Sự phát triển vũ trụ trong mô hình hấp dẫn cải tiến f(r) dạng hàm mũ đa thức

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN OC OT N ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔN K T N HỆ CẤP TRƯỜN Đ T I Sự phát triển vũ trụ mơ hình hấp dẫn cải tiến f(R) dạng hàm mũ đa thức Mã số: Thuộc Chương trình nghiên cứu: Chủ nhiệm đề tài: TS Võ Văn Ớn ình Dương, 12/2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN OC OT N ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔN K T N HỆ CẤP TRƯỜN Đ T I Sự phát triển vũ trụ mơ hình hấp dẫn cải tiến f(R) dạng hàm mũ đa thức Mã số: Thuộc Chương trình nghiên cứu: Chủ nhiệm đề tài: TS Võ Văn Ớn ình Dương, 12/2019 .1 3 hương Sự giãn nở tăng tốc vũ trụ hướng tiếp cận hấp dẫn cải tiến f(R) để giải thích kiện 1.2 Tiêu chuẩn cho tồn t i c a m t lý thuy t f(R) ng lực họ ũ r ú 8 ịnh c a m t mơ hình h p d n f(R) 1.4 Tính 1.5 Ghosts ng lực họ ú a nhiễu lo ũ r 1.7 Bài tốn Cơsi 1.8 K t lu hương Các kịch phát triển vũ trụ mơ hình hấp dẫn cải tiến f(R) dạng hàm mũ đa thức ũ ũ r r ũ r hương Ước lượng tham số mơ hình từ quan sát thiên văn r ũ– 0 u ki n tầng mỏng ự r 23 24 r r 24 Kết luận chung đ tài kiến nghị Tài li u tham kh o 25 27 BÁO CÁO TỔNG KẾT Sự phát triển vũ trụ mơ hình hấp dẫn cải tiến f(R) dạng hàm mũ đa thức TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU THUỘC LĨNH VỰC CỦA ĐỀ TÀI Ở TRONG VÀ NGỒI NƢỚC 1.1 Ngồi nƣớc: - Nghiên cứu hướng hấp dẫn cải tiến f(R) khác hấp dẫn Einstein năm 1970 với cơng trình Hans Adolph Buchdahl[1], ơng ta thay độ cong vô hướng R tác dụng Einstein – Hilbert hàm tổng quát φ(R), ta dùng f(R) Nhà vật lý Nga Starobinsky[2] vào năm 1980 cho thấy hấp dẫn cải tiến f(R) giải thích cho lạm phát vũ trụ Sau phát vũ trụ giãn nở tăng tốc vào năm 1998, nghiên cứu cải tiến hấp dẫn Einstein trở nên sôi động hết, mở đầu cơng trình S Carroll cộnng sự[3], nghiên cứu sau kể nhiều tác giả tên tuổi khác Faraoni, F [4], De Felice [5], Sotiriou, T P [6,7], Capozziello, S [8] Riêng hướng hấp dẫn cải tiến f(R) có dạng hàm mũ nghiên cứu vài tác giả giới dạng đơn giản Eric V Linder [9], Kazuharu Bamba, Chao-Qiang Geng and Chung-Chi Lee [10], XU Qiang and CHEN Bin [11] Mơ hình hấp dẫn f( R) dạng hàm mũ – đa thức với tác dụng tổng quát phức tạp lần đề xuất tác giả đề tài vào năm 2012 1.2 Trong nƣớc: - Nhóm nghiên cứu cua GS Hồng Ngọc Long Viện Vật Lý Điện tử thuộc Viện hàn lâm khoa học cơng nghệ quốc gia có nghiên cứu phát triển vũ trụ mơ hình lý thuyết 3-3-1, khơng theo hướng f(R) - Nhóm nghiên cứu TS Nguyễn Ái Việt khoa Vật Lý trường ĐH.Khoa học Tự nhiên Hà Nội có nghiên cứu hấp dẫn, vũ trụ không làm theo hướng f(R) - Tại ĐH Khoa học Tự nhiên tp.HCM, TS Võ Quốc Phong nghiên cứu phát triển vũ trụ khơng gian nhiều chiều mơ hình 3-3-1 - Một vài báo nghiên cứu nhóm nghiên