CÁC ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN-TIN TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM Copyright 2006 © www.diendantoanhoc.net www.vnmath.com MỤC LỤC Năm học 1993 – 1994 3 Năm học 1994 – 1995 6 Năm học 1995 – 1996 8 Năm học 1996 – 1997 11 Năm học 1997 – 1998 13 Năm học 1998 – 1999 16 Năm học 1999 – 2000 19 Năm học 2000 – 2001 22 Năm học 2001 – 2002 25 Năm học 2002 – 2003 28 Năm học 2003 – 2004 31 Năm học 2004 – 2005 34 Năm học 2005 – 2006 . 37 Năm học 2006 – 2007 40 www.vnmath.com Năm học 1993 – 1994 Ngày thứ nhất Bài 1 Ta nói số tự nhiên A là một số “Pitago” nếu A là tổng bình phương của hai số tự nhiên nào đó. a) Cho P và Q là hai số “Pitago”, chứng minh P.Q và 2 n P cũng là các số “Pitago”. b) Tìm các số “Pitago” M và N sao cho tổng và hiệu của chúng không phải là các số “Pitago”. Bài 2 a) Giải phương trình căn thức : 3 4 34943123x xx−= − − b) Chứng minh đẳng thức 44 49 20 6 49 20 6 3 2 ++− = Bài 3 Tám đội bóng tham gia giải vô địch trong đó hai đội bất kỳ phải gặp nhau đúng một lần. Biết rằng đến cuối giải không có trận đấu nào kết thúc với tỉ số hòa. Chứng minh rằng trong tám đội nói trên, luôn tìm được bốn đội A, B, C, D sao cho kết quả các trận đấu giữa họ là A thắng B, C, D; B thắng C, D và C thắng D. Bài 4 Bốn học sinh gái Mỹ, Mận, Mai và Mơ đang ở trong một căn phòng của kí túc xá. Một cô đang sửa áo, một cô đang chải đầu, một cô đang viết thư và một cô đang đọc sách. Biết thêm rằng : 1. Mỹ không sửa áo và không đọc sách. 2. Mận không viết thư và không sửa áo. 3. Nếu Mỹ không viết thư thì Mơ không sửa áo. 4. Mai không đọc sách và không sửa áo. 5. Mơ không đọc sách và không viết thư. Hãy nói chính xác mỗi cô đang làm gì. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 3 www.vnmath.com Bài 5 Giả sử là một điểm nằm bên trong tam giác đều O ABC . Các đường thẳng ,,AOBOCO cắt các cạnh đối diện của tam giác tại các điểm A 1 ,B 1 ,C 1 tương ứng. Biết rằng : 11 1 11 1 ABOCAOBCO CBOBAOAC SSS SSS ++=++ +++ +++O Chứng minh rằng O nằm trên một đường trung tuyến của tam giác ABC. Ngày thứ hai Bài 1 Chia hai tập hợp những số tự nhiên {1,2,…,2n} thành hai tập con rời nhau A và B, mỗi tập có n phần tử. Kí hiệu các phần tử của hai tập hợp này theo thứ tự tăng : 12 1 . } { nn A aa a a − <<< < = và 12 . } { nn Bbb bb − 1 < << < = Hãy chứng minh đẳng thức : |a 1 -b 1 |+|a 2 -b 2 |+…+|a n -b n |=n 2 Bài 2 Cho một bảng kích thước 2n x 2n ô vuông. Người ta đánh dấu 3n ô bất kì của bảng. Chứng minh rằng có thể chọn ra n hàng và n cột của bảng sao cho các ô được đánh dấu đều nằm trên n hàng hoặc n cột này. Bài 3 Cho hình thang vuông ABCD có AB là cạnh đáy nhỏ, CD là cạnh đáy lớn, M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Biết rằng hình thang ABCD ngoại tiếp đường tròn bán kính R. Hãy tính diện tích tam giác ADM. Bài 4 Một hộp đựng 52 viên bi, trong đó có 13 viên màu xanh, 13 viên màu đỏ, 13 viên màu vàng và 13 viên màu trắng. Cần phải lấy ra ít nhất bao nhiêu viên bi (mà không nhìn trước) để chắc chắn trong số đó không có ít hơn 7 viên bi cùng màu. Hãy phát biểu và chứng minh bài toán tổng quát hơn. