Tài liệu Hình học không gian về giải toán vectơ docx

Bài giảng thầy Thạc sỹ: Đỗ Thanh Sơn, chuyên viên Hình học Chương I Véc tơ khơng gian 1.Ðịnh nghĩa véc tơ Véc tơ đoạn thẳng có quy định chiều.Chiều véc tơ thứ tự hai đầu mút đoạn thẳng.Ðầu mút thứ gọi điểm đầu điểm gốc, đầu mút thứ hai gọi điểm cuối điểm ngọn.Ðộ dài đoạn thẳng độ dài véc tơ.Ðường thẳng qua điểm đầu điểm cuối véc tơ gọi phương véc tơ Véc tơ ký hiệu hai cách sau: Dùng hai chữ in la tinh viết liền → phía hai chữ ta đặt mũi tên,chẳng hạn AB (đọc véc tơAB), chữ A → gốc, chữ B véc tơ.Ðộ dài véc tơ ký hiệu AB hoặcAB.Một cách → khác dùng chữ thường phía đặt mũi tên, chẳng hạn U (đọc véc tơ → U ).Ðộ dài véc tơ ký hiệu U U Véc tơ có điểm đầu điểm cuối trùng gọi véc tơ khơng.Véc tơ khơng → có độ dài 0, phương chiều không xác định.Véc tơ không ký hiệu AA → 2.Quan hệ véc tơ không gian Hai véc tơ đồng phương không đồng phương → → → Hai véc tơ U, V (khác 0)được gọi đồng phương,nếu chúng nằm đường thẳng nằm hai đường thẳng song song.Ta ký hiệu U // V →→ → Hai véc tơ U, V (khác 0)được gọi không đồng phương,nếu chúng nằm hai → → đường thẳng cắt chéo nhau.Ta ký hiệu U // V → Hiển nhiên hai véc tơ (khac 0) đồng phương với véc tơ thứ ba (khác → → ), hai véc tơ đồng phương.Ta quy ước véc tơ phương với véc tơ khác không Hai véc tơ chiều ngược chiều → → → →→ Cho hai véc tơ khác đồng phương U , V.Khi tồn mặt phẳng P chứa U, V → → Nếu P hai véc tơ chiều, ta nói U V chiều khơng gian → → Nếu P hai véc tơ ngược chiều, ta nói U V ngược chiều không gian → → Hiển nhiên hai véc tơ khác chiều với véc tơ thứ ba (khác 0), hai véc tơ chiều.Nếu hai véc tơ chiều với véc tơ thứ ba, véc tơ lại ngược chiều với véc tơ thứ ba, hai véc tơ ngược chiều → → → → Ta ký hiệu hai véc tơ U , V chiều U ↑↑ V.Nếu hai véc tơ ngược chiều, → → ký hiệu U ↑↓ V Ta quy định véc tơ không chiều với véc tơ khác không Hai véc tơ hai véc tơ đối → → → → Hai véc tơ U, V gọi ký hiệu U = V, chúng chiều độ dài → → → → Hai véc tơ U, V gọi đối ký hiệu U = - V, chúng ngược chiều độ dài Ba véc tơ đồng phẳng không đồng phẳng → → → Cho véc tơ khác không : U , V , W Nếu chúng nằm mặt phẳng → →→ nằm mặt phẳng song song, ta nói U , V, W đồng phẳng Nếu ba véc tơ khơng có tính chất đó, ta nói ba véc tơ khơng đồng phẳng →→ → Từ định nghĩa ta suy rằng, U, V, W đồng phẳng, ln tồn mặt → → → phẳngP mà ta dựng véc tơ U’, V’, W’ véc tơ cho Nếu → → → véc tơ khơng đồng phẳng P chứa véc tơ U’, V’ P khơng chứa W’ → song song với W’ 3.Các phép toán véc tơ Phép cộng véc tơ Ðịnh nghĩa → → → → → Cho hai véc tơ U, V.Tổng U V véc tơ a xác định theo quy tắc sau(quy tắc tam giác).Từ điểm A không gian ta đặt liên tiếp véc tơ → → → → → → → → AB = U BC =V Véc tơ AC tổng hai véc tơ cho ta ký hiệu a = U + V Tính chất → → → → → → → → → → → → → → → → i) U + = U ; ii) U + (-U) = 0; iii) U + V = V + U ; iv) ( U + V)+W = U+( V + W) Trường hợp tổng nhiều véc tơ →→ → → Cho n véc tơ U1,U2, ,Un.Tổng n véc tơ véc tơ U’ xác định theo quy tắc sau ( quy tắc đường gấp khúc): → → → → Từ điểm A0 ta dựng liên tiếp véc tơ A0A1, A1A2, A2A3,…, AnA n.Véc → → → → → → tơ A0An tổng n véc tơ cho ký hiệu U’ = U1+U2 + U3 +…+ Un Phép trừ hai véc tơ Ðịnh nghĩa → → → → → → → → → Hiệu U V véc tơ W ký hiệu U – V = W, nêu W+ V = U → → → Theo định nghĩa ta xác địnhWnhư sau: từ điểm A bất kỳta dựng véc tơAB =U, → → → → AC = V Khi W = CB Nhân véc tơ với số thực Ðịnh nghĩa → → → → Cho U ≠ số thực k ≠ 0.Tích U với k véc tơ V có độ dài → → → |k|.| U | chiều với U,khi k >0;ngược chiều với U,khi k 0⇔ (U , V ) < 90 ; U V < 0⇔ (U , V ) > 900 → → tích vơ hướng hai véc tơ U V Chương II Các phép biến hình khơng gian A Ðại cương biến hình khơng gian 1.Ðịnh nghiã Trong không gian cho quy tắc f.Với điểm M theo quy tắc f ta xác định điểm M’.Khi ta nói M’ ảnh M qua phép biến đổi f ký hiệu f : M → M’(đọc f biến M thành M’).