Sử dụng bảng biến thiên khảo sát hàm số ta xét 2 trường hợp... Chứng minh rằng: P=.[r]
(1)30 BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN K2PI.NET ĐỀ BÀI √ √ Bài Cho x, y , z > thỏa mãn xy + xz = Tìm Min : P= 3yz 4zx 5xy + + x y z Bài Cho a, b, c là các số thực dương có tích là Tìm GTNN biểu thức P = a2 b + b c + c a + √ a3 + b3 + c Bài Cho a, b, c > t/m: 9(a4 + b + c ) − 25(a2 + b + c ) + 48 = tìm GTNN F = b2 c2 a2 + + b + 2c c + 2a a + 2b Bài Cho x, y , z là ba số thực thuộc đoạn [1; 3] và x + y + 2z = 6.Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức : P = x + y + 5z Bài Cho x, y ≥ thoả 3(x + y ) = 4xy Tìm min, max P: 1 3 P =x +y +3 + x2 y2 Bài Cho các số thực x, y thuộc đoạn [1; 2] Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức : T = x2 x + xy + y Bài Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: (x + y ) = (x + y ) Tìm GTNN biểu thức: 2 2 1 + y+ P= x+ y x Bài Cho x, y , z ∈ [0; 1] thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn của: x2 + y2 + z2 Bài Cho x, y , z ≥ x +y +z =1 Tìm max: S = x 2y + y 2z + z 2x p √ Bài 10 Cho x, y thỏa mãn: x − y + y − x = 1.Chứng minh rằng: x2 + y2 = Bài 11 Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 P = a+ + b+ + c+ ≥ 33 + a b c √ √ √ Bài 12 Cho x, y , z > thoả mãn xy + yz + zx = Tìm GTNN T = x2 y2 z2 + + x +y y +z z +x (2) Bài 13 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: 4a + 9b + 16c = 49 Chứng minh rằng: 25 64 + + ≥ 49 a b c Bài 14 Với x, y , z > Chứng minh: p p √ √ x + xy + y + y + yz + z + z + zx + x ≥ 3(x + y + z) Bài 15 Cho a, b, c > 0.Chứng minh: a3 b c + + ≥ ab + bc + ca b c a Bài 16 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≥5 + + a b c 2a + 3b 2b + 3c 2c + 3a 1 1 1 Bài 17 Cho a, b, c > thỏa mãn 15 + + = 10 + + + 2011 Tìm giá trị lớn a b c ab bc ca 1 P=√ +√ +√ 2 2 5a + 2ab + 2b 5b + 2bc + 2c 5c + 2ac + 2a2 Bài 18 Cho các số thực x, y , z thoả mãn: x + 2y + 3z = Tìm GTLN và GTNN biểu thức: P = 3x + 2y + z Bài 19 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c = Chứng minh rằng: 1 1+ 1+ ≥ 64 1+ a b c Bài 20 Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện: ab + bc + ca = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: √ √ √ P = a6 + b + + b + c + + c + a6 + Bài 21 Cho các số thực x, y lớn Chứng minh rằng: 5b 4a2 + ≥ 36 a−1 b−1 Bài 22 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a5 b5 c5 + + ≥ 2 2 2 b +c c +a a +b Bài 23 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: √ √ √ P = a2 + 2b + b + 2c + c + 2a2 Bài 24 Cho a, b, c > 0.Chứng minh: 1 1 1 + + ≥ + + 4a 4b 4c 