De thi DH Khoi A cuc hay

Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị C, biết rằng các tiếp tuyến này đi qua điểm A0; 2 Câu II.. 2 Giải bất phương trình:.[r]

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỔ TOÁN ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 MÔN TOÁN – KHỐI D (Thời gian làm bài: 180 phút) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y  x  x  Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị (C), biết các tiếp tuyến này qua điểm A(0; 2) Câu II (2,0 điểm) 2 Giải bất phương trình: x  3.2 x   s inx+cosx  Giải phương trình: 2log x  log  x 6   2sin x  cot x  1       sin   x   sin   x    4  4  x x I  dx x  Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a, tam giác SAC cân S, góc SBC 600 , mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC x  x  x  m x  0   Câu V (1,0 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần phần 2) Theo chương trình Chuẩn: Câu VI.a (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A   1;  1;0  , B  1;  1;  , C  2;  2;1 , D   1;1;1 Tính góc và khoảng cách các đường thẳng AB và CD    là mặt phẳng qua D và cắt ba trục toạ độ Ox, Oy, Oz tương ứng các Giả sử điểm M, N, P khác gốc O cho D là trực tâm tam giác MNP Hãy viết phương   trình mặt phẳng Câu VII.a (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn ab + bc + ca = 1 1    2  a  b  c   b  a  c   c  b  a  abc Chứng minh rằng: Theo chương trình Nâng cao: Câu VI.b (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A   1;  1;  , B  1;  1;  , C  2;  2;1 , D   1;1;1 , E  4; 2;1 Tính góc và khoảng cách các đường thẳng AB và CD Giả sử   là mặt phẳng qua E và cắt tia Ox M, tia Oy N, tia Oz P Viết    tứ diện OMNP có thể tích nhỏ phương trình mặt phẳng 10  3  x 0  1  x  10 x  Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm hệ số x khai triển  -Hết TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỔ TOÁN ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 MÔN TOÁN – KHỐI D Câu I Đáp án Điểm 2,00 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1,00 điểm) y x  x  Tập xác định D  y ' 4 x3  x 4 x  x  1 Sự biến thiên:  x 0 y ' 0  x  x  1 0   x   x 1 0,25 Bảng biến thiên x y’ y – – –1 + + 0 – + 0,25 + + yCT  y   1  y  1 1, yCD  y   2 0,25 Đồ thị: y 0,25 –1 Viết phương trình tiếp tuyến (1,00 điểm) x A  0;  Phương trình đường thẳng (d) qua điểm có hệ số góc k là: y kx  (d) là tiếp tuyến đồ thị (C) và HPT:  x  x  kx   1   x  x k   có nghiệm Từ (1) và (2) suy ra: x  x   x  x  x  0,25 0,25  x  x 0  x 0  x 0   2  x  x    3 * Với x = 0, thay vào (2) ta k = 0, ta có PTTT 6 x  k , thay vào (2) ta , * Với  d2  : y   d1  : y 2 x2 ta có PTTT 6 x k  , thay vào (2) ta , * Với x2  d3  : y  ta có PTTT II 0,50 2,00 Giải bất phương trình (1,00 điểm) 2 x  3.2 x  2log x  log  x 6   1 1 Điều kiện: x > (*) Khi đó: 0,25 x  3.2 x  x   1   log x  log  x    log  x  3.2 x     x x x log  x  3.2 x    3.2   Vì , nên 0,25 Do đó     log x  log  x      log x  log  x   0,25  x  x 6  x  x    x   2 x  Đối chiếu với điều kiện (*), ta x > Vậy nghiệm bất phương trình là x > Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm) 0,25  s inx+cosx   2sin x  cot x Điều kiện: PT       sin   x   sin   x    1   4  4  s inx 0  * 0,25  1    2s inxcosx  2sin x  sin x    2cos   x  s inx  1 4      sin x  cos2x  sin x  2cos   x  s inx 4       2cos  x   sin x  2cos  x   4 4        s inx 0,sin2x+cos2x= 2cos  x       3         x    