Ðiểm M gọi tạo ảnh M’, f phép biến đổi hình học Từ định nghĩa ta suy M1’, M2’ tương ứng ảnh của M1,M2 phép biến đổi f M1’ khác M2’, M1 M2 hai điểm phân biệt Nếu f xác định cho điểm khơng gian, ta nói f phép biến đổi không gian Phép biến đổi 1-1 Ta biết ảnh điểm M qua phép biến đổi f có nhiều tạo ảnh khác M.Nếu ảnh M có tạo ảnh ứng với nó, ta nói f phép biến đổi 1-1 3.Phép biến đổi đồng Ta nói f phép biến đổi đồng , f biến điểm M không gian thành M Phép biến đổi ngược Gỉa sử f : M → M’ với điểm M không gian Nếu tồn phép biến đổi g biến M’ thành M, ta nói g phép biến đổi ngược f f phép biến đổi có ngược 5.Tích hai ( nhiều ) phép biến đổi Cho hai phép biến đổi f g Với điểm M f : M→ M’ g :M’→ M’’ Phép biến đổi biến M thành M’’ gọi tích hai phép biến đổi f g ta ký hiệu tích hai phép biến đổi g•f : M → M’’ g(f) : M→ M’’ Tóm lại tích hai phép biến đổi phép biến đổi nhận từ việc thực liên thứ tự xác định phép biến đổi cho Cho n phép biến đổi (n > 2) f1,f2, ,fn.Tích n phép biến đổi cho phép biến đổi F cách thực liên thứ tự định n phép biến đổi ta viết F =fn•fn-1• f2•f1 6.Hai phép biến đổi trùng Cho hai phép biến đổi f g.Ta nói f g trùng (hoặc nhau) ký hiệu f = g, ảnh điểm M không gian hai phép biến đổi trùng Nghĩa với điểm M , f : M → M’ g : M → M’ Cho tập hợp điểm X.Ta nói f g trùng cục X , f g trùng tập hợp X 7.Ðiểm bất động, đường thẳng bất động, mặt phẳng bất động phép biến đổi Ta nói điểm O điểm bất động phép biến đổi f , f biến O thành O Ta nói đường thẳng d bất động phép biến đổi f, điểm thuộc d điểm bất động f Ta nói mặt phẳng P bất động phép biến đổi f, điểm thuộc P bất động f Ta nói đường thẳng d( mặt phẳng P) bất biến phép biến đổi f, f biến đường thẳng d (hoặc mặt phẳng P) thành Rõ ràng đường thẳng d (hoặc mặt phẳng P) bất động phép biến đổi f, d (hoặc mặt phẳng P) bất biến f 8.Ảnh hình qua phép biến đổi Cũng hình học phẳng, hình học khơng gian ta xem hình khơng gian tập hợp điểm Cho hình không gian F.Tập hợp ảnh điểm thuộc F qua phép biến đổi f lập thành hình F’ gọi ảnh F qua phép biến đổi Ta ký hiệu f : F → F’ F’ = M’/ f : M→ M’ với M∈F 9.Hai hình trùng Ta nói hai hình khơng gian F1 F2 trùng nhau, điểm hình thuộc hình ngược lại Hai hình trùng ký hiệu F1≡ F2 Nếu điểm F1 thuộc F2, ta nói F1 hình F2 B Một số phép biến đổi hình học khơng gian Phép đối xứng qua tâm Ðịnh nghĩa Cho trước điểm O.Với điểm M khác O ta xác định điểm M’ → → cho OM’ =- OM Nếu M trùng với với O, M’ trùng với O.Khi ta nói M’ ảnh M phép đối xứng qua tâm O ( đối xứng tâm O) ký hiệu ZO : M → M’ Ðiểm O gọi tâm đối xứng Cho hình F.Tập hợp ảnh điểm thuộc F phép biến đổi ZO lập thành hình F’ gọi ảnh F hình đối xứng với F qua O.Nếu F F’ trùng nhau, ta nói F hình có tâm đối xứng.Ta ký hiệu ZO : F → F’ Tính chất ZO có điểm bất động điểm O ZO phép biến đổi 1-1 có ngược.Phép biến đổi ngược ZO → → Nếu A’,B’ ảnh A,B phép biến đổi ZO , A’B’ = - AB Nếu A,B,C,D điểm nằm mặt phẳng A’,B’,C’,D’ ảnh tương ứng điểm phép biến đổi ZO, điểm A’,B’,C’,D’ nằm mặt phẳng Chứng minh Gọi P mặt phẳng chứa điểm A,B,C,D.Ta xét trường hợp tồn điểm không thẳng hàng chẳng hạn A,B,C Khi A’,B’,C’ khơng thẳng hàng tồn → → → → → → → → → số thực x, y cho AD =xAB +yAC.Vì A’D’ = -AD , A’B’=- AB , A’C’= - AC, nên → → → A’D’= xA’B’+ yA’C’.Hệ thức chứng tỏ D’ thuộc mặt phẳng qua điểm A’,B’,C’ Hệ Phép biến đổi ZO biến i) Mặt phẳng P thành mặt phẳng P’ P’//P P’ trùng với P.Nếu O thuộc P , Zo phép đối xứng qua tâm O xác định P ii) Nửa mặt phẳng P thành nửa mặt phẳng P’ P’//P P’ P lập thành mặt phẳng Chứng minh Bổ đề Cho mặt phẳng P đường thẳng d chia P thành hai nửa mặt → → phẳng P1 P2.Trên d ta lấy điểm O dựng véc tơ OA nằm d ,OB → → → thuộc P1(các véc tơ khác 0).Với điểm M thuộc P ta có OM = xOA + → yOB (*) , x,y cặp số thực.