Cho tam giác ABC ,trung tuyến CM, Qua điểm Q trên AB vẽ đường thẳng song song với CM, Đường thẳng d cắt BC tại R và cắt AC tại P.. Tính số đo các cạnh của tam giác biết số đo ấy là 3 số [r]
(1)* Một phương pháp thường dùng là sử dụng các bất đẳng thức đã biết để chứng minh bất đẳng thức khác.Tuy nhiên sử dụng ,ngoài hai bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski Các bất đẳng thức khác sử dụng làm bài thi cần chứng minh lại (Xem phần trên).Để tiện theo dõi, tôi liệt kê các bất đẳng thức vào đây a2 +b ≥ ab (a,b>0) (BĐT Cô-si) ( a+b )2 ≥ ab ( a2 +b2 ) ≥ ( a+b )2 a b + ≥2 ; a , b> b a 1 + ≥ ; a ,b> a b a+ b a2 +b 2+ c ≥ ab+ bc+ca ( ax+ by )2 ≤ ( a2 +b2 ) ( x 2+ y ) ( Bu nhi a cop xki) a2 b2 ( a+b ) + ≥ x y x+ y a2 b2 c2 ( a+b+ c ) + + ≥ x y z x+ y+z ab bc ca + + ≥ a+ b+c (Với a,b,c > 0) Ví dụ 9:Chứng minh c a b ab bc ca Giải:2A - 2B = +2 +2 − a− b −2 c c a b b c a c b a = a + − + b + − +c + − c b c a a b a b + ≥2 ;a , b>0 TaCã:2A - 2B a ( −2 ) +b ( −2 ) +c ( 2− ) ≥ Vậy A Ap dụng bất đẳng thức b a ( ) ( ) ( ) B.Đẳng thức xảy a = b = c > Ví dụ 10: Cho các số dương x , y thoả mãn x + y = 1 Chứng minh : xy + 2 ≥8 x +y 2 ( 1 ) Giải: xy + 2 = xy + 2 =2 xy + 2 ≥2 2 x +y x +y x +y x +2 xy + y ¿ =8 Đẳng thức xảy ( x + y )2 x= y= a2 b2 c a c b + + ≥ + + b2 c a2 c b a Ví dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức : Giải: a2 b2 a b a + ≥ =2 b c c b c ; b2 c b c b + ≥ =2 c a a c a Cộng vế ba bất đẳng thức trên ta có: a2 b c a c b 2+ + ≥2 + + c b a b c a 2 a b c a c b ⇒ + 2+ ≥ + + b c a c b a ( ) ( ) Đẳng thức xảy a = b = c Ví dụ 12:Cho a > và b > Chứng minh 1 + + > b+c c +a a+b a+ b+c Giải: ; c a2 c a c + ≥ =2 a b b a b (2) 1 1 1 + + > + + = b+c c +a a+b b+ c+ a c +a+ b a+b+c a+b +c 1 1 + + + < Với n là số tự nhiên và 3 n 1 1 = Giải: < = k k − k k ( k − ) ( k −1 ) k ( k +1 ) ( n+1 ) − ( n − ) 1 − = = Và : ( k − ) k ( k +1 ) k ( k −1 ) k ( k +1 ) ( k −1 ) k ( k + ) 1 1 1 = − Suy ra: < = = ( k − ) k ( k +1 ) k k k − k k ( k − ) ( k −1 ) k ( k +1 ) 1 1 1 − Suy ra: A < − + − + + ( n −1 ) n n ( n+1 ) 1 1 ¿ − < 2 n ( n+1 ) Ví dụ 13: Chứng minh: A= + [ ] [ [ n ≥2 ] ] ==========o0o========== Bài tập áp dụng: 38 1 n Chứng minh:B = 1+ + + + n > 2 −1 Với n là số tự nhiên và n ≥2 a b c d + + + a+b+ c b+c +d c+ d+ a d +a+ b (a,b,c,d >0) Chứng minh : 1<C<2 1 + + ≥ 40 Chứng minh P= Trong đó x , y , z là số dương và 1+xy 1+ yz 1+ xz 2 2 x + y +z ≤ 39 Bài 29:Cho C ¿ 47 1 n Chứng minh:B = 1+ + + + n > 2 −1 HƯỚNG DẪN: Với n là số tự nhiên 1 1 1 1 B=1+ + + + + + + n− + + n − n +1 2 1 1 1 1 1+ + + + + + + n + + n − n 4 8 2 n 1 1 n n ¿ 1+ + + + + n − n =1+ − n > 2 2 2 2 ( )( ( )( )( )( ) ) 48 ¿ a b c d