Sau đó ta đi giải phương trình hoặc hệ phương trình để tìm các hệ số của các hạng tử trong các đa thức Đa thức thương, đa thức chia, đa thức bị chia, số dư... Hãy giải bài toán trên bằn[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ: XÁC ĐỊNH ĐA THỨC 1) Định lí BêZu: Dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a f(a) (giá trị f(x) x = a): f (x)=(x − a) q(x )+ f (a) (Beout, 1730 - 1783, nhà toán học Pháp) Hệ quả: Nếu a là nghiệm đa thừc f(x) thì f(x) chia hết cho x - a Áp dụng: Định lí BêZu có thể dùng để phân tích đa thức thành nhân tử Thực sau: Bước 1: Chọn giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm f(x) không Bước 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta có: f (x)=(x − a) p( x ) Để tìm p(x) thực phép chia f(x) cho x - a Bước 3: Tiếp tục phân tích p(x) thành nhân tử còn phân tích Sau đó viết kết cuối cùng cho hợp lí Dạng 1: Tìm đa thức thương phương pháp đồng hệ số (phương pháp hệ số bất định), phương pháp giá trị riêng , thực phép chia đa thức *Phương pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau đây : Nếu hai đa thức P(x) và Q(x) nhau: P(x) = Q(x) thì các hạng tử cùng bậc hai đa thức phải có hệ số phải có hệ số Ví dụ: P( x)=ax 2+2 bx −3 ; Q( x)=x2 − x − p Nếu P(x) = Q(x) thì ta có: a = 1(hệ số lũy thừa 2) 2b = - (hệ số lũy thừa bậc 1) - = - p (hệ số hạng tử bậc không hay hạng tử tự do) *Phương pháp2: Cho hai đa thức P(x) và Q(x) thỏa mãn deg P(x) > deg Q(x) Gọi thương và dư phép chia P(x) cho Q(x) là M(x) và N(x) Khi đó ta có: P( x)=Q( x) M ( x )+ N ( x) (Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I) Vì đẳng thức (I) đúng với x nên ta cho x lấy giá trị bất kì : x=α ( α là số) Sau đó ta giải phương trình hệ phương trình để tìm các hệ số các hạng tử các đa thức ( Đa thức thương, đa thức chia, đa thức bị chia, số dư) Ví dụ: Bài 1(Phần bài tập áp dụng) Gọi thương phép chia A(x) cho x + là Q(x), ta có: a2 x 3+3 ax −6 x − a=( x+1).Q(x ) Vỡ đẳng thức đỳng với x nờn cho x = -1 ta dược: a=− a=3 −a + a+6 −2 a=0 ⇒− a2+ a+6=0 ⇒¿ Với a = -2 thì A=4 x − x −6 x + , Q(x)=4 x − 10 x + Với a = thì A=9 x +9 x − x − ,Q(x )=9 x − *Phương pháp 3:Thực phép chia đa thức (như SGK) Bài tập áp dụng Bài 1: Cho đa thức A( x) a x 3ax x 2a(a Q) Xác định a cho A(x) chia hết cho x + Bài 2: Phân tích đa thức P( x) x x x thành nhân tử, biết nhân tử có dạng: x dx (2) Bài 3: Với giá trị nào a và b thì đa thức : x 3+ ax2 +2 x+ b chia hết cho đa thức: x 2+ x +1 Hãy giải bài toán trên nhiều cách khác Bài 4: Xđ giá trị k để đa thức: f (x)=x − x +21 x 2+ x +k chia hết cho đa thức: g(x)=x − x −2 Bài 5: Tìm tất các số k ∈ N đa thức: f (k )=k 3+2 k 2+15 chia hết cho nhị thức: g(k )=k +3 Bài 6: Với giá trị nào a và b thì đa thức: f ( x)=x −3 x +3 x 2+ ax+b chia hết cho đa thức: g( x)=x −3 x +4 Bài 7: a) Xác định các giá trị a, b và c để đa thức: P( x)=x +ax 2+ bx +c Chia hết cho x − 3¿ ¿ b) Xác định các giá trị a, b để đa thức: Q(x)=6 x − x 3+ ax2 +3 x +2 chia hết cho đa thức M (x)=x − x +b c) Xác định a, b để P( x)=x3 +5 x − x+ a chia hết cho M (x)=x + x +b x − ax2 + bx − c=(x −a)(x −b)( x −c ) Bài 8: Hãy xác định các