De chon HS Gioi Toan 9 TX Q Tri

Học sinh làm bài trên tờ giấy thi do HĐCT phát.. a Chứng minh KBC đồng dạng HDC.[r]

PHÒNG GD & ĐT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ ĐỀ THI HS GIỎI LỚP NĂM HỌC 2011 - 2012 Khoá ngày 02 tháng 11 năm 2011 Môn thi : TOÁN Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC (Chú ý: Đề này gồm có 01 trang Học sinh làm bài trên tờ giấy thi HĐCT phát) Bài 1: (4,5 điểm) 1   x 1    : x   x   x1 x 3   x    Cho biểu thức: a) Rút gọn P b) Tìm x để Bài 2: (4,5 điểm) P  P  với x  0, x 1& x 9 a) Giải phương trình: x2 + 6x + 10 = 2x   b) Cho x, y là các số thoả mãn: x2   x   y   y 9 2011 2011 Hãy tính giá trị biểu thức: A x  y  Bài 3: (4,0 điểm) 11      a) Với a, b > chứng minh: a  b  a b  Dấu “=” xảy nào? 1   8 x y z b) Cho x, y, z là số dương thoả mãn: M Tìm giá trị lớn 1   2x  y  z x  2y  z x  y  2z Bài 4: (5,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AC > BD; kẻ CH vuông góc với AD (HAD); kẻ CK vuông góc với AB (KAB) a) Chứng minh KBC đồng dạng HDC b) Chứng minh HCK đồng dạng ABC , suy HK = AC.sinBAD c) Chứng minh AB.AK + AD.AH = AC2 Bài 5: (2,0 điểm) Cho ABC vuông A và điểm M nằm trên cạnh huyền BC Gọi H và K là hình chiếu M lên các cạnh AB và AC Chứng minh rằng: AC AB  4 MH MK Lưu ý : -Hết Cán coi thi không giải thích gì thêm PHÒNG GD – ĐT TX QUẢNG TRỊ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP Năm học : 2011 – 2012 Môn : TOÁN Khoá ngày: 02/11/2011 (Chú ý: Hướng dẫn chấm này gồm có 03 trang) Bài 1: (4,5 điểm) a) Với x  0, x 1& x 9 , ta có:   x 1 x 3  P   :     x   x  x    x1  x  x 1 : x x    Vậy  x 1   : x x       : x  x  1 P    x  3   x  1 x1  x 3 x3  (0,75 điểm) x  1 x  x x1  x  3   x  1 (0,75 điểm) (0,75 điểm) x x (0,50 điểm) b) Với x  0, x 1& x 9 , ta có: x P     2 x   x   x (0,50 điểm) x   x  x 3  x   x 25 (TMĐK) x P  25 thì Vậy với (0,50 điểm)  (0,50 điểm) (0,25 điểm) Bài 2: (4,5 điểm) a) Giải phương trình: x2 + 6x + 10 = 2x  5 2x  0  x  Điều kiện Ta có: x2 + 6x + 10 = 2x   (x  4x  4)  (2x  5)  2x  1 0  (x  2)    2x   0 (1,25 điểm)  x  0   x   2x   0 b) Cho x, y là các số thoả mãn:  x 9  x Từ  x2   x  x2   x 2011 (0,75 điểm)  y   y 9 2011 y  y   y 9 Hãy tính giá trị biểu thức: A x (*)   (0,25 điểm) (*) 1   x2   x  9     y2   y 9 x2   x  y   y  x   x (1) (0,75 điểm) 2 Tương tự ta có: x   x  y   y (2) Lấy (1) cộng với (2) ta có : y =  x 2011 2011 2011 2011 Suy A x  y  x  x  1 (0,75 điểm) Vậy A = (0,75 điểm) Bài 3: (4,0 điểm) 11      a) Với a, b > chứng minh: a  b  a b  Dấu “=” xảy nào? Với a, b > ta có: (a – b)2 0  a2 + b2 2ab  ( a + b )2  4ab (0,75 điểm) 4ab a b ab     ab a  b 4ab (0,75 điểm) 11 1      a  b  a b  Dấu “ = ” xảy  a = b (0,50 điểm) 1   8 b) Cho x, y, z là số dương thoả mãn: x y z 1 M   2x  y  z x  2y  z x  y  2z Tìm giá trị lớn Vì x, y, z là các số dương, áp dụng bất đẳng thức câu a) ta có : 1 1 1  1 1 1 2 1               2x  y  z x  y  x  z  x  y x  z  16  x y x z  16  x y z  (1) (0,50 điểm) 1 1 1   1 1 1 1               x  2y  z x  y  y  z  x  y y  z  16  x y y z  16  x y z  (2) (0,50 điểm) 1 1 1   1 1  1 2               x  y  2z x  z  y  z  x  z y  z  16  x z y z  16  x y z  (3) (0,50 điểm) 1 11 1 M         2 2x  y  z x  2y  z x  y  2z  x y z  Từ(1); (2); (3) suy 1   8 ( vì x y z ) Dấu “=” xảy  x = y = z = Vậy M max 2  x y z  Bài 4: (5,0 điểm) (0,50 điểm) Vẽ hình đúng: (0,25 điểm) K B A N M C D H a) Chứng minh ∆KBC ~∆HDC (g.g) b) Chứng minh ∆HCK ~∆ABC (c.g.c) Từ ∆HCK ~ ∆ABC  =  KH = AC = AC.sinKBC Mà KBC = BAD (2 góc đồng vị)  KH = AC.sinBAD c) Kẻ BM  AC M (hoặc DN  AC N ) hình vẽ Ta có: ∆ABM ~∆ACK (g.g) và ∆CMB ~∆AHC (g.g)  AB.AK = AM.AC và BC.AH = AC.MC = AD.AH (Vì AD = BC)  AB.AK + AD.AH = AC(AM + MC)  AB.AK + AD.AH = AC.AC = AC (1,25 điểm) (1,25 điểm) (0,50 điểm) (0,50 điểm) Bài 5: (2,0 điểm) Ta có AB.MH + AC.MK = 2SABC 2.SABC AC AB    MH MK MH.MK (0,75 điểm) (0,50 điểm) (0,50 điểm) Đặt S = SABC ; S1 = SAMB ; S2 = SAMC Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số dương ta có: S S1  S2 2 S1S2  4S1S2 S2 (0,50 điểm) Do đó: 2.SABC AC AB 2.S 4.S2 4.S2      4 MH MK 2S1 2S2 4S1S2 4S1S2 S2 AB AC 2S (Vì AB.AC = 2S) AC AB  4 Vậy: MH MK (0,75 điểm) B Vẽ hình đúng H A (0,25 điểm) M K C */ Ghi chú: - Học sinh làm cách khác đáp án, đúng cho điểm tối đa - Điểm toàn bài không làm tròn