Tìm m để đường thẳng d cắt (C) ba điểm phân biệt y mx (1), x Câu 10: (A05) Cho hàm số m là tham số m c Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b) Tìm m để hàm số (1) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu (C m) đến tiệm cận xiên (Cm) HD:b) – Tìm điểm cực tiểu ; - Tìm tiệm cận xiên (Cm) => y x (m 1) x m (1) x 1 d (M , d ) 2 Câu 11: (B05) Cho hàm số a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Chứng minh với m đồ thị (Cm) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách hai điểm đó 20 m y x3 x , (1) 3 Câu 12(D05) Cho hàm số (16) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ – Tìm m để tiếp tuyến (Cm) điểm M song song với đường thẳng 5x – y = x 3x y (1) 2( x 1) Câu 13: (A04) Cho hàm số a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b Tìm tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) điểm A, B cho AB = 1 y x3 x x(1) Câu 14: (B04) Cho hàm số a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm uốn và chứng minh là tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ nhất HD:b) – Tìm tiếp tuyến / - Gọi M ( x0 ; y0 ) (C ) , chứng minh f ( x0 ) hsg Câu 15: (D04) Cho hàm số y x 3mx x 1(1) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm m để điểm uốn đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + mx x m y (1) x Câu 16(A03) Cho hàm số a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = -1 b Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương Câu 17(B03) Cho hàm số y x 3x m(1) a Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ O b Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = HD: a) Gọi A(x;y) => B(-x; -y) Vì A,B thuộc (C) suy hệ pt => m y x2 2x (1) x Câu 18: (D03) Cho hàm số a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b Tìm m để đường thẳng dm: y mx 2m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt x2 x y (1) 2x Câu 19: (DBA03) Cho hàm số a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b Tìm m để phương trình x x 2m x 0 y có hai nghiệm phân biệt x (2m 1) x m m 2( x m) Câu 20: (DBA03) Cho hàm số a Tìm m để hàm số có cực trị và tính khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số b Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = y 2x x (1) Câu 21(DBB03) Cho hàm số b Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) c Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận (C) Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M vuông góc với đường thẳng IM Câu 22: (DBD03) cho hàm số y x2 5x m2 (1) x 3 (17) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (1; ) / g ( x) m2 , x 1 m2 16 HDb): ĐK y 0 x 1 ; Đs: x 1 2 Câu 23: (DBA04) Cho hàm số y x 2m x 1(1) d Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = e Tìm mđể đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị là đỉnh tam giác vuông cân HDb) ĐK: OA.OB 0 y x 2mx 3m (1) x m có (Cm) Câu 24: (DBA05) Cho hàm số a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung / HDb) ĐK: y 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa: x1 x2 P (18) Chủ đề 12: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HS I PP sử dụng Đạo hàm: 1/ Tìm GTLN; GTNN hs y = f(x) liên tục trên [a;b]: - Tìm y’ và các nghiệm x i [a;b] pt y’ = - Tính f(a) ; f(b) ; f(x i ), từ đó suy GTLN; GTNN hs y = f(x) trên [a;b] 2/ Tìm GTLN; GTNN hs y = f(x): - Tìm TXĐ - Tìm y’ và các nghiệm x i [a;b] pt y’ = - Lập bảng biến thiên, từ đó suy GTLN; GTNN hs y = f(x) * BÀI TẬP : (1) Tìm GTLN; GTNN hs : x 1 a/ y = x x 2 b/ y = (1 2x )(1 x ) .c/ y = x + 12 3x 4 d/ y = x + (1 – x) 4 e/ y = x x g/ y = cos3x + 2cos2x + 3cosx – h/ y = sin2x + 2sinx 2 trên [0 ; ] 3 trên [0 ; ] 1 i/ y = + cosx + cos2x + cos3x k/ y = (1 - cosx)(2 - cosx)(3 - cosx)(4 - cosx) l/ y = cosx – sinx – sin2x +1 m/ y = (1 + cosx).sinx n/ y = 2sin2x + 3(sinx + cosx) – o/ y = s inx cosx x HD : Đặt t = tan trên [0 ; ] trên [0 ; ] s inx p/ y = 3cos2x +6 (2) Cho số thực x, y 0 Tìm GTNN biểu thức : x y x2 y2 3 y x a/ A = y x x4 y x2 y x y y x4 y x2 y x b/ B = x y HD: đặt t = y x (t -2 v t 2) tìm minA(t) x y HD: đặt t = y x (t -2 v t 2) tìm minA(t) (3) Cho số thực a, b không âm thỏa: a + b = Tìm GTLN, NN biểu thức : a b C = 1 b 1 a HD: thay b = – a, tìm maxC(a); minC(a) (4) Cho số thực a, b > thỏa: a + b = Tìm GTNN biểu thức : (19) 1 1 a b a b D= 25 HD: đặt a =x, b=1-x, x (0;1)=> tìm minD(x)= 2 2 (5) Cho số thực a, b, c > thỏa: a + b + c = Tìm GTNN biểu thức : a b c 2 2 E = b c c a a b 2 2 2 2 HD: thay b +c =1-a ; c +a =1-b ; a +b =1-c Xét maxf(x) trog (0;1) => MinE (6) Cho số thực a, b không âm Tìm GTNN biểu thức : x2 a b y= (9) Giả sử x, y là nghiệm hệ pt: Tìm GTLN,NN biểu thức P = xy a b ab x y 2a -1 2 x y a 2a -3 (7) Giả sử x, y là nghiệm hệ pt: Tìm a để biểu thức P = xy đạt GTNN (8) Giả sử x, y là nghiệm hệ pt: Tìm a để biểu thức P = xy đạt GTLN x x y a 1 2 x y 2a x y 2a 1 2 x y a 4a (10) Giả sử x, y là nghiệm hệ pt: 2 Tìm a để biểu thức F = x + y x y a -1 xy a 7a 14 a/ đạt GTLN; b/ đạt GTNN (11) Cho đường cong (C): y = x và đường thẳng ( ): 4x – 5y – 32 = Tìm tọa độ M (C) để khoảng cách d(M; ) ngắn nhất 1 3x và điểm A(0;1) (12) Cho đường cong (C): y = Tìm tọa độ M (C) để độ dài đoạn AM ngắn nhất (13) Cho pt: x - 2x - 2a + = Tìm GTNN a để pt có nghiệm (14) Tìm tất các giá trị m để PT sau có nghiệm x + mx + x + mx + = (15) Tìm tất các giá trị m để BPT sau nghiệm đúng với x 4 sin x + cos x + sinx.cosx m (16) Tìm tất các giá trị m để BPT sau nghiệm đúng với x x - 2x - (m – 1)x + m x (4 x)(2 x) (17) Cho Bpt: - x - 2x + m – 18 a/ Giải Bpt m = b/ Tìm tất các giá trị m để BPT sau nghiệm đúng với x [- 2; 4] x 1 (18) Cho pt : (x – 3)(x + 1) + 4(x – 3) x = m (1) a/ Giải pt m = -3 b/ Tìm m để pt (1) có nghiệm (19) Cho pt : 2x (m 2) x = - x (1) (20) a/ Giải pt m = b/ Tìm m để pt (1) có nghiệm x -1 + (20) Cho BPT: 2x + a a/ Giải Bpt a = b/ Tìm a để Bpt (1) có nghiệm (21) Cho Bpt: cos2x + (m-1)cosx + 3m – a/ Tìm m để Bpt có nghiệm b/ Tìm m để Bpt nghiệm đúng với x (22) Tìm tất các giá trị m để BPT sau có nghiệm x x - m.2 + m + (23) Tìm tất các giá trị m để PT sau vô nghiệm (1) x2 x2 x 1 a/ + 2(m – 2) x + m = x x b/ 5.16 + 2.81 = m.36 x 3x 2x-1 ax (24) Cho pt: 2x-1 a/ Giải pt a = b/ Tìm a để pt có nghiệm nhất (25) Cho Pt: cos4x + 6sinx.cosx = m a/ Giải pt m = 0; b/ Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt trên đoạn (26) Trong tất các khối nón có đường sinh a, tìm khối nón có thể tích lớn nhất Tính đường cao khối nón đó II PP dùng Miền giá trị hàm: B1: Xem y = f(x) là phương trình ẩn x và tham số y B2: Tìm điều kiện y để phương trình y = f(x) có nghiệm B3: Kết luận Miny và Maxy ax bx + c 2 * Hs y = a'x b ' x c ' có TXĐ D = R biến đổi dạng : Ax + Bx + C = (1) - Với A = 0, tìm nghiệm x pt (1) Miny m - Với A 0, ĐK để Pt có nghiệm là 0, suy m y M Maxy = M * Hs y = f(sinx ;cosx) có TXĐ D = R và biến đổi dạng a.cosx + b.sinx = c (2) Miny m 2 ĐK để Pt (2) có nghiệm là a b c Từ đó suy m y M Maxy = M * BÀI TẬP : (27) Tìm GTLN; GTNN hs : x 1 a/ y = x x 2x 4x+5 x 1 b/ y = cosx c/ y = - cosx - sinx (21) 2sinx + 3cosx - sinx + d/ y = 2x ax + b (28) Tìm a, b để hs y = x x có GTLN và GTNN m.cosx + sinx - (29) Tìm m để hs y = cosx - 2sinx + có GTNN -2 m.cosx + m - 1 (30) Tìm m để BPT cosx + sinx nghiệm đúng x R 2 (31) Cho pt : sin x + (m – 1)sin2x – (m + 1)cos x = m a/ Giải pt m = -2 b/ Tìm m để pt có nghiệm III PP dùng Bất đẳng thức: 1/ Bất đẳng thức Cauchy : Cho n số dương a , a , …, a n ta có: n a a a a1+ a + … + a n n n * Nếu tích a1.a a n = p không đổi thì n tổng a + a + … + a n đạt GTNN n p a = a = … = a n = n p * Nếu tổng a + a + … + a n = S không đổi S đạt GTLN n n S a1 = a = … = a n = n 2 2 2/ Bất đẳng thức Bunhiacôpski: (AC + BD) (A + B )(C + D ) thì tích a1.a a n 2 2 2 Trong đó: A + B = k ; C + D = m , với k, m là số dương Max(AC + BD) km A B Min(AC + BD) = - km với đk : C D Chú ý: Phải xét dấu = xảy tất các bất đẳng thức đã dùng quá trình giải * BÀI TẬP : (32) Cho số thực a, b > Tìm GTNN biểu thức: 1 A = (1 + ab) a b ; m a 1 C= b + 1 B = (a + 4)(b + 4) a b ; m b 1 a ; m Z ; ( a b)3 D= a b (33) Cho số thực a, b, c > Tìm GTNN biểu thức: 1 1 D = (a + b + c) a b c ; ( a b)(b c)(c a) abc H= ; a b c 1 1 1 G = b c a b c c a a b b c K= a (34) Cho số thực a, b > Tìm GTNN biểu thức: ( x a )( x b) x a/ y = trên miền (0; + ) b b/ y = ax + x a trên miền (-a; + ) (22) (35) Cho số x, y thỏa x ; y Tìm GTLN biểu thức: M = (1 - x)(2 - y)(4x + y) x y (36) Cho số dương x, y thỏa x + y = Tìm GTNN biểu thức: N = + + (23) (37) Cho số dương a, b, c thỏa a + b + c = Tìm GTLN biểu thức: 1 1 1 1 1 1 P = a + b + c (38) Tìm GTLN, GTNN biểu thức: Q = ax + by + c 2 Trong đó a, b, c là các số cho trước và số x, y thỏa x + y = (39) Tìm GTLN, GTNN biểu thức: S = y – 4x + Trong đó x, y là hai số thỏa : 4x + y = 2 (40) Cho số không âm a, b thỏa a + b + c = Tìm GTLN biểu thức: a b c; cos x s inx.cosx 1+ sin x (41) Tìm GTLN, GTNN hs: y = U= V= a4b4c IV PP dùng Lũy thừa với số mũ chẵn: 2n 2m 1/ Nếu f(x) = C + A + B , đó C là số; n,m Z A 0 f(x) C => Mìnf(x) = C B 0 2n 2/ Nếu f(x) = C - A - B 2m , đó C là số; n,m Z A 0 f(x) C => Maxf(x) = C B 0 * BÀI TẬP : 2 (42) Tìm GTNN biểu thức : A = 2x + 2y + 2xy – 2x + 2y + 2 (43) Tìm GTLN biểu thức : B = - 5x - 2y + 2xy + 8x + 2y (44) Tìm GTNN biểu thức : C = 4sin3x + cos2x – cos6x + 11 (45) Tìm GTNN biểu thức : D = cosx + cosy + cos(x + y) - (24) Chủ đề 13: P.TRÌNH VÀ BẤT P.TRÌNH SIÊU VIỆT * CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: Định nghĩa và các công thức luỹ thừa, logarít Tính chất hàm số mũ và hàm lôgarít Các phương trình và bất phương trình mũ và lôgarít Với số dương m thì a x m x log a m(0 a 1) x log a m, a a x m x log a m, a Với số thực m thì log a x m x a m x am , a 1 log a x m m x a ,0 a 1 a x m, log a x m Trường hợp: xét tương tự các trường hợp trên MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI THƯỜNG GẶP Phương pháp đưa cùng số: a f ( x ) a g ( x ) f ( x ) g ( x) log a f ( x) log a g ( x) f ( x) g ( x ) f ( x) g ( x ), a a f ( x ) a g ( x ) f ( x) g ( x ), a f ( x) g ( x) 0, a log a f ( x) log a g ( x) f ( x) g ( x ), a Phương pháp đặt ẩn số phụ: Mục đích đặt ẩn số phụ là đưa các phương trình hay bất phương trình dạng phương trình hay bất phương trình hữu tỷ mà ta đã biết cách giải f ( x) f ( x) Dạng: (a b ) (a b ) c( c) f (x) Ta đặt t (a b ) Với (a b )(a b ) 1 f ( x) b.