số a, b, c để có đẳng thức: Bài 9: Xác định số a cho: a) 10 x2 −7 x +a chia hết cho x −3 b) x +ax +1 chia cho x − dư c) ax 5+ x − chia hết cho x −1 Bài 10: Xác định các số a và b cho: a) x +ax 2+ b chia hết cho x − x +1 b) ax 3+ bx +5 x −50 chia hết cho x 2+3 x +10 ¿2 c) ax + bx2 +1 chia hết cho x −1 ¿ d) x +4 chia hết cho x + ax+b Bài 11: Tìm các số a và b cho x 3+ ax+b chia cho x+ thì dư 7, chia cho x − thì dư -5 Bài 12: Tìm các số a, b, c cho ax 3+ bx +c chia hết cho x+ , chia cho x −1 thì dư x+ Bài 13: Cho đa thức: P( x)=x + x − x +ax +b và Q(x)=x2 + x −2 Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x) x −1 ¿2 Bài 14: Xác định a và b cho đa thức P( x)=ax + bx3 +1 chia hết cho đa thức Q( x)=¿ Bài 15: Cho các đa thức P( x)=x − x3 + ax2 +3 x+ và Q(x)=x2 − x +b Xác định a và b để P(x) chia hết cho Q(x) Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn Phương pháp: Để tìm đa thức P(x) bậc không quá n biết giá trị đa thức n + điểm C1 , C2 , C3 ,⋯ , Cn +1 ta có thể biểu diễn P(x) dạng: P( x)=b0 +b (x −C 1)+b (x −C 1)( x −C 2)+⋯+b n ( x −C 1)( x −C 2) ⋯( x −C n ) Bằng cách thay x các giá trị C1 , C2 , C3 ,⋯ , Cn +1 lượt tính các hệ số b0 , b1 , b2 ,⋯ , bn Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm đa thức bậc hai P(x), biết: P(0)=25 , P(1)=7 , P(2)=− Giải vào biểu thức P(x) ta lần (3) Đặt P( x)=b0 +b x +b2 x ( x −1) (1) Thay x lần lượy 0; 1; vào (1) ta được: b 0=25 7=25+ b1 ⇔ b1=−18 −9=25 −18 2+ b2 ⇔b 2=1 Vậy, đa thức cần tìm có dạng: P(x)=25 −18 x+ x (x −1)⇔ P (x)=x −19 x+25 Bài 2: Tìm đa thức bậc P(x), biết: P(0)=10 , P(1)=12 , P(2)=4 , P(3)=1 Hướng dẫn: Đặt P( x)=b0 +b x +b2 x (x −1)+b3 x (x −1)( x − 2) (1) Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), biết chia P(x) cho ( x − 1),( x − 2),( x −3) dư và P(-1) = - 18 Hướng dẫn: Đặt P( x)=b0 +b ( x −1)+b2 (x −1)(x −2)+b3 ( x −1)(x − 2)(x −3) (1) P(−1)=0 Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa mãn: P( x) − P(x −1)=x (x +1)(2 x +1),(1) a) Xác định P(x) ❑ b) Suy giá trị tổng S=1 3+2 5+…+n (n+1)(2n+ 1),(n ∈ N ) Hướng dẫn: Thay x 0; 1; 2; vào (1), ta : P(−1)− P(−2)=0⇔ P(−2)=0 , P(0)− P(−1)=0 ⇔ P (0)=0 P(1)− P(0)=1 ⇔ P(1)=6 P(2)− P(1)=2 5⇔ P(2)=36 P( x)=b0 +b ( x+1)+b2 ( x +1)x +b3 (x +1) x (x −1)+ b4 (x +1) x ( x −1)( x −2) (2) Đặt Thay x -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được: 0=b0 0=b ⇔ b1=0, 6=b2 1⇔ b2=3, 36=3 2+ b3 1⇔ b3=3 0=3.( −1)( −2)+ 3.(− 1)(− 2)(−3)+b4 (−1)(−2)(−3)(− 4)⇔ b 4= Vậy, đa thức cần tìm có dạng: x+1 ¿2 (x +2) 1 P( x)=3( x +1) x+ 3( x +1) x ( x −1)+ ( x +1) x (x − 1)( x −2)= x ¿ 2 (Tuyển chọn bài thi HSG Toán THCS) Bài 5: cho đa thức P( x)=ax + bx +c ,(a , b , c ≠ 0) Cho biết a+3 b+6 c=0 1) Tính a, b, c theo P(0), P , P(1) 2) Chứng minh rằng: () P(0) , P ( ) , P(1) Bài 6: Tìm đa thức bậc hai, cho biết: không thể cùng âm cùng dương P (0)=19 P(1)=85 P(2)=1985 CHUYÊN ĐỀ: TÍNH CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC A Dạng 1: Tìm dư phép chia mà không thực phép chia Đa thức chia có dạng x – a (a là hằng) (4) a) Định lí Bơdu (Bezout, 1730 – 1783): Số dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a