Tìm tọa độ các D A đỉnh còn lại c/ Trong khôgn gian Oxyz cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại..[r]
(1)GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Phần 1: Hệ toạ độ không gian A Lý thuyết cần nhớ Hệ trục tọa độ Oxyz gồm ………………… đôi vuông góc với với r ur r uur ur r i = j = k =1 i , j , k các……………………tương ứng là ur ur r ur ( ur u ) B a = ( a1; a ; a ) ⇔ a = a1 i + a j + a k ; uuuur r r r Và M (x;y;z) ⇔ OM = x.i + y.j + z.k C Tọa độ véctơ ur ur Cho u = (x; y; z), v = (x'; y'; z') r k ( 0;0;1) ⎧ x = x' ⎪ u = v ⇔ ⎨ y = y' ⎪z = z' ⎩ ur ur ur y ur u ± v = ( x ± x'; y ± y ';z ± z ' ) O r i (1; 0;0 ) ur α u = (α x ; α y; α z ) ur ur u.v = x.x '+ y.y'+ z.z' ur z r j ( 0;1;0 ) x ur ur ur u ⊥ v ⇔ u.v = ur 2 u = x + y + z ur ur ⎛y z z x x y⎞ ⎡ u,v ⎤ = ⎜ ; ; yz' y'z;zx' − z'x; xy '− x'y ) ⎣ ⎦ ⎜ y' z' z' x' x' y' ⎟⎟ = ( − ⎝ ⎠ ur ur ur ur r u,v cùng phương ⇔ [u , v] = uur ur u.v rr cos u,v = ur ur u.v ( ) D Tọa độ điểm : cho A (xA; yA; zA), B (xB; yB; zB) uuur AB = (x B − x A ; y B − y A ; z B − z A ) 2 2 AB = (x B − x A ) + (y B − y A ) + (z B − z A ) 3.G là trọng tâm tam giác ABC ta có: Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com (2) GV Nguyễn Vũ Minh xG = HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN xA + xB + xC y A + y B + yC y = G ; ; 3 zG = zA + zB + zC Đặc biệt : M là trung điểm AB: xM = xA + xB y + yB z + zB ; yM = A ; zM = A 2 uuur uuur A,B,C lập tam giác ⇔ A,B,C không thẳng hàng ⇔ AB, AC không cùng uuur uuuur r ⎡ AB, AC ⎤ ≠ phương ⇔ ⎣ đó diện tích tam giác ABC là S = ⎦ Bàir tập : r :rtrong uur cho r hệr trụcr tọa rđộ Oxyz r các r vectơ r u = i − j, v = 3i + j − 5k, w = 2i + 3j − k uuur uuur ⎡ AB, AC ⎤ ⎣ ⎦ r r r r r r u, v u, i k, v a/ Tìm tọa độ các vectơ đó b/ tính cosin góc , , r r r uur r uur r r c/ Tính các tích vô hướng u.v, u.w, v.w, u j r r r uur ur r r uur d/ Tìm tọa độ các vectơ sau : e = 2u − v + 3w , α = u + v − 2w , uur r r r r r r r r r r r uur m = − u + v−w , n = −3u + v − 2i + 5j , r = 3u + 5i − 3k 2 ( ) ( ) ( ) Bài tập bổ sung : Cho ba vectơ a = (2;−5;3); b = (0;2;−1); c = (1;7;2) d = a − b + 3c và e = a − b − c Tìm toạ độ các vectơ sau đây: Bài tập : Tìm toạ độ vectơ x và y biết a) a + x = và a = (1;−2;1) b) a + x = i và a = (0;−2;1) c) a + x = −b , − a + y = 3b r a Soạn : Cho = (5; −4; 7) và với a = (5;4;−1) ; b = (2;−5;3) r x r r r thỏa x + y = uur r r r b/ Tìm vectơ y thỏa 2y − a = 3b a/ Tìm vectơ Bài tậpr : Phân tích vectơ r r r u = 4, 0, − theo a = − 2, 1, , b = 1, 3, − , c ( ) ( ) ( ) = ( 2, 4, 3) a/ r r r r b/ d = ( −4, 5, − 1) theo a = ( 2, 4,1) , b = ( −3, 0, ) , c = (1, − 1, − 1) uur r r r c/ m = ( 3, 2, − ) theo a = (1, 0, − ) , b = ( −2, 1, ) , c = ( −4, 3, ) r r r r d/ q = ( −4, 12, ) theo a = ( 3, − 7, ) , b = ( 2, − 3,1) , c = ( 3, 2, ) Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com (3) GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN r r r x Bài tập : Viết dạng i + y j + z k r ⎛ r ⎛ r r π⎞ 11 ⎞ d = 2, , − b = 0, 0, − a = (1, 0, − ) ; ⎜ ⎟ ; c = 1, 3, − ⎜ ⎟ ; 3⎠ 6⎠ ⎝ ⎝ Bài tập : Trong không gian Oxyz cho A(2; − ; 1), B(1; − 1; 4) và C( − 2; 1; 6) a/ Tìm tọa độ trọng tâmuuu Grcủa giác ABC r uuu r uuu r uuur uuur uuutam b/ Tính