(uv ) f ( x ) c.v f ( x ) 0 Dạng: a.u u t ( ) f ( x ) v Ta chia hai vế phương trình cho v đặt g (x) Khi biến đổi phương trình dạng: a f ( x) b f ( x) c 0 ( > 0) với f ( x) m f ( x) log m g ( x) , ta đặt t = f(x) để đưa phương trình hay BPT bậc hai ẩn t f (x) Phương pháp Lôgarit hoá: Phương pháp Lôgarit hoá rất có hiệu hai vế phương trình có dạng tích các luỹ thừa nhằm chuyển ẩn số khỏi số mũ a f ( x ) b f ( x) log a b(0 a 1, b 0) a f ( x ) b g ( x ) log a a f ( x ) log a b g ( x ) f ( x) g ( x).log a b Hoặc lấy lôgarit hai vế pt hay bpt theo số b Phương pháp nhẩm nghiệm và c/m nghiệm: Sử dụng tính chất hàm số mũ: Nếu PT có nghiệm x0, vế PT là đồng biến , còn vế là nghịch biến (hoặc là hàm hằng) thì nghiệm x0 là nhất (25) * BÀI TẬP: Bài 1: Giải các phương trình sau: 1) x2 x 3x 4 x 1 x x 5 3) 2.10 x1 5) x 7) x -5 x 3x 2 9) + 9.5 =3 x 2x x -5 x 3 2x x3 x = + 9.7 3 2) 4) x.3x 1.5 x 12 6) x 2x x2 x x1 8) 10) x2 x +3 x x 16 2 -3 2 x x2 -3 =3 x 3 +3 x = 750 32 x x2 -2 x2 2 Bài 2: Giải các phương trình sau: 1) 2x-5 =4 x 3) 2 3x 4 x 1 x 5) 7) x x x x x x x 4) 8x = 100 x x2 2) = 6) = 500 =6 x x x Bài 3: Giải các phương trình sau: x x 1) 2.16 15.4 0 x 8 3) x 5 4.3 27 0 2 x 2x x 7.3 x x x 2 5) x x x 7) 3.16 2.8 5.36 9) x 1 x 2 x 4 11) + 2 x 2 16 x 6 x 7 2) 17 0 x 4) =6 12 0 x x x 6) 3.49 2.14 0 x x x 8) 8.3 3.2 24.6 x 10) 2.4 x x 3.9 3 + 3 12) 3 2x x 3 x 10 x x 10 = 84 x 2 2 x 4 x x 13) (4 15) (4 15) 62 14) x x 15) (7 3) 3(2 3) 0 x x x3 16) (3 5) 16.(3 5) 2 Bài 4: Giải các phương trình sau: x 1) x 0 2) x x x 3) 5 2x 2x x x 5) 3 2.5 2.3 x2 7) = cosx x x 9) + (3x – 10) + – x = 6 x = x+2 x x 4) 2 x 2x x 1 x x 1 x2 6) 2 x x 8) 25 + (3x – 10) + – x = x x 10) x - (3 - ).x + 2( - ) = Bài 5: Giải các phương trình sau: x 1) ( x x 1) 3) x x2 x 1 1 1 2) ( x x 2) 4) ( x 1) x 4 x2 1 1 (26) x 5) x 2x =1 6) x x2 x = (x – 3) 2 x x 1 7) Bài 6: Giải các phương trình sau: 2) log5 x log 25 x log 0.2 1) log x log5 ( x 6) log ( x 2) 3) log x (2 x x 4) 2 5) 4) log (2 x 1) log (3 x) 0 6) l o g(5 x 4) l o g x 2 l o g 0,18 7) x x 9) log (4.3 6) log (9 6) 1 (432) log x 10 log x 0 11) 8) l o g( x x 3) l o g log ( x 1) x 3 0 x x2 log x2 16 log x 64 3 (422) 1 10) l o g x l o g x 12) 3log x 16 log16 x 2log x (423) log (log x x ) 2 x l o g(l o g x) l o g(l o g x 2) 0 (432) 14) (434) 2 log x log3 x x 162 (439) 16) x l o g( x x 6) 4 l o g( x 2) (441-nham) log5 ( x 3) log ( x 1) log (2 x 1) 2 x (442-nhẩm) 18) (443-nham) log12 ( x x ) (log9 x ) 3x 3 log5 x 20) 13) 15) 17) 19) Bài 7: Giải các bất phương trình sau x x 1) x x x 3) 5.4 2.25 7.10 0 x x 2) 9.3 10 x x x 4) 25.2 10 25 x 5) x 5 5 1 x x 7) 9) 1 x 1 0 2x 1 x (381) (384) 10) 2 x 1 11) ( 1) 13) 5 x x 1 6) ( 2) ( 2) 1 x 1 x 8) 1 x x2 x 2 x x 1 3.( 1) x2 x 2x 12) 8.3 14) 2.2 x x x2 x x2 (378) (381) 25 x x4 (384) 9.9 ( x 4)3 x x 4 0 1 x x 15) ( x x 1) 17) ( x 1) x 2 x x2 (383) x 1 16) ( x x 3) (385) Bài 8: Giải các bất phương trình sau 1) log8 ( x x 3) 1 3) log [ log ( x 5)] 2) 4) log x log x log ( x x 8) log ( x 4) (27) 5) log log3 x x2 (3 x) (465) 7) log x log x 0 6) 8) 3x (x2 x 1 x 1) 0 log (log x) 0 9) x log x 12 (471) x x 11) log5 (4 144) log log (2 1) (464) log62 x 10) x log 22 log x x 3 log x log x 2 12) Baì 9: Giải các hệ phương trình mũ và Lôgarit x y 1 2) 3log (9 x ) log y 3 2 x.3 y 12 x y 1) 3 18 log x (3 x y) 2 log (3 y x) 2 3) y 4) 4 x y 128 x y 1 5) 5 5x y 125 ( x y )2 1 6) 4 7) 2x y 3 77 x y 3 7 5log x 3log y 10 log x log y 8) 2 x y 12 x y 5 2) l o g( x y ) 1 3l o g l o g( x y ) l o g( x y ) l o g 4) log x log y 1 log x y 5 Bài 8: Giải các hệ phương trình sau 1) l o g x l o g y 1 2 x y 29 3) xy xy 4 32 log ( x y ) 1 log ( x y ) log x xy log y x 2log y x 4 y 6) y log x log y 0 2 5) x y 0 Bài 9: Tìm a để phương trình sau có nghiệm nhất: 1) log3 ( x 4ax) log (2 x 2a 1) 0 l o g(ax ) 2 l o g( x 1) 2) Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm (m 4).9 x 2(m 2).3x m 0 x x Bài 6: Cho bất phương trình sau: m(2 1) 16 m a/ Giải bất phương trình b/ Định m để bất phương trình thoả x R (466) (471) (28) Chủ đề 14: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHỦ ĐỀ 1: BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM Hàm số sơ cấp x 1 x dx c 1 dx x ln x c x e dx e x a dx x Hàm số hợp : u = u(x) u 1 u du c 1 du u ln u c 1 x 0 u c ax c ln a e dx e u a dx a 1 cos x.dx sin x c sin x.dx cos x c dx cos x dx sin x u 1 x 0 c au c ln a a 1 cos u.du sin u c sin u.du cos u c du tan x c cos cot x c sin u du u tan u c cot u c Công thức suy rộng (kx + b) dx = dx (kx + b) +1 C k +1 kx + b k ln kx + b C k.x + b e C k a k.x + b k.x + b a d x = C k ln a cos(kx + b)dx = k sin (kx + b) + C sin (kx + b)dx = k cos(kx + b) + C dx cos2 (kx + b) k tan(kx + b) + C dx sin (kx + b) k cot(kx + b) + C dx x a x a2 2a ln x a C e k.x + b dx = CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN b I f ( x)dx DẠNG 1: Xét tích phân a / Phương pháp: * Đặt x (t ) dx (t )dt x a t * Đổi cận: x b t b a) Các dạng thường gặp a x dx b dx a b) a a2 x2 b c) a a dx x2 b DẠNG 2: Xét tích phân I f ( x)dx a đặt x a sin t đặt x a sin t đặt x a tan t Suy ra: I f (t ) '(t )dt (29) Phương pháp: / * Đặt t u ( x) dt u ( x)dx x a t * Đổi cận: x b t Suy I g (t )dt G (t ) CHỦ ĐỀ 3: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN b Công thức: b a b udv=[ uv ] − vdu a a * BÀI TẬP: 1/ Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau a/ f (x)=x +cos x − b/ g(x)=5 x − x + x cos x x c/ h( x )=− + x + 5sin x d/ m( x)=4 − tg x+ x x − x2 +2 x −3 ¿2 n( x )= e/ g/ p(x )=¿ x2 h/ y=√ x + √ x + √ x i/ y= x2 (5 –x )4 2/ Tìm caùc nguyeân haøm sau cos x a/ sin x ⋅ e dx b/ sin x ⋅ cos xdx c/ x+ dx dx d/ e/ x −3 x +3 x +7 (cos x +sin x ) dx (tg6 x+ tg4 x )dx g/ 3/ Tìm nguyeân haøm cuûa haøm soá a/ f (x)=sin x cos x bieát raèng nguyeân haøm naøy baèng x −2 x +5 ;(x ≠ 0) , bieát raèng nguyeân haøm naøy baèng x = x2 x f ( x) 2 cos( ) c/ bieát raèng nguyeân haøm naøy baèng x = d/ f ( x)=2 x − vaø F(1) = x π F( )=1 e/ f(x) = cos5x.cos3x vaø 4/ Chứng minh F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) b/ f ( x)= a/ F(x) = (4x –5).ex + ; b/ F(x) = tg4x + 3x –5 ; x 2+ c/ F(x) = ln( ) ; x +3 5/ Tính caùc tích phaân sau f(x) = (4x –1) ex f(x) = tg5x + 4tg3x + −2x f(x) = (x + 4)( x +3) a/ b/ xdx dx √x x2 −2 x x dx d/ g/ 1 x + xx++31 x −5 dx c/ √ x dx e/ dx x3 (x2 −3 x)dx f/ h/ x +6− x2 x−3 x (2 √ x + 3x )dx dx k/ x= π (30) π 3 2− cos cos x p/ x π tg x − dx sin x q/ dx π dx x π sin cos2 i/ π π π j/ π 2 π cos x dx 1− 1+cos x t/ x cot g2 xdx π 6/ Tính caùc tích phaân sau a/ b/ |x −2|dx |x c/ −4|dx −4 √ x − x +9 dx d/ √ −| x|dx −1 −|x| (¿)dx e/ 3π f/ ¿ g/ √ cos x +1 dx π −1 |x − x+2|dx h/ √ x2 + x+ dx −3 7/ Tính caùc tích phaân sau x −2 ¿5 dx ¿ a/ ¿ b/ x +1 ¿ dx x¿ ¿ d/ x √ x + dx 1 2−x x3 dx f/ −1 g/ x e x dx h/ √x 2e√ x dx 1 −x k/ x2 dx √1+ x −1 x 2x+1 dx e/ c/ 1 x e e l/ dx e x dx 2+ln x −1 m/ dx x 1+ln x e π √ n/ (sin x +cos x)dx 8/ Tính caùc tích phaân sau π a/ e x cos xdx b/ 3x xe dx c/ ln x dx e d/ π e x sin xdx π 2 e/ (2 x +1)ln x dx f/ xdx sin x π π 4 g/ e √ x dx h/ tgxdx − π (31) √ x − dx i/ k/ dx 25 x m/ e x dx 2+ e x −1 n/ dx x2 −3 x +2 9/ Tính caùc tích phaân sau a/ π 1 (x +3)e x dx b/ −1 x( x 1) 2011 dx c/ x cos xdx d/ π x xdx e/ f/ (2 x −1)ln xdx π e √1+ sin x cos xdx g/ e x cos xdx 0 e dx3 h/ x √ ln x+ Trích số bài tich phân các đề thi ĐH: Tính các tích phân sau: tan x I dx cos x (A08) M sin x cos x 4sin x (D08) (A06) (D06) (B05) (A04) (D04) 2sin x L dx sin x Y (A05) E 2 (esin x cos x ) cos xdx L 1 3ln x ln x dx x K (A05) (B04) dx x x2 (A03) (B03) x e dx (e x 1)3 (B06) sin x sin x Q dx 3cos x ln dx N x e 2e x ln e B ln( x x) dx (D07) 2 x F dx x 1 1 L x ln xdx sin x cos x H dx cos x (B08) ln dx P ( x 2)e x dx sin( x e ln x K dx x )dx J sin x 2(1 sin x cos x) X x x dx (D03) (DBA02) Z x (e x x 1)dx 1 (DBB02) (32) A 6 cos3 x sin x cos5 xdx ln C (DBD02) e dx ex (DBB03) x x 1 E dx x 4 0 (DBA02) (DBD04) (DBA05) (DBD03) dx F x x3 (DBB04) H sin x tan xdx (DBA05) L (tan x esin x cos x) dx (DBB05) (DDB05) N (2 x 1) cos xdx (DBD05) 10 dx O 2 x 1 x 1 e3 ln x M dx x ln x D x 3e x dx x2 K 3 dx x 1 (DBA03) 2 G x sin xdx x B dx cos x 2x ln 2 (DBA06) dx Q x x (DBB06) (33) CHỦ ĐỀ 4: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1/ Diện tích hình phẳng: * Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường: y = f(x); y = 0; x = a; x = b: b f ( x) dx S= a * Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = f(x); y = g(x); x = a; x = b: b S= f ( x ) g ( x ) dx a 2/ Thể tích vật thể tròn xoay: * Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường: y = f(x); y = 0; x = a; x = b quay xung quanh trục hoành ta khối tròn xoay Thể tích KTX đó tính theo công thức : b f ( x ) dx V= a * Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường: x = g(y); x = 0; y = a; y = b quay xung quanh trục tung ta khối tròn xoay Thể tích KTX đó tính theo công thức : b V= f ( y ) dy a * BÀI TẬP: 1/ Cho haøm soá y = f(x) = x3 –3x +2 a/ Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), đường thẳng (D): y = x + , x = -1 , x = c/ Viết phương trình tiếp tuyến (D1) với (C) điểm có hoành độ –2 và phương trình tiếp tuyến (D2) với (C) điểm uốn I (C) d/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) , (D1) và x = -1 e/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) , (D1) và (D2) 2/ Cho haøm soá y = f(x) = -x3 + 3x2 a/ Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) với trục Ox c/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) và (P) : y = x2 d/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), (P) : y = x2 , x = , x = e/ Viết phương trình tiếp tuyến (D) với (C) điểm A(3;0) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) , (D) và x = 2, x = 3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: a/ y = x3 ; x + y = và trục hoành b/ y = 2x – x2 ; x + y = x2 x c/ y = x và y = 2x – 2 d/ (P): y = x - 2x +2, tiếp tuyến (P) A(3; 5) và trục Oy e/ y = x và y = x +2 g/ y = cos2x ; y = ; x = ; x = 4/ Cho hs: y = x + 3x + 3x + a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục tọa độ (34) 5/ Cho hs: y = 2x - x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox c) Cho hình phẳng trên quay xung quanh trục hoành Tính thể tích KTX tạo thành 6/ Cho hs: y = x - a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C); tiệm cận ngang, trục Oy và tiếp tuyến với (C) qua điểm A(2 ; 0) c Cho hình phẳng trên quay xung quanh trục hoành Tính thể tích KTX tạo thành 2x + 7/ Cho hs: y = x - a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục tọa độ c) Cho hình phẳng trên quay xung quanh trục tung Tính thể tích KTX tạo thành 8/ Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn bởi các đường : 6 y = sin x cos x ; y = ; x = ; x = xung quanh trục hoành 9/ Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn bởi các đường : x y = x - e ; y = ; x = và đường thẳng x = ln2 xung quanh trục hoành 10/ Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn bởi các đường : x y = e ; y = e ; x = xung quanh trục tung (35) Phần : BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy a (ABC) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biết SA = Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a Gọi E là trung điểm cạnh CD Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a Gọi I là trung điểm SC và M là trung điểm AB Chứng minh IO ( ABCD) Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng CM Bài 4: Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B và AC = 2a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a Chứng minh (SAB) (SBC ) Tính khoảng từ A đến (SBC) Gọi O là điểm AC Tính khoảng cách từ O đến (SBC) Bài 5: Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông B, AB = 2a, BC = a , SA ( ABC ) , SA = 2a Gọi M là trung điểm AB Tính góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) Tính đường cao AK tam giác AMC Tính góc hai mặt phẳng (SMC) và (ABC) Tính khoảng cách từ A đến (SMC) Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ( ABCD ) và SA = a Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung các cặp đường thẳng : a) SA và AD b) SC và BD c) SB và CD Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = a Gọi I và J là trung điểm AD và BC Chứng minh (SIJ ) (SBC ) Tính khoảng cách hai đường thẳng AD và SB Bài 8: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và khoảng cách từ D đến BC là a Gọi H là trung điểm BC và I là trung điểm AH Chứng minh BC ( ADH ) và DH = a Chứng minh DI ( ABC ) Tính khoảng cách hai đường thẳng AD và BC Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc A 60 0, đường cao SO = a Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) Tính khoảng cách hai đường thẳng AD và SB Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, AB = a, BC = b, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi M là trung điểm SC Chứng minh tam giác AMB cân M và tính diện tích tam giác AMB theo a Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a và góc BAC = 1200, cạnh bên BB' = a Gọi I là trung điểm CC' Chứng minh tam giác AB'I vuông ở A Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I) (36) Bài 12: Cho hình chóp tam giác S.ABC, có cạnh đáy a, mặt bên tạo với đáy góc 90 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) Bài 13: Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc với và góc BDC = 90 Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD theo a và b Bài 14: Cho tứ diện ABCD có ABC vuông A, AD vuông góc với mp(ABC) và AD = a, AC = b, AB = c 1) Tính diện tích S tam giác BCD theo a, b, c 2) Chứng minh rằng: 2S abc(a b c) Bài 15: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA; OB; OC đôi vuông góc Gọi ; ; là các góc mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC); (OCA) và (OAB) Chứng minh : cos cos cos Bài 16: Cho tam giác ABC cạnh a Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tam giác OD a Gọi điểm BD và DC là M, N tâm O, lấy điểm D cho 1) Tính góc các đường thẳng AM và BC 2) Tính tỷ số thể tích các phần khối ABCD phân chia bởi thiết diện AMN 3) Tính thể tích khối ABCMN Bài 17: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA = OB = OC = a và đôi vuông góc với nhau, góc OCB = 1) Chứng minh tứ diện có các cạnh đối vuông góc và hình chiếu O xuống mặt phẳng (ABC) là trực tâm tam giác ABC a3 2) Tính thể tích V tứ diện OABC Xác định để thể tích V = 24 3) Tìm tâm và bán kính R hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Bài 18: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a Cạnh SA = a và vuông góc với đáy 1) Tính thể tích và diện tích toàn phần tứ diện SBCD 2) Gọi MNPQ là thiết diện hình chóp và mặt phẳng song song với mặt đáy Trong đó M ở trên cạnh SA và AM = x Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a và x 3) Tính thể tích khối ABCDMNPQ theo a và x Bài 19: Cho hình vuông ABCD cạnh a và I là điểm cạnh AB Qua I dựng đường vuông góc với mặt phẳng hình vuông và lấy điểm S cho IS a 1) Chứng minh SAD là tam giác vuông 2) Tính diện tích xung quanh hình chóp SABCD 3) Tính thể tích hình chóp SACD, từ đó tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAD Bài 20: Đáy hình chóp SABC là tam giác cân ABC có AB = AC = a và B = C = Các cạnh bên cùng nghiêng với đáy góc 1) Tính thể tích hình chóp SABC 2) Tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chóp với mặt phẳng qua đỉnh B và đường cao SO hình chóp (37) Bài 21: Cho tam giác cân ABC (AB = AC = 2b; BC = 2a) Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) A lấy AS = a 1) Tính thể tích hình chóp SABC 2) Tính diện tích tam giác SBC và suy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) 3) Tìm trên AS điểm M cho thiết diện MBC chia hình chóp thành hai phần có thể tích Bài 22: Cho khối chóp tam giác S.ABC có chiều cao h, góc ASB Tính thể tích khối chóp Bài 23: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB = a, góc (SBC) và đáy (0< < ) a/ Tính thể tích khối chóp b/ Tìm để thể tích khối chóp lớn nhất Bài 24: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có khoảng cách từ A tới mp(SBC) 2a, góc mặt bên và đáy (0< < ) a/ Tính thể tích khối chóp b/ Tìm để thể tích khối chóp nhỏ nhất Bài 25: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA = 2a Gọi B’, D’ là hình chiếu A trên SB và SD mp(AB’D’) cắt SC C’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Bài 26: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a; AC = BD = b; AD = BC = c Tính thể tích khối tứ diện Bài 27: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, biết cạnh đáy a, chiều cao h Tính thể tích khối tứ diện ABC’A’ Bài 28: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, diện tích mặt bên diện tích đáy a/ Tính thể tích khối chóp b/ Lấy điểm M tùy ý ở miền khối chóp Chứng minh tổng khoảng cách từ M tới các mặt khối chóp không phụ thuộc vào vị trí điểm M Bài 29: Cho điểm M di động trên đường tròn đường