giá trị f(x) x = a - f(x) chia hết cho x – a f(a) = b) f(x) có tổng các hệ số thì chia hết cho x – c) f(x) có tổng các hệ số hạng tử bậc chẵn tổng các hệ số các hạng tử bậc lẻ thì chia hết cho x + Ví dụ : Không làm phép chia, hãy xét xem A = x3 – 9x2 + 6x + 16 chia hết cho B = x + 1, C = x – không Kết quả: A chia hết cho B, không chia hết cho C Đa thức chia có bậc hai trở lên Cách 1: Tách đa thức bị chia thành tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia và dư Cách 2: Xét giá trị riêng: gọi thương phép chia là Q(x), dư là ax + b thì f(x) = g(x).Q(x)+ax+b Ví dụ 1: Tìm dư phép chia x7 + x5 + x3 + cho x2 – Cách 1: Ta biết x2n – chia hết cho x2 – nên ta tách: x7 + x5 + x3 + = (x7 – x) + (x5 – x) +(x3 – x) + 3x + = x(x6 – 1) + x(x4 – 1) + x(x2 – 1) + 3x + chia cho x2 – dư 3x + Cách 2: Gọi thương phép chia là Q(x), dư là ax + b, Ta có: x7 + x5 + x3 + = (x -1)(x + 1).Q(x) + ax + b với x Đẳng thức đúng với x nên với x = 1, ta có = a + b (1) với x = -1 ta có - = - a + b (2) Từ (1) và (2) suy a = 3, b =1 nên ta dư là 3x + Ghi nhớ: an – bn chia hết cho a – b (a -b) an + bn ( n lẻ) chia hết cho a + b (a -b) Ví dụ 2: Tìm dư các phép chia a) x41 chia cho x2 + b) x27 + x9 + x3 + x cho x2 – c) x99 + x55 + x11 + x + cho x2 + Giải (5) a) x41 = x41 – x + x = x(x40 – 1) + x = x[(x4)10 – 1] + x chia cho x4 – dư x nên chia cho x2 + dư x b) x27 + x9 + x3 + x = (x27 – x) + (x9 – x) + (x3 – x) + 4x = x(x26 – 1) + x(x8 – 1) + x(x2 – 1) + 4x chia cho x2 – dư 4x c) x99 + x55 + x11 + x + = x(x98 + 1) + x(x54 + 1) + x(x10 + 1) – 2x + 7chia cho x2 + dư – 2x + B Sơ đồ HORNƠ Sơ đồ Để tìm kết phép chia f(x) cho x – a (a là số), ta sử dụng sơ đồ hornơ Nếu đa thức bị chia là a0x3 + a1x2 + a2x + a3, đa thức chia là x – a ta thương là b0x2 + b1x + b2, dư r thì ta có a0 a a1 a2 a3 HÖ sè thø 1®a thøc bÞ chia a + HÖ sè thø cña ®a thøc bÞ chia Đa thức b = a0 b = ab + a1 b = ab + a2 r = ab + a3 bị chia: HÖ sè cña ®a thøc chia x3 -5x2 + 8x – 4, đa thức chia x – Ta có sơ đồ -5 2 + (- 5) = -3 2.(- 3) + = Vậy: x -5x + 8x – = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + là phép chia hết -4 r = 2 +(- 4) = Áp dụng sơ đồ Hornơ để tính giá trị đa thức x = a Giá trị f(x) x = a là số dư phép chia f(x) cho x – a Ví dụ 1: Tính giá trị A = x3 + 3x2 – x = 2010 Ta có sơ đồ: a = 2010 1 2010.1+3 = 2013 2010.2013 + = 4046130 Ví dụ: -4 2010.4046130 – = 8132721296 Vậy: A(2010) = 8132721296 C Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức khác I Phương pháp: Cách 1: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có thừa số là đa thức chia Cách 2: biến đổi đa thức bị chia thành tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia (6) Cách 3: Biến đổi tương đương f(x) g(x) f(x) g(x) g(x) cách 4: Chứng tỏ nghiệm đa thức chia là nghiệm đa thức bị chia II Ví dụ 1.Ví dụ 1: Chứng minh rằng: x8n + x4n + chia hết cho x2n + xn + Ta có: x8n + x4n + = x8n + 2x4n + - x4n = (x4n + 1)2 - x4n = (x4n + x2n + 1)( x4n - x2n + 1) Ta lại có: x4n + x2n + = x4n + 2x2n + – x2n = (x2n + xn + 1)( x2n - xn + 1) chia hết cho x2n + xn + Vậy: x8n + x4n + chia hết cho x2n + xn + Ví dụ 2: Chứng minh rằng: x3m + + x3n + + chia hết cho x2 + x + với m, n N Ta có: x3m + + x3n + + = x3m + - x + x3n + – x2 + x2 + x + = x(x3m – 1) + x2(x3n – 1) + (x2 + x + 1) Vì x3m – và x3n – chia hết cho x3 – nên chia hết cho x2 + x + Vậy: x3m + + x3n + + chia hết cho x2 + x + với m, n N Ví dụ 3: Chứng minh f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + Ta có: f(x) – g(x) = x99 – x9 + x88 – x8 + x77 – x7 + + x11 – x + – = x9(x90 – 1) + x8(x80 – 1) + + x(x10 – 1) chia hết cho x10 – Mà x10 – = (x – 1)(x9 + x8 + x7 + + x + 1) chia hết cho x9 + x8 + x7 + + x + Suy f(x) – g(x) chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + Nên f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + Ví dụ 4: CMR: f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – chia hết cho g(x) = x2 – x Đa thức g(x) = x2 – x = x(x – 1) có nghiệm là x = và x = Ta có f(0) = (-1)10 + 110 – = x = là nghiệm f(x) f(x) chứa thừa số x f(1) = (12 + – 1)10 + (12 – + 1)10 – = x = là nghiệm f(x) f(x) chứa thừa số x – 1, mà các thừa số x và x – không có nhân tử chung, đó f(x) chia hết cho x(x – 1) hay f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – chia hết cho g(x) = x2 – x Ví dụ 5: Chứng minh (7) a) A = x2 – x9 – x1945 chia hết cho B = x2 – x + b) C = 8x9 – 9x8 + chia hết cho D = (x – 1)2 c) C (x) = (x + 1)2n – x2n – 2x – chia hết cho D(x) = x(x + 1)(2x + 1) Giải a) A = x2 – x9 – x1945 = (x2 – x + 1) – (x9 + 1) – (x1945 – x) Ta có: x2 – x + chia hết cho B = x2 – x + x9 + chia hết cho x3 + nên chia hết cho B = x2 – x + x1945 – x = x(x1944 – 1) chia hết cho x3 + (cùng có nghiệm là x = - 1) nên chia hết cho B = x2 – x + Vậy A = x2 – x9 – x1945 chia hết cho B = x2 – x + b) C = 8x9 – 9x8 + = 8x9 – - 9x8 + = 8(x9 – 1) – 9(x8 – 1) = 8(x – 1)(x8 + x7 + + 1) – 9(x – 1)(x7 + x6 + + 1) = (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) (8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia hết cho x – vì có tổng hệ số suy (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia hết cho (x – 1)2 c) Đa thức chia D (x) = x(x + 1)(2x + 1) có ba nghiệm là x = 0, x = - 1, x = - Ta có: C(0) = (0 + 1)2n – 02n – 2.0 – = x = là nghiệm C(x) C(-1) = (-1 + 1)2n – (- 1)2n – 2.(- 1) – = x = - là nghiệm C(x) 1 1 C(- ) = (- + 1)2n – (- )2n – 2.(- ) – = x = - là nghiệm C(x) Mọi nghiệm đa thức chia là nghiệm đa thức bị chia đpcm Ví dụ 6: Cho f(x) là đa thức có hệ số nguyên Biết f(0), f(1) là các số lẻ Chứng minh f(x) không có nghiệm nguyên Giả sử x = a là nghiệm nguyên f(x) thì f(x) = (x – a) Q(x) Trong đó Q(x) là đa thức có hệ số nguyên, đó f(0) = - a Q(0), f(1) = (1 – a) Q(1) Do f(0) là số lẻ nên a là số lẻ, f(1) là số lẻ nên – a là số lẻ, mà – a là hiệu số lẻ không thể là số lẻ, mâu thuẩn (8) Vậy f(x) không có nghiệm nguyên Bài tập nhà: Bài 1: Tìm số dư a) x43 chia cho x2 + b) x77 + x55 + x33 + x11 + x + cho x2 + Bài 2: Tính giá trị đa thức x4 + 3x3 – x = 2009 Bài 3: Chứng minh a) x50 + x10 + chia hết cho x20 + x10 + b) x10 – 10x + chia hết cho x2 – 2x + c) x4n + + 2x2n + + chia hết cho x2 + 2x + d) (x + 1)4n + + (x – 1)4n + chia hết cho x2 + e) (xn – 1)(xn + – 1) chia hết cho (x + 1)(x – 1)2 (9)