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 4 www.vnmath.com Bài 5 Một dãy các con số 0 và 1 có độ dài 32 được gọi là 1 xâu. Ta kí hiệu các xâu A,B,C ,… như sau : A=(a 1 ,a 2 ,…,a 32 ) B=(b 1 ,b 2 ,…,b 32 ) C=(c 1 ,c 2 ,…,c 32 ) với a i ,b i ,c i ,…= 0 hay 1; i = 1,2,…,32. Giá trị của một xâu là số các con số 1 có trong xâu ấy. Một máy tính có thể xử lý các xâu bằng hai phép biến đổi sau : _ Phép dịch chuyển các phần tử của A đi k vị trí, 1 ≤ k ≤ 32 theo qui tắc : (a 1 ,a 2 ,…,a 32 ) ⇒ (a k ,a k+1 ,…,a 31 ,a 32 ,a 1 ,a 2 ,…,a k-1 ). _ Phép so sánh hai xâu A và B để được một xâu mới C theo qui tắc A&B ⇒ C, với 1 nếu (a i = 1,b i = 0) hay (a 1 = b 1 = 1) c 1 = 0 nếu (a i = 1,b i = 0) hay (a 1 = 0,b 1 = 1) Cho xâu A có giá trị bằng 16 và B là một xâu tùy ý. Chứng minh rằng, bằng cách dịch chuyển A đi k vị trí (thích hợp) và so sánh kết quả với B, ta sẽ được xâu C có giá trị không nhỏ hơn 16. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 5 www.vnmath.com Năm học 1994 – 1995 Ngày thứ nhất Bài 1 Sáu đội bóng A,B,C,D,E và F tham dự một giải vô địch. Dưới đây là năm khẳng định khác nhau về hai đội có mặt trong trận chung kết : a) A và C b) B và E c) B và F d) A và F e) A và D Biết rằng có bốn khẳng định đúng một nửa và một khẳng định sai hoàn toàn. Hãy cho biết hai đội nào được thi đấu trong trận chung kết. Bài 2 a) Trên bảng có viết 1994 số : 1,2,…,1994. Cho phép xóa hai số bất kỳ trong những số trên bảng và viết thêm một số bằng tổng của hai số đó (Như vậy sau mỗi lần xóa thì các số các số được viết trên bảng giảm đi 1). Chứng minh sau 1993 lần xóa, trên bảng sẽ còn lại một số lẻ. b) Nếu thay số 1994 trong câu a) bằng số 2000 thì sau 1999 lần xóa trên bảng sẽ còn lại 1 số chẵn hay số lẻ ? Bài 3 Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho y+1 chia hết cho x và x+1 chia hết cho y. Bài 4 a) Cho là 4 số thực tùy ý. Với các giá trị thực nào của x thì biểu thức nhận giá trị nhỏ nhất : abcd<<< f(x) = |x – a|+|x – b|+|x – c|+|x – d| b) Hãy phát biểu và giải bài toán tổng quát với n số thực. Bài 5 Cho tam giác ABC có hai đường phân giác trong BD và CE cắt nhau tại I. Biết rằng ID = IE, chứng minh rằng hoặc tam giác ABC cân tại A hoặc góc . 0 60BAC∠= Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 6 www.vnmath.com Ngày thứ hai Bài 1 Giải hệ phương trình 22 22 23 42 xxyy xxyy ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 13 6 − += + −=− Bài 2 Cho tam giác ABC vuông tại A, có O, I lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp. Đặt BC = a, CA = b, AB = c. a) Tính các độ dài IO, IB theo a,b,c. b) Biết rằng tam giác IOB vuông ở I, chứng minh AB : AC : BC = 3 : 4 : 5. Bài 3 Chứng minh không tồn tại một dãy tăng thực sự các số nguyên sao cho với mọi số tự nhiên n,m ta có : 123 ,,, 0:aaa≥ . a mn = a n + a m . Bài 4 Chứng minh rằng tồn tại duy nhất hai số nguyên dương x và y thỏa mãn các tính chất sau : i) x và y đều có hai chữ số ii) x = 2y iii) Một chữ số của y thì bằng tổng hai chữ số của x, còn chữ số kia thì bằng trị tuyệt đối của hiệu hai chữ số của x. Bài 5 Một tam giác đều được chia thành một số hữu hạn các tam giác con. Chứng minh rằng sẽ có ít nhất một tam giác con có cả ba góc đều nhỏ hơn 120 0 . Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 7 www.vnmath.com Năm học 1995 – 1996 Ngày thứ nhất Bài 1 Trong một kì thi trắc nghiệm có 5 câu hỏi, thí sinh dự thi chỉ cần trả lời “có” hay “không” cho mỗi câu. Hãy chứng minh rằng nếu biết được các thông tin sau về câu trả lời cho mỗi câu hỏi : a) Câu số 1 và câu số 5 cần trả lời trái ngược nhau. b) Câu số 2 và câu số 4 cần trả lời giống nhau. c) Nếu câu số 4 trả lời “có” thì câu số 5 cần trả lời “không”. d) Số câu được trả lời “không” ít hơn số câu trả lời “có” thì một thí sinh có thể trả lời đúng bốn câu hỏi. Bài 2 Cho tứ giác lồi ABCD. Trên hai cạnh