cứu tác giả trình bày hội ngh Vật lý lý thuyết toàn quốc năm 2012 hội ngh Vật lý mô ph ng ĐH.Bách Khoa tp.HCM năm 2014, hội ngh cấp trường Đại học Thủ Dầu Một tháng năm 2017, hội ngh Vật lý lý thuyết toàn quốc tháng năm 2017 Cần Thơ - Một báo hướng đăng tạp chí ĐH.Thủ Dầu Một năm 2012 - Một báo chấp nhận đăng tạp chí TDM năm 2017 1.3 Danh mục cơng trình cơng bố thuộc lĩnh vực đề tài chủ nhiệm thành viên tham gia nghiên cứu: [1] Võ Văn Ớn , Trần Trọng Nguyên, Sự giãn nở tăng tốc vũ trụ mơ hình hấp dẫn f(R) dạng hàm mũ – đa thức, Tạp chí Đại học Thủ Dầu Một, số 4, tập 6, trang 3-7, 2012 [2] Vo Van On , Tran Trong Nguyen, Some Scenarios of Cosmol ogical Revolution in Polynomial Exp onential f( R) Modified Theory of Gravity, Chinese Journal of Physics, 53, 3, pp 060101-1….060101-10, 2015( SCI) [3] Võ Văn Ớn – Trương Hữu Ngh , Nhiễu loạn tuyến tính vũ trụ mơ hình hấp dẫn cải tiến f(R) dạng hàm mũ – đa thức, , số 3, tập 34, trang 3-14, 2017 [4] Võ Văn Ớn – Nguyển Hải Đăng, Cosmic inflation in modified gravity f( R) of polynomial – exponential form, Báo cáo hội ngh VLLT toàn quốc 2017 [5] Vo Van On – Nguyen Ngoc, Mechaleon mechanism in modified gravity f(R) of polynomial – exponential form, Journal of Physics: Conf Series 1034 012002 , pp.1-9 ,2018( Scopus) TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI - Vũ trụ giãn nở tăng tốc đầy bí ẩn Có nhiều mơ hình lý thuyết giải thích cho tượng chưa có mơ hình thật th a đáng Cách giải thích cho hợp lý tăng tốc loại vật chất bí ẩn gọi lượng tối chiếm 70% tổng lượng vũ trụ gây Tuy nhiên cách giải thích gặp nhiều khó khăn như: người ta chưa quan sát hạt lượng tối dù có tỉ lệ lớn vũ trụ, mơ hình lượng tối gặp phải khó khăn khó vượt qua Một hướng lý thuyết khơng cần viện dẫn đến lượng tối bí ẩn giải thích tăng tốc vũ trụ hấp dẫn cải tiến f(R), tức hướng mở rộng Thuyết tương đối rộng Einstein - Lý thuyết hấp dẫn cải tiến f(R) dạng hàm mũ – đa thức tác giả đề xướng năm 2012 thuộc lớp lý thuyết này, biểu thức f(R) tích hàm đa thức R hàm e mũ đa thức theo R nên tổng quát so với dạng lũy thừa khác hứa hẹn cho giải thích tốt cho tăng tốc số khía cạnh khác vũ trụ nghiên cứu thấu đáo nên có tính cấp thiết MỤC TIÊU ĐỀ TÀI - Tìm hiểu phát triển vũ trụ có mơ hình hấp dẫn f(R) dạng hàm mũ – đa thức qua phương pháp giải số kết hợp với giải tích ĐỐI TƢỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU 13.1 Đối tượng nghiên cứu: - Nghiên cứu lớp lý thuyết hấp dẫn cải tiến f(R) - Nghiên cứu phát triển vũ trụ lớp mơ hình - Khảo sát ràng buộc lên mơ hình từ quan sát thiên văn học 13.2 Phạm vi nghiên cứu: - Nghiên cứu lý thuyết f(R) vài dạng đặc biệt, không khảo sát tổng quát - Chỉ khảo sát khía cạnh k ch phát triển vũ trụ mơ hình - Chỉ khảo sát thời gian sau vụ nổ Big Bang, trước giai đoạn lạm phát, từ 