kính AB Trên đường thẳng vuông góc với mp chứa đường tròn A, lấy điểm S Mp (P) qua A vuông góc với SB K cắt SM H Tìm vị trí M để thể tích khối chóp S.AHK lớn nhất Bài 30: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M, N, P là trung điểm AB, AD, SC C/m mp(MNP) chia khối chóp thành hai phần có thể tích Bài 31: Khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a M, N là trung điểm C’B’,C’D’ a/ Dựng thiết diện tạo bởi mp(AMN) và khối lập phương b/ Tính tỉ số thể tích hai phần khối lập phương bị chia bởi mp(AMN) Bài 32: Cho tứ diện ABCD Kẻ đường cao AH (H (BCD)) a/ CMR H là trực tâm tam giác BCD và AB AC thì AB AD và AC AD b/ Giả sử BC = CD = DB; AB = AC = AD, K là chân đường vuông góc kẻ từ H tới AD Đặt AH = h, HK = d Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo h và d Bài 33: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’, biết độ dài đường chéo mặt bên 5; khoảng cách hai đường thẳng AB và A’D Tính thể tích khối lăng trụ Bài 34: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác Biết diện tích A’BC 8, góc mp(A’BC) và đáy 30 Tính thể tích khối lăng trụ Bài 35: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao 2, đáy là hình bình hành có góc 0 BAD = 45 Các đường chéo AC’, DB’ tạo với đáy góc 45 và 60 Tính thể tích khối lăng trụ (38) Bài 36: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất các cạnh a, Các góc A’AB, BAD, 0 A’AD và (0 < <90 ) Tính thể tích khối hộp 3, Bài 37: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bên 1; đáy là hình chữ nhật; AB = AD = Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) tạo với đáy góc 45 và 60 Tính thể tích khối hộp Bài 38: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có khoảng cách cạnh CC’ và mặt bên (ABB’A’) 7, diện tích mặt (ABB’A’) Tính thể tích khối lăng trụ Bài 39: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân A, biết AB = 2, AA’ = , mp(AA’B) vuông góc với mp(ABC), góc (AA’C) và (ABC) 60 , góc A’AB nhọn Tính thể tích khối lăng trụ Bài 40: Cho tứ diện ABCD, biết AB = AC = BC = BD = a, AD = b, hai mặt (ACD) và (BCD) vuông góc với a/ Chứng minh ACD vuông b/ Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Bài 41: Cho tam giác ABC cạnh a, đường thẳng (d) qua A và vuông góc với mp(ABC) Gọi S là điểm bất kỳ trên (d), S khác A a/ Biết SA = h, tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện SABC b/ Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua tâm mặt cầu nói trên CMR S thay đổi trên (d) thì A’ thuộc đường thẳng cố định Bài 42: Cho tứ diện ABCD, biết BC = a; BD = b, góc CBD , AB (BCD) Gọi B’, C’ là hình chiếu B trên AC và AD CMR các điểm B, C, D, B’, C’ cùng thuộc mặt cầu và tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó theo a, b, Bài 43: Một mặt cầu bán kính R tiếp xúc với các cạnh hình chóp S.ABC và có tâm I nằm trên đường cao SH hình chóp a/ C/m S.ABC là hình chóp b/ Biết SI = R , tính độ dài đường cao SH Bài 44: Cho hai tia Ax, By chéo và vuông góc với nhau, AB là đường vuông góc chung Trên Ax, By lấy các điểm C, D Biết AB = a, AC = b, BD = c a/ Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD b/ Khi C, D thay đổi trên Ax, By cho AC + BD = CD Chứng minh CD luôn tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB Bài 45: Biết thiết diện qua trục hình trụ là hình vuông cạnh a a/ Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình trụ b/ Mp( ) song song với trục hình trụ, cắt đáy hình trụ theo dây cung có độ dài bán kính đáy hình trụ Tính diện tích các thiết diện tạo bởi mp( ) với hình trụ và khối cầu ngoại tiếp hình trụ Bài 46: Cho hình nón có bán kính đáy là R, góc đường sinh và đáy Mp(P) song song với đáy hình nón, cách đáy hình nón khoảng h, cắt hình nón theo đường tròn (C) a/ Tính bán kính đường tròn (C) theo R, h, b/ Tính diện tích và thể tích phần hình nón nằm đáy hình nón và mp(P) Bài 47: Cho hình nón có bán kính đáy là R, chiều cao 4R a/ Tính diện tích toàn phần hình trụ nội tiếp hình nón, biết bán kính đáy hình trụ r b/ Tính bán kính đáy r và chiều cao h hình trụ nội tiếp hình nón theo R để diện tích toàn phần hình trụ đạt giá trị lớn nhất Chủ đề 16 : TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Vấn đề 1: CÁC CÔNG THỨC VỀ TỌA ĐỘ: (39) j OM i k * Điểm M(x; y; z) = x + y + z A x ; y ; z , B x ; y ; z , C x ; y ; z , D xD ; y D ; z D * Cho bốn điểm : A A A B B B C C C AB xB x A ; yB y A ; z B z A 1) 2) AB ( xB xA ) yB y A zB z A x x y yB zB z A I A B ; A ; 2 3) I là trung điểm đoạn AB, ta có: ( x + x3 + x ; y + y3 + y ; z + z3 + z ) x +x +x +x y + y + y + y ; 5) Trọng tâm tứ diện ABCD là: E ( 4 4) Trọng tâm ABC là: A G B C A * Cho vectơ : 6) a (a1 ; a2 ; a3 ) A B b (b1 ; b2 ; b3 ) , B C C D A A B B , ta có: a b a1 b1 ; a2 b2 ; a3 b3 m.a m.a1 ; m.a2 ; m.a3 7) 8) |a|=√ a21 + a22+ a23 9) Tích vô hướng : a b=a1 b1 + a2 b2 +a b3 a1.b1 a2b2 a3b3 cos a; b a1 a22 a32 b12 b22 b32 11) Góc : hai vectơ 12) a b a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 13) a b a1 b1 ; a2 b2 ; a3 b3 a a a a a a a b ; ; b2 b3 b3 b1 b1 b2 10) Tích có hướng: Chú ý: o o o 14) 15) 16) 17) a b a b a ; b ; a b a b sin a; b a b b a =- a1 a2 a3 hay a1 : a2 : a3 b1 : b2 : b3 a b b1 b2 b3 a; b 0 a b c Ba véctơ a; b; c đồng phẳng = AB; AC Diện tích ABC: S = AB; AC AD Thể tích khối tứ diện ABCD: V = AB; AD AA ' 18) Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’: V = Vấn đề 2: MẶT PHẲNG C C D ; z A + zB + zC + zD ) (40) n 1) Véctơ pháp tuyến mp: là 0 , có giá vuông góc với mp 2) Cặp véctơ phương mp: là cặp vectơ a ; b 0 , không cùng phương và có giá cùng phương với mp Chú ý: Biết cặp vtơ phương a (a1 ; a2 ; a3 ) b (b1 ; b2 ; b3 ) , =>Vectơ pháp tuyến: n a ; b 3) Phương trình mp: mp ( ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vtpt n ( A; B; C ) => Phương trình mp( ): A(x - x ) + B(y - y ) + C(z - z ) = Hoặc : Ax + By + Cz + D = 0, đó D = -Ax - By - Cz * Đặc biệt: D=0 ( ) qua gốc O C = 0, D ( ) // Oz ; C = 0, D = ( ) chứa Oz B = C = 0, D ( ) // (Oyz) ; B = C = 0, D ( ) (Oyz) ; ( các trường hợp khác suy tương tự) o Phương trình mp(Oxy) : z = o Phương trình mp(Oyz) : x = o Phương trình mp(Oxz) : y = 4) Vị trí tương đối hai mặt phẳng: Cho mặt phẳng: ( ): Ax + By + Cz + D = 0; ( ) : A’x + B’y + C’z + D’ = ( A B C D ) ( ) <=> A ' B ' C ' D ' A B C D ) // ( ) <=> A ' B ' C ' D ' ) cắt ( ) <=> A : B : C A’ : B’ : C’ ) ( ) <=> AA’ + BB’ + CC’ = ( ( ( 5) Chùm mặt phẳng: Cho mp cắt nhau: ( ): Ax + By + Cz + D = 0; ( ) : A’x + B’y + C’z + D’ = Tập hợp các mp qua giao tuyến hai mp ( ), ( ) gọi là chùm mp Mỗi mp thuộc chùm ( ; ) có phương trình dạng: t1 (Ax + By + Cz + D) + t2 (A’x + B’y + C’z + D’) = 0, đó t12 t22 0 Vấn đề 3: ĐƯỜNG THẲNG a 1) Véctơ phương đường thẳng : là 0 , có giá cùng phương với đường thẳng * Một đường thẳng được hoàn toàn xác định biết điểm và véctơ phương nó 2) Phương trình đường thẳng : Cho đường thẳng ( ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) , có véctơ phương a (a1 ; a2 ; a3 ) x x0 ta1 y y0 ta2 z z ta - Phương trình tham số đường thẳng ( ): (t R) x x0 y y0 z z0 2 a2 a3 - Phương trình chính tắc đường thẳng ( ): a1 với a + b + c 0 (41) 3) Giao tuyến mặt phẳng: Cho mặt phẳng cắt nhau: ( ) : A x + B y + C z + D = có vtpt n1 = (A ;B ;C ) n 2 2 ( ) : A x + B y + C z + D = có vtpt = (A ;B ;C ) A1 x + B1 y + C1 z + D1 = A x + B2 y + C z + D = Giao tuyến mặt phẳng là đường thẳng ( ) có pt : a n1 ; n Véctơ phương ( ) là : 4) Vị trí tương đối hai đường thẳng: a (a1 ; a2 ; a3 ) ( x ; y ; z ) 0 Cho đường thẳng: ( ) qua điểm M , có véctơ phương ( ’) qua điểm M’ ( x '; y '; z ') , có véctơ phương b (b1 ; b2 ; b3 ) a ; b MM ' 0 ( ) & ( ’) chéo a ; b MM ' ( ) & ( ’) cùng nằm mp =0 a ; b MM ' 0 a ; b 0 ( ) & ( ’) cắt a ; b 0 a ; MM ' 0 ( ) // ( ’) a ; b a ; MM ' 0 ( ) ( ’) Chú ý: Có thể xét VTTĐ đường thẳng ( ), ( ’) cách giải hệ ' - Nếu hệ có nghiệm nhất thì ( ) cắt ( ’), nghiệm tìm là tọa độ giao điểm - Nếu hệ có vô số nghiệm thì ( ) ( ’) - Nếu hệ vô nghiệm thì ( ) // ( ’) VTCP cùng phương ( ) chéo ( ’) VTCP khác phương 5) Vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng: a ( x ; y ; z ) Cho đường thẳng: ( ) qua điểm M 0 , có véctơ phương (a1 ; a2 ; a3 ) n ( A; B; C ) và mặt phẳng: ( ): Ax + By + Cz + D = 0, có vtpt ( ) cắt ( ) a n 0 a n 0 ( ) // ( ) M ( ) a n 0 M ( ) ( ) ( ) Có thể c/m ( ) ( ) bằng cách lấy hai điểm A và B thuộc ( ) c/m A, B cùng thuộc ( ) Vấn đề 4: GÓC 1/ Góc mặt phẳng: Cho mp: ( ): Ax + By + Cz + D = 0; ( ): A’x + B’y + C’z + D’ = AA' + BB' + CC' Gọi là góc mp, ta có: cos = A B C A' B ' C ' (42) a 2/ Góc đường thẳng: Cho đường thẳng: ( ) có véctơ phương (a1 ; a2 ; a3 ) ( ’) có véctơ phương b (b1 ; b2 ; b3 ) a b a b Gọi là góc đường thẳng, ta có: cos = 3/ Góc đường thẳng và mặt phẳng: a (a1 ; a2 ; a3 ) n Cho đường thẳng: ( ) có véctơ phương và mp: ( ) có vtpt = (A; B; C) Gọi là góc ( ) & ( ), ta có: Vấn đề 5: KHOẢNG CÁCH sin = a n a n 1/ Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) tới mp ( ): Ax + By + Cz + D = 0: Ax + By0 + Cz D d(M ; ) = A2 B2 C ( x1 ; y1 ; z1 ) tới đường thẳng ( ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) , có véctơ 2/ Khoảng cách từ điểm M phương a (a1; a2 ; a3 ) là: M 0M1, a a d(M ; ) = 2/ Khoảng cách đường thẳng chéo : a ( x ; y ; z ) Cho đường thẳng chéo nhau: ( ) qua điểm M 0 , có véctơ phương (a1; a2 ; a3 ) ( ’) qua điểm M’ ( x '; y '; z ') , có véctơ phương b (b1 ; b2 ; b3 ) a ; b MM ' a ; b => Khoảng cách đường thẳng là : d( ; ’) = Vấn đề : MẶT CẦU 2 2 1) Phương trình tổng quát mặt cầu: (x – a) + (y – b) + (z – c) = R Trong đó: tâm I(a; b; c) bán kính R 2 2) Phương trình mặt cầu dạng khai triển: x + y + z - 2ax - 2by – 2cz + d = 2 Trong đó: tâm I(a; b; c) bán kính R = a b c d với a b c d > 3) Vị trí tương đối mặt phẳng và mặt cầu: Cho mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) bán kính R và mp( ): Ax + By + Cz + D = 2 Aa + Bb + Cc D * Tính d(I; d(I; d(I; d(I; ) = )>R )=R )<R A2 B2 C ( ) và (S) không có điểm chung ( ) tiếp xúc với (S) ( ) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có tâm H là hình chiếu 2 vuông góc I trên ( ); bán kính r = R d 4) Vị trí tương đối đường thẳng và mặt cầu: x x0 y y0 z z0 a a a3 Cho mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) bán kính R và đường thẳng ( ): (43) * Tính d(I; ( )) d(I; ( )) > R ( ) và (S) không có điểm chung d(I; ( )) = R ( ) tiếp xúc với (S) d(I; ( )) < R ( ) cắt (S) hai điểm phân biệt * BÀI TẬP: Bài 1: Cho A( 1;1;0), B(3;-1;1), C(5;1;3) a Tìm độ dài đường phân giác góc A b Tìm tâm và bán kính đường tròn nội tiếp ABC Bài 2: Cho A( 0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(0; 2; 0), A’( 0; 0; 3) a Gọi M, N, P, Q là trung điểm A’B’, BC, CD, DD’ C/m M, N, P, Q cùng thuộc mặt phẳng b Tính khoảng cách từ C’ đến mp(MNPQ) Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng () các trường hợp sau: a () vuông góc với AB A, biết A(1;0;2), B(2;1;1) b () qua ba điểm M(2;1;3), N(4;2;1), P(1;2;3) c () qua M(0;2;1) và song song với mặt phẳng (): x 3z + = d () qua A(3;1;1), B(2;1;4) và vuông góc với mặt phẳng ():2x y + 3z + = x y 1 z 1 e () qua M(1;1;1) và vuông góc với đường thẳng : Bài 4: Tìm m để khoảng cách từ M(m;0;1) đến mặt phẳng (): 2x + y 2z + = Bài 5: Viết phương trình đường thẳng các trường hợp sau: a qua hai điểm A(2;1;3), B(4;2;1) b qua điểm M (1;0;2) và vuông góc với mặt phẳng (): 2x y + z = x y 3 z c qua M(1;2;1) và song song với đường thẳng d: d qua M(0;3;1) và song song với trục Ox x x 1 z và điểm M(3;4;5) Bài 6: Cho đường thẳng : Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc M trên và tính khoảng cách từ M đến Bài 7: Viết phương trình tham số đường vuông góc chung hai đường thẳng : x y z 1 và x 3 7t ' : y 1 2t z 1 3t O D i j 5k Bài 8: Trong kgOxyz cho A(4;1;2), B(1;2;2), C(1;1;5), và a Chứng minh ABCD là tứ diện b Tính thể tích tứ diện ABCD c Tính cosin góc hợp bởi hai cạnh AB và CD c Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD d Viết phương trình tiếp diện với mặt cầu (S) A x y z x y z Bài 9: Trong kgOxyz cho (): và đường thẳng d: 1 Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết A, B, C là giao điểm tương ứng mặt phẳng với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz; còn D là giao điểm đường thẳng d với mặt phẳng tọa độ Oxy Bài 10: Trong kgOxyz cho A(1;4;2) và mặt phẳng (P): x + 2y + z = a Viết phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) b Tìm tạo độ giao điểm H đường thẳng d và mặt phẳng (P) (44) c Viết phương trình mặt cầu tâm mặt phẳng (P) và tiếpxúc với A Bài 11: Trong kgOxyz cho A(1;2;1), OB j k , OC i 4k a Chứng minh ABC là tam giác vuông b Viết phương trình tham số đường thẳng AB c Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (ABC) Bài 12: Trong kgOxyz cho D(3;1;2) và mp() qua ba điểm A(1;0;11), B(0;1;10), C(1;1;8) a Viết phương trình tham số đường thẳng AC b Viết phương trình tổng quát mặt phẳng () c Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D bán kính R = Chứng minh (S) cắt () d: x y z 2 Bài 13: Trong kgOxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc điểm A trên đường thẳng d b) Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa d cho khoảng cách từ A đến ( ) lớn nhất Bài 14: Trong kgOxyz, cho điểm A(0;1;2); B(2;-2;1); C(-2;0;1) a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng x x z 0 cho MA MB MC Bài 15: Trong kgOxyz, cho điểm A(3;3;0); B(3;0;3); C(0;3;3); D(3;3;3) a) Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A, B, C, D b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC x y z 2 d1 : & 1 Bài 16: Trong kgOxyz, cho hai đường thẳng x 2t d : y 1 t z 3 a) Chứng minh d1 & d chéo b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( P) : x y z 0 và cắt hai đường thẳng d1 & d 2 Bài 17: Trong kgOxyz, cho mặt cầu ( S ) : x y z x y z 0 và mp ( P) : x y z 14 0 a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính b) Tìm tọa độ M thuộc (S) cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất Vấn đề : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Vấn đề 1: CÁC CÔNG THỨC VỀ TỌA ĐỘ: OM i * Điểm M(x; y) = x + y j ABC biết : A xA ; y A , B xB ; y B , C xC ; yC * Cho AB xB xA ; yB y A 1) 2) AB ( xB xA ) yB y A 3) I là trung điểm đoạn AB, ta có: x x y yB I A B ; A (45) 4) 5) 6) x A k x B x M 1 k y y A k yB M 1 k Điểm M gọi là chia đoạn AB theo tỉ số k MA k MB x x x y y B yC G A B C ; A 3 G là trọng tâm tam giác ABC, ta có: AC A, B, C thẳng hàng AB cùng phương với Tứ giác ABCD là hình bình hành AB DC (k 1) 7) 8) Tính chất đường phân giác: Gọi AD, AE là đường phân góc A (D BC; E BC), ta có: giác và ngoài 9) Diện tích ABC: S = DB AB AC ; DC xB x A y B y A xC x A yC x A EB AB EC AC 1 abc S aha ab sin C pr p ( p a )( p b)( p c ) 2 4R Công thức khác: * Cho : vectơ p ( a b c) (Với a, b, c là ba cạnh, là đường cao thuộc cạnh a, , R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp ABC) a (a1 ; a2 ) b (b1 ; b2 ) , , ta có: a b a1 b1 ; a2 b2 m.a m.a1; m.a2 11) a a12 a22 12) a b a b cos(a; b) a1.b1 a2 b2 10) 13) Tích vô hướng : cos a; b a1.b1 a2b2 a a22 b12 b22 14) Góc hai vectơ : a b a b 0 a1b1 a2b2 0 15) 16) a b a1 b1 ; a2 b2 a1 a2 b b2 với b1.b2 0 a , b a k b 17) cùng phương * BÀI TẬP: Bài 1: Cho lục giác ABCDEF Hãy biểu diễn AC ; AD; AF; EF theo các vectơ u AB ; v AE Bài 2: Cho ba điểm A(0;2), B(1;1), C(1;-2), Tìm tọa độ đỉnh D hình bình hành: a) ABCD b) ACBD c) CABD Tìm tọa độ các điểm C’, A’, B’ chia các đoạn thẳng AB, BC, CA theo tỉ số -1; ; -2 Chứng minh A’, B’, C’ thẳng hàng Tìm điểm E đối xứng với A qua C Tìm điểm M cho: MA 3MB BC (46) Bài 3: Cho ba điểm A(-3;0), B(3;0), C(2;6) Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C/m G; H; I thẳng hàng Bài 4: Cho ba điểm A(2;6), B(-3;-4), C(5;0) Tìm độ dài đường phân giác và ngoài góc A Tìm tọa độ tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài 5: Cho ba điểm A(1;2), B(-2;6), C(4;2) Tìm độ dài đường cao AA’ tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABC Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài 6: Tìm điểm P Ox cho tổng khoảng cách từ đó đến hai điểm A(1;2), B(3;4) nhỏ nhất Vấn đề 2: ĐƯỜNG THẲNG: a 1) Véctơ phương đường thẳng : là 0 , có giá cùng phương với đường thẳng Véctơ pháp tuyến đường thẳng: là n 0 , có giá vuông góc với đường thẳng 2) Phương trình tham số, chính tắc đường thẳng : a ( x ; y ) 0 * Cho đường thẳng ( ) qua điểm M , có véctơ phương (a1; a2 ) x x0 ta1 y y0 ta2 - Phương trình tham số đường thẳng ( ): (t R) x x0 y y0 2 a a2 - Phương trình chính tắc đường thẳng ( ): với a + b 0 3) Phương trình tổng quát đường thẳng : ( x ; y ) n 0 * Đường thẳng ( ) qua điểm M và có véctơ pháp tuyến ( A; B) => Phương trình tổng quát đường thẳng ( ): A(x - x ) + B(y - y ) = Hoặc : Ax + By + D = 0, đó D = -Ax - By 4) Phương trình đường thẳng qua hai điểm A(x A ;y A ), B(x B ;y B ): x xA y yA xB x A y B y A 5) Phương trình đường thẳng qua điểm M ( x0 ; y0 ) , có hệ số góc k: y - y = k(x- x ) Chú ý: - Đường thẳng ( ) có véctơ phương a (a1; a2 ) => véctơ pháp tuyến n ( a2 ; a1 ) a (a1 ; a2 ) - a2 => hệ số góc k = a1 Đường thẳng ( ) có véctơ phương Đường thẳng ( ) tạo với chiều dương trục hoành góc => hệ số góc k = tan Đường thẳng ( ) có phương trình: y = ax + b => hệ số góc k = a Nếu đường thẳng ( ) có hsg k và đường thẳng ( ’) có hsg k’ , ta có: ( ) // ( ’) k = k’ ( ) cắt ( ’) k k’ ( ) ( ’) k k’= - 6) Khoảng cách từ điểm M’(x’;y’) tới đường thẳng ( ): Ax + By + C = là: Ax' + By' + C 2 A B d(M’; ) = 7) * Góc hai đường thẳng:( ): Ax + By + C = và ( ’): A’x + B’y + C’ = là: cos ; ' A A ' B.B ' A B A '2 B '2 (Công thức cosin) (47) * Góc hai đường thẳng:( ): y = k x + b và ( ’): y = k x + b’ là: (; ') tan k2 k1 k1.k2 (Công thức tan) * BÀI TẬP: Bài 1: Gọi M, N, P là trung điểm ba cạnh AB, BC, CA ABC Biết M(3;-2), N(-1;1) P(5;2) a) Lập phương trình tham số, chính tắc, tổng quát các cạnh ABC b) Lập phương trình các đường trung trực các cạnh ABC Bài 2: Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm hai đường thẳng 4x + 7y – = và 8x + y – 13 = 0, đồng thời song song với đường thẳng x – 2y = Bài 2: Cho ABC có đỉnh A(2;2) và phương trình các đường cao kẻ từ B, C là: 9x – 3y – = ; x+y–2=0 a) Lập phương trình các cạnh ABC b) Lập phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với AC Bài 2: Lập phương trình các cạnh ABC biết đỉnh B(2;5) và hai đường cao có phương trình: 2x + 3y + = ; x – 11y + = Bài 2: Cho ABC có cạnh AB: 5x – 3y + = và các đường cao xuất phát từ A; B có phương trình: 4x – 3y + = và 7x + 2y – 22 = Lập phương trình các cạnh còn lại và đường cao thứ ba Chủ đề 17: LƯỢNG GIÁC Dạng 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Phương trình lượng giác cosx = cos x k 2 x k 2 sin x sin x k 2 tan x tan x k cot x cot x k Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác t sin x, t 1 a sin x b sin x c 0 Đặt t cos x, t 1 a cos x b cos x c 0 Đặt a tan x b tan x c 0 Đặt t tan x a cot x b cot x c 0 Đặt t cot x Phương trình bậc đối với sinx và cosx: a sin x b cos x c(*) 2 Điều kiện có nghiệm a b c a b ta a b c sin x cos x 2 2 a b a b a b2 a b cos ;sin a b2 a b2 Đặt c c sin x cos cos x sin sin( x ) 2 a b a b2 Phương trình trở thành: Phương trình đối xứng: a(sin x cos x) b sin x cos x c 0 Phương pháp: Chia hai vế phương trình cho (48) t sin x cos x cos( x ), ÐK : t Phương pháp: Đặt Khi đó: t 2sin x cos x Thay vào phương trình ta phương trình bậc hai t Chú ý: a(sin x cos x) b sin x cos x c 0 t sin x cos x 2.sin( x ) , ÐK : t Đặt: Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx x k a sin x b sin x cos x c cos x 0 Điều kiện Chia hai vế phương trình cho cos x ta phương trình bậc hai tan x 2 Hệ thức lượng tam giác: a b c 2 R sin A sin B sin C a Định lí HS sin: 2 b Định lí HS cosin: a b c 2bc cos A c d e b a c 2ac cos B c a b 2ab cos C 2b 2c a ma2 Định lí đường trung tuyến: A 2bc cos la b c Định lí đường phân giác: 1 abc S aha ab sin C pr p ( p a )( p b)( p c ) 2 4R Diện tích tam giác: A B C r ( p a ) tan ( p b) tan ( p c ) tan 2 Bán kính đường tròn nội tiếp: f Bài tập thường gặp các kì thi Giải các phương trình sau (1 sin x ) cos x (1 cos x)sin x 1 sin x 1 7 4sin( x) sin x sin( x 3 ) 2 (A08) cos x.cos x.sin x sin x 4 cos8 x sin x.sin x cos x.cos x sin x cos6 x 2sin ( x ) sin x cos x 3sin x cos x 0 2 sin x sin ( x ) sin ( x ) 3 cos 3x.tan x sin x 1 sin( x ) cos x sin x 3 10 2sin x cos x 3sin x 4 11 cos x sin x cos x 0 (49) 12 sin x cos x tan x 0 sin x 3tan ( x ) 2( ) sin x 13 14 sin 3x cos 3x 2sin x 3 15 cos x sin x 2sin x 1 2 16 (2sin x 1) tan x 3(2 cos x ) 0 17 cos x cos x sin x.sin x 23 3 sin x x) 2 cos x 18 cos x tan( x) 3tan x cos x 19 tan( 2 20 sin x cos x cos x(tan x 1) 2sin x 0 3 x 21 4sin cos x 1 cos ( x ) trên khoảng (0; ) 1 2 cos( x ) 22 cos x sin x 3 23 4(sin x cos x) cos x 3sin x 24 cot x tan x (2 25 26 2cos x sin x x 3) cos x 2sin ( ) 1 cos x tan x (2 sin 2 x) sin x cos x sin x cos x 1 cot x 5sin x 8sin x 27 28 Tìm nghiệm phương trình sau [0;14] cos x cos x 3cos x 0 2 2 29 sin 3x cos x sin x cos x cos 3x sin 3x ) cos x 2sin x 30 Tìm nghiệm pt thuộc khoảng (0; 2 ) 31 3cos x 8cos x 2cos x 0 32 tan x(tan x 2sin x) 6cos x 0 5(sin x x x sin ( ) tan x cos 0 33 cot x tan x 4sin x sin x 34 cos x cot x sin x sin x tan x 35 36 (2 cos x 1)(2sin x cos x) sin x sin x 37 5sin x 3(1 sin x) tan x 4 38 cos x sin x cos( x )sin(3 x ) 0 (50) 39 sin x cos x sin x cos x 0 2 40 cos x cos x cos x 0 41 cos x cos x cos x 0 x cot x sin x(1 tan x tan ) 4 42 2(cos x sin x) sin x cos x 0 2sin x 43 x x (sin cos )2 cos x 2 2 44 45 2sin x sin x sin x 2 46 (1 sin x) cos x (1 cos x)sin x 1 sin x 47 2sin x(1 cos x) sin x 1 cos x 3 2 48 sin x cos x sin x cos x sin x cos x Dạng 2: ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2 Phương trình A sin x B cos x C có nghiệm A B C Sử dụng các phương pháp thường gặp đại số Bài tập 0; 2(sin x cos x ) cos x 2sin x m Tìm m để pt có ít nhất nghiệm thuộc đoạn 2sin x cos x a Cho phương trình sin x cos x (1) (a là tham số) a a Giải phương trình (1) 4 b Tìm a để phương trình (1) có nghiệm Dạng 3: BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC Sử dụng công thức tam giác tương ứng Nhận dạng tam giác cách rút gọn hệ thức đã cho hay chứng tỏ hệ thức đó là điều kiện dấu xảy bất đẳng thức Bài tập Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện: cos A 2 cos B 2 cos C 3 Tính A,B,C A B C sin A 2 sin cos 0 2sin A 2(cos B cos C ) 2 HD: ĐK <=> (*) A A A B C cos cos VT sin A 4sin cos cos 1 => 2 Vì ABC không tù nên B C B C (sin A cos ) sin 0 2 A , B C =>KQ: Xét tam giác ABC có độ dài AB = c, BC = a, CA = b Tính diện tích tam giác ABC biết b sin C (b cos C c cos B) 20 (51) Gọi A, B, C là góc tam giác ABC, chứng minh để tam giác ABC thì điều kiện cần và đủ là : cos A B C A B B C C A cos2 cos cos cos cos 2 2 2 2 Tìm góc A, B, C tam giác ABC để biểu thức : Q sin A sin B sin C đạt giá trị nhỏ nhất 2 Xác định hình dạng tam giác ABC, biết rằng: ( p a)sin A ( p b) sin B c sin A sin B Chủ đề 18: PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TY VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – TAM THỨC BẬC HAI I Phương trình bậc hai: ax bx c 0 (1) (a 0) / /2 Biệt thức b 4ac (hay b ac) : (1) vô nghiệm 0 : (1) có nghiệm kép x1 x2 b b/ (hay x = - ) 2a a b x1;2 2a : (1) có nghiệm phân biệt Đặc biệt: Nếu Nếu ( hay x1;2 a b c 0 (1) x 1; x a b c 0 (1) b/ / ) a c a x 1; x c a Nếu (1) có hai nghiệm x1 ; x2 ax bx c a ( x x1 )( x x2 ) (52) 2 Định lí Viet: Nếu phương trình bậc hai: ax bx c 0(1) (a 0) có hai nghiệm x1 ; x2 b S x1 x2 a P x x c a II Dấu tam thức bậc hai: Cho tam thức f ( x) ax bx c 0 (a 0) ta có: b 4ac (hay / b / ac) Nếu af ( x) 0, x R Nếu 0 af ( x) 0, x 0 a f ( x) 0, x ( ; x1 ) ( x2 ; ) a.f(x) < 0, x ( x1 ; x2 ) Nếu VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO Định Lý:BEZOUT n n Cho đa thức: P( x) a0 x a1 x an x an ( a0 0) Số là nghiệm phương trình P( ) = thì P(x) chia hết cho x Sơ đồ HORNER: n n Chia đa thức P( x) a0 x a1 x an x an (a0 0) cho x ta có P( x) ( x )(b0 x n b1 x n bn bn ) Chia sơ đồ Horner Định lí VIET: Phương trình bậc 3: ax bx cx d 0 có nghiệm: b x x x a c x1 x2 x2 x3 x3 x1 a d x1 x2 x3 a Phương trình bậc 4: ax bx3 cx dx e 0 có nghiệm: b x1 x2 x3 x4 a x x x x x x x x x x x x c 2 3 4 a x x x x x x x x x x x x d 4 a e x1 x2 x3 x4 a VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TUYỆT ĐỐI I PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: A nêu A 0 A -A nêu A < (53) A B A B A B B 0 A B A B A B II BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A B A2 B A B A B A B AB A B A B VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 2n 2n B 0 A B 2n A B B 0(hay A 0) A 2 n B A= B n 1 A 2 n 1 B A B A 0 A B C 0 B 0 C ( A B) AB B A B A 0 A B2 B A 0 A B B 0 A B B 0 A B A B Phương pháp chung: Đặt điều kiện chung cho các thức có nghĩa Chuyển thành hai vế không âm bậc chẵn Luỹ thừa hai vế để khử A B A B B 0 ` B 0 A B A B Phương pháp đặt ẩn phụ (54) Quy phương trình hữu tỷ Dạng: af ( x) b f ( x ) c 0 Đặt t f ( x); t 0 Dạng: a ( x x ) b x x c 0 Đặt t x x Quy hệ phương trình hữu tỉ Dạng: n a f ( x) k b f ( x) c n k Đặt u a f ( x), v b f ( x) u n v k a b Giải hệ pt: u v c n n Dạng: x a ax b b n n Đặt y ax b y ax b ; giải hệ: n x ay b n y ax b (Hệ đối xứng loại2) Dạng bài tập các đề thi thường gặp: Giải phương trình x x x 0 Giải bất phương trình: x x 2x Giải phương trình x x 2( x 16) Giải bất phương trình Giải phương trình x x 4 x 7 x x x x 2 x 12 x 16 2 Giải bất phương trình ( x 3x) x 3x 0 Giải phương trình 3x x x Giải bất phương trình x x x 0 Giải bất phương trình 2x x 3x 2 10 Giải phương trình x x 4 x x x 2 11 Giải phương trình x x 2 x x x 2 12 Giải phương trình x x 10 5 x x 13 Giải bất phương trình x x 4 (55) 14 Giải phương trình x x 2 xy x y x y x y y x 2 x y 15 Giải Hệ phương trình: x y 1 16 Giải Hệ phương trình 3log9 (9 x ) log y 3 x y xy 3 x y 4 17 Giải Hệ phương trình x y x y x y x y2 18 Giải Hệ phương trình 19 Giải Hệ phương trình x y 3x y 4 x y 1 x y y x 6 2 20 Giải Hệ phương trình x y y x 20 21 Tìm tham số m để hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt x x x x m 22 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: x m x 2 x 23 Chứng minh với m > 0, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt x x m( x 2) 24 Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt x mx 2 x 25 Xác định m để phương trình sau có nghiệm: m( x x 2 x x x 26 Chứng minh với m > thì phương trình sau có nghiệm x (m ) x m3 0 27 Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm dương 28 Tìm m để phương trình sau có nghiệm x x m 0 29 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực x x m x x m x x (56) x y 1 x y y x 1 3m 30 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm Chuyên đề 18: PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN: A1 x B1 y C1 Voi A12 B12 A22 B22 0 A2 x B2 y C2 D Tính A1 B1 A2 B2 Dy A1 B2 A2 B1 C1 A1 C2 A2 Dx C1 B1 C2 B2 C1 B2 C2 B1 C1 A2 C2 A1 Dx x D y Dy D Nếu D 0 hệ phương trình có nhất nghiệm D 0 : Dx 0( Dy 0) Nếu hệ vô nghiệm Nếu D Dx Dy : hệ vô nghiệm f ( x, y ) 0 Đối xứng loại I: g ( x, y) 0 S x y ÐK : S 4 P Đặt P xy , giải hệ tìm S, Giải phương trình => x, y là nghiệm phương trình X SX P 0 f ( x, y ) 0(1) Đối xứng loại II: f ( y, x) 0(2) y