Ðể M thuộc nửa mặt phẳng P1 điều kiện cần đủ hệ thức (*) y >0 Thật M thuộc P1, M khơng thuộc d.Ta dựngM1, M2 hình chiếu → → → → M theo phương d OB tương ứng, OM2↑↑ OB Ðảo lại OM2↑↑ → OB, M thuộc P1.Từ nhận xét ta suy điều cần chứng minh iii) iv) Góc nhị diện (P,Q) thành nhị diện (P’,Q’) số đo góc phẳng hai nhị diện Mặt cầu (S,R) thành mặt cầu (S’,R),hình nón N thành hình nón N’có bán kính đáy độ dài đường sinh yếu tố tương ứng N, hình trụ T thành hình trụ T’ có bán kính đáy độ dài đường sinh yếu tố tương ứng T 5.Tích phép đối xứng qua tâm phân biệt phép đối xứng qua tâm Chứng minh Ta ký hiệu ZA, ZB, ZC phép đối xứng qua điểm phân biệt A,B,C.Ta đặt Z = ZC•ZB•ZA chứng tỏ Z có điểm bất động.Gọi O điểm bất động Z, theo → → → → định nghĩa ta có ZA : O→ O’, ZB :O’→O’’, ZC : O’’→ O -AO’ = AO ,-BO’’= BO’, → → → → → → → → → → → → CO’’= - CO.Từ BO’ = -BO’’⇔ (BA+AO’) = -(BC +CO’’) ⇔BA+BC =O’A+ O’’C = → → → → → → → → → → → → AO+CO= AB +BO+BO-BC ⇔ 2(BA+BC) = 2BO⇔ BO = BA+BC.Hệ thức chứng tỏ điểm cố định O tồn Với điểm M khác O, ta có ZA : M→M’ O→O’, → → → → O’M’ =- OM ZB : M’→M’’ O’→ O’’, O’’M’’= - O’M’.ZC : M’’→M’’’ → → → → O’’→O , OM’’’= - O’’M’’.Từ kết ta suy OM’’’ = - OM.Ðây điều cần chứng minh Bài tập Chứng minh tính chất hình học 1.Cho hình hộp (H).CMR giao điểm đường chéo (H) tâm đối xứng Hướng dẫn : Ký hiệu ABCDA’B’C’D’ hình hộp O giao đường chéo Theo tính chất hình hộp ta có Zo : A→ C’, B→ D’,C →A’.vì miền bình hành ABCD → miền bình hành A’B’C’D’ (mỗi miền bình hành phần chung nửa mặt phẳng mà bờ đường thẳng chứa cạnh hình bình hành) 2.CMR phép biến đổi ZO biến hai đường thẳng chéo thành hai đường thẳng chéo Hướng dẫn:Ký hiệu x, y hai đường thẳng chéo nhau; x’,y’ ảnh hai đường thẳng đó.Gọi P mặt phẳng chứa x cắt y O không nằm x.Phép biến đổi Zo biến P →P’chứa x’ không chứa y’, O→ O’ thuộc P’không nằm x’ 3.CMR phép biến đổi ZO biến tứ diện thành tứ diện có cạnh cạnh tứ diện ban đầu Hướng dẫn :Ký hiệu ABCD tứ diện đều.Phép biến đổi Zo biến A→A’,B→B’,C→C’, D→D’.Vì A,B,C,D khơng nằm mặt phẳng, A’,B’,C’,D’ khơng nằm mặt phẳng.A’B’C’D’ hình tứ diện có cạnh 4.CMR phép biến đổi ZO biến hình lập phương thành lập phương mà cạnh cạnh lập phương ban đầu 5.Cho tứ diện ABCD G trọng tâm tứ diện.Gọi O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O’ ảnh O phép đối xứng qua G.CMR mặt phẳng qua AB O’ song song chứa đường thẳng qua O trung điểm cạnh CD Hướng dẫn Gọi M, N trung điểm AB CD, P mặt phẳng qua AB O’.Ta biết G trung điểm đoạn MN, GM// ON.Ðó điều cần chứng minh 6.CMR hình tứ diện khơng thể có tâm đối xứng Hướng dẫn: giả sử tứ diện ABCD có tâm đối xứng O.Nếu O thuộc mặt phẳng chứa mặt tứ diện, mặt hình có tâm đối xứng.Ðiều khơng thể xảy mặt tứ diện tam giác mà tam giác hình khơng có tâm đối xứng.Vậy O không thuộc mặt phẳng chứa mặt tứ diện.Gọi A’,B’ ảnh A,B qua phép đối xứng đó.Thế A’,B’thuộc mặt đối (BCD) (ACD).Vì ABB’A’ hình bình hành, AB’//BA’⇒ AB’//CD BA’//CD⇒ A’trùng với B B’ trùng với A.Ðiều chứng tỏ O trung điểm AB O thuộc mặt phẳng chứa mặt tứ diện.Mâu thuẫn chứng minh kết luận tốn 7.CMR hình chóp khơng có tâm đối xứng Hướng dẫn:Trước hết ta thấy hình chóp có tâm đối xứng O , số mặt chẵn.Thật M điểm thuộc mặt hình chóp, điểm M’ đối xứng với M phải thuộc mặt hình chóp (vì phép đối xứng biến mặt thành mặt, cạnh thành cạnh đỉnh thành đỉnh) Ðiều chứng tỏ cặp mặt hình chóp ứng với đoạn thảng MM’.Vì số đoạn nguyên, nên số mặt chẵn.Vậy đáy hình chóp có tâm đối xứng đa giác với số lẻ cạnh.Vì đáy lẻ, nên O khơng thuộc mặt phẳng đáyvà không thuộc mặt bên.Gọi T thiết diện hình chóp qua O song song với đáy(T tồn Phép đối xứng qua O biến đỉnh hình chóp thành điểm thuộc đáy chóp), T đa giác có tâm đối xứng lại có số lẻ cạnh (vì cạnh T nằm mặt xung quanh hình chóp).Mâu thuẫn chứng minh tốn 8.CMR thiết diện hình hộp qua giao điểm đường chéo hình hộp hình bình hành hình lục giác có cặp cạnh đối Hướng dẫn.Gọi O giao đường chéo hình hộp (H) P mặt phẳng thiết diện Rõ ràng O tâm đối xứng chung P (H), tâm đối