C> + + + a+ b+c +d b +c +d +a c+ d+ a+b d +a+ b+c ¿ ¿ a+d b+ a c+b d+ c C< + + + a+ b+c +d b +c +d +a c+ d+ a+b d +a+ b+c ¿ 49 Áp dụng BĐT ta có P≥ 3+ ( x + y 2+ z ) ===========o0o=========== (3) Tiết 25-28 * Với a,b,c là số đo cạnh tam giác ta cần nhớ các tính chất sau: a,b,c là các số dương Tổng cạnh bất kì lớn cạnh còn lại Tỉ số cạnh với cạnh còn lại bé Ví dụ 14:Với a,b,c là độ dài cạnh tam giác Chứng minh : 1 1 1 + + ≥ + + a+b − c b+c −a a+c −b a b c Giải: Vì a,b,c là độ dài cạnh tam giác nên a + b - c > 0; a + c - b > 0; b + c - a > 1 + ≥ ; a ,b> ta được: a b a+ b 1 1 1 + ≥ = ,tươngtự: + ≥ ; a+b − c + c+a −b ≥ a a+b − c b+c −a b b b+c − a c+ a −b c 1 1 1 + + ≥2 + + Suy hay a+b − c b+ c − a a+ c − b a b c 1 1 1 + + ≥ + + (ĐPCM) a+b − c b+c −a a+c −b a b c Áp dụng BĐT ( ) ( ) Ví dụ 15:Cho a,b,c là độ dài cạnh tam giác Chứng minh : a b c + + <2 b+c c +a a+b Giải: Do a,b,c là độ dài cạnh tam giác nên a < b + c a a a+c <1 ⇒ < b+c b+ c a+b+ c c 2c < a+b a+b+c ⇒ tương tự a a 2a b 2b <1 ⇒ < < ; ; b+c b+ c a+b+ c a+c a+ b+c 51 52 Cộng vế BĐT trên ta ĐPCM BÀI TẬP: Chứng minh : (a + b -c)( a - b + c)(-a + b + c) abc.Với a,b,c là cạnh tam giác Cho a,b,c là cạnh tam giác Chứng minh a2 +b 2+ c 2<2 ( a+ b+c ) Cho a,b,c là cạnh tam giác Chứng minh 53 Cho a,b,c là cạnh tam giác 50 a b c + + ≥3 b+c − a a+c −b a+b − c Chứng minh 1 , , a+b b+ c a+ c là cạnh tam giác ==========o0o========== (4) 50 51 HƯỚNG DẪN : Do a,b,c là độ dài cạnh tam giác nên (a + b -c) > Đặt x = a + b -c; y = a - b + c ; z = b + c - a Áp dụng bài tập 28 ta có ĐPCM Đẳng thức xáy và a = b = c.Hay tam giác đã cho là tam giác Do a,b,c là độ dài cạnh tam giác nên a < b + c ⇒ a2 <ab+ ac tương tự b2 < bc+ab ; c 2< bc +ac Cộng vế BĐT trên ta 52 ĐPCM Đặt x = a + b -c; y = a - b + c ; z = b + c - a Suy : 53 Ta cần chứng minh x+ y y+z x+z + + ≥6 z x y 1 + > a+c b+ c a+b 1 + > a+b b+c a+c 1 + > Dựa vào tính chất tổng cạnh lớn cạnh còn lại ,chứng minh : a+c b+ c a+b 1 1 1 + > + > cách làm trội lần liên tiếp.Tương tự : ; a+b a+c b +c a+b b+c a+c ; 1 + > a+b a+c b +c =========o0o========== ; (5) Tiết 29-32 Ví dụ 14:Cho a2 +b ≤ Chứng minh a+b ≤ Giải: Giả sử : a+b >2 ⇒ ( a+ b )2=a2+ b2 +2 ab>4 mặt khác: a2 +b 2+2 ab ≤ ( a2 +b2 ) ⇒2 ( a 2+ b2 ) >4 ⇒a2 +b 2>2 Điều này trái với giả thiết a2 +b ≤ Vậy a+b ≤ Đẳng thức xảy và a = b = Ví dụ 15: Cho số dương a,b,c nhỏ Chứng minh có ít các BĐT sau là sai: a(2 - a) > 1; b(2 - b) > 1; c(2 - c) > Giải: Giả sử BĐT trên đúng Nhân theo vế BĐT trên ta có: a(2 - a) b(2 - b) c(2 - c) > Nhưng a(2 - a) = - (a2 - 2a + 1) 1; tương tự: b(2 - b) 1: c(2 - c) Mâu thuẫn với điều giả sử.Vậy có ít ba BĐT trên là sai Bài tập áp dụng 