=> x,,(1-x,)2x,(1-x,) > X44, 2X, (vi0<x, <1) n+1 “—
=> {x,} la day tang va bi chan nén hdi tu
Dat x = lim x>»+œ ml = x(1-x)> | § Xue (1 ~ xp) 2 @(x-3) <0 2 1 ©x=— 2 1 Ay: lim =— Vay: n—>+0 2 e Ta có: X„X,„., VnmeN Cố dịch n, cho n —> +œ, ta có ngay: 1 x <= "3 e Hơn nữa: | 1 2 +n=l 7a > 0-5-5 k : Giả sử: X „1 _ 1 +n= : Giả sử: Xe > 2=
+n=k+1 : Theo giả thiết quy nạp, ta có:
Trang 21 1 1 2 7S Xen (1 m,) <ul 5 ae | => X > “!“Ø2(K+l 2 2(k+1) k 1d => (Dpcm)
Cho f: [0,+œ) + [0,+00) giảm và liên tục
f(a) =B
Giải sử hệ {f(B) = œ có nghiệm duy nhất œ = B =a
œjB>0
Ching minh ring: Day {x,,, = f(x,)} (véi x, > 0) hội
tu vé a
Giải
Ta chia ra hai trường hợp * Néu x, > x;:
Khi đó: f(x;) < f(x,)
_— X, <X,
=> f(x,) 2 f(x,)
2 X, 2X
Bang quy nap, ta cé duge x, <x,,,,, VneN
(Để ý: xạ, =f(xạ„,)<f(0), VneN)_
Quả vậy, giả sử Xa < Xay,¿
Khi đó: f(xzy/) > f(Xzx,;)
> Xone 2 Xonss
= f(%X¿y.¡) < f (Xox,3) © Xay,s Š Xay,¿
Trang 3Chứng minh tương tự: x,,; >x;„;, VneN
(Đểý : x, >0, vn eN)
Nhưuậy: s (x,} tăng k bị chặn trên nên {x, } hội tụ Giá sử lim x;„=œ>0
n~—>+»©
e {x,,,,} giam va bị chặn dưới nên {x, ,! hội tụ Giả
sử n-+œ lim Xeon = B >0
Do f liên tục trên [0,+œ©), nên:
| = lim x,,,; = lim f(x;„¡) = f(œ) a= lim Xonso = lim f(X;a.¡) = f(B) n>+0 = Em a= £(6) ©ơ==a => lim x,, = lim x,,,, =a n~>+œ n->+00 <> limx, =a Nod +o5
* Nếu: X; < x,: chứng minh tuong tu: limx, =a
nto
(Ban doc tu lam)
(ss) Cho phương trình: x" + x°” + +x—1=0
Chứng tỏ rằng với mỗi n nguyên dương thì phương trình có duy nhất một nghiệm dương x, và tìm lim Xạ-
Giải
Xét f(x)=x"+x*”+ +x—1 (neNWI))
f(x) = nx"' +(n-1)x"”+ +1>0, Vx>0
Hơn nữa: f{0)f1)=1-n<0
= f(x) = 0 có nghiệm dương duy nhất x,-
Trang 4Khi , [1= x, = Xã + + X) i dé wal l=x nel + Xu + + Xone 2 n + Xn >xX,>xX,., nel >0 _ (vì ngược lại: 0< X, £X,.) +x? 4¢ ¢x", <1 n+l n+l — 2 n =m1l=x, +X) + +x) <x n+l =>1<1 (vo ly) = Tén tai limx, =x "n-‹>+⁄ 7 o 7 1 n _ 1-x, l= Xạ Mặt khác, từ 1-x, (Vn>2) O<x,<x;<l Cho n -> +œ, ta được 1 = *o 1-x ° nore 1 Vâ ay lim x, == no
Cho dãy số {u,} được xác định bởi: u, = C?.vn.4", neN
Chứng minh rằng: lu } là dãy hội tụ
Trang 51
((2n+1)@n+2 [n+l "*2 (n +1)’ ~ Jn(n +1)
=> {u,} là dãy dương tang (1)
-i 4 Hơn nữa: 2 2 1 u n° +n+— in( 2 = n—_—_4 tạ n?+n “c2 sa) 4(n? +n) 4\n n+1 (Do ln(1 + x) < x, Vx >0) 2 =m{) <3(2-,) Uy n n-l 2 => Inu,,, -Inu, < s{=- => Inu,,, —Inu, <3(1- 1 )<3 8 8 u 1 => In—8# <= u, 1 => u,,, <u,.e8 (2) Từ (1) va (2) = {u,} 1a day hdi
Trang 6
67) Cho day {a,} xac định như sau: a, = oe + | n22
"a a
n-1
a, = 2006
Ching minh rang: lim a, = ¥2005