các vectơ sau : AB, AC, BC, 2AB + 3AC − 4BC uuur uuur uuur c/ Tính: 2AB − AC BC uuuur uuur MA = −2MB d/ Tìm tọa độ điểm M cho : uuur uuur uuur e/ Tìm tọa độ điểm K cho : KA − 2KB = 2CB uuur uuur uuur r f/ Tìm tọa độ điểm P cho : PA + 2PB − 4PC = g/ Tìm tọa độ điểm D cho ABCD là hình bình hành Bài tập 6: Cho ba điểm: A(−3;2;1) ; B (3;−1;2) ; C (0;−4;2) CMR tam giác ABC cân Bài tập : D' C' a/ Trong không gian Oxyz cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với A(1; ; 1), B(2; 1; 2) , C’(4; 5; − 5), D(1; − 1; 1) Tìm tọa độ các A' B' đỉnh còn lại B b/ Trong không gian Oxyz cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với A( − 1; ; 3), C(1; 4; 5) , B’( − 3; 3; − 2), D’(5; 3; 2) Tìm tọa độ các D A đỉnh còn lại c/ Trong khôgn gian Oxyz cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Biết A(4;1;-2), B’(4;5;10) C(-3;-2;17), D’(-7;-2;11) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại Bài tập : Tìm góc hai vectơ sau: ( ( ) ) a) a = (4;3;1) ; b = (−1;2;3) b) a = (2;5;4) ; b = (6;0;3) c) a = (1;−1;1) ; b = (0;1;3) Bài tập 9: a/ Trên trục Oy, tìm điểm cách hai điểm: A(3;1;0) ; B (−2;4;1) b/ Trên trục Ox, tìm điểm cách hai điểm: A(1;0;1) ; B ( 2;1;2) c/ Trên trục x’Ox, tìm điểm M cách hai điểm: A( 2;−1;1) ; C (3;−2;−1) (ĐS : (4;0;0) ) Bài tập 10: a/ Trên mặt phẳng Oxy, tìm điểm cách ba điểm: A(1;1;1) ; B (−1;1;0) ; C (3;1;−1) b/ Trên mặt phẳng Oxy, tìm điểm cách ba điểm: A(2;−1;1) ; B (1;3;4) ; C (3;−2;−1) Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com C (4) GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN ⎛ 26 14 ⎞ (ĐS : ⎜ ; ;0 ⎟ ) ⎝ ⎠ Bài 7: Cho A(1;2;-1), B(2;-1;3), C(-1;-2;2) 1/ Chứng minh A, B, C là đỉnh tam giác 2/ Tính cosin góc ΔABC 3/ Tìm trên Ox điểm cách A và B 4/ Tìm trên Oz điểm cách C và B 5/ Tìm trên mặt phẳng uuur xOy điểm cách A, B, C Bài tập 11: cho AC = ( 3, 2, −5) với C (1, 0,3) Tìm A Bài tập 12: Cho điểm M( − 3;4;7) Tìm tọa độ hình chiếu M trên a/ Các trục tọa độ b/ Các mặt phẳng tọa độ Cho tam giác ABC với A(0;−2;1) ; B (3;2;2) ; C ( 4;1;−2) a) Tính AB, BC, CA và diện tích tam giác ABC b) Tìm toạ độ trung điểm AB, BC, CA và toạ độ trọng tâm tam giác ABC c) Tìm chân D đường phân giác AD góc A r r E Hai vectơ cùng phương Cho a = ( a1 , a , a ) , b= ( b1 , b , b3 ) r r r r a , b cùng phương ⇔ ∃k ∈ R cho a = k.b ⇔ a1 a a = = b1 b b Ghi chú : ……………………………………………………………………… r r r Ví dụ : a = ( 3, − 1, ) , b = ( −9, 3, − ) , c = ( 6, − 2,1) r r a/ CMR a , b là hai vectơ ngược hướng r r a c b/ CMR và là hai vectơ không cùng phương Giải : r r r −1 1r = = = − a = − b a/ Vì nên suy a và b ngược hướng −9 − 3 r r ≠ a và c là hai vectơ không cùng phương b/ Vì 2 Ví dụ : Cho A(−3;1;4) ; B ( 2;3;6) ; C (3;−4;1) a/ CMR A,B,C lập tam giác uuuur uuur b/ Tìm tọa độ điểm M ( x; y;−6) cho AM, BC cùng hướng uuur Giải : uuur a/ AB = ( 5; 2; ) , AC = ( 6; −5; −3) Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com (5) GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN uuur uuur nên AB và AC là hai vectơ không cùng phương Vì ≠ −5 Suy ba điểm A, B, C không thẳng hàng Vậy là ba đỉnh uuu uuuuA,B,C r r tam giác b/ AM = ( x + 3; y − 1; −10 ) , BC = (1; −7; −5) uuuur uuur x + y − −10 = = >0 