10-35s sau Big Bang sau CÁCH TIẾP CẬN, PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 14.1 Cách tiếp cận: - Thu thập tài liệu liên quan đến lý thuyết hấp dẫn f(R) nghiên cứu giới - Tìm hiểu cách tính số, cách tiếp cận đến khía cạnh lý thuyết f(R) - Tìm hiểu cách rút dáng điệu phát triển vũ trụ từ lý thuyết f(R) - Tìm hiểu cách xác đ nh tham số mơ hình từ quan sát thiên văn 14.2 Phương pháp nghiên cứu: - Xây dựng tác dụng cải tiến cho lý thuyết hấp dẫn f(R) - Rút phương trình Friedmann cải tiến mơ hình - Giải số phương trình Friedmann tìm dáng điệu phát triển vũ trụ - Phân tích, so sánh, đánh giá kết tính tốn với kết thu từ quan sát thiên văn NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ TIẾN ĐỘ THỰC HIỆN Nội dung nghiên cứu: - Xây dựng tác dụng cải tiến cho lý thuyết f(R); Rút phương trình Friedmann cải tiến + xây dựng tác dụng cải tiến f(R) dạng hàm mũ – đa thức rút phương trình Friedmann cải tiến - Giải số phương trình Friedmann tìm nghiệm vũ trụ giải số phương trình Friedmann bàn luận kết - Ước lượng tham số mơ hình từ quan sát thiên văn thu thập số liệu quan sát thiên văn – vũ trụ liên quan đến mơ hình ước lượng tham số mơ hình từ số liệu quan sát thiên văn Nội dung báo cáo tổng ết Phần mở đầu Sự giãn nở tăng tốc vũ trụ Chương Các phương trình Friedmann cải tiến mơ hình hấp dẫn f( R) dạng hàm mũ – đa thức Chương Giải số phương trình Friedmann cải tiến Chương Ước lượng tham số mơ hình từ quan sát thiên văn Tài liệu tham khảo Chƣơng Sự giãn nở tăng tốc vũ trụ hƣớng tiếp cận hấp dẫn cải tiến f(R) để giải thích iện Có nhiều kiện quan sát thời gian gần vũ trụ giai đoạn tăng tốc Những quan sát dựa siêu loại IA[12,13,14,15], xạ vũ trụ[16], tạo thành cấu trúc giai lớn vũ trụ[17], gương hấp dẫn yếu[18] Có ba hướng tiếp cận lý thuyết giải thích tăng tốc vũ trụ là[19]: - Một số vũ trụ ˄, - Năng lượng tối, - Hấp dẫn cải tiến Trong hướng tiếp cận đầu tiên, số vũ trụ ˄ đẩy vật chất vũ trụ làm cho tăng tốc xu hướng chiếm ưu vũ trụ nay, đưa vũ trụ vào pha de Sitter tăng tốc mãi Cách tiếp cận hướng giải thích rõ ràng cho tăng tốc nay, nhiên gặp phải hai vấn đề nan giải vấn đề số vũ trụ( khác biệt đến 120 bậc độ lớn giá tr lý thuyết giá tr quan sát số vũ trụ)[20, 21]và vấn đề trùng (sự trùng bậc độ lớn khơng thể giải thích mật độ vật chất thông thường mật độ lượng vacuum vật lý, xác đ nh độ lớn số vũ trụ, thời điểm tốc độ thay đổi chúng khác trình phát triển vũ trụ) Do hai vấn đề nan giải này, phần lớn nhà vật lý loại b hướng tiếp cận giải thích tăng tốc vũ trụ Trong hướng tiếp cận thứ hai, hầu hết mơ hình nằm khuôn khổ Thuyết tương đối tổng qt Einstein, cơng nhận có tồn dạng vật chất vũ trụ gọi lượng tối với phương trình trạng thái P    ( p áp suất,  mật độ lượng vật chất tối), chiếm ưu vũ trụ giai đoạn vật chất ưu nay, lượng