trung điểm BC và AB.Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC -Tìm tọa độ A’ là hình chiếu vuông góc của A trên BC sau đó tính diện tích tam giác ABC Câu 7a... Tìm m để phương trì[r]
(1)http://toanhocmuonmau.violet.vn ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI LẦN Năm học: 2012 – 2013 Môn: Toán lớp 10-Khối A và A1 Thời gian làm bài: 150 phút SỞ GD & ĐT BẮC GIANG Trường THPT Lạng Giang số I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y = f ( x) = − x + (2m − 1) x − (m là tham số) (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m=2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) và đường thẳng d:y=x-2m cắt điểm phân biệt A,B cho tam giác IAB tạo thành vuông I Với I ( 2; ) Câu II: (2 điểm) 3x + 3x + ( x + x)(3 x + y ) = 18 Giải hệ phương trình : x + x + y − = Giải phương trình vô tỷ: x + x + = Câu III: (1 điểm) Tìm m để phương trình: x − (3m + 2) x + 3m + = có nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 ; x4 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 + x32 + x42 + x1 x2 x3 x4 = Câu IV: (1 điểm) Cho tam giác ABC trọng tâm G Các điểm M, N xác định : CN = BC ; 3MA + 4MB = Chứng minh ba điểm G, M, N thẳng hàng Câu V: (1 điểm) Cho a,b,c là số thực dương thỏa mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 P= + + a + 3b b + 3c c + 3a II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh làm phần phần Theo chương trình chuẩn Câu VIa: (2 điểm) Cho tam giác ABC có AB=5cm;BC=7cm;CA=8cm.Tính tích vô hướng: AB AC và góc cos A Cho tam giác ABC biết A ( −4;1) , B ( 2; ) , C ( 2; −2 ) Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Tính diện tích tam giác ABC Câu VIIa: (1 điểm) Cho 3sin α − 8cos α = −5 với < α < 900 Tính P = sin α + cos3 α Theo chương trình nâng cao Câu VIb: (2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB=2 và AD=4.Gọi M là trung điểm cạnh AB và N trên cạnh AD cho AN = AD Hãy sử dụng tích vô hướng chứng minh CM ⊥ BN Cho tam giác ABC biết A ( 2;6 ) , B ( −3; −4 ) , C ( 5; ) Đường phân giác góc A cắt BC E.Tìm tọa độ E.Tìm tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Câu VIIb: (1 điểm) Tìm m để phương trình x + + − x − (x + 6)(3 − x) = m có nghiệm thực HẾT http://toanhocmuonmau.tk (2) http://toanhocmuonmau.violet.vn ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH KHÁ GIỎI LÀN MÔN TOÁN - LỚP 10 - NĂM HỌC 2012– 2013 -Dưới đây là sơ lược cách giải và phân chia điểm; bài làm học sinh yêu cầu phải lập luận chặt chẽ, chi tiết Mọi cách giải khác đúng thì cho điểm phần tương ứng Câu1 1)Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m=2 (Yêu cầu học sinh làm đầy đủ chi tiết theo các bước,vẽ đồ thị đúng đẹp) 1đ 0,5 điểm 2) Xét phương trình hoành độ giao điểm chung (P) và d: − x + (2m − 1) x − = x − 2m (1) Biến đổi : (1) ⇔ x − 2(m − 1) x + − 2m = ( ) Lập luận (P) và d cắt hai điểm phân biệt và (2) có hai nghiệm phân m > biệt.Từ đó có điều kiện: ∆ ( ) > ⇔ m − > ⇔ ( *) m < −1 Với điều kiện (*) thì d và (P) cắt hai điểm phân biệt A,Bgiả sử A ( x1 ; x1 − 2m ) ; B ( x2 ; x2 − 2m ) Khi đó tam giác AOB tạo thành là tam giác vuông I ( 2; ) thìphảicó: IA.IB = ⇔ ( x1 − )( x2 − ) + ( x1 − 2m)( x2 − 2m ) = ⇔ 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm x1.x2 − ( x1 + x2 ) − 2m ( x1 + x2 ) + 4m2 = ⇔ ( − 2m ) − ( 2m − ) − 2m ( 2m − ) + 4m2 + = 0,25điểm ⇔ − 4m − 4m + − 4m2 + 4m + 4m2 + = ⇔ m = Kết hợp với (*) thỏa mãn.KL m=3 Câu2 1)Giải phương trình vô tỷ: x + x + = điều kiện : x ≠ − 3x + 3x + 1 Biến đổi phương trình: x2 + x + = 3x + ⇔ ( x + 1) x + x + = x + 3x + t = −1 0,5điểm Đặt t = x + x + ( t > ) Có phương trình: 3t − ( x + 1) t − x − = ⇔ x + Do t>0 t = nên chọn t = 6x + 3x + 3 x + ≥ ⇒ x2 + x + = ⇔ Từ đó tìm x 3 x + x + = x + ( ) ( ) ( x + x)(3 x + y ) = 18 ( x + x ) ( x + y ) = 18 2)Biến đổi hệ phương trình ⇔ x + x + y − = ( x + x ) + ( x + y ) − = 0,5điểm 0,25điểm u = x + x uv = 18 Đặt có hệ phương trình: u + v = v = x + y u = u = Giải hệ phương trình v = v = http://toanhocmuonmau.tk 0,25điểm (3) http://toanhocmuonmau.violet.vn u = x + x = ⇒ ⇒ nghiệm v = 3x + y = 0,25điểm u = x + x = ⇒ ⇒ nghiệm v = 3x + y = 0,25điểm Câu Tìm m để phương trình: x − (3m + 2) x + 3m + = có nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 ; x4 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 + x32 + x42 + x1 x2 x3 x4 = Đặt t = x ta có phương trình t − (3m + 2)t + 3m + = (2) Phương trình đã cho có nghiệm phân biệt và phương trình (2) có hai nghiệm 0,25điểm dương phân biệt Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt △( ) > ⇔ ( 3m − ) − ( 3m + 1) > ⇔ 9m2 > ⇔ ∀m ≠ Gs hai nghiệm là t1 , t2 t1 + t2 = 3m + t1 + t2 = 3m + > Theo Viet có Hai nghiệm cùng dương ⇔m>− t1t2 = 3m + t1t2 = 3m + > x12 + x22 + x32 + x42 + x1 x2 x3 x4 = ⇔ t1 + t2 + t1 + t2 + t1t2 = Khi đó nghiệm thỏa mãn: ⇔ ( 3m + ) + 3m + = ⇔ m = − 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm Kiểm tra điều kiện và KL Câu 1 BC ⇔ AN − AC = ( AC − AB) 2 • Ta có ⇔ AN = − AB + AC (1) 2 0,25điểm CN = • 3MA + MB = ⇔ −3 AM + 4( AB − AM ) = ⇔ AM = AB • G là tâm tam giác ABC ⇒ GA + GB + GC = o ⇔ AG = (2) ( AB + AC ) (3) 0,25điểm 15 AB + AC 14 Từ (2) và (3) ⇒ MG = AG − AM = − AB + AC 21 ⇒ MN = MG ⇒ M , N , G thẳng hàng Từ (1) và (2) ⇒ MN = AN − AM = − 0,5điểm Câu Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 P= +3 +3 a + 3b b + 3c c + 3a Cho a,b,c là số thực dương thỏa mãn: a + b + c = http://toanhocmuonmau.tk (4) http://toanhocmuonmau.violet.vn