AM, BC cùng hướng nghĩa là chúng cùng phương ⇔ −7 −5 ⎧x+3 ⎪⎪ = ⎧ x = −1 ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩ y = −13 Vậy M ( −1; −13; −6 ) ⎪ y −1 = ⎪⎩ −7 Bài tập 13: a/ Cho A(1;1;1) ; B (14;0;−5) ; C ( 2;3;1) Tìm tọa độ hình chiếu H A trên BC và tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng BC b/ Cho A(5;2;5) ; B ( 2;−1;2) ; C (3;1;6) Tìm tọa độ hình chiếu H A trên BC và tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng BC (ĐS : H (3;1;6) và A' (1;0;7) ) c/ Cho A(2;−1;3) ; B (3;0;−2) ; C (5;−1;−6) Tìm tọa độ hình chiếu H A trên BC và tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng BC (ĐS : H (1;1;2) và A' (0;3;1) ) r r rr r Bài tập 14: Cho a = 3i − j, b = (2;3; −1), c = ( −2; 4; 2) r rr r r rr a.x = c b.x = − x a/ Tìm cho , , ⊥x r r r ⎡ r 1r ⎤r b/ Tìm tọa độ của: (a.3b)c và ⎢ (−2c)( a) ⎥ b ⎣ ⎦ F Tích r có hướng vàrsự đồng phẳngr Cho a = ( a1 , a , a ) , b = ( b1 , b , b3 ) , c = ( c1 , c , c3 ) r + a, r + a, r r r r ⎡ ⎤ b cùng phương ⎣a, b ⎦ = r r r r r b, c đồng phẳng ⎡⎣a, b ⎤⎦ c = uuur uuur uuuur AB, AC, AD không đồng phẳng Chú ý : A,B,C,D lập tứ diện ⇔ uuur uuur uuur ⎡ AB, AC ⎤ AD ≠ ⇔ ⎣ ⎦ Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com (6) GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN 1 ⎡ uuur uuur ⎤ uuur V = SBCD h V , , = AB AC AD Và A.BCD ⎣ ⎦ (h là chân đường cao hạ từ đỉnh A) r r r Bài tập 15: Xét đồng phẳng vectơ a, b, c biết: r r a = (1; − 1;1) b a/ ; = (0;1; 2) ; r r b/ a = (1; 2;1) ; b = (1; −2;3) ; r c = (4; 2;3) r c = (2; 6;1) r r r r r r r r c/ a = 2i − 3k ; b = ( −1;3;5) ; c = −4i + j + k Soạn : d/ a = (4;3;4) ; b = (2;−1;2) ; c = (1;2;1) e/ a = (4;2;5) ; b = (3;1;3) ; c = (2;0;1) f/ a = (−3;1;−2) ; b = (1;1;1) ; c = (−2;2;1) Bài tập 16: r r r a/ Tìm m để vectơ a = (1; 2;3) ; b = (2;1; m) ; c = (2; m;1) đồng phẳng r r r b/ CMR vectơ a = (1;1; m) ; b = (1;1; m + 1) ; c = (1; −1; m) không đồng phẳng với m Bài tập 17: Xét tính đồng đẳng điểm sau: a/ A(1;2;1), B(-1;2;3), C(2;0;-2), D(0;1;-4) b/ A(1;1;1), B(-1;2;4), C(3;0;-2), D(-2;1;0) r r a = (1; − 1;3) b Bài tập 18: ; = (2; 2; −5) r ⎡ a/ Tính ⎣ a, r b ⎤⎦ r r r r ⎡ a, b/ Cho c = (1; −1; 2), x = (m; m + 2; m − 2) Tìm m để ⎣ b ⎤⎦ = (ĐS : 0, -12/7) Bài tập 19: Cho bốn điểm: A(1;−1;1) ; B (3;1;−2) ; C (−1;2;4) ; D (5;−6;9) a) Chứng tỏ D nằm ngoài mặt phẳng (ABC) b) Tìm toạ độ trọng tâm tứ diện ABCD c) Tính diện tích tứ diện ABCD và tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A Bài tập 20: Cho bốn điểm: A( 2;3;1) ; B ( 4;1;−2) ; C (6;3;7 ) ; D ( −5;−4;8) a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh tứ diện (Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng) b) Tính thể tích tứ diện và tính độ dài đường cao tứ diện hạ từ đỉnh A c) Tìm tọa độ điểm I cách bốn điểm A, B, C, D -Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com (7) GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Phần 2: Phương trình mặt cầu A Kiến thức cần nhớ Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) , bán kính R: R 2 2 Dạng chính tắc: ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c) = R I Dạng khai triển: x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = (điều kiện để có