xứng phần chung hai hình 9.CMR thiết diện hình hộp tam giác ngũ giác, thiết diện khơng chứa giao điểm đường chéo hình hộp 10.Cho tứ diện ABCD.Tìm ảnh tứ diện cho qua phép biến đổi Z = ZC•ZB•ZA 11.Cho mặt cầu (O,1) tập hợp n điểm không gian A1,A2,…,An (n >2).CMR mặt cầu cho ln tìm điểm M cho MA1+MA2+ +MAn > n 12.CMR ảnh đa giác phẳng lồi n- cạnh qua phép đối xứng Zo đa giác phẳng lồi n- cạnh hai đa giác có cạnh tương ứng nhau, số đo góc tương ứng 13.CMR hình đa diện (T) có tâm đối xứng, số mặt (T) chẵn, số cạnh chẵn số đỉnh chẵn Hướng dẫn.Gọi O tâm đối xứng (T) X điểm thuộc mặt M T.Gọi X’ ảnh X qua phép đối xứng Hiển nhiên X’ thuộc mặt M’ (T).Vậy cặp mặt M M’ T ứng với đoạn XX’.Số đoạn số nguyên, nên số mặt (T) chẵn Ta biết điểm thuộc cạnh T, điểm đối xứng với qua O thuộc cạnh T.Vì hai cạnh T ứng với đoạn thẳng nối điểm cạnh với điểm cạnh 14.CMR hình hộp có tâm đối xứng Hướng dẫn.Gỉa sử O O’ hai tâm đối xứng hình hộp (H).Với điểm X thuộc hình hộp , phép đối xứng Zo Zo’ biến X, thành X’ X’’ thuộc hình hộp.Ta xét thiết diện hình hộp qua điểm X,X’,X’’.Thiết diện đa giác nhận O O’ tâm đối xứng.Ta biết đa giác phẳng có khơng q tâm đối xứng.Mâu thuẫn chứng tỏ O O’ trùng 10 15.CMR thiết diện hình hộp lục giác có tâm đối xứng, thiết diện qua giao điểm đường chéo hình hộp Hướng dẫn.Nếu thiết diện hình hộp lục giác, mặt phẳng thiết diện cắt tất mặt hình hộp.Vì tâm đối xứng thiết điện biến mặt hình hộp thành mặt hinh hộp, nghĩa biến hình hộp thành hình hộp.Ta biết hình hộp có tâm đối xứng giao đường chéo,nên mặt phẳng thiết diện chứa 16.Cho tứ diện ABCD có đường cao cắt H.Gọi O G tâm mặt cầu ngoại tiếp trọng tâm tứ diện CMR G trung điểm đoạn OH Hướng dẫn Hiển nhiên mặt phẳng qua AB H vng góc với CD, chứa AH BH vng góc với CD.Gọi I trung điểm CD, OI vng góc với CD.Hãy dùng lại kết tập 17.CMR hình lăng trụ có đáy đa giác lồi với số lẻ cạnh, khơng có tâm đối xứng Hướng dẫn :dùng kết 13 18.CMR hình lăng trụ mà đáy có tâm đối xứng,thì lăng trụ có tâm đối xứng Hướng dẫn Ta ký hiệu A1A2…An B1B2…Bn đỉnh thuộc hai đáy , A1B1//A2B2//…AiBi//…//AnBn.Gọi O1 O2 tương ứng tâm đối xứng đa giác A1A2…An B1B2…Bn O trung điểm O1O2.Ta chứng minh O tâm đối xứng lăng trụ.Với đỉnh Ai ta xét đoạn AiAj nhận O1là trung điểm Gọi O’ trung điểm BiBj , O1O’// AjBj.Tương tự ta xét đoạn Ai+1Aj+1 nhận O1 trung điểm.Gọi O’’ trung điểm củaBi+1Bj+1 , O1O’’// Ai+1Bi+1//AiBi Vì O’ O’’ trùng nhau.Cứ tiếp tục ta suy O1O2// AiBi.Như với đỉnh Ai Z = ZO2•ZO •ZO1 biến thành đỉnh Bj 19.CMR hình chóp cụt khơng có tâm đối xứng Hướng dẫn.Nếu chóp cụt có tâm đối xứng, đỉnh đáy thứ biến thành đỉnh đáy tứ hai cạnh tương ứng hai đáy nhau.Ðiều mâu thuẫn với cạnh tương ứng hai đáy khác 20 CMR hình trụ trịn xoay có tâm đối xứng Hướng dẫn.Gọi O trung điểm đoạn thẳng nối tâm hai đáy Hãy chứng minh O tâm đối xứng hình trụ 21.CMR hình nón trịn xoay khơng có tâm đối xứng Hướng dẫn.Xét thiết diện hình nón qua đỉnh tâm đối xứng.Thiết diện tam giác có tâm đối xứng Mâu thuẫn chứng minh tốn 22 Cho hai đường thẳng chéo (x) (y).CMR không tồn phép đối xứng qua tâm biến đường thành đường Hướng dẫn.Gọi O tâm phép đối xứng (x’) ảnh (x) qua phép đối xứng, (x’)//(x).Gọi P mặt phẳng chứa (x) (x’).Vì (y) chéo với (x), nên (y) khơng nằm P, (y) (x’) khơng thể trùng Tìm tập hợp điểm 1.Cho mặt phẳng P tam giác ABC.Với điểm M thuộc P ta dựng điểm M1 đối xứng với M qua A; M2 đối xứng với M1 qua B M3 đối xứng với M2 qua C.Tìm tập hợp điểm M3 , M biến thiên P 11 2.Cho nhị diện (P,Q) điểm O cố định nằm nhị diện.Tìm tập hợp M P cho tồn Q điểm M’ mà O trung điểm đoạn MM’ Hướng dẫn :Gọi Q’ ảnh Q qua phép biến đổi ZO, M ảnh M’ qua phép biến đổi Zo.Vậy M thuộc giao tuyến x hai nửa mặt phẳng Q’ P.Tập M’ x tia thuộc x rỗng 3.Cho trước mặt cầu(O), mặt phẳng P điểm Q khơng thuộc P khơng nằm mặt cầu.Tìm tập hợp điểm M thuộc mặt cầu cho tồn P điểm M’ đối xứng với