54 Cho a + b + c > abc > 0; ab + bc + ca > 0,Chứng minh a > 0; b > 0; c > 55 Cho số dương a , b,c Chứng minh BĐT sau là sai: a+ <2 ; b 56 57 58 59 b+ < ; c c+ <2 a Chứng minh không có các số dương a,b,c nào thoả mãn BĐT sau: 4a(1 - b) > ; 4b(1 - c) > ; 4c(1 - a) > Chứng minh không có các số a,b,c nào thoả mãn BĐT sau: |b − c|>|a|; |c −a|>|b|; |a − b|>|c|; Cho ba số dương x,y,z và xyz = 1.Chứng minh nếu: 1 x+ y+ z> + + x y z thì có và ba số x,y,z lớn 54 Cho số dương a,b,c,d Chứng minh không thể đồng thời xảy các BĐT sau: a + b < c + d ; (a + b)(c + d) < ab + cd; (a + b)cd < (c + d)ab HƯỚNG DẪN : Giả sử a ≤ *Nếu a = Suy abc = vô lí *Nếu a < Suy b + c > Do abc > ⇒ bc < ⇒ ab + bc + ca < 0.Chứng minh tương tự với b,c 55 Giả sử a+ <2 ; b+ < ; c + < b b c c a a Thì a+ +b+ + c+ <6 Điều này không đúng 56 57 Giả sử: 4a(1 - b) > ; 4b(1 - c) > ; 4c(1 - a) > Thì : 64(1 - a)(1 - b) (1 - c) > (*) và (1 - a) > 0; (1 - b) > 0: (1 - c) > Nhưng 4a(1 - a) 1; 4b(1 - b) 1; 4c(1 - c) Khi đó: 64abc(1 - a)(1 - b)(1 - c) 1(**) (*) mâu thuẫn với (**) Giả sử BĐT trên đúng Ta có từ |b − c|>|a|; ⇔ ( b − c )2> a2 ⇔ ( b − c )2 −a 2> ⇔ ( b − c+ a ) ( b −c −a )> |c −a|>|b|; ⇔ ( c − a )2> b2 ⇔ ( c −a )2 −b 2> ⇔ ( c −a+ b ) ( c − a −b )> |a − b|>|c|; ⇔ ( a− b )2 >c ⇔ ( a − b )2 − c 2> ⇔ ( a − b+c ) ( a −b − c )> Nhân theo vế BĐT này ta suy điều vô lý (6) Tiết 33-36 I CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN: Khi chứng minh các BĐT có điều kiện dạng: a1 +a 2+ .+ an ≥ m ,ta thường dùng ẩn phụ để đưa bài toán dạng đơn giản để đánh giá trực tiếp Các bước sau: Dự đoán đẳng thức xảy nào Đặt x 1=a1 − m m m ; x =a − ; x n =an − n 2 n n Ví dụ 16: Cho a,b,c thoả mãn: a + b c 2 2 Chứng minh: a +b ≥ c Đặt: c x=a − ; Giải: c y=b − Vì a + b Do đó x + y = a + b - c 0 Ta có: ( c2 ) +( y+ c2 ) =x +cx + 14 c + y + cy+ 14 c a2 +b 2= x + 2 2 1 x + y +c ( x + y ) + c ≥ c 2 Ví dụ 17: Cho a,b thoả mãn: a +b ≤ Chứng minh: a+b ≤ Giải: Đặt: x=a −1 ; y=b − Ta có: y 2 + y +3 + ( x + y ) +2 ≤ [( ) ¿ ( x+ y ) x − ] y + y +3 > ; ( x2 + y ) ≥ ⇒ ( x+ y ) ≤ ⇒ a+ b ≤2 [( ) x− ] BÀI TẬP: Bài 40: Đặt: x=a −1 ; y=b − ; z=c −1 Suy : x , y , z [ −1 ;1 ] ;x + y + z = Ta có: a2 +b 2+ c 2=( − z )2 + z 2+3 Bài 41: a=x+1 ⇒ b=1 − x 5 a +b =( 1+ x ) + ( 1− x ) =2+ 10 x +10 x 5 Bài 42: Đặt a=x+1 ⇒ b= y +1 ⇒ c=1 − x − y y b2 + +6 ( ) a2 +b 2+ c 2+ab + bc+ca= x+ 3 a +b =( x +1 ) + ( y+ ) = ( x+ y ) ( x − xy+ y +3 ) +3 ( x + y ) +2 (7) Bài 43: Đặt c=a+x ⇒ d=b − x x x2 + +3 ab Bài 44: Cho a,b thoả mãn: a+b ≥ Chứng minh rằng: Đặt a = x + ⇒ b = - x.Ta có : 4 3 3 a +b − a −b =( x+1 ) x + ( x −1 ) x 2 x ( x +1 ) 2 ( c + d + cd= a −b+ ) Bài 47: Cho a , b > 0.Thoả mãn a + b = Chứng minh rằng: ab + 2 ≥ 14 a +b Bài 48: Cho a + b + c + d = Chứng minh rằng: ( a+ c ) ( b+ d )+ 2ac +2 bd ≤ Bài 49: Cho a + b = và b 2 Chứng minh rằng: 27a + 10b > 945 II MỘT CÁCH KHÁC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN : Dạng: Cho A ≥ B Chứng minh C ≥ D Ta chứng minh ( C − D )+ ( B − A ) ≥ Từ ( B − A ) ≤0 ⇒ ( C − D ) ≥0 Ví dụ 18: Cho a + b 2 Chứng minh rằng: a +b ≥ Giải: (a + b − 12 )+ (1 − a −b ) (a − a+ 14 )+(b − b+ 14 )=(a − 12 ) +( a − 12 ) ≥ 2 2 2 Đẳng thức xảy a = b = 0,5 Ví dụ 19: Cho a,b thoả mãn: a+b ≥ Chứng minh rằng: a3 +b ≤ a +b4 Nhưng a + b 2 nên a +b ≥ Giải: ( a4 +b ) − ( a3 +b3 ) +2 − ( a+b ) a3 ( a −1 ) +b ( b − ) − ( a −1 ) − ( b − ) ( a −1 ) ( a − ) + ( b −1 ) ( b3 −1 ) ( a −1 )2 ( a2 +a+ ) + ( b −1 )2 ( b2 +b+1 ) Do ( a 2+ a+1 ) >0 và ( b2 +b +1 ) >0 Nên ( a +b ) − ( a 3+ b3 ) +2 − ( a+ b ) ≥0 Mà a+b ≥ Suy ra: a3 +b ≤ a +b4 Đẳng thức xảy a=b=1 Bài tập áp dụng Bài 50: Cho x , y là các số dương thoả mãn x 3+ y ≤ x 2+ y Chứng minh rằng: a) x 3+ y3 ≤ x2 + y b) x 2+ y ≤ x+ y Bài 51:Chứng minh rằng: Nếu a+b +c ≥ Thì a +b4 + c ≥ a3 +b3 +c Bài 52: Cho x 2+ y ≤ x + y Chứng minh rằng: x+ y ≤ Bài 53: Cho x 3+ y3 =x − y Chứng minh rằng: x 2+ y <1 Bài 54: Cho ab Chứng minh rằng: a2 +b ≥ a+b 2 Bài 55: Cho x + y ≤ x Chứng minh rằng: y ( x +1 ) ≥− ========o0o======== (8) III ÁP DỤNG BĐT a1 a2 a ( a1+ a2 + +a n ) + + .+ n ≥ x1 x x x + x 2+ .+ x n 2 Bài 56: Cho các số dương x,y thoả mãn x + y = 1 Chứng minh rằng: xy + 2 ≥8 x +y Bài 57: Cho các số dương x,y,z,t thoả mãn x + y + z + t = Chứng minh rằng: 1 1 + + + ≥16 x y z t Bài 58: Cho các số dương a,b,c,d Chứng minh rằng: a+c b+d c+ a d+ b + + + ≥4 a+b b+ c c+ d d+ a Bài 59: Cho các số dương x,y,z Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≥ + + x +3 y y +3 z z +3 x x+ y + z y +2 z+ x z +2 x+ y Bài 60: Cho các số dương a,b,c thoả mãn abc = ab + bc + ca Chứng minh rằng: 1 + + < a+2 b+3 c b+ 2c +3 a c+ a+3 b 16 (9) (10) Cho tam giác ABC Gọi O là điểm thuộc miền tam giác Gọi M,N,P,Q là trung điểm các đoạn thẳng OB,OC,AC,AB a Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành b Để tứ giác là hình chử nhật thì điểm O nằm trên đường đặc biệt nào tam giác ABC Cho Cho hình bình hành ABCD ,đường chéo lớn AC Tia Dx cắt AC, AB, BC I,M,N Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD, BG vuông góc với AC Gọi K là điểm đối xứng D qua I Chứng minh : a IM.IN = ID2 b KM DM = KN DN c AB.AE + AD.AF = AC2 Cho tam giác ABC ,trung tuyến CM, Qua điểm Q trên AB vẽ đường thẳng song song với CM, Đường thẳng d cắt BC R và cắt AC P Chứng minh QA.QB = QP.QR thì tam giác ABC vuông C Cho tam giác ABC có ∠ A + ∠ B = 1800 Tính