mặt cầu : ………………………… ) 2 Bán kính: R = a + b + c − d B Bài tập: Ví dụ : Tìm tâm và bán kính mặt cầu có phương trình x + y + z − 6x + 8y − 4z + = 2 2 2 Giải : so sánh với phương trình x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = ⎧−2a = −6 ⎧a = ⎪−2b = ⎪b = −4 ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⎨ Ta có −2c = −4 suy mặt cầu có tâm I (3;- 4;2) ⎪ ⎪c = ⎪⎩d = ⎪⎩d = và bán kính R = a + b + c2 − d = + 16 + − = 3 Bài tập 21: Tìm tâm và bán kính các mặt cầu sau: 2 2 2 a) x + y + z − x + y + = b) x + y + z + x + y − z − = 2 2 2 c) x + y + z − x − y + z = d) x + y + z + x − y + 15 z − = 2 2 2 e) x + y + z − x + y = f) x + y + z − z − = 2 2 2 g) x + y + z − x + y − z − 86 = h) x + y + z − 12 x + y − z + 24 = 2 2 2 k) x + y + z − x − 12 y + 12 z + 72 = l) x + y + z − x + y + z − = Bài tập 22: cho phương trình : 2 2 a/ x + y + z − 2mx + ( m + 1) y − ( m − ) z + 7m + = (1) Xác định tham số m để (1) là phương trình mặt cầu (S) Khi đó xác định m để mặt cầu (S) có bán kính lớn (ĐS : < m < và m = ) 2 2 b/ x + y + z − ( m + 1) x + ( m − 1) y + 2mz + 7m − = (1) Xác định tham số m để (1) là phương trình mặt cầu có bán kính (ĐS : m = −3 ± ) 2 2 c/ x + y + z − 4mx + 4y + 2mz + m + 4m = (1) Xác định tham số m để Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com (8) GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN (1) là phương trình mặt cầu (S) Khi đó xác định m để mặt cầu (S) có bán kính nhỏ (ĐS : ∀m ∈ R và m = / ) Ví dụ : Viết phương trình mặt cầu biết: a/ Tâm I(2; 2; -1), bán kính R = 2 b/ Tâm I(2; 0; 1) và qua điểm A(2; 1; 5) c/ Qua điểm A(2; 2; 1), B(3; 2; 2), C(-3; 1; 6), D(3; -8; 0) Giải : ☺a/ mặt cầu (S) có tâm I(2; 2; -1), bán kính R = 2 (S) : ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = ( 2 ) ☺ b/ mặt cầu (S) có tâm I(2; 0; 1) và qua điểmuurA(2; 1; 5) 2 2 nên có bán kính R = IA = 02 + 12 + 42 = 17 với IA = ( 0;1; ) (S) : ( x − ) + y + ( z − 1) = 17 2 R A I ☺ c/ mặt cầu (S) qua điểm A(2; 2; 1), B(3; 2; 2), C(-3; 1; 6), D(3; -8; 0) 2 gọi pt (S) : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = ⎧22 + 22 + 12 − 4a − 4b − 2c + d = ⎧A ( 2; 2;1) ∈ (S) ⎪ ⎪ 2 + + − 6a − 4b − 24c + d = 2 ∈ (S) B 3; 2; ( ) ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⎨ 2 Ta có ⎪C ( −3;1;6 ) ∈ (S) ⎪( −3) + + + 6a − 2b − 12c + d = ⎪ ⎪ + − + 02 − 6a + 16b + d = ( ) ⎩D ( 3; −8;0 ) ∈ (S) ⎩ ⎧9 − 4a − 4b − 2c + d = (1) ⎪17 − 6a − 4b − 24c + d = (2) ⎪ ⇔⎨ ⎪46 + 6a − 2b − 12c + d = (3) Lần lượt trừ các vế tương ứng phương trình ⎪⎩73 − 6a + 16b + d = (4) ⎧2a + 2c = ⎪ ⎨ (1) cho các phương trình (2), (3), (4) ta có hệ : 10a + 2b − 10c = −37 ⎪2a − 20b − 2c = 64 ⎩ ⎧a = 1/ ⎪ Giải hệ này ta : ⎨b = −7 / thay vào (4) ta d = −14 ⎪c = / ⎩ 2 Vậy phương trình (S) : x + y + z − x + 7y − 7z − 14 = Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com (9) GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Bài tập 23: Viết phương trình mặt cầu biết: a) Tâm I(5; -3; 7) bán kính R = b) Tâm I(3; -2; 1) và qua điểm A(2; 1; -3) c) Tâm I(4; -4; -2) và qua gốc toạ độ d) Hai đầu đường kính là A(4; -3; -3) và B(2; 1; 5) e) Nhận AB làm đường kính với A(6; 2; -5) và B(-4; 0; 7) Soạn : a) Tâm I(1; -3; 5), bán kính R = b) Tâm I(4; -1; 