x(a ) ( y x )h ( x, y ) 0 h( x, y ) 0(b) Lấy (2) – (1) vế theo vế ta được: (a ), (1) Kết hợp: (b), (1) *BÀI TẬP: Bài 1: Giải hệ phương trình: (57) x xy y 4 1) x xy y 2 x xy x 3 2 2) x y xy 2 2x + y x 2 y x y 2) x y 1 x xy y x xy y xy 78 4) ( x y ) 5 xy ( x y ) 49 x2 y 1 x y x y 4 x y 4 x2 y 5) 6) x y 2xy 8 x y 4 7) x y y x 30 x x y y 35 8) x 2xy 3y 0 x x y y 9) 2( x y ) 3 x y xy x y 6 10) x y z 9 xy yz xz 27 1 1 1 11) x y z 12) x y m 2 Bài 2: Cho hệ phương trình: x y xy 2m m a) Giải hệ phương trình m = b) CMR hệ phương trình có nghiệm với giá trị m x y m Bài 3: Tìm m để hệ phương trình: x y 3m Bài 4: Cho hệ phương trình: có nghiệm x y 2 m xy 2x + y = 2m m Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) với x -1 và y 2 2 xy 2x y 2 m Bài 5: Cho hệ phương trình: 2 x + y = 2(2m 1) (58) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) với x -1 và y 2 ( x 1) y m Bài 6: Tìm m để hệ phương trình: ( y 1) x m có nghiệm nhất x x x x m Bài 4: Cho phương trình: a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 4: Cho phương trình: 3 x 6 x (3 x)(6 x) m a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 4: Giải và biện luận phương trình: x x x m Bài 4: Giải và biện luận phương trình: 1 x x x m Bài 4: Tìm m để phương trình: x + = m x Bài 4: Tìm m để phương trình: có nghiệm x x = m Bài 4: Biện luận số nghiệm phương trình theo m: có nghiệm nhất x2 4x m x 4x m 6 Bài 1: Giải bất phương trình: 1) 5x 10x 7 2x x 3) x 2x 1 x 5) x x 1 x 6) 2x 3x 2x 2) 5x 4) x 1 4x 3 x x4 6) ( x 1) ( x 1) 3x x + (59) Dạng bài tập các đề thi thường gặp: x y x y xy xy x y xy (1 x ) Giải Hệ phương trình x x y x y 2 x 2 Giải Hệ phương trình x xy 6 x Giải Hệ phương trình x x y y 2 y x y2 y x2 3x x y2 Giải Hệ phương trình x y x y 4 Giải Hệ phương trình x( x y 1) y( y 1) 2 Giải Hệ phương trình x y ( x y ) 4 y ( x 1)( y x 2) y ( x y )( x y ) 13 2 Giải Hệ phương trình ( x y )( x y ) 25 (60) Giải Hệ phương trình 2 x xy y 3( x y ) 2 x xy y 7( x y ) x 2 y x Giải Hệ phương trình y 2 x y 10 Giải phương trình 2008 x 2009 2009 x 2008 1 11 Chứng minh phương trình sau luôn có đúng nghiệm: x x x 0 1 x x y y 5 x y 15m 10 x3 y3 12 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: 13 Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm x y xy m 2 x y xy m x my 1 14 Tìm m để hệ phương trình mx y 3 có nghiệm thỏa mãn xy < CHUYÊN ĐỀ 19: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH MỘT BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp biến đổi tương đương Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức sau a b2 a b a, b R Bài 2: Chứng minh với a,b,c ta có: a ) a b ab a b; c) b) a b ab 2(a b ) a2 b c ab ac 2bc a 1; b 1 Bài 3: Chứng minh với ta luôn có: a b ab 1 ab Bài 4: Cho a b 1 Chứng minh rằng: a 1 b Bài 5: Cho a > ; b > 0, m > n , m N, n N Chứng minh a m b m a n bn a m b m a n bn a c a ab cd c d Bài 6: Cho b d Chứng minh rằng: b b d Sử dụng phương pháp Bất đẳng thức Côsi (Cauchy) Với 0, i 1, 2,3, , n ta có: a1 a2 a3 an n n a1.a2 an (61) Dấu “=” xảy và khi: a1 = a2 = … = an Với n = : a b ab a b ab a, b 0 3 Với n = : a b c 3 abc a 0 => a a b c abc a b a,b 0 => 2 b a * , a, b, c 0 2 a Hệ quả: * Bài 1: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a) (a b)( ab 1) 4ab b) ( a b)(b c)(c a) 8abc 1 (a b c)( ) 9 2 2 2 a b c c) d) a (1 b ) b (1 c ) c (1 a ) 6abc 1 1 3 3 e) a b abc b c abc c a abc abc Bài 2: Chứng minh rằng: x2 x 8 6 , x x x a) b) Bài 3: Chứng minh rằng: với a, b, c, d ta có: a b c d abcd a) 2 , x R a b c abc b) Áp dụng tìm GTNN A = tg tg tg với , , là ba góc nhọn tam giác Bài 4: Cho a, b, c > và a + b + c = Chứng minh a) (1 a)(1 b)(1 c) 8abc 1 (1 )(1 )(1 ) 64 a b c b) Bài5: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c (1 )(1 )(1 ) 8 b c a a) 2 a b c2 a b c b) b c c a a b Sử dụng phương pháp Bất đẳng thức Bunhiacôpski Cho hai n số : a1 , a2 , , an ; b1 , b2 , , bn Ta có: (a1b1 a2b2 a3b3 anbn ) (a a a32 an2 )(b12 b22 b32 bn2 ) a a1 a2 n bn Dấu “=” xảy và : b1 b2 Bài 1:a) Cho x, y thoả x2 + y2 = b) Cho x, y thoả x2 + y2 = 2 Chứng minh rằng: Chứng minh rằng: x y 13 x 2y x y 5 c) Cho x, y thoả 2x2 + 3y2 5 Chứng minh rằng: (62) Bài 2: a) Cho x, y thoả 4x2 y2 4x – 6y = Chứng minh: b) Cho x, y thoả 3x + 4y = 10 Chứng minh: x y 4 Bài 3: Cho x,y,u,v thoả: x2 + y2 = u2 + v2 = Chứng minh rằng: a) xu yv 1 u ( x y ) v( x y ) b) Bài 4: Cho a > c > 0, b > c > Chứng minh: (a c)(b c ) (a c)(b c ) 2 ab 2 2 Bài 5: Cho a + b + c + d = Chứng minh: a b c d 4 1 25 ( a ) (b ) , a, b a b Bài 6: Chứng minh rằng: CHUYÊN ĐỀ 20: GIẢI TÍCH TỔ HỢP n, k N QUY ƯỚC: n k , n 1 Mỗi cách xếp n phần tử tập X theo thứ tự nhất định là hoán vị Số hoán vị n phần tử là: Pn n ! n(n 1)(n 2) 3.2.1 Mỗi cách xếp k phần tử tập X ( k n ) theo thứ tự nhất định là chỉnh hợp Ank n! (n k )! chập k n phần tử đó Số chỉnh hợp chập k n là : Mỗi tập gồm k phần tử X (không phân biệt thứ tự) tạo thành tổ hợp chập k n Ank n! C k ! k !(n k )! phần tử đó Số tổ hợp chập k n là k n ( k n ) n Công thức khai triển nhị thức Newton (a b) n Cnk a n k b k k n k Các công thức thường dùng: Cn Cn ; k 0 Cnk Cnk 1 Cnk11 Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2n Cnk 2Cnk 1 Cnk 2 Cnk22 Cnk 3Cnk 1 3Cnk 2 Cnk 3 Cnk33 Tính tổng : Các dạng toán thường gặp các kỳ thi Tính số hạng không chứa x khai triển (3 x n ) x , biết Cn 3Cn 3Cn Cn 2Cn 2 13 Hãy tìm hệ số có giá trị lớn nhất khai triển (2 x 1) k k Rút gọn biểu thức sau: S = Cn Cn Cn Cn ( 1) Cn , k n, n 1 1 S Cn0 Cn1 Cn2 Cnn n 1 Tính tổng (63) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, có thể viết bao nhiêu số có chữ số khác mà chữ số không đứng cạnh chữ số 2? Có bao nhiêu cách bố trí 10 em học sinh cầm tay xếp thành vòng tròn? Một lớp có 30 học sinh a) Có bao nhiêu cách bầu em làm ban cán lớp? b) Có bao nhiêu cách chọn em mà em làm lớp trưởng ,1 em làm lớp phó phụ trách học tập và em làm lớp phó phụ trách lao động? Cho 100 điểm phân biệt trên mặt phẳng c) Có bao nhiêu vectơ mà điểm gốc và điểm là các điểm đã cho? d) Có nhiều nhất bao nhiêu tam giác mà đỉnh là các điểm đã cho ? Số tam giác ít nhất là bao nhiêu? Ax44 15 Giải bất phương trình sau: ( x 2)! ( x 1)! 10 Có lá thư viết cho người bỏ vào phong bì đã ghi địa người nhận Có bao nhiêu cách cho các lá thư vào bì, phong bì chứa lá thư để lá thư không đến trùng người nhận? Chuyên đề : TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT B PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Định nghĩa: Cho hàm số y f ( x) xác định trên D Nếu f ( x) M ; x D & x0 D / f ( x0 ) M thì M gọi là GTLN hàm Max f ( x) M số y f ( x) trên D Kí hiệu: xD Nếu f ( x) m; x D & x0 D / f ( x0 ) m thì m gọi là GTNN hàm số f ( x) m y f ( x) trên D Kí hiệu: Min xD Chú ý: GTLN A Max GTLNA , GTNNA ; GTNN A Min GTLNA , GTNNA Phương pháp: Tìm GTLN & GTNN bằng phương pháp khảo sát trực tiếp Để tìm GTLN & GTNN hàm số y = f(x) B1: Tìm TXĐ: D B2: Tính y/ và giải phương trình y/ = B3: Lập bảng biến thiên hàm số trên D Dựa vào BBT kết luận GTLN & GTNN hàm số Tìm GTLN & GTNN hàm số trên đoạn Để tìm GTLN & GTNN hàm số y = f(x) trên đoạn [a;b] Tính f/(x) , giải phương trình f/(x) = với x [a;b] Giả sử có nghiệm x1;x2; … Tính f(a); f(b) ; f(x1); f(x2); … So sánh các kết trên và kết luận : Min = Min{f(a); f(b); f(x1);… } (64) [a;b] Max = Max{f(a); f(b); f(x 1);… } [a;b] Tìm GTLN & GTNN hàm số băng phương pháp tìm miền giá trị (lớp10) B1:Xem y = f(x) là phương trình ẩn x và tham số y B2: Tìm điều kiện y để phương trình y = f(x) có nghiệm Kết luận Miny và Maxy Dùng bất đẳng thức: Dùng bất đẳng thức đại số để chặn biểu thức f(x) dùng định nghĩa GTLN, GTNN để tìm đáp số Lưu ý: Phải xét dấu = xảy tất các bất đẳng thức đã dùng quá trình giải Dạng bài tập các đề thi thường gặp: 1) Tìm GTLN & GTNN hàm số y 4 x x 2) Tìm GTLN & GTNN hàm số : a) y x2 x khix ; b) y x 3x x khix 3) Tìm GTLN & GTNN hàm số : y x x 4) Tìm GTLN & GTNN hàm số : y cos x sin x 5) Tìm GTLN & GTNN hàm số y x 3x trên đoạn [0;3] 6) Tìm GTLN & GTNN hàm số y x x ; y sin x x 7) Tìm GTLN & GTNN hàm số : trên đoạn sin x y cos x trên đoạn 0; 8) Tìm GTLN & GTNN hàm số : x 1 y x trên đoạn [-1 ; 2] 9) Tìm GTLN & GTNN hàm số : x2 x 1 20 x 10 x y f ( x) y x x ; b) 3x x 10)Tìm GTLN & GTNN hàm số : a) 3sin x y 1 x 0; cos x 11)Tìm GTLN & GTNN hàm số : a) ; sin x cos x y f ( x) sin x cos x b) 3 12) Tìm GTLN & GTNN hàm số : a) y x x ; b) y x x 2 13) Xác định m để GTNN hàm số : y 4 x 4mx m 2m trên [- ; 0] ln x y 1;e3 x 14) Xác định m để GTNN hàm số trên đoạn 2( x xy ) P ; x y 1 xy y 15) Xác định m để GTNN 16) Xác định m để GTNN hàm số y x x y 17) Xác định m để GTNN hàm số x 1 x trên đoạn 1; 2 (65) 18) Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x y 4 S x 4y Xác định m để GTNN biểu thức x my 2 4m 19) Gọi (x, y) là nghiệm hệ phương trình mx y 3m 1 Tìm GTLN biểu thức A x y x m thay đổi 1;1 20) Xác định m để GTNN hàm số y x 4(1 x ) trên đoạn Tứ Diện lăng trụ Bai 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M và N là hình chiếu vuông góc A trên các đường thẳng SB và SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM Bai 