AB và CD lấy hai điểm E và F sao cho AE CF BEDF = . Chứng minh rằng nếu đường chéo AC đi qua trung điểm I của đoạn EF thì AC chia đôi diện tích tứ giác ABCD. Bài 3 Hãy tìm tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số A abcd= thỏa điều kiện : i) 2 (2abd b d a=+−) ii) A + 72 là một số chính phương Bài 4 a) Chứng minh với mọi giá trị thực của x ta luôn có : 242 36125109xx x x 5+ ++ − +≥ b) Giải phương trình : 242 36125109342 2 x xxx x+++ − +=−−x Bài 5 Cho tam giác ABC vuông tại A có đỉnh A,B cố định và C thay đổi trên nửa đường thẳng At vuông góc với AB tại A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 8 www.vnmath.com giác ABC và P, Q, R lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn này với các cạnh AC, BC, AB. Đường thẳng PQ và AI cắt nhau tại D. a) Chứng minh rằng bốn điểm B, D, Q, R nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh rằng khi C thay đổi trên At thì PQ luôn đi qua một điểm cố định. Ngày thứ hai Bài 1 Cho số tự nhiên n . Chứng minh rằng : 1> a) Nếu n lẻ thì ta không thể sắp n số tự nhiên đầu tiên {1,2,…,n} thành một dãy sao cho với mọi kn≤ , tổng của k số đầu tiên trong dãy không chia hết cho n. b) Nếu n thì ta không thể sắp n số tự nhiên đầu tiên {1,2,…,n} thành một dãy sao cho với mọi kn≤ , tổng của k số đầu tiên trong dãy không chia hết cho n. Bài 2 Giải và biện luận hệ phương trình sau : 1 2 xyz m xy xyz yz xyz zx ⎧ = ⎪ + ⎪ ⎪ = ⎨ + ⎪ ⎪ = ⎪ + ⎩ trong đó x, y, z là các ẩn số và m là tham số thực. Bài 3 Cho là các số thực dương. Gọi A là các số lớn nhất trong các số trên, hãy chứng minh bất đẳng thức : 1 2 1995 , , .,aa a 2 1 2 1995 1 1995 1 ( 2 . 1995 ) ( . ) 2 Aa a a a a+++ > ++ Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 9 www.vnmath.com Bài 4 Cho tứ giác lồi ABCD. a) Chứng minh rằng nếu hai đường tròn đường kính AB và CD tiếp xúc ngoài nhau thì ta luôn có AB + CD ≤ AD + BC b) Chứng minh rằng, nếu hai đường tròn đường kính AB và CD tiếp xúc ngoài với nhau và hai đường tròn đường kính AD và BC cũng tiếp xúc ngoài với nhau thì tứ giác ABCD phải là hình thoi. Bài 5 a) Gọi O là một điểm tùy ý nằm trong hình vuông. Chứng minh rằng luôn có thể tìm được hai đỉnh A và B của hình vuông sao cho : 135 180AOB≤∠ ≤ oo b) Gọi O là một điểm tùy ý nằm trong hình đa giác đều n cạnh . Chứng minh rằng, luôn có thể tìm được hai đỉnh A và B của đa giác sao cho: (5n ≥ ) 1 1 180 180AOB n ⎛⎞ −≤∠≤ ⎜⎟ ⎝⎠ oo . Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 10 www.vnmath.com [...]... sinh nào chỉ chọn thi vào lớp Lý hoặc chỉ chọn thi vào lớp Hóa; có ít nhất 3 học sinh chọn thi vào cả ba lớp Toán, Lý và Hóa; số học sinh chọn thi vào lớp Toán và Lý bằng số học sinh chỉ chọn thi vào lớp Toán; có 6 học sinh chọn thi vào lớp Toán và Hóa; số học sinh chọn thi vào lớp Lý và Hóa gấp 5 lần số học sinh chọn thi vào cả ba lớp Toán, Lý và Hóa Hỏi số học sinh chọn thi vào từng lớp là bao nhiêu?... điểm tối đa, số điểm tối thi u mà đội bóng A có thể đạt được Ngày thứ hai Bài 1 a) Cho số nguyên không âm A Hãy xác định A biết rằng trong 3 mệnh đề P, Q, R dưới đây có 2 mệnh đề đúng và 1 mệnh đề sai : P : “A + 51 là số chíng phương” Q : “Chữ số tận cùng của A là 1” R : “A – 38 là số chính phương” b) Có thể xếp hay không các số 0, 1, 2,…, 9 lên các đỉnh của một đa giác đều 10 đỉnh sao cho hiệu số trên... a3 + a4 là một số chẵn Chứng minh rằng có ít nhất một trong các số dạng ± a1, ± a2, ± a3, ± a4 có giá trị bằng 0 b) Cho 100 0 số nguyên dương a1, a2,…, a1000 sao