ĐỀTHI ĐH,CĐ KHỐIANĂM2002 Câu I: ( 2,5 điểm) Cho hàm số y = - x 3 + 3mx 2 + 3(1 – m 2 )x + m 3 – m 2 (1) (m là tham số). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm k để phương trình : -x 3 + 3x 2 + k 3 – 3k 2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt. 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò của hàm số (1). Câu II: ( 1,5 điểm) Cho phương trình : 01m21xx 2 3 2 3 =−−++ loglog (2) (m là tham số). 1. Giải phương trình (2) khi m = 2. 2. Tìm m để phương trình (2) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3 3 ]. Câu III: (2 điểm) 1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2 π ) của phương trình : .cos sin sincos sin 3x2 x221 x3x3 x5 += + + + 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : 3x4xy 2 +−= , y = x + 3 Câu IV: (2 điểm) 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). 2. Trong kgian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng : =+−+ =−+− ∆ 04z2y2x 04zy2x 1 : và += += += ∆ t21z t2y t1x 2 : a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ 1 và song song với đường thẳng ∆ 2 . b) Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng ∆ 2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất. Câu V: (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là 03yx3 =−− , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. 2. Cho khai triển nhò thức : n 3 x n n 1n 3 x 2 1x 1n n 3 x 1n 2 1x 1 n n 2 1x 0 n n 3 x 2 1x 2C22C22C2C22 + ++ + = + − − − − − − − −− − − . ( n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó 1 n 3 n C5C = và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x. ĐÁP ÁN : Câu I: ( 2 điểm) 2. ≠ > 24m 4 15 m Câu II: ( 2 điểm) 1. Giải phương trình : cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 ⇔ -2sin2x.sinx – 2sin 2 x = 0 ⇔ 2sin 2 x.cosx + sin 2 x = 0 ⇔ sin 2 x ( 2cosx + 1) = 0 ⇔ )( cos sin Zk 2k 3 2 x kx 2 1 x 0x ∈ π+ π ±= π= ⇔ −= = 2. Giải phương trình : 1x2 − + x 2 – 3x + 1 = 0 ⇔ −= = 22x 1x Câu III: (2 điểm) .:,: 1 1z 2 1y 1 1x d 1 3z 1 2y 2 2x d 21 + = − = − −− = − + = − 1. d 1 có VTCP );;( 112a 1 −= → Gọi (P) là mp qua A và (P) ⊥ (d) ⇒ (P) ⇒ −= → );;( 112a : VTCP có qua 1 A (P) : 2x – y + z – 3 = 0 Gọi H = d 1 ∩ (P) thì H(0; -1; 2) ; A’ đxứng với A qua d khi H là trung điểm của AA’ nên A’(-1; -4; 1) 2. (∆) qua A , vuông góc d 1 và cắt d 2 + (∆) đi qua A, vuông góc với d 1 ⇒ ∆ ⊂ (P) + Gọi K = ∆ ∩ d 2 ⇒ K = (P) ∩ d 2 + (∆) 5 3z 3 2y 1 1x K qua A qua − = − = − − ∆⇒ :)( Câu IV: (2 điểm) 1. Tính tích phân : I = dxe2x 1 0 x2 ∫ − )( = 4 e35 2 − 2. Hệ =− +−+=− axy y1x1ee yx )ln()ln( ĐK : −> −> 1y 1x (2) ⇒ y = a + x thế vào (1) ta được : e x – e a + x = ln(1 + x) – ln( 1 + a + x) ⇔ e x (1 – e a ) – ln(1 + x) + ln( 1 + a + x) = 0 (3) Xét f(x) = e x (1 – e a ) – ln(1 + x) + ln( 1 + a + x) với x > -1 f’(x) = e x (1 – e a ) ; ++ + + − xa1 1 x1 1 ∀ x > 1 và a > 0 x -1 +∞ Theo BBT ⇒ Đồ thò hàm số f(x) cắt Ox tại 1 điểm duy nhất x > -1 ⇒ (3) luôn có nghiệm duy nhất x > -1 (⇒ y = a + x > -1) Vậy hệ đã cho luôn có nghiệm duy nhất ∀ a > 0 Câu V.a: 1. M ∈ d ⇒ M(t ; t + 3) (C) có tâm I(1 ; 1) và bkính R = 1 Đường tròn tâm M có bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) ⇔ IM = R’ + R ⇔ (t – 1) 2 + (t + 2) 2 = 9 ⇔ t 2 + t – 2 = 0 ⇔ −⇒−= ⇒= );( );( 12M2t 41M1t 2. *Cách 1 : Xét 2 trường hợp : TH1 : 4 học sinh cần chọn làm nhiệm vụ chỉ thuộc một lớp , có : 6CC 4 4 4 5 =+ cách TH2 : 4 học sinh cần chọn làm nhiệm vụ chỉ thuộc hai lớp + 4 học sinh chọn từ A và B có : 120CCC 4 4 4 5 4 9 =−− cách + 4 học sinh chọn từ A và C có : 65CC 4 5 4 8 =− cách + 4 học sinh chọn từ B và C có : 34CC 4 4 4 7 =− cách ⇒ Có : 120 + 65 + 34 = 219 cách Vậy có tất cả : 6 + 219 = 225 cách *Cách 2 : f(x) f’(x) +∞ -∞ _ . thì H(0; -1 ; 2) ; A đxứng với A qua d khi H là trung điểm c a AA’ nên A (-1 ; -4 ; 1) 2. (∆) qua A , vuông góc d 1 và cắt d 2 + (∆) đi qua A, vuông góc với. chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là các trung điểm c a các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN,