Mét sè vÝ dô: 1Sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copxky chứng minh các bất đẳng khác... Sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copxky tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất VÝ dô 4..[r]
(1) Bất đẳng thức Bunhia copxky I.KiÕn thøc c¬ b¶n §Þnh lý: Víi mäi sè a1, a2, …an, b1, b2 , …., bn ta lu«n cã: (a ❑12 +a ❑22 +…+a ❑2n )(b ❑12 +b ❑22 +…+b ( a1 b1 +a b2 + + an bn )2 ❑n ) Dấu đẳng thức xẩy và khi: Chøng minh: (a1t-b1)2 (a2t-b2)2 ……… (ant-bn)2 ( a21 +¿ a22 +….+ an )t2-2(ab+ab+…+ab)t+( §Æt A= a21 +¿ a22 +….+ B=ab+ab+ab C= b21 +¿ b22 +….+ Ta cã: At2-2Bt+C B2 − AC 4A A[(t-B)2B2-AC ⇔ a1 a2 a = = = n b1 b bn b1 +¿ b2 +….+ bn ) a2n b2n víi mäi t ] B2 víi mäi t AC (®iÒu ph¶i chøng minh) II Mét sè vÝ dô: 1)Sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copxky chứng minh các bất đẳng khác VÝ dô Cho a,b,c > Chøng minh r»ng: 2 a b c a b c + 2+ 2≥ + + b c a b c a √3 abc (bất đẳng thức Cosi) víi a, b, c > ta cã : a+b+c a2+b2+c2 Hay (a+b+c)2 Cosi-Bunhia a b + + b c )2 a2 b2 c + + ≥¿ b2 c a2 ( a+ b + c ) b c a √ a b c b c a = a+ b + c b c a (®pcm) VÝ dô Cho a2+b2+c2=1 vµ m2+n2 = Chøng minh r»ng: |am+bn+ c| √2 Ta có: m2+n2+1 = đó: (am+bn+c)2 (a2+b2+c2)( m2+n2+1)=1.2 (¸p dông B§T Bunhia a,b,c vµ m,n,1) ⇔ (am+bn+c)2 (2) ⇔ |am+ bn+ c| √ (®pcm) VÝ dô Cho ba sè a,b,c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a+b+c=1 Chøng minh r»ng a2+b2+c2 Gi¶i: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 1,1,1 và a,b,c ta có: (12+12+12)( a2+b2+c2) (1 a+1.b+1.c)2 =( a+b+c)2=1 ⇔ 3( a2+b2+c2) ⇔ a2+b2+c2 DÊu b»ng xÈy a=b=c= Sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copxky tìm giá trị lớn nhất,nhỏ VÝ dô Cho c¸c sè x, y, z tháa m·n ®iÒu kiÖn: xy + yz + zx = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = x4+y4+z4 Ta có: áp dụng bất đẳng thức Bunhia cho số a1=x; a2=y; a3=z; b1=y; b2=z; b3=x ta cã: 1=(xy+yz+zx)2 (x2+y2+z2)( x2+y2+z2) ⇔ ( x2+y2+z2 ) Ta lại áp dụng bất đẳng thức Bunhia cho: a1=1; a2=1; a3=1; b1=x2; b2=y2; b3=z2 (1+1+1) (x4+y4+z4) ⇒ ( x4+y4+z4 ) (x2+y2+z2)2 Dấu đẳng thức xẩy khi: x = y = z y z vµ x2=y2=z2 ⇒ x=y=z= ± √ x VËy Pmin = VÝ dô 5: Cho các số dơng a,b,c và các số dơng x,y,z thay đổi cho: a b c + + =1 x y z T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A=x+y+z Gi¶i: Ta cã: √ a+ √ b+ √c= a √ x + b √ y + c √ z √ x √ y √ z áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: ( √ a+ √ b+ √c )2 ⇔ ( a b c ( + + )( x+ y+ z) x y z x+y+z √ a+ √ b+ √c )2 DÊu b»ng xÈy vµ chØ khi: (3) √ a b c : √ x= :√ y= : √z x y z √ ⇔ √ x + y +¿ a b √ = √ = √ c = √a+ ❑√b+ √ c ¿ x y z =1:( √ a+ √ b+ √c ) §Õn ®©y dÔ dµng suy ra: x= √ a(√ a+ √b + √ c) y= √ b(√ a+ √ b+ √ c) z= √ c (√ a+ √ b+ √ c ) Khi đó Amin=( √ a+ √ b+ √c )2 3.Dùng bất đẳng thức cosi-bunhia copxky vào giải phơng trình I Mét sè vÝ dô: VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x − + √ x −6 =x2 - 10x + 27 Gi¶i: §k:4 x Ta cã VP= x2 - 10x + 27= x2 - 10x + 25+2=(x-5)2+2 VT2=( √ x − + √ x −6 )2 (12+12) { ( √ x − )2 +( √ x −6 )2 } (áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 1,1 và √ x − , √ x −6 ) M¨t kh¸c : ( √ x − )2 +( √ x −6 )2=x-4+6-x=2 Suy : VT2 2.2 ⇔ VT 2(v× VT= √ x − + √ x −6 0) Ta thÊy VP 2, VT nªn ph¬ng tr×nh cã nghiÖm VT=VP=2 ⇔ x=5 VËy ph¬ng tr×nh cã m«t nghiÖm x=5 VÝ dô Gi¶i ph¬ng tr×nh √4 1− x + √4 1+ x+ 4√ − x=3 Gi¶i: §k : -1 x Theo bât đẳng thc Cô-si ta có: √1 − x √4 1− x = √4 (1 − x)(1+ x ) √4 1.(1+ x ) 1+ √ 1+ x Tõ (1),(2),vµ(3) ta cã : (2) √4 1− x + √4 1+ x + √4 1− x 1+ 1+1+ x + 1+1 − x =3 (1) √4 1+ x =¿ 1+ ❑√ 1− x √ 1− x = √4 1.(1 − x ) √ 1+ x + (3) 1+ √ 1+ x + √ ! − x (4) DÊu “=” xÈy vµ chØ √ 1+ x = √ 1− x √ 1+ x =1 √ 1− x =1 ⇔ x=o KiÓm tra l¹i ta thÊy x=0 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (5)