cho 1 ≤ ak ≤ k với mọi k = 1,2, ,100 0 và tổng S = a1 + a2 +…+ a1000 là một số chẵn Hỏi trong các số dạng ± a1, ± a2, …, ± a1000 có số nào bằng 0 hay không ? Giải thích vì sao www.vnmath.com 23 Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net... Cho hai số nguyên dương a và b Biết rằng trong bốn mệnh đề P, Q, R, S dưới đây chỉ có duy nhất một mệnh đề sai : P = “a = 2b + 5” Q = “(a + 1) chia hết cho b” R = “(a + b) chia hết cho 3” S = “(a + 7b) là số nguyên tố” a) Hãy chỉ ra mệnh đề nào sai trong bốn mệnh đề trên (có giải thích) b) Hãy tìm tất cả các cặp số nguyên dương a, b thỏa ba mệnh đề đúng còn lại Bài 3 a) Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho... vuông cạnh a; mặt bên SAB là tam giác đều; mặt bên SCD là tam giác vuông cân tại S Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD a) Tính diện tích tam giác SIJ theo a b) Gọi H là chân đường cao kẻ từ S của ∆SIJ Chứng minh rằng SH ⊥ AC www.vnmath.com 31 Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Bài 5 Lớp 9A có 28 học sinh đăng ký dự thi vào các lớp chuyên Toán, Lý, Hóa của trường Phổ... www.vnmath.com 19 Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Bài 5 a) Có n đội bóng thi đấu vòng tròn một lượt (n ≥ 3) Chứng minh rằng dù lịch thi đấu thế nào sắp xếp ra sao thì tại bất kỳ thời điểm nào ta cũng tìm ra được hai đội bóng có số trận đã đấu là bằng nhau b) Giả sử n = 3 và ba đội bóng thi đấu vòng tròn hai lượt Điều khẳng định của câu a) còn đúng khônng ? Giải thích rõ câu trả... khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net b) Chứng minh rằng nếu a, b, c đôi một khác nhau thì a 2b 2b 2 = 1 c) Chứng minh rằng nếu a, b, c đều dương thì a = b = c Bài 5 Trong một giải bóng đá có N đội tham gia thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt (hai đội bất kỳ đều gặp nhau đúng một lần) Sau mỗi trận đấu, đội thắng được 3 điểm, đội thua không được điểm nào, còn nếu trận đấu có kết quả hòa thì mỗi... trong của hai đa giác đều có số cạnh lần lượt α 5 là m và n Tìm m và n nếu = β 7 a) Giải phương trình x + x +1 = Bài 4 Cho tam giác ABC có đường cao BD Giả sử (C) là một đường tròn có tâm O nằm trên đoạn AC và lần lượt tiếp xúc với BA, BC tại M, N a) Chứng minh rằng 4 điểm B, M, D, N nằm trên một đường tròn b) Chứng minh rằng ∠ADM = ∠CDN Bài 5 Trong một giải bóng đá có 10 đội bóng thi đấu vòng tròn một... tròn thứ hai tại hai điểm B và C Chứng minh rằng điểm A cách đều các đường thẳng BD và CD Bài 5 Số nguyên A được tạo thành bằng các chữ viết liền nhau các số nguyên dương từ 1 đến 60 theo thứ tự từ nhỏ đến lớn : A = 12345 585960 a) Hãy chỉ ra cách xóa 100 chữ số của A sao cho số A1 tạo bởi các chữ số còn lại là nhỏ nhất; b) Hãy chỉ ra cách xóa 100 chữ số của A sao cho số A2 tạo bởi các chữ số còn lại... Tìm tất cả các số nguyên m ≥ 0 sao cho phương trình x 2 − (m − 1) 2 x + m = 0 có các nghiệm đều nguyên rằng | x | + | y |≥ Bài 2 a) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho đa thức x 3n+1 + x 2 n + 1 chia hết cho đa thức x 2 + x + 1 b) Tìm số dư trong phép chia A = 38 + 36 + 32004 cho 91 Bài 3 Cho tam giác đều ABC và một điểm P nằm trong tam giác Hạ PA1, PB1, PC1 vuông góc với BC, CA, AB tương ứng . CÁC ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN-TIN TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM. tố” a) Hãy chỉ ra mệnh đề nào sai trong bốn mệnh đề trên (có giải thích). b) Hãy tìm tất cả các cặp số nguyên dương a, b thỏa ba mệnh đề đúng còn lại. Bài