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a; AD = a ; SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M và N là trung điểm AD và SC; I là giao điểm BM và AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Bài 50: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, cạnh SA vuông góc với đáy, Gọi M là trung điểm SB Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC) Tính thể tích khối tứ diện MABC Bài 49: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và a Tính độ dài các cạnh còn lại tứ diện và chứng minh tam giác ABC vuông b Chứng minh Bài 47: Cho hình chóp tam giác S.ABC, SA = x, BC = y, các cạnh còn lại 1 Tính thể tích hình chóp theo x, y Với x, y nào thì thể tích hình chóp lớn nhất? Bài 45: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật (66) Lấy M, N trên các cạnh SB, SD cho Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC P Tính tỷ số Tính thể tích hình chóp S.AMPN theo thể tích V hình chóp S.ABCD Bai 4: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O', bán kính đáy chiều cao và a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO'AB Bai 5: Cho hai nửa đường thẳng Ax, By chéo và vuông góc Có AB là đường vuông góc chung, AB = a Ta lấy các điểm M trên Ax, N trên By với AM = x, BN = y Chứng minh các mặt tứ diện ABMN là các tam giác vuông Tính thể tích và diện tích toàn phần tứ diện ABMN theo x, y Bai 6: Cho hình lăng trụ đứng có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc .Gọi M là trung điểm cạnh AA' và N là trung điểm cạnh CC' Chứng minh bốn điểm B', M, D, N cùng thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN là hình vuông Bai 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, góc nhọn tạo bởi hai đường chéo AC và BD là , các tam giác SAC và SBD là các tam giác cạnh a Tính thể tích hình chóp theo a Bai 9: Cho ABC là tam giác vuông C Trên đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S (khác với A) Chứng minh các mặt thiết diện S.ABC là tam giác vuông Bai 10 : Cho hình nón có đường cao h Một mặt phẳng qua đỉnh S hình nón tạo với mặt đáy hình nón góc , qua hai đường sinh SA, SB hình nón và cắt mặt đáy hình nón theo dây cung AB, cung AB có số đo Tính diện tích thiết diện SAB Bai 15 : Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABD); AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (ACD) Bai 16 : Cho hình chóp S.ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M và N là các trung điểm các cạnh SB và SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC) Bai 18 : Cho tứ diện ABCD có: AC = AD = BC = BD = a, AB = 2m , CD = 2n Gọi I, K là trung điểm AB và CD a Chứng minh IK là đoạn thẳng vuông góc chung cạnh đối AB và CD b Tính IK theo a, m và n (67) Bai 19 : Cho hình lập phương cạnh Gọi Tính thể tích khối tứ diện là tâm hình vuông Bai 20 : Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có cạnh đáy 2a, cạnh bên Gọi D, E là trung điểm AB và A'B' Tính thể tích khối đa diện ABA'B'C' Tính khoảng cách đường thẳng AB và mặt phẳng (CEB') Bai 21 : Cho khối lăng trụ đứng Đường chéo góc a Tính độ dài đoạn có đáy mặt bên là tam giác vuông tạo với mặt phẳng b Tính thể tích khối lăng trụ Bai 22 : Cho hình chóp S.ABC Đáy ABC là tam giác vuông B, cạnh SA vuông góc với đáy, góc ACB = , BC = a , SA = Gọi M là trung điểm cạnh SB Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC) Tính thể tích khối tứ diện MABC Bai 23 : Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác ABC vuông A , góc vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA tạo với đáy (ABC) góc Gọi E, F là hình chiếu B trên SA, SC a Tính thể tích hình chóp S.ABC b Chứng minh A, B, C, E, F cùng thuộc mặt cầu, xác định tâm và bán kính mặt cầu đó Bai 24 : Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông Tính khoảng cách từ Bai 25 : Cho tứ diện Một mặt phẳng tương ứng các điểm 1.Chứng minh tứ giác 2.Xác định vị trí song song với Bai 27 : Cho hình chóp , cắt các cạnh đạt giá trị lớn nhất có đáy ABCD là hình chữ nhật Lấy M, N trên các SB, Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC P Tính tỷ số Tính thể tích hình chóp và là hình bình hành diện tích tứ giác SD cho: đến mặt phẳng theo thể tích V hình chóp (68) Bai 28 : Cho góc tam diện vuông Oxyz Trên Ox, Oy, Oz lấy các điểm A, B, C có Chứng minh tam giác ABC có góc nhọn Gọi H là trực tâm tam giác ABC Hãy tính OH theo a, b, c Chứng minh bình phương diện tích tam giác ABC tổng bình phương diện tích các mặt còn lại tứ diện Bai 30 : Cho khối lăng trụ tam giác Khoảng cách cạnh và mặt Tính thể tích khối lăng trụ mà mặt bên có diện tích Bai 31: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A, cạnh SB vuông góc với đáy (ABC) Qua B kẻ BH vuông góc với SA, BK vuông góc với SC Chứng minh SC vuông góc với (BHK) và tính diện tích tam giác BHK biết và Bai 32: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh a Giả sử M, N, P, Q là trung điểm các cạnh A'D', D'C', C'C, AA' Chứng minh điểm M, N, P, Q cùng nằm trên mặt phẳng Tính chu vi tứ giác MNPQ theo a Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a Bai 33: Cho tứ diện ABCD cạnh a Giả sử I là điểm thay đổi ở trên cạnh CD Hãy xác định vị trí I để diện tích tam giác IAB là nhỏ nhất Giả sử M là điểm thuộc cạnh AB Qua điểm M dựng mặt phẳng song song với AC và BD Mặt phẳng này cắt các cạnh AD, DC, CB N, P, Q Tứ giác MNPQ là hình gì? Hãy xác định vị trí M để diện tích tứ giác MNPQ là lớn nhất Bai 34: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình chữ nhật với: bên hình chóp và Các cạnh a) Tính thể tích hình chóp S.ABCD b) Gọi M, N, E, F là trung điểm các cạnh AB, CD, SC, SD Chứng minh SN vuông góc với mặt phẳng (MEF) c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) Bai 35: Cho tứ diện O.ABC có cạnh OA, OB, OC đôi vuông góc với và Kí hiệu K, M, N là trung điểm các cạnh AB, BC, CA Gọi E là điểm đối xứng O qua K và I là giao điểm CE với mặt phẳng (OMN) a) Chứng minh rằng: CE vuông góc với mặt phẳng (OMN) (69) b) Tính diện tích tứ giác OMIN theo a Bai 36: cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều; SCD là tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J là trung điểm AB và CD a) Tính các cạnh tam giác SIJ và chứng minh SI vuông (SCD), SJ vuông (SAB) b) Gọi H là hình chiếu vuông góc S trên IJ Chứng minh SH vuông AC c) Gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD cho BM vuông SA Tính AM theo a Bai 37: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a; đáy và vuông góc với a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng cách từ trọng tâm G tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC) Bai 38: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a , SA = a và vuông góc với đáy Gọi M.N là trung điểm AB và AC a) Tính cosin góc mặt phẳng (SAC) và (SBC) b) Tính cosin góc mặt phẳng (SMN) và (SBC) Bai 39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = a ; AD = 2a Tam giác SAB vuông cân A M điểm trên cạnh AD ( M khác A và B ) Mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SAB) cắt BC ; SC ; SD N;P;Q a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông b) Đặt AM = x Tính diện tích hình thang MNPQ theo a ; x Bai 40: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O , SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi I, M theo thứ tự là trung điểm SC, AB a) Tính khoảng cách từ I đến CM b) Tính khoảng cách từ S đến CM Bài 41: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD) ; SC = 2a Hai điểm M, N thuộc SB và SD cho (AMN) cắt SC P Mặt phẳng Tính thể tích hình chóp S.MANP theo a Bài 42: Trong mặt phẳng (P) , cho hình vuông ABCD có cạnh a S là điểm bất kì nằm trên đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) A (70) Gọi M, N là hai điểm di động trên các cạnh CB , CD và đặt CM = m, CN = n Tìm biểu thức liên hệ m và n để các mặt phẳng (SMA) và (SAN) tạo với góc Bài 43: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = 2a, AA' = a : Tính khoảng cách đường thẳng AD' và B'C' Gọi M là điểm chia đoạn AD theo tỉ số AM / MD = Hãy tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( AB'C) Tính thể tích tứ diện A.B'D'C' Bài 44: Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn C bán kính a, chiều cao đỉnh S, đáy là đa giác lồi ngoại tiếp C ; và cho hình chóp Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp ( mặt cầu ở bên hình chóp, tiếp xúc với đáy và với các mặt bên hình chóp ) Biết thể tích khối chóp lần thể tích khối nón, hãy tính diện tích toàn phần hình chóp Bài 46: Cho góc tam diện vuông Oxyz Trên Ox, Oy, Oz lấy các điểm A, B, C có OA = a, OB = b, OC = c ( a, b, c > 0) Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi H là trực tâm tam giác ABC Hãy tính OH theo a, b, c Chứng minh bình phương diện tích tam giác ABC tổng bình phương diện tích các mặt còn lại tứ diện O.ABC Bài 48: Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a với A (0 ; 0; 0) , B (a; ; 0) , D (0 ; a; 0) và đỉnh S (0; 0; a) Gọi M là trung điểm đoạn SA, hãy tính : Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (CDM) Góc đường thẳng SB và DM (71)