De thi DH khoi A nam 2005 co dap an

Vì y laø haøm soá höõu tæ coù heä soá goùc cuûa tieäm caän xieân döông neân hoaønh ñoä ñieåm cöïc ñaïi nhoû hôn hoaønh ñoä ñieåm cöïc tieåu (hoaëc döïa vaøo baûng bieán thieân).. Goïi (C[r]

ĐỀ THI ĐH,CĐ KHỐI A NĂM 2005

Câu I: ( điểm) Gọi (Cm) đồ thị hàm số y = mx + 1x (*) ( m tham số ) 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (*) m = 14

2 Tìmm để hàm số (*) có cực trị khoảng cách từ điểm cực tiểu (Cm) đến tiệm cận xiên (Cm)

√2

Câu II: ( điểm)

1 Giải bất phương trình : √5 x −1 −√x −1>√2 x − 4 Giải phương trình : cos23x.cos2x – cos2x = 0 Câu III: (3điểm)

1.Trong mp với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d1: x – y = d2: 2x + y –1 = Tìm toạ độ đỉnh hình vng ABCD biết đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 đỉnh B, C thuộc trục hoành

2 Trong kgian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d : x −1−1 =y+3 =

z −3

1 mp(P) : 2x + y – 2z + = a) Tìm toạ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mp(P)

b) Tìm toạ độ giao điểm A đthẳng d mp(P) Viết ptrình tham số đthẳng ∆ nằm mp(P), biết ∆ qua A vng góc với d

Câu IV: (2 điểm) Tính tích phân : I = ∫ π

sin x+sin x √1+3 cos x dx

2 Tìm số nguyên dương n cho : C2 n +11 − 2C2 n+12 +3 22C32n +1− 23C2 n+14 + +(2 n+1).22 nC2 n +12 n +1=2005 ( Cnk tổ hợp chập k n phần tử )

Câu V: (1 điểm) Cho x, y, z số dương thoả mãn 1x+1 y+

1

z=4 CMR :

2 x + y +z+ x+2 y +z+

1

x + y +2 z≤ 1

Caâu I: ( điểm) MXĐ : D = R\ {0} ; y’ = m –

x2 ; y’ =  mx

2 = (a) Y có cực trị  (a) có nghiệm phân biệt  m >

Khi : (a) có nghiệm x = ±

√m Vì y hàm số hữu tỉ có hệ số góc tiệm cận xiên dương nên hoành độ điểm cực đại nhỏ hoành độ điểm cực tiểu (hoặc dựa vào bảng biến thiên) Do A

m √m, 2√¿

¿

điểm cực tiểu (Cm)

Tiệm cận xiên (Cm) d : mx – y = Ta coù : d(A,d) =

√2⇔

|√m−2√m| √m2

+1 =

√2⇔√2 m=√m

+1  m2 – 2m + =  m = (thỏa đk) Câu II: ( điểm)

1 Bpt  √5 x −1>√x −1+√2 x − 4



¿

x ≥ 2

5 x −1>x −1+2 x − 4+2√(x −1)(2 x −4 ) ⇔

¿x ≥2

√(x −1)(2 x − 4)< x+2

¿{

¿



¿

x ≥ 2 x2−10 x <0

⇔

¿x ≥ 2

0<x <10 ⇔2 ≤ x <10

¿{

¿

2 Caùch 1: Pt  1+cos x2 cos x −1+cos x =0

 cos6x.cos2x – =  (4cos32x – 3cos2x) cos2x – =  4cos42x – 3cos22x – =  cos22x = hay cos22x = -1/4 ( vô nghiệm)  sin2x =  x = k  /2, k  Z

Caùch 2: Pt  cos6x.cos2x – =  cos6x.cos2x =1 hay cos6x.cos2x = -1

 cos2x =1 hay cos2x = -1  sin2x =  x = k  /2, k  Z

Caùch 3: Pt  cos6x.cos2x – =  cos8x + cos4x =  cos8x = cos4x =  cos4x = 1 x = k  /2, k  Z Câu III: (3điểm) A  d1  A(m;m); C  d2  C( n; – 2n )

Vì B, D  Ox ABCD hình vuông nên :