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b Bài 25 Cho a; b; c > Chứng minh a b c + + < a+b b+c c +a r a + b+c r b + c +a r c a+b (3) Bài 26 Cho x; y ; z > và x + y + z = xyz Tìm GTNN P= y −2 z −2 x −2 + + x2 y2 z2 Bài 27 Cho a, b, c, d > Chứng minh rằng: a2 b c d 1 1 + 5+ 5+ ≥ 3+ 3+ 3+ b c d a a b c d Bài 28 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh rằng: 1 + + ≥ 3−a 3−b 3−c (a2 + b + c ) Bài 29 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c = Tìm GTNN biểu thức: P= a2 1 + + (c + a) b (a + b) c (b + c) Bài 30 Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Tìm GTNN của: a4 b4 c4 √ √ + + P=√ 3 a3 + b3 + c3 + (4) LỜI GIẢI Bài √ √ Cho x, y , z > thỏa mãn xy + xz = Tìm Min : P= Ta có : P = yz zx zx xy + + + z x y y +2 3yz 4zx 5xy + + x y z Lời giải √ xy xy yz zx √ + + + ≥ xz + xy = z z x y Bài Cho a, b, c là các số thực dương có tích là Tìm GTNN biểu thức P = a2 b + b c + c a + √ a3 + b + c Lời giải b c a Đặt x = ; y = ; z = c a b Lúc đó : P =x +y +z + p x 2y + y 2z + z 2x Tiếp đến CM bất đẳng thức phụ : x 2y + y 2z + z 2x ≤ (x + y + z)3 − xyz 27 Đặt x + y + z = t, t ≥ và KSHS Bài Cho a, b, c > t/m: 9(a4 + b + c ) − 25(a2 + b + c ) + 48 = tìm GTNN F = a2 b2 c2 + + b + 2c c + 2a a + 2b Lời giải Ta có: a4 + b + c ≥ (a2 + b + c ) Kết hợp với giả thiết ta suy 3(a2 + b + c )2 − 25(a2 + b + c ) + 48 ≤ Suy ≤ a2 + b + c ≤ 16 Sử dụng BĐT Cauchy − Schwarz ta có F = a2 b2 c2 (a2 + b + c )2 + + ≥ b + 2c c + 2a a + 2b (a b + b c + c a) + 2(ab + bc + ca2 ) Ta lại có (a2 b + b c + c a)2 ≤ (a2 + b + c )(a2 b + b c + c a2 ) ≤ (a2 + b + c )3 (5) Do đó Tương tự ta có √ a2 b + b c + c a ≤ √ (a2 + b + c ) a2 + b + c √ ab + bc + ca2 ≤ √ (a2 + b + c ) a2 + b + c Từ đây ta suy (a2 + b + c )2 √ √ F ≥√ = √ a2 + b + c ≥ 3(a2 + b + c ) a2 + b + c Đẳng thức xảy a = b = c = Vậy MinF = a = b = c = Bài Cho x, y , z là ba số thực thuộc đoạn [1; 3] và x + y + 2z = 6.Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức : P = x + y + 5z Lời giải Ta có : (x + y )2 = (3 − z)2 ≤ xy ≤ Đặt xy = t ⇒ ≤ t ≤ (3 − z) Lại có : P = x +y +5z = (x+y )3 −3xy (x+y )+5z = (6−2z)3 −3xy (6−2z)+5z = −6t(3−z)+(6−2z)3 +5z Xét hàm số : f (t) = −6t(3 − z) + (6 − 2z)3 + 5z , có : f (t) = −6(3 − z) ≤ 0, ∀z ∈ [1; 3] Vậy nên : f ((3 − z)2 ) ≤ f (t) ≤ f (1) Bài Cho x, y ≥ thoả 3(x + y ) = 4xy Tìm min, max P: 1 3 P =x +y +3 + x2 y2 Lời giải Dự đoán dấu x = y = Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 27 ≥ xy + xy √ Đặt t = xy Từ giả thiết 4xy = (x + y ) ≥ xy ⇒ xy ≥ 49 9 Xét hàm số: f (t) = t + , với t ≥ t 93 Đạt x = y = Suy ra, GTNN P 12 P+ Bài Cho các số