4 Định p để trên C có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng p, trong trường hợp này chứng tỏ trung điểm của hai tiếp điểm là điểm cố định.. II PHẦN I I.Trong phần này cho tham số m thay đổi.[r]
(1)ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC (Trung tâm Luyện thi đại học Vĩnh Viễn) Giả sử : y = ax3 + bx2 + cx + d với a có đồ thị là (C) y’ = 3ax2 + 2bx + c, y” = 6ax + 2b −b 1) y” = x = a (a ) −b x = a là hồnh độ điểm uốn Đồ thị hàm bậc nhận điểm uốn làm tâm đối xứng 2) Để vẽ đồ thị hàm số bậc 3, ta cần biết các trường hợp sau : i) a > và y’ = vô nghiệm hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng) ii) a < và y’ = vô nghiệm hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm) iii) a > và y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 hàm số đạt cực đại x1 và đạt cực tiểu x2 Ngồi ta còn có : + x1 + x2 = 2x0 với x0 là hồnh độ điểm uốn + hàm số tăng trên (, x1) + hàm số tăng trên (x2, +) + hàm số giảm trên (x1, x2) iv) a < và y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 hàm đạt cực tiểu x1 và đạt cực đại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 là hồnh độ điểm uốn) Ta có : + hàm số giảm trên (, x1) + hàm số giảm trên (x2, +) + hàm số tăng trên (x1, x2) 3) Giả sử y’ = có nghiệm phân biệt và y = k(Ax + B)y’ + r x + q với k là số khác 0; thì phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là y = r x + q 4) (C) cắt Ox điểm phân biệt ¿ y ' =0 coù nghieäm phaân bieät x , x y ( x 1) y (x )< ¿{ ¿ (2) 5) Giả sử a > ta có : i) (C) cắt Ox điểm phân biệt > ¿ y '=0 coù nghieäm phaân bieät thoûa α < x 1< x2 y ( α )< y( x1 ) y (x 2)<0 ¿{{ ¿ ii) (C) cắt Ox điểm phân biệt < ¿ y '=0 coù nghieäm phaân bieät thoûa x < x 2< α y ( α )>0 y ( x1 ) y (x 2)< ¿ {{ ¿ Tương tự a < 6) Tiếp tuyến : Gọi I là điểm uốn Cho M (C) Nếu M I thì ta có đúng tiếp tuyến qua M Nếu M khác I thì ta có đúng tiếp tuyến qua M Biện luận số tiếp tuyến qua điểm N không nằm trên (C) ta có nhiều trường hợp 7) (C) cắt Ox điểm phân biệt cách y’ = có nghiệm phân biệt và y(x0) = (x0 là hồnh độ điểm uốn) 8) Biện luận số nghiệm phương trình : ax3 + bx2 + cx + d = (1) (a 0) x = là nghiệm (1) Nếu x = là nghiệm (1), ta có ax3 + bx2 + cx + d = (x - )(ax2 + b1x + c1) nghiệm (1) là x = với nghiệm phương trình ax2 + b1x + c1 = (2) Ta có các trường hợp sau: i) (2) vô nghiệm thì (1) có nghiệm x = ii) (2) có nghiệm kép x = thì (1) có nghiệm x = iii) (2) có nghiệm phân biệt thì (1) có nghiệm phân biệt iv) (2) có nghiệm x = và nghiệm khác thì (1) có nghiệm v) (2) có nghiệm kép thì (1) có nghiệm BÀI TẬP ÔN VỀ HÀM BẬC Cho họ đường cong bậc ba (C m) và họ đường thẳng (Dk) có phương trình là y = x3 + mx2 m và y = kx + k + (I) PHẦN I Trong phần này cho m = Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số (3) 1) Gọi A và B là điểm cực đại và cực tiểu (C) và M là điểm trên cung AB với M khác A , Bø Chứng minh trên (C) ta tìm hai điểm đó có tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến M với (C) 2) Gọi là đường thẳng có phương trình y = Biện luận số tiếp tuyến với (C) vẽ từ E với (C) 3) Tìm E để qua E có ba tiếp tuyến với (C) và có hai tiếp tuyến vuông góc với 4) Định p để trên (C) có tiếp tuyến có hệ số góc p, trường hợp này chứng tỏ trung điểm hai tiếp điểm là điểm cố định 5) Tìm M (C) để qua M có tiếp tuyến với (C) (II) PHẦN I I.Trong phần này cho tham số m thay đổi 6) Tìm điểm cố định (Cm) Định m để hai tiếp