Giai Ta có a, >0, Vx21 | 8 >a,=—]a,,+ 2 n-1 sly [4 , 2005 2 any > 42005, Vn > 2 (1) Mat khac: a, = —+ 1 2005 5 a 2 2a,, < 1 + 1 =1, Vn>2 2 2
=a, <a„,;, Van>2
Từ (1), (2) = {a,} 1a dãy giảm và bị chặn dưới bởi V2005 nên
Trang 7
(7) Cho dãy s6 {x,} bi ch4n va théa man diéu kién
Vn21
n+2? X, +X, 22x
x, = 2007
Chứng minh rằng dãy số {x } có giới hạn hữu hạn và tim
giới hạn đó
Giải
Goi A là một chặn dưới của {x } khi đó:
A, = Max{x,,x,,}2A, VneN
Do:
A, = Max{x,,X,,;} “Max [x,,xuuy ấn Xe 5 n+
xX +X
>Max4x ,,—h——*#L, > MaxÍx ,,x n+l 2 n+l n+2 =A n+1
= {A„} là dãy giảm và bị chặn đưới nên có giới hạn hữu hạn B Ta chứng minh rằng lim x, =B_
Từ chứng minh trên: lim „ = B nên:
Ve>0O, INEN: n2N=>B-— <A, <B+e
Do đó: vm >N thì xạ ¡ < „- < B+
z € `
e Nếu Xin >B "3 thi
B-= <x, SA, <B+= (1)
v & ° Z
Trang 8= B-e<x, <B-= (2) Từ (1) và (2) suy ra: B-ec<x„<B+e, Vm>N Vậy: lim x,, = B m+œ
Cho {C.x/1<k<n;k,n eZ'} c R thỏa mãn: a C,, > 0,khi n > +0 (Vk € N)
b —> 1,khi n — +œ
kel
C > Coal <C=const,VneR
k=1
Khi đó : Nếu {a,} hội tụ thì tb, = Sc cũng hội
k=1 tu va lim a, = lim b, (Dinh ly Taeplitz)
Giải:
Giải sử lim a, =a
Khi đó: s Tơn tại hằng số D >0 : |a„ - a| < 0,Vn eÑ
a gs €
e Với ¢ > 0, tén tai n, €N:/a, =a|< —›Vn > n, c
n
< Sˆz|C,u la, -—al+ > (Cox -a|
Trang 9Do lim C 1 axI=0
Nên tôn tại m eÑ: > sal < 355 ,Vn >m, (2)
(với £ được xét ở trên)
- Từ (1) và (2) = >,C„x(ay, -a) < D5 _|C,v +e k=1 k=1 <D— += =6,vn>n,+n, 2D 2 => lim >0, -a)= — n->+œ
= lim b, = lim Seu —8)+aŠ 0, |
na+o n->+0
=0+al=a
Cho {C, /1<k<n;k,ne Z) c{|0,+=) thỏa mãn :
a C,, >0,khin->+o (VkeN)
b >, Cax 21 khi n > +00
k=1
Khi dé : Néu {a,} hdi tu thi {b, = 3.04} cũng hội tụ
k=1 va lima, = lim b, n¬—<+œ n>+œ (Hệ quả định ly Toeplitz) Giải n
Do 3 C,y >1= Dãy s Ca] bi chan
k=l k=1
=> Day 1SIc l) bi chan (c)
Trang 10(Do C;„ >0,Vn,k € N) Từ (a), (b), (c) — (ĐPCM) (Do định lý Toeplitz) (4) Chứng minh rằng : Nếu a,+a,+ +a n
lim a, =a thi lim =a
n~>+œ n->+0 n
Giải
Sit dung dinh ly Toeplitz voi C,, = Ì;k =1,9, n “on
Khi đó : lim 22 2827+-* 45 - lim S`C, vay =a
T>+22 n Noe
Chung minh rang : Néu
lima, =a thi lim na, +(n 13, + + la, — 8
n>+0 n>+0 , n 2 Giải Dat : : Ca k "` n : Khi đó : « 0<C , >0,VkeÑ e = 2y n-k+i k=1 k=1 n 1 2n n (khi n > +0)
Theo đó theo định lý Taeplitz:
n—-z
n
lim 5 C,,.ay =a
k=l
Vay lim 22+ (n - Da, + ,T+ la, _ a
n>+0 n 2
Trang 11
Chứng minh rằng : Nếu day dương {an} hdi tu vé a
dương thì
Cách I :
Ta c6: Ina, -> Ina Nén theo bài 41, ta có : Ina, +Ina,+ + Ina, —>Ìna
Trang 12
44) Cho day sé {a,} Chttng minh rang
lim 221 = a > 0 thi lim Va, =a
n—->+œ an n->+œ Giải a, Đặt bạ = ,n22 (=> lim b, =a) an-i n->+œ Theo bài 43, ta có: lim x#b,bạ b„ =a n->+00