thực x, y thuộc đoạn [1; 2] Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức : T = x2 x + xy + y (6) Lời giải y Ta có: x, y ∈ [1; 2] ⇒ ∈ 12 ; x Biến đổi T = y y 2 1+ + x x y Đến đây, xét hàm số: f (t) = t + t + 1, với t = x 1 Từ đó, ≤T ≤ f (2) f 12 Bài Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: (x + y ) = (x + y ) Tìm GTNN biểu thức: P= x+ y 2 2 + y+ x Lời giải 2(x + y ) Từ giả thiết ta suy x + y ≤ , biến đổi vế trái ( tức là thay x + y = ) ta được: 3 2 2 1 2(x + y ) 4(x + y ) 2(x + y ) + + x+ + y+ = y x 3xy 3x y Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có ngay: 2(x + y ) 4(x + y ) 2(x + y ) 2(x + y ) 16 32 + + ≥ + + 2 3xy 3x y 3(x + y ) 3(x + y )3 2n4 + 16n2 + 32 ), ta quay xét hàm: f (x) = 3n3 2 2(n − 12)(n + 4) Hàm này có f (n) = <0 3n4 169 Đẳng thức xảy và x = y = đó f (n) ≥ 18 Đặt n = x + y ( chú ý n ≤ Bài Cho x, y , z ∈ [0; 1] thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn của: x2 + y2 + z2 Lời giải Không tính tổng quát giả sử x ≥ y ≥ z Viết lại điều kiện 1≥x 1+ = ≥x +y 2 x +y +z = Xét hàm số: f (x) = x (x ≥ 0) ta có f 00 (x) = > 0; ∀x ≥ 0) Áp dụng bất đẳng thức Karamata ta có x2 + y2 + z2 ≤ + Dấu "=" xảy x = 1; y = ; z = +0= 4 (7) Bài Cho x, y , z ≥ 0, x + y + z = Tìm max: S = x 2y + y 2z + z 2x Lời giải Thay z = − x − y vào ta được: S = x y + y (1 − x − y ) + x(1 − z − y )2 Coi y là biến, x là tham số ta có 2 S (y ) = −3y + 2y + 3x − 2x; S (y ) = ⇔⇔ y =x y = 2−3x Có S(x) = 3x −3x +x, S( − 3x x ) = −x +x − + , 3 27 S(1) = x +x −x, S(0) = x +2x −x Sử dụng bảng biến thiên khảo sát hàm số ta xét trường hợp − 3x TH1: x < ⇐⇒ x < 3 ) Qua bảng biến thiên ta thấy max S = S(0) max S = S( 2−3x 2−3x với < x < Khảo sát hàm S(0) và S ta max S = xảy với S(0) và S 2−3x 27 1 Dấu bằngxảy và x = ; y = 0; z = và các hoán vị 3 − 3x TH2: x > ⇐⇒ x > 3 Tương tự ta kết trên Bài 10 Cho x, y thỏa mãn: x p √ − y + y − x = 1.Chứng minh rằng: x2 + y2 = Lời giải Áp dụng BĐT Bunhia cho giả thiết: p 2 √ = x − y2 + y − x2 ≤ x2 + y2 − x2 + y2 ⇒ x2 + y2 2 2 − x2 + y2 + ≤ ⇒ x2 + y2 − ≤ ⇒ x2 + y2 = Thế này thì sao: Xét x 6= y Theo bunhia: p 2 √ 2 x 1−y +y 1−x ≤ x2 + − x2 y2 + − y2 = ⇒x p √ − y2 + y − x2 ≤ Dấu " = ” xảy và x y p =√ ⇒ x − x = y − y ⇔ x − y x + y − = ⇒ Øpcm − x2 − y2 Tất nhiên, xét x = y ta có x + y = (8) Bài 11 Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: P= a+ a 2 2 2 1 + b+ + c+ ≥ 33 + b c Lời giải Dùng BĐT Bunhia: 2 2 1 1 1 a+ +b+ +c + 1+ + + a b c a b c VT ≥ = 3 Do đó, ta cần chứng minh: 1 + + ≥9 a b c Lại dùng Bunhia: √ √ √ 1 1 a√ + b√ + c √ ≤ (a + b + c) + + 9= a b c a c b Bài 12 √ √ √ Cho