M qua Q Hướng dẫn : Tập hợp M đường tròn điểm rỗng 4.Cho hai mặt phẳng P,Q điểm O không nằm hai mặt phẳng đó.Tìm điểm M thuộc P N thuộc Q cho O trung điểm đoạn MN Hướng dẫn : Gọi P’ ảnh P qua phép biến đổi Zo, x giao tuyến Q P’(nếu có), ảnh x’ x qua phép biến đổi Zo thuộc Q.Các điểm M ,N cần tìm x x’ 5.Cho mặt phẳng P tập hợp gồm điểm A,B,C,D.Với điểm M thuộc P ta xác → → → → → định điểm N theo cơng thức MA+ MB+MC+MD= 2MN.Tìm tập hợp N, M biến thiên P → → → → Hướng dẫn Gọi G trọng tâm điểm cho , ta có 4MG = 2MN⇔ MG = GN → → ⇔ GM = -GN Hệ thức chứng tỏ tập hợp N mặt phẳng đối xứng với P qua G 6.Cho mặt cầu (O) điểm A,B,C,D.Với điểm M thuộc mặt cầu ta xác định điểm → → → → → N theo cơng thức 7MN = 2MA+3MB+4MC+5MD.Tìm tập hợp điểm N , M biến thiên mặt cầu → → → → → → Hướng dẫn Gọi G điểm cho 2GA+3GB+4GC+5GD = 0, ta có 7MN → → → → → → =14MG ⇔ MG + 7GN = 14MG ⇔ GN = -GM.Tập hợp N mặt cầu đối xứng với (O) qua G Dựng hình 1.Cho điểm A,B C,D nằm đường thẳng chéo (x)và (y).Hãy dựng hình hộp cho đoạn thẳng AB CD hai đường chéo thuộc hai mặt song song hình hộp 12 Hướng dẫn Gọi I, J trung điểm AB CD.Gọi O trung điểm đoạn IJ.Phép đối xứng qua O biến A→ A’, B→B’,C →C’,D→D’.Hình hộp gồm hai mặt song song chứa AB CD AD’BC’B’CA’D 2.Cho điểm A,B,C,D không nằm mặt phẳng.Hãy dựng hình hộp cho điểm cho giao điểm đường chéo hình hộp.Các điểm cịn lại đỉnh hình hộp 3.Cho hai mặt cầu tiếp xúc với A.Hãy dựng mặt phẳng qua A cắt đồng thời hai mặt cầu thành hai đường trịn có bán kính Hướng dẫn Dựng mặt cầu đối xứng với hai mặt cầu cho qua tâm A Mặt cầu vừa dựng cắt mặt cầu thứ hai theo đường tròn (K).Mặt phẳng chứa (K) mặt cần dựng 4.Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’(AA’//BB’//CC’//DD’).Gọi G,G’ trọng tâm tam giác AB’D’ ,BC’D.Người ta giữ lại điểm G, G’,B , A.Các đỉnh cịn lại xố đi.Hãy cách phục hồi đỉnh bị xoá Hướng dẫn.Gọi O trung điểm GG’, O tâm đối xứng hình hộp cho.Dùng O ta phục hồi đỉnh xoá Phép đối xứng qua đường thẳng Ðịnh nghĩa Cho trước đường thẳng d.Với điểm M không thuộc d ta xác định điểm M’ cho d đường trung trực đoạn MM’ Nếu M thuộc d, M’ M.Khi ta nói M’ điểm đối xứng với M qua d M’ ảnh M qua phép đối xứng ký hiệu Ð(d) : M → M’.Ðường thẳng d gọi trục đối xứng.Nếu quy tắc xác định cho điểm khơng gian, ta có phép đối xứng qua đường thẳng d không gian Cho hình H.Tập hợp ảnh điểm thuộc H qua phép biến đổi Ð(d) lập thành hình H’ gọi hình đối xứng với H qua d ảnh H phép biến đổi đó.Nếu H H’ trùng nhau, H hình có trục đối xứng Tính chất 1.Phép biến đổi Ð(d) có đường thẳng bất động d Ð(d) có phép biến đổi ngược.Phép biến đổi ngược Ð(d) 2.Nếu A’,B’ ảnh hai điểm A,B qua phép biến đổi Ð(d), A’B’=AB Chứng minh Gọi H K trung điểm AA’ BB’,ta có KH⊥AA’ KH⊥BB’.Ta có → → → → → AB 2= (AH +HK +KB )= AH2+KH2 +KB2+2AH.KB ; A’B’2 =(A’H+HK+KB’)2 = → → → → → → → → → → 2 +A’H +KH +KB’ +2A’H.KB’.Vì (AH, KB) = (A’H,KB’), nên AH.KB = A’H.KB’ Từ kết ta suy điều cần chứng minh Hệ Phép biến đổi Ð(d) biến : i) điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng ii)đường thẳng ∆ thành đường thẳng ∆’; tia Ox thành tia O’x’;đoạn AB thành ∧ ∧ ∧ ∧ 13 đoạn A’B’ A’B’=AB; góc xOy thành góc x’O’y’ x’Oy’=xOy iii) Mặt cầu (O,R) thành mặt cầu (O’,R) 3.Phép biến đổi Ð(d) biến điểm nằm mặt phẳng thành điểm nằm mặt phẳng Chứng minh Gỉa sử A,B,C điểm không thẳng hàng điểm A,B,C,D Gọi A’,B’,C’ ảnh điểm phép biến đổi Ð(d).Hiển nhiên A’,B’,C’ khơng thẳng hàng,Vì vậytồn mặt phẳng P’ qua qua điểm Gọi P mặt phẳng qua A,B,C, D’ ảnh D qua phép biến đổi Ð(d).Ta chứng minh D’ thuộc P’ Ta xét trường hợp D thuộc vào đường thẳng chứa cạnh tam giác, chẳng hạn D thuộc BC, D’ thuộc B’C’.Vì B’C’ thuộc P’, nên D’ thuộc P’ Trường hợp D không thuộc đường thẳng chứa cạnh tam giác ABC.Ta nối M với điểm A,B,C giả sử đường thẳng AD cắt BC N.Gọi N’ ảnh N, N’ thuộc P Do AN’ thuộc P’, nên D’ thuộc P’ Hệ Phép đối xứng Ð(d) biến i)Một mặt phẳng P thành mặt phẳng P’và P trùng với P’,khi d thuộc P;P// P’, d//P ; nửa mặt phẳng thành nửa mặt phẳng; Miền đa giác lồi thành miền đa giác lồi ; hình trịn (I;ρ) thành hình trịn (I’,ρ) Chứng minh Nếu d thuộc P M điểm thuộc P, M’ ảnh M, MM’ cắt d Do MM’thuộc P M’ thuộc P.Nếu d// P giả sử P cắt P’ theo giao tuyến d’, d’// d Với điểm X thuộc d’, phép đối xứng qua d biến thành điểm X’.Vì X thuộc P ,nên X’ thuộc P’ X thuộc P’, nên X’ thuộc P.Vậy X’là điểm chung P P’.