2) và qua điểm A(1; -2; -4) c) Hai đầu đường kính là A(2; -3; 5) và B(4; 1; -3) Bài tập 24: Viết phương trình mặt cầu (S): a/ (ĐH Bách Khoa Hà Nội – 96) Ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(3; 2; 6), B(3;-1; 0), C(0; -7; 3), D(-2; 1; -1) (ĐS: x + y2 + z + 2x + 3y − 8z − 13 = ) b/ (ĐH Văn Lang – 98) qua bốn điểm A(0; 0; 0), B(0;0; 4), C(0; 4; 0), D(4; 0; 0) c/ Đi qua bốn điểm: A(1; -2; -1), B(-5; 10; -1), C(4; 1; 1), D(-8; -2; 2) d/ Đi qua bốn điểm: A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0) e/ Đi qua bốn điểm: A(1 ; ; 0) ; B(0 ; ; 0) ; C(0 ; ; 1); D (-2 ; ; -1) (ĐS : x2 + y2 + z2 + x + y + z - = 0) 3 3 f/ Đi qua bốn điểm: A(-1; 2; 0), B(2;-3;-1), C(0;-2;-2), D(-2; 0; 1) Bài tập 25: Viết phương trình mặt cầu đường kính AB với A, B có toạ độ: a) A(−1,−3,1) ; B (−3,1,5) b) A(6,2,−5) ; B (−4;0;7) c) A(1,−2,4) ; B (3,−4,−2) d) A(4,−3,7) ; B ( 2;1;3) -Phần 3: Phương trình mặt phẳng A Kiến thức cần nhớ a) Phương trình tổng quát: 2 Ax + By + Cz + D = với A + B + C > r n n = ( A; B; C ) là vecto pháp tuyến mp b) Phương trình mặt phẳng qua M ( x0 ; y0 ; z ) và có vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) có dạng: A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com (10) GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN c) Phương trình mp theo đoạn chắn, qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có dạng: x y z + + =1 a b c z B b Ghi chú : ……………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… C c O y A x a d) các trường hợp đặc biệt : (P) : Ax + By + Cz + D = + D = : (P) : Ax + By + Cz = thì (P) qua gốc O + Các mp tọa độ cần nhớ : (Oxy) : z = ; (Oxz) : y = ; (Ozy) : x = Ví dụ : lập phương trình mp (P) các trường hợp sau : r a/ qua A(2; 1; 5) và có vectơ pháp tuyến là n = ( 2; −3; −2 ) b/ cắt trục tọa độ điểm A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; -2) c/ qua điểm A(1; -2; 4), B(3; 2; -1), C(-2; 1; -3) không thẳng hàng d/ (P) là mặt phẳng trung trực AB với A(3; -2; 5), B(-5; 4; 7) e/ qua ba điểm A1, A2, A3 là hình chiếu A(-3; 2; -4) lên các trục Ox, Oy, Oz f/ qua điểm A(1; 2; 2) và song song với mp (R) : 2x − 3y − z + 2013 = r Giải : a/ (P)qua A(2; 1; 5) và có vectơ pháp tuyến là n = ( 2; −3; −2 ) ☺ Phương trình (P) : ( x − ) − ( y − 1) − ( z − ) = ⇔ 2x − 3y − 2z + = ☺b/ (P) cắt trục tọa độ điểm A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; -2) nên (P) chính là mặt phẳng đoạn chắn : x y z + + = ⇔ x + 2y − z − = −2 ☺c/ qua điểm A(1; -2; 4), B(3; 2; -1), C(-2; 1; -3) không thẳng hàng nên (P) có cặp vectơ phương là uuur ⎧⎪ AB = ( 2; 4; −5 ) ⎨ uuur ⎪⎩ AC = ( −3;3; −7 ) Đt : 0914449230 B A 10 C Email : ngvuminh249@yahoo.com (11) GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN r uuur uuur ⎡ n = AB, AC ⎤⎦ = ( −13; 29;18 ) suy vectơ pháp tuyến (P) là ⎣ phương trình (P) cần tìm là : −13 ( x − 1) + 29 ( y + ) − 18 ( z − ) = ⇔ −13x + 29y − 18z + = ☺d/ Gọi M là trung điểm AB thì M(-1;1;6) uuur A (P) qua M(-1;1;6) và có VTPT là AB = ( −8;6; ) r hay n = ( −4;3;1) là VTPT (P) phương trình (P) cần tìm là : ( x + 1) − ( y − 1) + 1( z − ) = ⇔ 4x − 3y + z − 13 = M ☺e/ hình chiếu A(-3; 2; -4) lên các trục Ox, Oy, Oz là B A1(-3;0; 0), A2(0; 2; 