số đo các cạnh tam giác biết số đo là số tự nhiên liên tiếp Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh CD và BC lấy M,N cho BM = DN Gọi I là giao điểm BM và DN Chứng minh IA là phân giác góc DIB Cho tam giác ABC (BC<AB) Từ C vẽ dường vuông góc với phân giác BE F và cắt AB K; vẽ trung tuyến BD cắt CK G Chứng minh DF qua trung điểm GE Cho hình thoi ABCD có góc A = 600 Gọi M là điểm thuộc cạnhAD Đường thẳng CM cắt đường thẳng AB N a Chứng minh AB2 = DM.BN b BM cắt DN P Tính góc BPD Cho tam giác ABC , M là điểm nằm trên cạnh BC Chứng minh MA.BC< MC.AB + MB.AC Cho tam giác ABC cân A Một điểm M thuộc cạnh BC Kẻ MD vuông góc với AB, ME vuông góc với AC Chứng minh tổng MD + ME không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên cạnh BC 10 Cho hình bình hành ABCD (AB>AD) Từ C kẻ CE và CF vuông góc với các đường thẳng AB,AD Chứng minh AB.AE + AD.AF = AC2 11 Cho Cho tam giác ABC với đường phân giác AD,BE,CF Chứng minh DB EC FA =1 DC EA FB 1 1 1 + + > + + b AD BE CF BC CA AB a 12 Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH, trung tuyến BM,phân giác CD cắt điểm Chứng minh : a BH CM AD =1 HC MA BD b BH = AC 13 Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớnhơn đường chéo BD Gọi E và F là hình chiếu B và Dxuống đường thẳng AC (11) a tứ giác BEDF là hình gì? b Gọi CH và CK là Đường cao tam giác ACB và ACD Chứng minh CH CK = CB CD Hai tam giác CHK và ABC đồng dạng Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 14 Cho tam giác ABC có góc nhọn, các đường cao AD,BE,CF cắt H Chứng minh : a Δ FHE đồng dạng Δ BHC b H là giao điểm các đường phân giác tam giác FED 15 Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH Cho biết AH = và CH = a Tính AC và AB b Vẽ đường phân giác góc A tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABD 16 Cho hình thang ABCD có AD//BC và BC = 10, AD = 6, AB = 4, CD = Các đường phân giác ògóc A và B cắt M Các đường phân giác góc C và D cắt N Tính MN 17 Cho hình thang ABCD (AB//CD) điểm M nằm tứ giác ABCD, vẽ các hình bình hành MDPA,MCQB Chứng minh PQ//CD 18 Cho tứ giác lồi ABCD Trên cạnh AB và CD ta lấy điểm E và F cho : AE BE = CF Chứng minh đường chéo AC qua Trung điểm I đoạn DF thẳng FE thì AC chia đôi diện tích tứ giác ABCD 19 Cho hình thoi ABCD biết góc A = 1200.Tia Ax tạo với tia AB góc Bax 150.và cắt cạnh BC M,cắt đường thẳng CD N Chứng minh : 3 + = 2 AM AN AB a 20 Cho hình vuông ABCD có M,N P,Q là các Trung điểm AB,BC,CD,DA Đường thẳng AN cắt DM,BP I,J Đường thẳng CQ cắt BP,DM H và K Tứ giác ỊHK là hình gì? 21 Cho hình bình hành ABCD Vẽ phân giác AM góc A, vẽ phân giác Cắt góc C Các phân giác góc A và C cắt BD E và F Chứng