Ðiều chứng tỏ P P’trùng hay d thuộcP Mâu thuẫn chứng tỏ P//P’ Ta xét nửa mặt phẳng P với bờ đường thẳng∆ điểm O thuộc ∆.Ta kẻ tia Ox thuộc P.Ký hiệu ∆’ O’x’ ảnh ∆ Ox qua phép biến đổi Ð(d).Khi O’x ∆’ xác định nửa mặt phẳng với bờ ∆’.Gỉa sử M điểm thuộc P M’ ảnh M.Nếu M nằm Ox, M’ nằm O’x’ M’ thuộc P’.Nếu M khơng thuộc Ox, ta xét đoạn AB chứa M có đầu mút thuộc tia Ox ∆ Gọi A’,B’ ảnh của A,B, A’,B’ thuộc P’ ∆’ Vì M thuộc AB, nên M’( ảnh M) thuộc A’B’.Ðiều chứng tỏ M’ thuộc P’ Mỗi miền đa giác lồi phần chung nửa mặt phẳng mà bờ đường thẳng chứa cạnh đa giác, ảnh phần chung đa giác lồi Mỗi hình trịn thiết diện mặt cầu mặt phẳng.Vì ảnh thiết diện thiết diện tạo ảnh mặt cầu mặt phẳng ii) Góc nhị diện biến thành góc nhị diện số đo góc phẳng hai nhị diện iii)hình nón N thành hình nón N’ hai hình nón có độ dài đường sinh , bán kính đáy nhau;Hình trụ T thành hình trụ T’có độ dài đường sinh nhau, bán kính đáy 14 Bài tập 1.Cho tứ diện ABCD.Gọi M, N trung điểm cạnh AB CD i) CMR MN trục đối xứng tứ diện ii) Gọi O trung điểm đoạn MN.CMRvới điểm K nằm tứ diện ta có KA+KB+KC+KD ≥ OA+ OB + OC+OD Hướng dẫn Gọi K’ điểm đối xứng với K qua MN, H giao KK’ MN.Ta có KA+KB =AK+AK’> 2AH KC+KD = CK+CK’> 2CH.Ta chứng minh AH+CH > OA+ OC.Xét mặt phẳng(MCD) điểm A’ cho tia MA’ vng góc với MN ngược chiều với tia NC Ðộ dài MA’= MA.Rõ ràngHA’=HA, HA+HC = HA’+HC > A’C.Mà A’C qua O 2.Cho tứ diện ABCD có AB=CD,AC=BD,AD=BC.Gọi M,N trung điểm cạnh AB CD.Gọi A’,B’ chân đường vng góc hạ từ A B xuống CD; C’,D’ chân đường vng góc hạ từ C D xuống AB.CMR A’C’=B’D’ A’D’=B’C’ 3.Trong khơng gian cho hình bình hành ABCD i)CMR đường thẳng qua giao điểm đường chéo hình bình hành vng góc với mặt phẳng hình bình hành trục đối xứng ii)CMR tồn đường thẳng d khơng nằm mặt phẳng chứa cho phép đối xứng Ð(d) biến ABCD thành , d phải qua giao điểm đường chéo hình bình hành vng góc với mặt phẳng chứa Hướng dẫn:Nếu Ð(d) biến ABCD thành nó, biến mặt phẳng (ABCD) thành Vì d vng góc với (ABCD).Gọi O giao điểm d mặt phẳng (ABCD), Nếu M điểm thuộc hình bình hành ABCD M’là ảnh M O trung điểm MM’.Vậy O tâm đối xứng biến M thành M’hay tâm đối xứng hình bình hành d vng góc với mặt phẳng (ABCD) 4.Cho hình chóp SABCD đáy hình bình hành ABCD SA=SC,SB=SD.CMR đường thẳng qua S giao điểm đường chéo hình bình hành trục đối xứng hình chóp 5.Cho tứ diện ABCD có AC=AD=BC=BD.Gọi M, N trung điểm cạnh AB CD.Trên cạnh AC ta lấy điểm K.Mặt phẳng qua K,M,N cắt BD L.CMR tứ giác MKNL có hai đường chéo vng góc Hướng dẫn : MN trục đối xứng biến A thành B, C thành D.Vì K thành K’ thuộc cạnh BD AK = BK’.Mặt khác MN trục đối xứng mặt phẳng qua điểm (K,M,N), nên K’ thuộc mặt phẳng đó.Vậy K’ giao BD với (KMN) hay K’ trùng với L 6.Cho hai đường thẳng x,y cắt vng góc với O.Ta đặt Ð = Ð(y)•Ð(x).CMR Ð phép đối xứng qua đường thẳng z, z vng góc với mặt phẳng chứa x,y O Hướng dẫn :Ta tìm đường thẳng bất động Ð.Gọi z đường thẳng bất động Ð M điểm thuộc z.Theo định nghĩa Ð(x) : M→ M’, MM’ vng góc với x trung điểm nó.Ð(y) : M’→ M, M’M vng góc với y trung điểm nó.Vậy x, y qua trung điểm MM’ vng góc với nó.Ðiều 15 chứng tỏ giao điểm O x y trung điểm MM’và MM’ vuông góc với mặt phẳng chứa x,y.MM’ đường thẳng z Gỉa sử X điểm không thuộc z , X’ ảnh X qua phép biến đổi Ð(x), XX’ vng góc với x trung điểm H X’’ ảnh X’ qua phép biến đổi Ð(y), X’X’’ vng góc với y trung điểm K nó.Ta cần chứng minh z đường trung trực XX’’.Gọi I giao điểm đường thẳng kẻ qua X’ song song với z.Hiển nhiên mặt phẳng (IXX’)//y (IX’X’’)//x, tứ giác OHIK hình chữ nhật Gọi N trung điểm XX’’, X’N qua giao điểm đường chéo hình chữ nhật OHIK nhận giao điểm trung điểm Vì ON//X’I.