0), A3(0; 0; -4) nên (P) chính là mp đoạn chắn phương trình (P) cần tìm là : x y z + + = ⇔ 4x − 6y + 3z + 12 = −3 −4 ☺f/ (P) song song với mp (R) : 2x − 3y − z + 2013 = Nên (P) có phương trình : 2x − 3y − z + D = A (1; 2; ) ∈ (P) : 2x − 3y − z + D = ( D ≠ 2013) nên (1) − ( ) − ( ) + D = ⇔ D = ≠ 2013 Vậy (P) : 2x − 3y − z + = Bài tập 26: Viết phương trình mặt phẳng: 1/ Đi qua điểm M(3; 2; -5) và có vectơ pháp tuyến n = (−3;4;1) 2/ Đi qua M(1; -3; 7) và có vectơ pháp n = (3;2;0) 3/ Đi qua M(1; 3; -2) và vuông góc với trục Oy 4/ Đi qua M(1; 0; 5) và vuông góc với trục Ox 5/ Đi qua điểm M(1; 3; -2) và vuông góc với đường thẳng M1M2 với M1(0; 2; -3) và M2(1; -4; 1) 6/ Qua A(-1; 1; 2) và vuông góc với BC, đó B(3; -1; 0), C(2; 1; 7/ Đi qua M(1; 3; -2) và song song với mặt phẳng 2x - y + 3z + = p) Qua M(1; -2; 3) và song song với mặt phẳng x - 3y + 2z + 13 = 8/ Qua các hình chiếu A(2; 3; 4) lên các trục toạ độ 9/ Qua A(3; 4; -5) và song song với vectơ u = (3;1;−1) và v = (1;−2;1) Đt : 0914449230 11 Email : ngvuminh249@yahoo.com (12) GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN 10/ Qua A(-2; 4; 1) và có cặp vectơ phương a = (3;−5;2 ) và b = (1;−4;3) 11/ Qua P(2; -1; 3), Q(3; 1; 2) và song song với vectơ a = (3;−1;−4) 12/ Qua AB và song song với CD với A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6) 13/ Qua A(2; 0; 0), B(1; 2; 0), C(2; 1; -2) 14/ Qua A(2; -4; 0), B(5; 1; 7), C(-1; -1; -1) 15/ Chứa tam giác ABC với A(1; -1; 2), B(-3; 0; 4), C(1; 1; 0) 16/ Qua A(1; 2; 1), B(0; 1; 2) và vuông góc với mặt phẳng x - 2y + z + = 17/ Qua P(3; 1; -1), Q(2; -1; 4) và vuông góc với mặt phẳng 2x - y + 3z - 1= 18/ Chứa Oz và qua R(2; 1; 0) 19/ Chứa Ox và qua M(4; 1; 2) 20/ Qua M(2; -1; 2) song song với Oy và vuông góc với mặt phẳng (R) 2x - y + 3z + = 21/ Qua P(8; -3; 1), Q(4; 7; 2) và vuông góc với mặt phẳng 3x + 5y - 7z - 21 = 22/ Qua I(3; -1; 5) và vuông góc với MN, đó M(4; 2; -1), N(1 ; -2, 3) 23/ Qua K(-1; -2; 5) đồng thời vuông góc với mp (P1):x + 2y - 3z + = và (P2):2x - 3y + z + = 24/ Qua M(1; 0; -2) và vuông góc với 2mp (P1): 2x + y - z - = và (P2): x - y - z - = 25/ Qua A(2; 1; 1), B(3; 2; 2) và vuông góc với mặt phẳng x + 2y - 5z - = 26/ Qua A( 1; 0; 2), song song với a = (2;3;1) và vuông góc với mặt phẳng (T) : 2x - y - 5z = 27/ Qua các hình chiếu vuông góc M(2; 3; -5) lên các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx) 28/ Qua M(1; 0; 0), N(0; 1; -1) và vuông góc với mặt phẳng x + y - z = Bài tập 27: Viết phương trình mặt phẳng trung trực các đoạn thẳng sau: a) PQ với P(3; -1; -2), Q(-3; 1; 2) b) MN với M(1; 3; 2), N(-3; 5; 6) c) EF với E(1; 2; -4), F(5; 4; 2) d) IJ với I(0; 0; 1), J(0; 0; -1) e) M1M2 với M1(2; 3; -4), M2(4; -1; 0) f) AB với A(-1; 2; 3), B(0; 3; -1) Bài tập 28: Với tam giác sau, viết phương trình mặt phẳng qua đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện a/ Tam giác ABC với A(3; -5; 2), B(1; -2; 0), C(0; -3; 7) b/ Tam giác MNP với M(-3; 5; 7), N(0; -1; 1), P(3; 1; -2) Bài tập 29: Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Với: a) A(-1; 2; 3), B(2; -4; 3), C(4; 5; 6) b) A(3; -1; 5), B(4; 2; -1), C(1 ; -2, 3) c) A(-1; 1; 2), B(3; -1; 0), C(2; 1; 1) d) A(2; 1; 3), B(-1; -2; 4), C(4; 2; 1) e) A(2; -3; 1), B(-2; 0; 5), C(3; 2; 0) Đt : 0914449230 12 Email : ngvuminh249@yahoo.com (13) GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN f) A( 5; 0; 0), B(0; -3; 0), C(0; 0; -5) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn z (P) : qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) B có dạng: x y z + + =1 a b c b O Chú ý : ……………….