Vay: n->+00 lim ga, =a
Cho {a,} va {b,} 1a day số thỏa mãn:
a b, >0, VneN b lim(b, + b, + + b,) = +00 n—=+œ c lima, =a n- +0 , và a,b, + + +a,b Chứng minh rằng: lim 1bị + A;b; non
n>+e Dị + bg + +B, =a
Giai
Dat: C,, =———Pe_ — 1<k<mkmeZ
“ pb, +b, + +b, Ta có: C.„>0, V1<k<n; kjneZ lim C,, =0, VkeNÑ n—>+00 YC, =1 k=1
Do đó theo dinh ly Toeplitz: lim NO, vay = a
k=l n>+0 “=
Trang 13a,b, +a,b,+ +a,b
c lim 1“ 1 2” 2 n "=a
n> = oh, + by + + bd,
Cho {a,} va {b,} 1a hai day théa man: a b, >0, VneN b lim (b, + bạ + + b„) = +œ lim —2 =e c aie b ` 8,+8.+ +a 2 Me : ] 1 2 n =c Chứng minh rằng web, +b, + 4b, Giai
Dat C,, ot , i1<k<n; k,neZ bị + bạ +: + bạ Ta có: C;„>0, V1<k<n; kneZ lim =0, VkeNÑ 5C k=1
Do dé theo dinh ly Toeplitz: lim Xu as =c kel n>+0 a,ta,+ +a, no h +b, + +b,
Cho 2 dãy số {a,} va [b,} théa mãn:
a {b,} tang thực sự tới +» b lim bob n~>++ b, — bạ =ec `
Khi đó: Jim 5 = = (Dinh ly Stobz)
Trang 14Giai xX, = By T And n>2 Đặt: b, ~ Đụ Yn =b, -b, 4, n22 Nhu vay: y, >9, Vn21
lim(y, +y,+ +y,) = lim(b-— b,) = +0
lim x, =e
n> +e
Do đó theo định lý bài 45, ta có:
lim Š£⁄2 + XạYs + † XuYn more Vy TYa + + Yn ara = lim ———++ = n->+0 b, -b, a, a by +b, = lim =c > lim—-=c n> +00 1- b, no+e b b, Vay: lim —2 =c N-++00 y„ =vn Khi đó:
Trang 151
X.-x J
lim —2——2=! = lim n
nrwmy-y,, aoe Jyn-Jn-1
Vn+Vn-1
= lim _=2
n>+œ Vn
Do đó, theo định lý Stobz: lim =2
Chứng minh rằng: Nếu day {a,} thoa mãn
¬ lim(a,,,-a,) =a thi jim —* =a
Giai
X, = a,
Dat: (n 21)
Yn, =N
Khi đó:
ly,) 1a day tăng thực sự tới +œ
lim Š#—Ấ*! = lim(a, =a,,)=a
mY Yq BO |
Do đó, theo dinh ly Stolz: lim ** =a ì>+œ Yn
Trang 16
Khi đó
ty,} tang thực sự tới +
(vir + Yee = 24 vỊ, vn>| 1 jn ,
y, n+l a-l
(với , | là phần nguyên của )
=1 a-l
+ y „a Hr(a-DỊ
n n
` C?(a —1)7 _ (n - 13a - 1)” 5 400 (khi n —> +0 ))
n 2
an 1
X, —~X `
lim 2 nol — lim —r——— = n> Y — Vn_ n>+o 8 _ a a-l n n—Ì Do đó, theo stobz: ịn a? a? lim 7) at—t+ t— n>+0 g™* 2 n ._ Xu ¬ = lim — = nom y a-l
G1) Cho {C,,/1<k <n; k,n € Z} Ching minh rang:
Néu lim S0 xay =a, V day {a } thỏa lima, =a (ae R) k=1
thi
(i) limC,, =0, VkeN Gi) n->+œ kel lim >C,,=1
(iii) Tôn tại hằng số c > 0 sao cho:
3 |ca„|<c, VaeÑ
= (Điều ngược lại của dinh ly Toeplitz)
Trang 17
Giải
Lay a, = 1, vneN = lim 9 O,, = lim 1G, a, =aal
n—>+œ n->+œ
= (ii) đóng
1ln=@
Lay af =|) ,n# £ => lima” =0, VleN n->»+œ
= 0= lim 30a” =0, VleN
" =>0=limC,, n->+0 , =» Gi) dung Giả sử (11) sai, tức là: ny + dn, eN: > k=1 2 Ca, | >10
Ta xây dung dãy {a,} có n, số hạng đầu tiên như sau:
siønC,„ „ = Siøna,
1 (k =1,n,)
lax| = 10