Ðiều chứng tó N thuộc z.Mặt khác XX’’//KH , XX’’⊥ z.Ðó điều cần chứng minh 7.Tứ diện ABCD có diện tích hai tam giác ACD, BCD ABC,ABD Gọi M, N trung điểm cạnh AB CD.CMR MN trục đối xứng tứ diện Hướng dẫn:Từ A ,B,M ta hạ đường vng góc xuống CD ký hiệu H,K,M’ chân đường vuông góc đó.Nếu điểm trùng nhau, điểm trùng nhau.Vì tam giác AM’B cân M’.MM’ đường vng góc chung AB CD.Tam giác MCD cân M, CM DM hai đường cao hai tam giác ABC ABD.Do MM’ trung tuyến tam giác MCD M’ trùng với N Trường hợp H,K,M’ khác nhau, tồn mặt phẳng vng góc với CD chứa đường thẳng BK,AH,MM’.Theo định lý Ta lét ta có M’K=M’H.Do M’B =M’A.Tam giác M’AB cân M’ MM’ đường vng góc chung AB CD Tương tự ta có NN’ đường vng góc chung AB CD 8.Cho hai đường thẳng (a) (b) chéo CMR tồn phép đối xứng biến a thành (a) biến (b) thành (b) Hướng dẫn : Gọi (c) đường vng góc chung (a) (b).Phép đối xứng qua(c) biến đường thẳng thành 9.CMR hình tứ diện có trục đối xứng, trục đối xứng khơng qua đỉnh tứ diện Hướng dẫn.Ta xét tứ diện ABCD có trục đối xứng d qua A.Với điểm M thuộc tứ diện tồn điểm M’ thuộc tứ diện đối xứng với M qua d.Ta dựng mặt phẳng P qua MM’ d, P cắt tứ diện theo thiết diện tam giác có đỉnh A.Vì d trục đối xứng P, nên d trục đối xứng thiết diện.Thiết diện tam giác có trục đối xứng , tam giác cân A.Vậy d vng góc với mặt BCD H.Do d trục đối xứng tam giác BCD khơng nằm mặt phẳng chứa tam giác , nên H tâm đối xứng tam giác đó.Ðiều khơng thể xảy ra, tam giác khơng có tâm đối xứng 10.CMR đường chéo hình lập phương khơng thể trục đối xứng Hướng dẫn.Ta xét lập phương ABCDA’B’C’D’ giả sử AC’ trục đối xứng nó.Ta xét thiết diện ABC’D’ lập phương.Thiết diện phần chung cuat lập phương mặt phẳng P qua AC’.Ta biết AC’ trục đối xứng P, AC’ trục đối xứng phần chung hai hình.Vậy AC’ trục đối xứng cỉa thiết diện 16 ABC’D’.Nếu đường chéo tứ giác lồi trục đối xứng , đường chéo phân giác chung hai góc tứ giác mà đỉnh đầu mút đường chéo Vì AB=AD’ Mâu thuẫn chứng minh tốn 11.Cho hình lập phươngABCDA’B’C’D’.Ta xét hình (F) gồm đường thẳng AB, CC’ A’D’.CMR (F) hình có trục đối xứng Hướng dẫn gọi I , J trung điểm A’D’ BC.Ðường thẳng IJ trục đối xứng (F) 12.CMR hình chóp có trục đối xứng qua đỉnh , đáy hình chóp đa giác có số chẵn cạnh Hướng dẫn.Gọi S đỉnh hình chóp d trục đối xứng qua S Nếu d song song với đáy hình chóp, ảnh đáy thuộc mặt phẳng song song với đáy nó.Ðiều khơng thể xảy ảnh khơng thuộc hình chóp.Bởi d phải cắt mặt phẳng đáy.Ta xét thiết diện hình chóp qua d.Thiết diện tam giác có trục đối xứng, nên tam giác cân đỉnh S.Vậy d vng góc với cạnh đáy tam giác d vng góc với đáy.Ðường thẳng d trục đối xứng đáy ,nên giao điểm d với đáy tâm đối xứng đáy.Một đa giác có tâm đối xứng, số cạnh chẵn 13.CMR hình lăng trụ tam giác có trục đối xứng, lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy Hướng dẫn.Ta ký hiệu ABCA’B’C’ hình lăng trụ có tính chất nêu toán (AA’//BB’//CC’) d trục đối xứng nó.Hiển nhiên d khơng thể nằm mặt phẳng đáy lăng trụ, chẳng hạn d thuộc mặt phẳng (ABC),vì phép đối xứng qua d biến đỉnh A’,B’,C’ nằm mặt phẳng song song với (ABC) khác phía với (A’B’C’).Ðiều chứng tỏ ảnh A’,B’,C’ khơng thuộc lăng trụ.Ta thấy d không cắt đáy lăng trụ, d cắt (ABC) O, ảnh cạnh bên cạnh bên, điều chứng tỏ d phải thuộc mặt bên.Ðiều khơng thể xảy ra.Vậy d song song với đáy lăng trụ.Phép đối xứng qua d biến (ABC) thành (A’B’C’),mặt bên chứa A thành mặt bên chứa A’, A thành A’.