tối chí lượng “ma” với phương trình trạng thái P    Nhiều mơ hình lượng tối nghiên cứu khơng có mơ hình hồn tồn thuyết phục tránh vấn đề tinh chỉnh để xem mơ hình “đúng” Trong hướng tiếp cận thứ ba, người ta thay đổi Thuyết tương đối tổng quát Einstein để giải thích tăng tốc vũ trụ không cần đến số vũ trụ hay lượng tối bí ẩn, hướng tiếp cận lớp mơ hình hấp dẫn cải tiến f(R) quan tâm đặc biệt 1.1 Cở sở hấp dẫn f(R) Hấp dẫn f(R) có hình thức luận sau: • Hình thức luận mêtric hay hình thức luận bậc hai, • Hình thức luận Palatini hay hình thức luận bậc một, • Hình thức luận mêtric – affin Trong đề tài này, đề cập đến hình thức luận mê tríc thơi Tác dụng Einstein- Hilbert là: SE H  2k   g ( R  2)d x  S M (1) dạng tổng quát, tác dụng hấp dẫn f(R) frame dạng Jordan với trường vật chất viết sau: S J ( g ab )  2k  f ( R)  gd x  S M (2) f( R) hàm phi tuyến vơ hướng Ricci R, SM tác dụng trường vật chất, k  8 G , vô hướng Ricci đ nh nghĩa sau: c4 c R  g ab Rab , Rab  Racb (3) Tenxơ độ cong là: d d d d d Rabc  c ab  bac  eabce  eacbe (4) Khi thay đổi tác dụng tenxơ metric gab ta phương trình trường: dạng phiếm hàm biết Vì 1/H đo tuổi vũ trụ H hàm giảm đơn điệu thời gian vũ trụ, phương trình (15) dùng để nghiên cứu phát triển đ nh tính vũ trụ theo q Chúng ta chọn đơn v cho H0 , giá tr H nay, đơn v tìm giá tr q q’(H) từ vùng phù hợp với kết quan sát[25] Chúng ta vẽ q theo H cấu hình khác hệ Vì ngh ch đảo H cho ta ước lượng tuổi vũ trụ, phát triển tương lai vũ trụ hiểu từ vùng H < khứ từ vùng q >1 mặt phẳng (q-H) Vì vũ trụ tăng tốc, sử dụng q < giai đoạn tại, H = H0 = vũ trụ vào pha q âm ( tức tăng tốc ) giãn nở khứ gần Mơ hình sử dụng để tiên đốn phát triển tương lai vũ trụ Đồ th giải số phương trình sau: Hình Các chuyển pha giảm tốc - tăng tốc mô hình với vài giá tr alpha, beta khác So sánh với phát triển số mơ hình khác: 15 Hình 2: Mơ hình với[3] f ( R)  R  4 R Hình 3: Mơ hình [26] với f ( R)  R  m exp(nR) 16 Hình Mơ hình [27]với f ( R)  R   R  4 R 2.3 àn luận dáng điệu phát triển vũ trụ t mô hình Từ dáng điệu đồ th hình 1, ta thấy số đặc điểm phát triển vũ trụ sau: - vũ trụ khứ giai đoạn giảm tốc ứng với đường cong phát triển nằm phía đường q =0 - vũ trụ giai đoạn tang tốc, ứng với đường cong phát triển nằm phía đường q = - vũ trụ tương lai chuyển qua giai đoạn giảm tốc trở lại đường cong phát triển quay lại phía đường q =0 2.4 ết luận chƣơng Trong chương thu nghiệm vũ trụ lớp mơ hình hấp dẫn cải tiến f(R) dạng hàm mũ đa thức phương pháp giải số Chúng tơi tìm pha giãn nở khác mơ hình: vũ trụ chuyển từ pha giảm tốc khứ đến pha tăng tốc cách 6,5 đến t năm, sau giai đoạn tăng tốc vũ trụ lại chuyển sang giai đoạn giảm tốc tương lai Khoảng thời gian xảy giảm tốc tùy thuộc vào giá tr tham số alpha beta 17 Chƣơng Ƣớc lƣợng tham số mơ hình t quan sát