minh diện tích tứ giác FNAE và FEMC 22 Cho hình thang ABCD (AB//CD; AB<CD) Gọi M,N là Trung điểm BC và AD Gọi I là Trung điểm MN Một đường thẳng qua I cắt cạnh AB,CD E và F Chứng minh hai tứ giác FDAE và FCBE có diện tích 23 Cho tam giác ABC có góc nhọn và đường cao AM và BN cắt H Gọi D là điểm đối xứng với H qua Trung điểm I BC a tứ giác BHCD là hình gì? b Chứng minh góc BDC và BAC bù 24 Cho hình thang ABCD có cạnh đáy dài cm và 11 cm, góc cạnh bên và cạnh đáy lớn 450 Tính diện tích hình thang 25 Cho tam giác ABC có góc nhọn , BD và CE là đường cao cắt H Chứng minh : a HD.HB = HE.HC b Δ HDE đồng dạng Δ HCB c BC2 = BH.BD + CH.CE 26 Cho hình thang cân ABCD với AB//CD Gọi I,J,K,Vuông là Trung điểm AB,BC,CD,DA a Tứ giác ỊKL là hình gì? b Cho biết diện tích ABCD 20 cm2 Tính diện tích tứ giác IJKL 27 Cho tam giác ABC (góc A = 900) D là điểm di động trên cạnh BC Gọi E,F là hình chiếu điểm D lên AB,AC a Xác định vị trí điểm D để tứ giác FAED là hình vuông (12) b Xác định vị trí điểm D để tổng 3AD + 4FE đạt giá trị nhỏ 28 Cho tam giác ABC cân Cạnh Kẻ đường phân giác AA1 góc A và đường trung tuyến CC1 tam giác Biết AA1 = 2CC1.Tính số đo góc ACB 29 Cho tam giác ABC có góc nhọn và AD là đường phân giác Chứng minh : AD < AB.AC 30 Trên cạnh AB và BC hình vuông ADBC lấy điểm P và Q theo thứ tự cho BP = BQ Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ B xuống CP Chứng minh góc DHQ = 900 31 Cho hình vuông ABCD có cạnh là a Gọi M,N theo thứ tự là Trung điểm các cạnh AB,BC a Tính theo a diện tích tứ giác AMND b Phân giác góc CMD cắt BC P Chứng minh DM = AM + CP 32 Cho tam giác ABC có góc A = 900., D là điểm nằm A và C Qua C dựng CE BD E Chứng minh a Δ ADE đồng dạng Δ BDC b.AB.CE + AE.BC = AC.BE 33 Cho tam giác ABC , gọi D là điểm thuộc cạnh BC Chứng minh : AB 2.CD + AC2.BD - AD2.BC = CD.BD.BC ( Hệ thức Stewart) 34 Cho tứ giác ABCD Gọi M,N,P,Q là Trung điểm AB,BC,CD,DA AB+CD AB+CD b Trong trường hợp NQ= a Chứng minh NQ ≤ thì tứ giác ABCD là hình gì? Trong trương hợp này vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD E, cắt MP O và cắt BC F Chứng minh O là Trung điểm FE 35 Cho hình vuông ABCD Trên cạnhBC lấy điểm M Gọi P là giao điểm đường thẳng AM và CD Chứng minh : 1 = + 2 AB AM AP 36 Cho hình vuông ABCD , điểm M thuộc cạnh BC, đường thẳng AM cắt DC K Chứng minh : 1 = + 2 AB AM AK 37 Cho tam giác ABC có trung tuyến, AD và BE vuông góc với O Cho AC = b,BC = a Tính diện tích hình vuông có cạnh là AB 38 Cho tứ giác ABCD, gọi F,E là Trung điểm AD,BC a Tìm điều kiện tứ giác để : FE= AB+CD b Gọi M,N,P và Q theo thứ tự là Trung điểm DF,EB,FA,EC Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành (13)