Ðiều chứng tỏ d vng góc với AA’ hay AA’ vng góc với đáy lăng trụ 14.CMR hình nón trịn xoay có trục đối xứng 15.CMR hình trụ trịn xoay có vơ số trục đối xứng 16.CMR hình hộp chữ nhật khơng có q trục đối xứng Hướng dẫn.Ký hiệu ABCDA’B’C’D’ hình hộp chữ nhật (AA’//BB’//CC’//DD’) d trục đối xứng nó.Hiển nhiên d khơng nằm mặt phẳng chứa mặt hình hộp, d cắt hai mặt song song hình hộp khơng thuộc cạnh hình hộp.Chẳng hạn d cắt ABCD I A’B’C’D’ I’ điểm hình chữa nhật(nếu I I’ trùng với hai đỉnh đó, II’ đường chéo hình hộp ,chẳng hạn đường chéo AC’.Ðường chéo trục đối xứng tứ giác ABC’D’ AB’C’D.Ðiều xảy ra).Ta xét thiết diện tứ giác hình hộp qua II’.Thiết diện hình bình hành có trục đối xứng, nên hình chữ nhật.Có hai thiết diện khác thế, nên d vng góc với ABCD d// BB’.Xét thiết diện 17 qua BB’ II’.Vì nhận II’ trục đối xứng, ảnh BB’ CC’.Ðiều chứng tỏ d qua giao điểm đường chéo hai mặt ABCD A’B’C’D’ 17.Một đa giác n- cạnh khơng gian có trục đối xứng ? Hướng dẫn Với n chẵn số trục đố xứng đa giác nằm mặt phẳng chứa n.Vì đa giác có tâm đối xứng, nên đường thẳng qua tâm đối xứng vng góc với mặt phẳng đa giác trục đối xứng nữa.Vậy só trục đối xứng n+1 Với n lẻ, số trục đối xứng nằm mặt phẳng n.Ða giác khơng có tâm đối xứng, nên trục đối xứng đa giác khơng nằm mặt phẳng chứa khơng tồn 18.Một hình thang cân khơng gian có trục đối xứng? Trả lời : , hình thang cân khơng có tâm đối xứng 19.Hình thoi khơng gian có trục đối xứng ? Trả lời : 3.Nếu đa giác phẳng khơng gian có trục đối xứng khơng thuộc mặt phẳng chứa nó, đa giác có tâm đối xứng Dựng hình 1.Cho mặt phẳng P hai đường thẳng (x), (y) chéo không thuộc P Hãy tìm P điểm A (y) điểm B (x) đường trung trực đoạn AB Hướng dẫn.Gọi (y’) ảnh (y) qua phép biến đổi Ð(x).Giao điểm (y’)nếu có điểm A.B ảnh A qua phép biến đổi 2.Cho hai mặt phẳng P, Q đường thẳng (x) không nằm hai mặt phẳng đó.Hãy tìm điểm A P cho tồn Q điểm B đối xứng với A qua (x) 3.Cho đường thẳng d điểm A không thuộc d.Hãy dựng tứ diện có đỉnh A đường thẳng d qua trung điểm hai cạnh chéo tứ diện Hướng dẫn Gọi B điểm đối xứng A qua d, M giao AB d.Dựng điểm N d cho MN = AM Dựng đường thẳng d’ qua N vng góc đồng thời với d AB.Trên d’ dựng điểm C D cho NC=ND = AM 4.Cho điểm A đường thẳng d khơng qua A.Hãy dựng hình lập phương cho A đỉnh, d đường thẳng qua tâm hai mặt song song Tìm tập hợp điểm 1.Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’.Trên đoạn AC B’D’ ta lấy điêm M,N cho AM = D’N.Tìm tập hợp trung điểm đoạn MN, M N biến thiên Hướng dẫn : Gọi I, J trung điểm đoạn AD’ B’C.Khi IJ trục đối xứng biến A thành D’ C thành B’.Vì M thành M’ thuộc đoạn D’B’ AM = D’M’ Theo giả thiếtAM = D’N, M’ N trùng nhau.Vậy trung điểm MN thuộc đoạn IJ.Nếu AC =B’D’ , tập hợp cần tìm đoạn IJ.Nếu AC ≠ B’D’, tập hợp cần tìm tập hợp thuộc đoạn IJ 2.Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy tam giác cân ABC (AB=AC).Trên cạnh AC A’B’ ta lấy điểm tương ứng M M’ cho AM =A’M’.Tìm tập hợp trung điểm đoạn MM’ 18 Hướng dẫn Gọi I,J trung điểm cạnh bên AA’ giao đường chéo hình chữ nhật BCC’B’.Hiển nhiên IJ trục đối xứng hai đoạn AC A’B’.Vậy M M’ đối xứng với qua IJ.Trung điểm MM’ thuộc đoạn IJ 3.Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành ABCD cạnh bên SA=SC, SB = SD.Gọi M, N trung điểm cạnh SA SC.Trên đoạn BM DN ta BK DH lấy điểm tương ứng K H cho BM = DN Tìm tập hợp trung điểm đoạn KH Hướng dẫn Gọi O giao điểm đường chéo đáy, SO trục đối xứng hai đoạn BM DN 19 ... 8.Ảnh hình qua phép biến đổi Cũng hình học phẳng, hình học khơng gian ta xem hình khơng gian tập hợp điểm Cho hình khơng gian F.Tập hợp ảnh điểm thuộc F qua phép biến đổi f lập thành hình F’... 9.Hai hình trùng Ta nói hai hình khơng gian F1 F2 trùng nhau, điểm hình thuộc hình ngược lại Hai hình trùng ký hiệu F1≡ F2 Nếu điểm F1 thuộc F2, ta nói F1 hình F2 B Một số phép biến đổi hình học không. .. trục đối xứng đa giác không nằm mặt phẳng chứa khơng tồn 18.Một hình thang cân khơng gian có trục đối xứng? Trả lời : , hình thang cân khơng có tâm đối xứng 19 .Hình thoi khơng gian có trục đối xứng