k  x   k   cos  x   0          x   m.2  x   m.2  s inx=1   2 III Đối chiếu điều kiện (*) ta có nghiệm phương trình là: 3   x   k ; x   m.2  k , m  Z  2 Tính tích phân x x I  dx x  0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 Đặt t  x   x t  1; dx 2tdt Đổi cận: x 1  t 0; x 2  t 1 2t  t  1  I  dt t  0,25 5   2 t     dt t  t 2 0 IV  t3 t  2   5t  5ln  t 2  3 Tính thể tích  0,25 32  10 ln 3 0,25 1,00 S A C H B Gọi H là trung điểm AC, suy Áp dụng định lí hàm SC SB  a  a.SB  1 số SH   ABC  côsin 0,25 tam giác 0,25 a2 3a 2 SC SH  SB SH  và (2) 2 Từ (1) và (2) suy ra: a.SB  3a 3a a  SB   SH  2 0,25 1 a a a3 VS ABC  SH dt  ABC    3 Do đó Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực V SBC: 0,25 1,00 x3  x  x  m x  0  1   m Đặt  x3  x  x t x  1  m x x2 1  x2   x  1  x x2  x2 1 x2 1   x 1  t  x 1 , 2 Ta có phương trình : t  t m    1 t ;  f  t  t  t  2 Xét hàm số , với  1 t ;  f '  t  2t 1 0  2 , Ta có với  1   ;  nên f(t) đồng biến trên 0,25 0,25 0,25  1 1 f     f  t  f      f t  4  2 Do đó tập giá trị f(t) là   Vậy phương trình (1) có nghiệm thực và phương trình (2) 0,25  1  m    ;  có nghiệm thuộc đoạn , đó VI.a 2,00 Tính góc và khoảng cách hai đường thẳng (1,00 điểm)   AB  2;0;  , CD   3;3;0  Ta có    AB.CD cos  AB,CD   cos AB, CD   AB.CD  Ta có  Vậy góc AB và CD 60   0,50    AB  2;0;  , CD   3;3;0  , AC  3;  1;1      AB, CD    6;  6;6  ,  AB, CD  AC  0    AB, CD  AC    d  AB, CD     108  AB, CD       (1,00 điểm) Viết phương trình mặt phẳng M  m;0;0  , N  0; n;0  , P  0; 0; p  mnp 0 Xét các điểm với     DP  1;  1; p  1 , NM  m;  n;0   DP.NM m  n        DN  1; n  1;  1 , PM  m;0;  p   DN PM m  p   Ta có x y z    qua các điểm M, N, P là: m  n  p 1 Phương trình mặt phẳng 1 1   1 D   Vì nên m n p Dlà trực  tâm của tam giác MNP và khi:  DP  NM  DP.NM 0     p n  m    DN  PM  DN PM 0 Do đó m  3, n  p 3 x y z    là:    1 Vậy Phương trình mặt phẳng VII.a Chứng minh bất đẳng thức Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 ab  bc  ca 3  abc   abc 1   a  b  c  abc  a  b  c  a  bc  ab  ac  3a  0,25 0,25 0,25 1   a  b  c  3a 1 1    b  a  c  3b  c  b  a  3c Chứng minh tương tự ta : , 0,25 Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được: 1 1 1       2  a  b  c   b  a  c   c  b  a  3a 3b 3c 0,25 bc  ca  ab   3abc 3abc abc VI.b 2,00 Tính góc và khoảng cách hai đường thẳng (1,00 điểm)   AB  2;0;  , CD   3;3;0  Ta có    AB.CD cos  AB,CD   cos AB, CD   AB.CD  Ta có  Vậy góc AB và CD 60      AB  2;0;  , CD   3;3;0  , AC  3;  1;1      AB, CD    6;  6;6  ,  AB, CD  AC  0    AB, CD  AC    d  AB, CD     108  AB, CD    0,25 0,25    (1,00 điểm) Viết phương trình mặt phẳng M  m; 0;  , N  0; n;  , P  0;0; p  Xét các điểm với m  0, n  0, p     qua các điểm M, N, P là: Phương trình mặt phẳng x y z   1 m n p   1  4np  2mp  mn mnp  1 E  4; 2;1     m n p Vì nên 1 4np  2mp  mn VOMNP  mnp   8m2 n p  m n p  VOMNP 36 dấu xảy và : 4np = 2mp = mn (2) Kết hợp (1) và (2) ta tìm : m = 12 ; n = ; p = x y z    là: 12   1 Vậy Phương trình mặt phẳng VII.b 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 10 Tìm hệ số x 10 10 10  3 1     x   x  x  C10k x   x3      x  k 0 Ta có:   10  k  C10k   Cki x  k 0  i 0    k 10 i   k  x   C10k   Cki x  k 4i   k 0  i 0  10 Ta xét số hạng chứa x , đó  k  4i 10 , với k 10 và i k Có hai trường hợp: i = 4; k = và i = 5; k = 10 0,25 k i     10 10 Vậy khai triển ta hệ số x là: C10C6  C10 C10 3402 0,25 0,25 0,25