Khi đó: 0, vây = oe Cay „| > 10
k=1
nỊ
Theo (i) Jn, <n, EN: Can
k=l n,k “ik q <= 10 ,
Vn >n,
+ Cũng do (1i) giả sử sai, nên in, <n,eÑ: 0
>.IC ng,k |>10'+10+1
Ta xây dựng n, số hạng tiép theo cua day {a,} nhu sau:
signC,, „ = signa,
1 (k =n, +1,n,)
Trang 18ng no
Khi đó: 3.C,, vầy = Cy, vây + ` Cay ek
k=1 k=ni+l
11
> Ay hay +10+1—1) =10? 10 10°
+ Giả sử ta xây dung duge n, (n, <n, < <n,) số hạng tiếp theo của dãy {a,} thỏa:
signC, , =signa, (k=n,,+l.n,) eal G97 nye t YC, ay > 10° k J ne mm tạ ¬ a _
+ Theo (i) an, <n.eN: 3 |C,„|<1, Vn>n,
kel
In,
=> de a ale
Cing do (ili) gia sử sai, nên Jn, <n,,, EN: i Vn > n
10
Nha
` |C,,.,|> 1022 +10 +1
Ta xây dựng n,,, số hạng tiếp theo của dãy {a } như sau: signC, ¡ = SIgna,
1 Œk=n,+1, n,.¡)
la,| = 10°*}
nfad nye n+
Khi đó » Carat cay = Su, 1,” -Ay + » Cara «Ak
k=1 k=n¢+l1
Trang 191 1 H/+1 Tar tapi 10° 10 ze
1 >———+
10° io" „
Như vậy theo giả thiết quy nạp, ta xây dựng 2 dãy la } và > C, yay thỏa: a=l1 " (107? +10 +1-— 1) = 10” lima, =a N->490 lim Cu a Ned + nk
(Trong đó: l Cy là một dãy con của ŠC,a,))
fol hed
Điều này mâu thuẫn với gia thiét Vi vay (iii) dung
Cho day {a,} thỏa lim Š=+ = q Chứng minh rằng:
n-»+z a n
a Nếu q< 1 thì lim a, =0
n>+e
b Néu q > 1 thi lim |a„ | = +00
noọ+œ
Giải
Ve € (0,1-q) Ta co: lim [201 =q<qtie<l
n-»++z a n
n+l
Suy ra, tổn tai n, e N: <qte, Vn2n,
Trang 20Vec(o,q -1) Ta có: lim Bost a, n->+0 =q>q-E>l Anat >q-s, Vn2n,
Suy ra, tồn tại n, eÑ:
n
= |aa| >(q—)"""»la, |, Vn >n,
Do: lim(q - e)°""» la, |= +œ
n->+œ °
Nên lim |a„| = +00
n->+œ /
6s) Cho day {a,} théa lim ala, | = q Chứng minh rằng:
a Nếu q < 1 thì lima, =0
n->»+eo
b Nênq>1thì lim |aa| = +00
208
Giải
Ve ce(0,1- q), ta có lim ga„|=q<q+ <1
Suy ra, tôn tại n, eÑ: gja,| <a+e, Vn>n, = laa|<(q+£)", Vn>n,
Mà: lim(q +e)" =O nén lima, =0
n—+œ n->+œ
Ve €(0,q -1) Ta cé: lim ya, =q>q-e>l
Suy ra, tổn tại n, eÑ: yaa >q~£, Vn>n, = |aa >(q-£)°, Vn>n,
Do lim(q-e)” =+œ nên lim |a„| = +
Trang 2164) Chứng minh rằng không tôn tại lim sinn n~>+œ
Giải
Giả sử giới hạn dãy số {a } tôn tại Khi đó:
0 = lim [sin(n + 2) - sin n]= 2sin1 lim cos(n + 1)
n>+œ
= lim eosn =0 (1)
n-> +00
= lim [cos(n + 2) - cos n| = —2sin1 lim sin(n + 1)
n—>+© 1 +œ
=> lim sinn= 0 (2)
n—+œ
- Từ (1) va (2) > 1= lim (sin n + cos” n)
= lim sin’ n + lim cos’n = 0 (v6 ly) n—+œ n->+eo
Vậy, giới hạn của {sinn) không tôn tại
65) Tính lim n(Ve -1) n->+0
_Giải
r 1 n 1 m+1
Ta có: il+—| <e<|ll+— , VneN
n n
(Bạn đọc kiểm tra bất đẳng thức kép này)
1 1+— e14t<Ơe<(142) n n 1 1+ â1l<n(e-1)<n (1-2) ° —1 n 1
Hơn nữa: (a + +} <1+-4 (Do BDT Bernoulli)
n n
11 1 1 1 1 1
NI "s[t+zl[t+zp]=itÈ+z+s