tuyến hai điểm cố định này vuông góc 7) Định m để (Cm) có điểm cực trị Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị 8) Định m để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt 9) Định m để : a) hàm số đồng biến (1, 2) b) hàm số nghịch biến (0, +) 10) Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm có hồnh độ tạo thành cấp số cộng 11) Tìm điều kiện k và m để (D k) cắt (Cm) điểm phân biệt Tìm k để (Dk) cắt (Cm) thành hai đoạn 12) Viết phương trình tiếp tuyến với (Cm) và qua điểm (-1, 1) 13) Chứng minh các tiếp tuyến với (Cm) thì tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn BÀI GIẢI PHẦN I : m = Khảo sát và vẽ đồ thị (độc giả tự làm) 1) Gọi n là hồnh độ M Vì hàm số đạt cực tiểu x = và đạt cực đại x = nên < n < 2; y' = – 3x + 6x hệ số góc tiếp tuyến M là k1 = – 3n2 + 6n (0, 3] (vì n (0, 2)) Đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến M có hệ số góc là k2 = − k1 (với < k1 3) Hồnh độ tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến M là (4) nghiệm – 3x2 + 6x = − k1 (= k2) 3x2 – 6x − k1 = Phương trình này có a.c < 0, k1 (0, 3] nên có nghiệm phân biệt, k1 (0, 3] Vậy trên (C) luôn có điểm phân biệt mà tiếp tuyến đó vuông góc với tiếp tuyến M 2) E (e, 1) Phương trình tiếp tuyến qua E có dạng y = h(x – e) + (D) (D) tiếp xúc (C) hệ − x 3+ n2 −3=h( x − e)+ −3 x 2+ x=h { có nghiệm Phương trình hồnh độ tiếp điểm (D) và (C) là : – x3 + 3x2 – = (– 3x2 + 6x)(x – e)+ (1) – x + 3x – = x(– 3x + 6)(x – e) (x – 2)(x2 – x – 2) = 3x(x – 2)(x – e) x = hay x2 – x – = 3x2 – 3ex x = hay 2x2 – (3e – 1)x + = (2) (2) có = (3e – 1) – 16 = (3e – 5)(3e + 3) (2) có nghiệm x = – 2(3e – 1) + = e = Ta có > e < – hay e > Biện luận : i) Nếu e < – hay < e < hay e > (1) có nghiệm phân biệt có tiếp tuyến ii) Nếu e = – hay e = hay e = (1) có nghiệm có tiếp tuyến iii) Nếu – < e < (1) có nghiệm có tiếp tuyến Nhận xét : Từ đồ thị, ta có y = là tiếp tuyến (2, 1) nên phương trình (1) chắn có nghiệm x = 2, e 3) Vì y = là tiếp tuyến qua E (e, 1), e và đường x = không là tiếp tuyến nên yêu cầu bài tốn (2) có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa : y'(x1).y'(x2) = – x , x laønghieäm cuûa (2) (−3 x 21 +6 x 1)(−3 x 22 +6 x 2)=− { e<− 1∨ e> (5) 3 e −1 x1 + x 2= x x2 =1 x x ( x − 2)( x − 2)=−1 { 9[1−(3 e − 1)+ 4]=−1 55 55 = 27 Vậy E 27 , { e<−1 hay e > e e<−1 hay e > ( ) 4) Tiếp điểm tiếp tuyến (với (C)) có hệ số góc p là nghiệm : y' = p 3x2 – 6x + p = (3) Ta có ' = – 3p > p < Vậy p < thì có tiếp tuyến song song và có hệ số góc p Gọi x3, x4 là nghiệm (3) Gọi M3 (x3, y3); M4 (x4, y4) là tiếp điểm Ta có : x + x −b = =1 2a y + y −( x 33 + x 34 )+ 3(x 23+ x24)−6 = =−1 2 Vậy điểm cố định (1, –1) (điểm uốn) là trung điểm M3M4 5) Cách : Đối với hàm bậc (a 0) ta dễ dàng chứng minh : M (C), ta có : i) Nếu M khác điểm uốn, ta có đúng tiếp tuyến qua M ii) Nếu M là điểm uốn, ta có đúng tiếp tuyến qua M Cách : Gọi M(x0, y0) (C) Phương trình tiếp tuyến qua M có dạng : y = k(x – x0) − x 30 +3 x 20 − (D) Phương trình hồnh độ tiếp điểm (D) và (C) là : x3 3x ( x x)( x x0 ) x03 3x02 (5) 3 2 x − x −3( x − x )+(x − x 0)(− x +6 x)=0 x − x =0 ∨ x 2+ xx + x 20 −3 x −3 x − x +6 x=0 x=x hay x −(3+ x ) x − x 20 +3 x0 =0 x=x hay ( x − x 0)(2 x+ x −3)=0 x=x hay x= − x0 Do đó, có đúng tiếp tuyến qua M (x0, y0) (C) x 0= 3− x ⇔ x 0=1 (6) Suy ra, y0 = Vậy M(1, –1) (điểm uốn) Nhận xét : vì x0 là hồnh độ tiếp điểm nên pt (5) chắn có nghiệm kép