……………… ……………… C y A x ……………… ……………… ……………… Ví dụ : lập phương trình mp (P) qua M(1;2;3) và cắt Ox, Oy, Oz A,B,C có tọa độ dương cho thể tích tứ diện O.ABC nhỏ a.b.c x y z V = OA.OB.OC = (P): + + =1 Giải : O.ABC 6 , a b c M (1; 2;3) ∈ (P) ⇔ + + = và a,b,c là các số dương a b c Áp dụng BĐT C.S : 3 abc + + ≥ 33 ⇔ ≥ 33 ⇔ ≥ 27 ⇔ V ≥ a b c a b c ab c ⎧1 ⎧a = ⎪⎪ a + b + c = 1 ⎪ x y z Vmin = 27 ⇔ ⎨ ⇔ = = = ⇔ ⎨b = (P): + + =1 Vậy Nên a b c ⎪ ⎪1 = = 3 c=9 ⎩ ⎪⎩ a b c Ví dụ : lập phương trình mp (P) qua M(1;2;3) và cắt Ox, Oy, Oz các điểm A,B,C có tọa độ là số dương cho tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC là I(1;1;1) Giải : từ trung điểm E AB ta dựng trục d z C tam giác vuông OAB và d//Oz Từ trung điểm M OC d dựng trục OC cắt d I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp ⎛a b c⎞ hình chóp O.ABC và I ⎜ ; ; ⎟ ⎝2 2⎠ Mặt khác theo giả thiết I(1;1;1) a b c nên = = = ⇔ a = b = c = 2 2 Đt : 0914449230 M I O x 13 B y E A Email : ngvuminh249@yahoo.com (14) GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN x y z (P): + + = ⇔ x + y + z − = 2 Bài tập 30: a/ Lập phương trình mp (P) qua M(1;2;3) và cắt Ox, Oy, Oz A,B,C tọa độ dương cho OA = 2OB = 3OC (ĐS : (P): x y z + + = 1) 14 14 b/ Lập phương trình mp (P) song song với (R) x + y + z + = và (P) cắt Ox, Oy, Oz A,B,C khác gốc O cho thể tích tứ diện O.ABC 1/6 (ĐS : (P): x + y + z + = ∨ x + y + z − = ) c/ Lập phương trình mp (P) qua M(-1;2;4) và cắt Ox, Oy, Oz A,B,C tọa độ dương cho OA = OB = OC (ĐS : (P): x + y + z − = ) d/ Lập phương trình mp (P) qua M(2;1;4) và cắt Ox, Oy, Oz A,B,C tọa độ dương cho ABC là tam giác (ĐS : (P): x + y + z − = ) e/ Lập phương trình mp (P) qua M(-6;10;-1), cắt Ox điểm có hoành độ là và cắt Oz điểm có cao độ là f/ Lập phương trình mp (P) qua G(1;3;2) và cắt Ox, Oy, Oz A,B,C khác O cho ABC nhận G là trọng tâm (ĐS : (P): 6x + 2y + 3z − 18 = ) Bài tập 31: Lập phương trình mặt cầu (S) các trường hợp sau : a/ Qua A(1; 2; 0), B(-1; 1; 3), C(2; 0; -1) và có tâm nằm mp(Oxz) b/ Qua A(1; -4; 2), B(1; 1; -3), C(2; 3; 2) và có tâm nằm mp(Oxy) c/ (D – 2004) Qua ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và có tâm nằm mp (P): x + y + z − = B Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách từ M ( x0 ; y ; z0 ) đến mặt phẳng (P) Ax + by + Cz + D = là: M Ax0 + By0 + Cz0 + D d(M,(P)) = MH = 2 A + B +C VD : H Đt : 0914449230 14 Email : ngvuminh249@yahoo.com (15) GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Khoảng cách hai mp // là khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng M d ( ( P ) , ( Q ) ) = d ( M, ( Q ) ) P Q Vị trí hai điểm A( x A ; y A ; z A ) và B( xB ; y B ; z B ) mặt phẳng (P): - Nếu ( Ax A + By A + Cz A + D).( AxB + ByB + Cz B + D) > thì A và B nằm cùng phía (P): - Nếu ( AxA + By A + Cz A + D).