Áp dụng BĐT CoooSsi ta có: Chứng minh tương tự có: Vậy P = 3 (a + 3b) + + ≥ a + 3b Từ đó suy 3 ≥ a + 3b a + 3b + 3 ≥ ≥ ;3 b + 3c b + 3c + c + 3a c + 3a + 1 3 +3 +3 ≥ 3 + + a + 3b b + 3c c + 3a a + 3b + b + 3c + c + 3a + 1điểm 3 27 Mặt khác: + + =3 ≥ a + 3b + b + 3c + c + 3a + ( a + b + c ) + Vậy: P = 1 3 +3 +3 ≥ 3 + + ≥3 a + 3b b + 3c c + 3a a + 3b + b + 3c + c + 3a + Dấu “=” xảy và khi: a = b = c = KL Câu 6a 1)Cho tam giác ABC có AB=5cm;BC=7cm;CA=8cm.Tính AB AC và góc cos A ( ) = ( AC − AB ) Tính AB AC = 20 Sử dụng: BC = AC − AB ⇒ BC 2 Áp dụng công thức: AB AC = AB AC cos A Tính cos A 0,5điểm 0,5điểm 2)Cho tam giác ABC biết A ( −4;1) , B ( 2; ) , C ( 2; −2 ) Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Tính diện tích tam giác ABC -Sử dụng công thức tinh độ dài tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC IM BC = IA = IB Hoặc sử dụng tích vô hướng hai véc tơ: Với M,N là IA = IC IN AB = 0,5điểm trung điểm BC và AB.Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC -Tìm tọa độ A’ là hình chiếu vuông góc A trên BC sau đó tính diện tích tam giác ABC Câu 7a Cho 3sin α − 8cos α = −5 (1) với < α < 900 Tính P = sin α + cos3 α Sử dụng công thức sin α + cos α = ⇒ cos α = − sin α Thay vào (1) sin α = −3(l ) 3sin α − (1 − sin α ) = −5 ⇔ 3sin α + 8sin α − = ⇒ sin α = (t / m) 2 ⇒ cos α = ⇒ cos α = (v) 00 < α < 900 ) Từ đó tính 3 P = sin α + cos3 α 0,5điểm 0,5điểm Với sin α = Câu 6b 1)Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB=2 và AD=4.Gọi M là trung điểm cạnh AB và N trên cạnh AD cho AN = AD Hãy sử dụng tích vô hướng chứng minh CM ⊥ BN 1 Cách 1:-Biểu diễn các vectơ CM = − AD − AB và BN = − AB + AD http://toanhocmuonmau.tk 0,5điểm 0,5điểm (5) http://toanhocmuonmau.violet.vn 1 Sử dụng điều kiện CM BN = − AD − AB − AB + AD = = Cách 2:Xây dựng hệ trục tọa đô.Sau đó sử dụng biểu thức tọa độ tích vô hướng để chứng minh 2) Cho tam giác ABC biết A ( 2;6 ) , B ( −3; −4 ) , C ( 5; ) Đường phân giác góc A cắt BC E.Tìm tọa độ E.Tìm tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC -Tính độ dài AB = 125 ; AB = 45 Viết 3EB = −5EC Tìm tọa độ E -Giả sử I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ I giống tìm tọa độ E Câu Tìm m để phương trình 7b -Đặt t = x + + − x (t > 0) ⇒ t = + ( x + 6)(3 − x) ⇒ ( x + 6)(3 − x) = t − 0,5điểm 0,5điểm 0,5điểm x + + − x − (x + 6)(3 − x) = m có nghiệm thực 0,25iểm Có pt: t − t + m − = 0(2) -Xác định điều kiện chặt cho t: t = + ( x + 6)(3 − x) ≥ ⇒ t ≥ và t = + ( x + 6)(3 − x) ≤ + x + + − x = 18 ⇒ t ≤ Vậy ≤ t ≤ 0,25iểm -Lập luận phương trình đã cho có nghiệm phương trình(2) có nghiệm đoạn 3;3 Sử dụng bảng biến thiên hàm số tìm m để phương trình (2) có nghiệm 0,5iểm đoan 3;3 http://toanhocmuonmau.tk (6)