là x0 Phần II : Tham số m thay đổi y' = – 3x2 + 2mx 6) (Cm) qua (x, y), m y + x3 = m (x2 – 1) , m ¿ x −1=0 y + x 3=0 ⇔ ¿ x=1 y=−1 hay ¿ x=−1 y=1 ¿{ ¿ Vậy (Cm) qua điểm cố định là H(1, –1) và K(–1, 1) Vì y' = – 3x2 + 2mx nên tiếp tuyến với (C m) H và K có hệ số góc là : a1 = y'(1) = – + 2m và a2 = y'(–1) = –3 – 2m tiếp tuyến H và K vuông góc ± 10 a1.a2 = – – 4m2 = – m = √2 7) Hàm có cực trị y' = có nghiệm phân biệt 3x2 = 2mx có nghiệm phân biệt 2m x = và x = là nghiệm phân biệt m Khi đó, ta có : y= ( 29 m x −m )+( 13 x − 19 m ) y ' và phương trình đường thẳng qua cực trị là : 2 y= m x − m (với m 0) 8) Khi m 0, gọi x1, x2 là nghiệm y' = 0, ta có : 2m x1.x2 = và x1 + x2 = y(x1).y(x2) = ( 29 m x −m )( 29 m x − m) 2 2 4 = − m (x + x 2)+m = − 27 m + m Với m 0, ta có y(x1).y(x2) < m 1 27 (7) 27 3 m 2> ⇔|m|> √ Vậy (Cm) cắt Ox điểm phân biệt { y '=0 coù nghieäm phaân bieät x , x y (x 1) y (x )< 3 |m|> √ Nhận xét : 3 i) Khi m<− √2 thì phương trình y = có nghiệm âm và nghiệm dương 3 ii) Khi m> √2 thì phương trình y = có nghiệm dương và nghiệm âm 9) a) Hàm đồng biến trên (1,2) – 3x2 + 2mx 0, x (1,2) Nếu 2m m ta có hồnh độ điểm cực trị là và [ i) Nếu m < thì hàm đồng biến trên 2m ,0 ] Vậy loại trường hợp m < ii) Nếu m = hàm luôn nghịch biến (loại) [ iii) Nếu m > thì hàm đồng biến trên Do đó, ycbt m > và [ [1,2]⊂ 0, 2m 2m 0, 2m ] ] ≥ ⇔m≥ b) Từ câu a, ta loại trường hợp m > Khi m ta có hàm số nghịch biến trên ¿ và hàm số nghịch biến trên [0, +) Vậy để hàm nghịch biến trên [0, +) thì m Ghi chú : nên lập bảng biến thiên để thấy rõ ràng m 10) y" = – 6x + 2m , y" = x = (Cm) cắt Ox điểm cách y = có nghiệm phân biệt và điểm uốn nằm trên trục hồnh 3 |m|> √ { { 3 |m|> √ ⇔ m m m2 y =0 − +m − m=0 27 ( ) (8) { 3 |m|> √ 2 2m −1=0 27 ⇔ m= ±3 √ 11) Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) và (Dk) là – x3 + mx2 – m = kx + k + m(x2 – 1) = k(x + 1) + + x3 x + = m(x – 1) = k + – x + x2 x = – hay x2 – (m + 1)x + k + m + = (11) a) Do đó, (Dk) cắt (Cm) điểm phân biệt (11) có nghiệm phân biệt khác – 1+m+1+k +m+1 ≠0 ¿ m+ 1¿ − 4(k +m+1)> ¿ ¿ k ≠− m −3 (*) k < m2 −2 m− { b) Vì (Dk) qua điểm K(–1,1) (Cm) nên ta có : (Dk) cắt (Cm) thành đoạn (Dk) qua điểm uốn m3 m − m=k +1 +1 27 3 m − 27 m− 27 k= 9(m+3) ( m 2m ; −m 27 ) (Cm) ( ) (**) Vậy ycbt k thỏa (*) và (**) 12) Phương trình tiếp tuyến với (Cm) qua (–1,1) có dạng : y = k(x + 1) + (Dk) Vậy, phương trình hồnh độ tiếp điểm (Dk) và (Cm) là : – x3 + mx2 – m = (– 3x2 + 2mx)(x + 1) + (12) 2 m(x – 1) = (– 3x + 2mx)(x + 1) + + x x + = m(x – 1) = – 3x2 + 2mx + – x + x2 x = – hay 2x2 + (1 – m)x – m – = (13) m+1 x = – x= y' (–1) = – 2m – y' m+ m+1 m+ =− +2 m 2 ( ) ( ) ( ) = (m2 – 2m – 3) Vậy phương trình tiếp tuyến qua (–1, 1) là : y = – (2m + 3)(x + 1) + 1 y = (m2 – 2m – 3)(x + 1) + (9) Nhận xét : Có tiếp tuyến tiếp điểm (–1, 1) nên phương trình (12) chắn có nghiệm kép là x = – và phương trình (13) chắn có nghiệm là x = – 13) Các tiếp tuyến với (Cm) tiếp điểm hồnh độ x có hệ số góc là : h = – 3x2 + 2mx b m Ta có h đạt cực đại và là max x=− a = (hồnh độ điểm uốn) Vậy tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn Nhận xét : ( −3 x + mx=−3 x − m m2 m + ≤ 3 ) Ghi chú : Đối với hàm bậc y = ax3 + bx2 + cx + d, ta có : i) Nếu a > thì tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc nhỏ ii) Nếu a < thì tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn (Trung tâm Luyện thi đại học Vĩnh Viễn) (10)