( AxB + ByB + CzB + D) < thì A và B nằm hai phía (P): Bài tập 32: Tính khoảng cách từ điểm đến mp(P): a/ A(2; 0; 1), (P): x + y + z − = b/ B(-2; 3; 0), (P): 2x + y + 3z + = Bài tập 33: Tính khoảng cách từ mp(Q) đến mp(P): (P): 4x + 3y − 5z − = và (Q): 4x + 3y − 5z + 12 = Bài tập 34: Cho mặt phẳng (α ) : 2x - 3y + z - = và các điểm M(0; 2; -1), N(2; 1; 8), P(-1; -3; 0) a) Hai điểm nào cùng phía (α ) b) Hai điểm nào khác phía (α ) Ví dụ : Tìm điểm M trên Oz cách điểm A(2;3;4) và (P) : 2x + 3y + z − 17 = uuuur Giải : Vì M ∈ Oz nên M(0; 0; m); AM = ( 2;3; − m ) M M cách điểm A(2;3;4) nên ta có AM = d ( M, ( P ) ) m − 17 ⇔ 22 + 33 + ( − m ) = 14 A ⇔ m − 6m + = ⇔ m = Vậy : M(0;0;3) Bài tập 35: a/ Tìm điểm trên trục Oy cách hai mp (P): x + y − z + = và (Q): x − y + z − = (ĐS : M ( 0; −3;0 ) ) Đt : 0914449230 15 Email : ngvuminh249@yahoo.com (16) GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN b/ Tìm điểm trên trục Ox cách mp (P): 2x + y − 2z + = là c/ Tìm điểm trên trục Oy cách điểm A(2;4;3) và mp (R): 2x + y + 3z − 17 = (ĐS : M ( 0;3;0 ) ) Bài tập 36: Tìm quỹ tích các điểm cách hai mặt phẳng: a) x - 2y + 3z + =0 và 2x - y + 3z + = b) 6x - 2y + z + = và 6x - 2y + z - = Soạn : c) 2x - y + 4z + = và 3x + 5y - z - = d) 4x - y + 8z + và 4x - y + 8z + = e) 2x - y + 4z + = và 3x + 5y - z - = f) 3x + 6y - 3z + và x + 2y - z + = Tiếp diện Cho mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R và mp (P) (P) là tiếp diện m/c (S) ⇔ d ( I, ( P ) ) = R I H là R P H Và (P) Ví dụ : lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(-2;1;1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) : x + 2y − 2z + 11 = Giải : (P) chính là tiếp diện (S) và −2 + − + 11 R = d ( I, ( P ) ) = = nên (S) : ( x + )2 + ( y − 1)2 + ( z − 1)2 = 12 + 22 + ( −2 ) Bài tập 37: Viết phương trình mặt cầu: a) Tâm I(3; -5; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng 2x - y -3z + = b) Tâm I(1; 4; 7) và tiếp xúc với mặt phẳng 6x +6y -7z +42 = c) Tâm K(1; 1; 2) và tiếp xúc với mp(P): x + 2y + 2z + = d) Tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng: x + 2y - 2z + = e) Bán kính R = và tiếp xúc với mặt phẳng x + 2y + 2z + = điểm M(1; 1; -3) 2 Ví dụ 10 : (S) : x + y + z − 6x − 4y + 2z − = Viết phương trình tiếp diện mặt cầu (S) điểm A(3; 6; -2) (CĐKT ĐN -2000) (S) có tâm I(3;2;-1) và bán kính R = 17 Tiếp diện (P) qua r Auur I và có pháp vectơ n = IA = ( 0; 4; −1) A Đt : 0914449230 16 Email : ngvuminh249@yahoo.com (17) GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN (P) : ( x − 3) + ( y − ) − 1( z + ) = ⇔ 4y − z − 26 = Bài tập 38: Viết pt mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ( ) 2 a) Tiếp xúc với mặt cầu: ( x − 3) + ( y − 1) + ( z + 2) = 24 điểm M(-1; 3; 0) 2 b) Tiếp xúc với mặt cầu: x + y + z − x − y + z + = M(4; 3; 0) 2 c) Tiếp xúc với mặt cầu: ( x − 1) + ( y + 3) + ( z − 2) = 49 M(7; -1; 5) Bài tập 39: Viết pt mặt phẳng 2 a) Tiếp xúc với mặt cầu: x + y + z − x − y − z − 22 = và song song với mp: 3x-2y+6z+14=0 2 b) Tiếp xúc với mặt cầu: x + y + z − x + y + z − 11 = và song song với mp: 4x +3z -17 = 2 c) Tiếp xúc với mặt cầu: x + y + z − x − y + z = và song song với mp: x +2y +2z +5 = Đt : 0914449230 17 Email : ngvuminh249@yahoo.com (18)