A C đối xứng với qua Ox 

¿

m=n m=2 n −1

⇔

¿m=1

n=1

¿{

¿

 Pt đtròn (C ) : (x – )2 + y2 = ; B D giao điểm (C ) Ox nên tọa độ B,D nghiệm hệ

pt :

x −1¿2+y2=1

¿

y=0

¿

⇔

¿ ¿x=0∨ x=2

¿ ¿

Suy B(0;0), D(2;0) hay D(0;0), B(2;0)

Vaäy : A(1;1), B(0;0), C( 1; -1), D(2;0) Hay A(1;1), B(2;0), C( 1; -1), D(0;0)

2 a) Viết ptrình d :

¿

x=1 −t y=− 3+2t

z=3+t ,(t∈ R)

¿{ {

¿

I  d  I (1 – t ; - + 2t; + t)

Ta coù : d(I,(P)) = 

|2 −2 t −3+2 t − −2 t+9|

√4+1+4 =2⇔|1 −t|=3⇔

t=− 2

¿

t=4

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

 I(3; -7; 1) hay I(-3; 5; 7)

b) Thế ptrình d vào ptrình (P) ta t = Thế t =1 vào pt d ta x = 0; y = -1; z =  A(0; -1; 4)

Vectơ phương d: →a = (-1; 2; 1) Vectơ pháp tuyến (P) : →n = (2 ; 1; -2)

Suy vectơ phương ∆ : [ →a , →n ] = (-5 ; ; -5) hay (1 ; ; 1)

Mặt khác ∆ qua A nên phương trình tham số ∆ :

¿

x=t ' y =−1 z=4 +t ' ,(t '∈ R)

¿{ {

¿

Câu IV: (2 điểm) Tính tích phân : I = ∫ π

sin x+ sin x

√1+3 cos x dx

Đặt t = √1+3cos x  t2 = + 3cosx  2tdt = - 3sinxdx X =  t = ; x =  /  t =

 I =

∫

0 π

(2 cos x +1)sin x

√1+ cos x dx=∫2 2t

2

−1

3 +1

t (−

2t )dt=

2 9∫1

2

(2 t2

+1)dt=2 9(

2 t3

3 +t)¿1

2

=34 27

2 Ta coù : (1 – x )2n+1 = C2 n +10

− xC2 n+11 +x2C2n +12 − x3C32n +1+ − x2 n +1C2 n+12 n+1 Lấy đạo vế : -(2n+1).(1 – x )2n = −C

2 n+1

Câu V: (1 điểm) Cho x, y, z số dương thoả mãn 1x+1 y+

1

z=4 CMR :

2 x + y +z+ x+2 y +z+

1

x + y +2 z≤ 1

Cách : Ta có : (a – b )2  0,  a,b > ( hiển nhiên)  a+b1 ≤1

4(

a+

b),∀ a , b>0 (1) Aùp duïng (1) ta coù : 2 x + y +z1 ≤1

4( 2 x+

1 y +z) 161 (1x+1

x+

y+ z)=

1 16( x+ y+ z)(a) Tương tự ta có : x +2 y +z1 ≤

16( x+ y+ z)(b)

x + y +2 z≤ 16 ( x+ y+ z)(c ) (a) + (b) + (c) suy :

1 2 x + y +z+

1 x+2 y +z+

1 x + y +2 z≤

1 16 ( x+ y+

z)=1 (do x+

1 y+

1

z=4 )

Caùch : Aùp dụng BĐT Cauchy cho số dương ta có : (a + b + c + d) (1a+1 b+

1 c+

1

d)≥ 16(II) Aùp duïng (II) ta coù : x +x + y +z1 ≤

16 ( x+ x+ y+ z) x +2 y +z1 ≤

16( x+ y+ z) x + y +2 z1 ≤

16( x+ y+ z)  Vtraùi  161 (4x+4

y+ z)=1

Cách : p dụng BĐT Cauchy ta coù : x +x + y + z1 ≤

4√4xxyz≤ 16( x+ x+ y+ z)

x + y + y +z1 ≤ 4√4xyyz≤

1 16( x+ y+ y+ z) x + y + z+ z1 ≤

4√4xyzz≤ 16 ( x+ y+ z+ z)

 Vtraùi  161 (4x+4 y+

4 z)=1