x, y , z > thoả mãn xy + yz + zx = Tìm GTNN T = y2 z2 x2 + + x +y y +z z +x Lời giải1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpxki ta có: √ √ √ x y z x +y√ + y +z√ + z +x√ x +y y +z z +x 2 ≤ (x+y +y +z+z+x) x2 y2 z2 + + x +y y +z z +x Suy ra: T = x2 y2 z2 x +y +z + + ≥ x +y y +z z +x Mặt khác từ giả thiết ta có: x +y +z ≥ √ xy + √ yz + √ zx = 1 Do đó: T ≥ Dấu "=" xảy x = y = z = 1 Vậy giá trị nhỏ biểu thức T x =y =z = Lời giải2 Sử dụng bất đẳng thức C − S dạng phân thức ta được: T ≥ Mà x + y + z ≥ √ xy + √ yz + (x + y + z) √ zx = nên P ≥ Bài 13 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: 4a + 9b + 16c = 49 Chứng minh rằng: 25 64 + + ≥ 49 a b c (9) Lời giải Sử dụng bất đẳng thức C − S ta có : (4a + 9b + 16c) 25 64 + + a b c ≥ (2 + 3.5 + 4.8)2 = 492 Suy điều phải chứng minh Do 4a + 9b + 16c = 49 Bài 14 Với x, y , z > Chứng minh: p p √ √ x + xy + y + y + yz + z + z + zx + x ≥ 3(x + y + z) Lời giải Sử dụng bất đẳng thức (x + y )2 Ta có q q p √ x + xy + y = 2(x + y )2 + 2(x + y ) ≥ 2(x + y )2 + (x + y )2 = 3(x + y ) x2 + y2 ≥ Bài 15 Cho a, b, c > 0.Chứng minh: a3 b c + + ≥ ab + bc + ca b c a Lời giải1 VT ≥ 2 2 (a + b + c ) (ab + bc + ca) ≥ = ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca Lời giải2 Ta có: a4 b4 c4 a3 b c + + = + + b c a ab bc ac Mặt khác ta được: a4 b4 c4 (a2 + b + c )2 (ab + bc + ca)2 + + ≥ ≥ = ab + bc + ca ab bc ac ab + bc + ac ab + bc + ca Vậy bài toán chứng minh.Đẳng thức xảy và a = b = c Bài 16 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≥5 + + a b c 2a + 3b 2b + 3c 2c + 3a Lời giải Ta có 1 1 25 25 25 + + = + + 2a + 3b 2b + 3c 2c + 3a 25 2a + 3b 2b + 3c 2c + 3a 3 ≤ + + + + + 25 a b b c c a 1 1 = + + a b c (10) Bài 17 Cho a, b, c > thỏa mãn 15 P=√ 5a2 1 + 2+ 2 a b c = 10 1 + + ab bc ca + 2011 Tìm giá trị lớn 1 +√ +√ 2 2 + 2ab + 2b 5b + 2bc + 2c 5c + 2ac + 2a2 Lời giải 1 Đặt x = ; y = ; z = a b c 2011 ⇒ 15 x + y + z = 10 (xy + yz + zx) + 2011 ≤ 10 x + y + z + 2011 ⇒ x + y + z ≤ Mặt khác 2011 (x + y + z)2 ≤ x + y + z ⇒ (x + y + z)2 ≤ Ta có 1 1 √ ≤√ = ≤ 2a + b 5a2 + 2ab + b 4a2 + 2ab + b + 2ab r 1 2011 Tương tự ta có P ≤ (x + y + z) ≤ 3 + a b = (2x + y ) Bài 18 Cho các số thực x, y , z thoả mãn: x + 2y + 3z = Tìm GTLN và GTNN biểu thức: P = 3x + 2y + z Ta có Lời giải P ≤ (x + 2y + 3z ) + + ⇒ |P| ≤ 68 Bài 19 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c = Chứng minh rằng: 1 1+ 1+ 1+ ≥ 64 a b c Lời giải1 Ta chứng minh bất đẳng thức sau bổ đề: (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + √ abc)3 Chứng minh Khai triển ta được: p √ + abc + ab + bc + ca + a + b + c ≥ + 3 (abc)2 + abc + abc p √ ⇐⇒ ab + bc + ca + a + b + c ≥ 3 (abc)2 + 3 abc Đúng theo AM − GM Áp dụng bổ đề trên ta có : √ 1 (1 + a)(1 + b)(1 + c) (1 + abc)3 1+ 1+ = ≥ ≥ 64 1+ a b c abc abc 10 (11) Với abc ≤ ta : 27 √ 3 (1 + abc)3 = √ + ≥ 64 abc abc Vậy a = b = c = Lời giải2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: Ta có 1 √ = (a + b + c + a) ≥ a2 bc a a a r r 4 a4 bc bc =⇒ + ≥ =4 a a a2 a2 1+ Tương tự ta có: r r ca 1 ab + ≥ 4 2;1 + ≥ b b c c2 r r r 1 bc ca 4 ab 1+ 1+ ≥4 =⇒ + 4 24 = 64 a b c a b c2 Dấu ’=’ xảy ⇐⇒ a = b = c = Bài 20 Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện: ab + bc + ca = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: √ √ √ P = a6 + b + + b + c + + c + a6 + Lời giải Ta có : (a3 + b + 1)2 3 3 √ 2(a + b + c ) + 3ab + 3bc + 3ca √ √ VT ≥ ≥ =3 3 a6 + b + ≥ Bài 21 Cho các số thực x, y lớn Chứng minh rằng: 4a2 5b + ≥ 36 a−1 b−1 Lời giải Áp dụng AM − GM ta có: x − = 1.(x − 1) ≤ Nên 1+x −1 2 = x2 x2 =⇒ ≥4 x −1 4a2 5b + ≥ ∗ + ∗ = 36 a−1 b−1 Dấu = xảy a = b = Bài 22 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a5 b5 c5 + + ≥ 2 2 2 b +c c +a a +b 11 (12) Lời giải a5 = 2 b +c Đánh giá số hạng VT để hạ bậc chúng Theo AM − GM, ta có: Trước hết, nhận thấy đẳng thức xảy a = b = c = Do đó, a5 3a2 b2 + c a + ≥ + b2 + c 2 Thiết lập các BĐT tương tự cộng lại, suy ra: VT ≥ a2 + b + c − Vấn đề còn lại là chứng minh: a2 + b + c ≥ Ở đây, ta tiếp tục dùng AM − GM sau: a2 + ≥ 2a Do đó, a2 + b + c + ≥ (a + b + c) Từ đó, ta thu điều phải chứng minh Bài 23 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: √ √ √ P = a2 + 2b + b + 2c + c + 2a2 Lời giải1 √ √ 1 2 a + 2b ≥ √ a + − √ b ⇔ (a − b)2 ≥ 3 Ta có Tương tự √ b + 2c ≥ √ b + 3− √ √ c + 2a2 ≥ √ c + 3− √ √ c √ a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta √ √ √ √ √ 1 2 2 2 a + 2b + b + 2c + c + 2b ≥ √ (a + b + c) + − √ (a + b + c) = 3 √ Vậy P = a = b = c = Lời giải2 r √ (a + 2b)2 a + 2b √ Do a2 + b + b ≥ 3 √ Tương tự cho các bất đẳng thức còn lại cộng vế theo vế suy MinP = 5 Đẳng thức xảy a = b = c = Ta có : √ a2 + 2b ≥ Bài 24 Cho a, b, c > 0.Chứng minh: 1 1 1 + + ≥ + + 4a 4b 4c 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b Lời giải Áp dụng BĐT Cauchy ta có: √ a + a + b + c ≥ a2 bc > 12 (13) r 1 1 + + + ≥4 >0 a a b c a bc Nhân vế theo vế: (2a + b + c) 1 + + a b c ≥ 16 Suy ra: 16 1 + + ≥ a b c 2a + b + c Tương tự: 16 + + ≥ a b c a + 2b + c 1 16 + + ≥ a b c a + b + 2c Cộng vế theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được: 4 16 16 16 + + ≥ + + a b c 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 1 1 1 + + ≥ + + 4a 4b 4c 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b Dấu "=" xảy a = b = c ⇔ Bài 25 Cho a; b; c > Chứng minh a b c + + < a+b b+c c +a r a + b+c r b + c +a r c a+b Lời giải Theo bất đẳng thức Cauchy: r a a 2a =p ≥ b+c a+b+c a(b + c) Tương tự ta có bất đẳng thức tương tự r r r a b c ⇒ + + ≥2 b+c c +a a+b Mà a a+c < a+b a+b+c (I ) (1) a a+c < ⇔ (a + c)(a + b) > a(a + b + c) a+b a+b+c ⇔ a(a + b) + c(a + b) > a(a + b) + ac ⇔ c(a + b) > ac ⇔ a + b > a (luôn đúng) Tương tự ta có: a+b b > (2) a+b+c b+c c +a c > (3) a+b+c +C Ta có a b c (1) + (2) + (3) ⇒ + + < (II ) a+b b+a a+c r r r b c a b c a Từ (I ) và (II ) ⇒ + + < + + a+b b+c c +a b+c a+c b+a Vì 13 (14) Bài 26 Cho x; y ; z > và x + y + z = xyz Tìm GTNN P= y −2 z −2 x −2 + + x2 y2 z2 Lời giải Từ giả thiết: x + y + z = xyz ⇒ Do đó, đặt a = P =a 1 + + =1 xy yz zx 1 ; b = ; c = Ta thu được: < a, b, c < và ab + bc + ca = Khi đó: x y z 1 2 P =a −2 +b −2 +c −2 b c a 1 1 1 2 −1+ −1 +b −1+ −1 +c − + − − (a + b + c) b a c b a c Áp dụng AM − GM: 2 a + b ≥ 2ab ⇒ 1 2 −1 a +b ≥ − 2ab = 2a − 2ab b b Làm tương tự: VT ≥ (a + b + c) − (ab + bc + ca) = (a + b + c) − Cái công việc còn lại nhẹ nhàng rồi: Tìm GTNN a + b + c với < a < và ab + bc + ca = Lại dùng AM − GM: a2 + b ≥ 2ab Tương tự thì thu được: a2 + b + c ≥ ab + bc + ca ⇒ (a + b + c)2 ≥ (ab + bc + ca) = √ √ Tóm lại: MinP = − x = y = z = Bài 27 Cho a, b, c, d > Chứng minh rằng: a2 b c d 1 1 + 5+ 5+ ≥ 3+ 3+ 3+ b c d a a b c d Lời giải r Ta có a2 + ≥5 b a b 15 r b2 5 + ≥5 c b c 15 r c2 5 + ≥5 d c d 15 r d2 5 + ≥5 a d a15 Cộng theo vế các bất đẳng thức, điều cần chứng minh 14 = b3 = c3 = d3 = a3 (15) Bài 28 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh rằng: 1 + + ≥ 3−a 3−b 3−c (a + b + c ) Lời giải 1 27 VT = + + ≥ = ≥ b+c a+c a+b 2(a + b + c) 2(a + b + c ) 2(a + b + c) Bài 29 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c = Tìm GTNN biểu thức: P= a2 1 + + (c + a) b (a + b) c (b + c) Lời giải Ta có √ = a + b + c ≥ abc ⇒ √ ≥3 abc !2 r 2 1 1 1 33 + + abc 2 81 a b c Do đó P = a + b + c ≥ ≥ ≥ a+c b+a b+c 2(a + b + c) 2 Bài 30 Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Tìm GTNN của: a4 b4 c4 √ √ P=√ + + 3 a3 + b3 + c3 + Lời giải Ta có 4a4 a4 4a4 12a4 √ ≥ =p = 3 a + 23 a + 23 a3 + 8.8.(a3 + 7) Hơn nữa, 12a4 − a3 + 23 31 23 a− 16 16 (a − 1)2 (161a2 + 345a + 529) = ≥0 16(a3 + 23) Suy √ a4 12a4 31 23 ≥ ≥ a− a + 23 16 16 a3 + Tương tự b4 31 23 √ ≥ b− 3 16 16 b +7 và √ c4 31 23 ≥ c− 16 16 c +7 Cộng theo vế các bất đẳng thức, √ Vậy P = a4 b4 c4 31 23 √ √ + + ≥ (a + b + c) − = 3 16 16 a +7 b +7 c +7 a = b = c = 15 (16)