thiên văn 3.1 Cơ chế t c hoa lớp l thuyết hấp dẫn f(R) dạng hàm mũ – đa thức Chúng ta bắt đầu với tác dụng mơ trên: S 2  f ( R)  gd x  S M ( g  , ) f ( R )  R  2  với  R (11) (1  R  R3 )e  R (12) g đ nh thức g  , S m tác dụng vật chất phụ thuộc vào mêtric g  trường vô hướng  Ta đưa vào biến mới: g   pg  (13) ln p 21 (14)  p  df  f '( R), 1  dR Phép biến đổi (13) phép biến đổi conformal, chuyển tác dụng frame ordan tới frame Einstein[28] Lúc tác dụng (11) thành: S d x  g [ R  g      2V ( )]  S M ( g  e 2  , )  (15) đó:   V ( )  e2  r  p( )  e2  f  r  p( )   1   1   e2 1 r  e2 1 f (r )  e2 1 r  e2 1 r  2     r  r  e   r   2 r     (16) 141  4 1  8 12  8 1  8  12 1     2     1  41   4  18 r ( p) nghiệm phương trình: f '  r  p   p  (17) Biến thiên tác dụng (15) g   ta phương trình trường: G      g      V ( ) g   T  dV   T d 2  Sm   g  g (18)  T  (19)  T  g T  (20) Đạo hàm hiệp biến phương trình (18) đồng Bianchi cho:   T    T  (21) Điều cho thấy trường vật chất nói chung khơng bảo tồn làm phát sinh lực gradient trường vô hướng Ta xem T  tenxơ – xung vật chất bụi với mật độ lượng  frame Enstein Trong không – thời gian đối xứng cầu , tĩnh, phương trình đầu (19) cho: d 2 d dVeff ( )   d r dr dr (22) với r khoảng cách từ tâm đối xứng trong frame Enstein: Veff ( )  V ( )   e4  (23) chúng sử dụng hệ thức   e4   liên hệ mật độ lượng frame Jordan frame Enstein Ta xét vật thể đối xứng cầu với bán kính r c mật độ lượng không đổi bên vật  in (r  rc ) Chúng ta gọi mật độ lượng vật thể  out (r  rc ) Chúng ta kí hiệu in out giá tr cực tiểu hiệu dụng Veff ( ) bên bên vật thể tương ứng Chúng phải thõa mãn hệ thức V 'eff (in )  V 'eff (out )  , dấu phẩy vi phân biến Veff ( ) 19 Như thường lệ, khối lượng thăng giáng nh quanh cực tiểu cho 1  V ''eff (in )  mout  V ''eff (out )  phụ thuộc vào mật độ khối lượng xung quanh Một vùng không gian với mật độ khối lượng lớn ứng với trường vơ hướng có khối lượng lớn, vùng khơng gian có khối lượng nh ứng với trường vơ hướng có khối lượng nh hơn.Theo cách này, trường vơ hướng có khối lượng đủ lớn quanh vật thể có khối lượng lớn Mặt trời nên tầm tác dụng đủ nh để tác dụng ẩn kiểm tra lực thứ năm hệ Mặt trời Đối với vật đối xứng cầu, điều kiện tầng m ng sau:  r c out  in   6c rc (24) c  Mc Newton r  r c , M c khối lượng vật thể Trong trường hợp 8 r c phương trình (22) với điều kiện biên phù hợp, ta thu dáng điệu bên vật thể[29]:  (r )    3r c M c e m 4 r c r out ( r  r c )  out (25) Hàm f(R) frame Jordan liên quan chặt chẽ đến hàm bậc tự vô hương lý thuyết frame Enstein Chúng ta tìm ràng buộc lên tham số mơ hình từ chế Chameleon Chúng ta có hàm (16) trên:   V ( )  e2  r  p( )  e2  f  r  p( )   1   1   e2 1 r  e2 1 f (r )  e2 1 r  e2 1 r  2     r  r  e   r   2 r     141  4 1  8 12  8 1  8  12 1     2     1  41   4  (26) Khi   ta tìm nghiệm thương trình V 'eff  20 Ta có: V 'eff  V ( )   e4 1  (81  4 1 )  8 12  8  61  20 1     2     1  41   4  V 'eff    2  7 33  16   81 64 12 (27) Dưới đây, xem xét ràng buộc lên hai tham số beta alpha từ ràng buộc thực nghiệm: 3.2 Ràng buộc lên tham số beta 3.2.1 Điều kiện tầng mỏng Trong chế Chameleon( Tắc k hoa), trường chameleon giữ lại bên vật nặng lớn, ảnh hưởng lên vật khác tầng m ng gần bề mặt vật gây Tiêu chuẩn cho điều kiện tầng m ng cho (24), kết hợp (24) (27) ta có: rc out  in   rc 61 c  rc  33  16 out   rc  64 12 33  16 in 64 12     61 c  (28) ρint, ρout tương ứng mật độ lượng bên bên vật frame ordan Trong gần trường yếu, vật thể đối xứng cầu mêtric frame Jordan có dạng: ds  [1  X (r )]dt  [1  2Y (r )]dr  r 2d 2 (29) X (r ) Y (r ) hàm theo biến r Mối quan hệ r r cho r  p1/2 r Nếu hệ thức với giả thuyết mout , r  , tức bước sóng Compton 21 1 nhiều lần lớn khoảng cách giai Mặt trời, có r  r mout Trong trường hợp này, chế Chameleon cho tham số hình thức luận Post – Newton theo công thức sau: rc rc  r 3 c rc 3 1 rc rc (30) Chúng ta áp dụng (28) cho Trái Đất thu điều kiện Trái đất có tầng m ng Để làm việc xem Trái Đất khối cầu rắn với bán kính Re  6, 4.108 cm mật độ khối lượng out 10 g / cm3 Chúng ta xem Trái Đất bao quanh lớp khí có mật độ khối lượng a 10 g / cm3 dày 100km Áp dụng cho phương trình (28) ràng buộc đến từ thí nghiệm Cassini tracking [30]:    2.3 105 Ta có: Re  33  16 out 33  16 in   Re  64 12 64 12   3, 45.105   61 e  165, 6.12 e 105 33 33   out   in  0 16 16  Đặt a  165, 6.12 e 105 33 b  , 16   a  out  a  in  b  22 (31) (32)  4.33.(165, 6) 14  e 1010  256        33.(165, 6) 14  e 1010 ( in  out ) 256.( in  out )    10  4.33.(165, 6) (6, 25.10 ) 10   36     1.23 256.(10 )     (33) 3.2.2 Nguyên l tƣơng đƣơng Bây xét ràng buộc rút từ vi phạm Nguyên lý tương đương Chúng ta giả đ nh Trái Đất với lớp khí tạo thành vật lập, b qua ảnh hưởng Mặt Trời, Mặt Trăng hành tinh, khác Cách xa từ Trái đất, vật chất mơ khí với mật độ lượng G 1024 gr / cm3 Đầu tiên xét điều kiện khí Trái Đất thõa mãn điều kiện tầng m ng Nếu khí tầng m ng độ dày tầng ( Ra ) rõ ràng phải nh độ dày lớp khí bao quanh Trái Đất, cụ thể Ra  Ra Ra bán kính ngồi khí Nếu lấy độ dày tầng m ng độ dày lớp khí quyển, tức Ra 100km , lấy Ra ~ 6400km, thu Ra Re a  e R    a  G a  1.5  102 Chúng ta liên hệ hệ thứ  Ra Re 6e Ra 6a  a , e G giá tr trường cực tiểu đ a phương hiệu dụng miền r  Re , Ra  r  Re r  Ra tương ứng Khi sử dụng kiện Newton vật đối xứng cầu với mật độ khối lượng     R2 , viết e  104 a  a  e Newton bề mặt Trái Đất khí tương ứng Từ ta có Re R  104 a Với kết Re Ra này, điều kiện để khí có tầng m ng : Re  1.5 106 Re (34) Các kiểm tra Nguyên lý tương đươngđo khác biệt gia tốc rơi tự Mặt Trăng Trái Đất hướng tới Mặt Trời Ràng buộc lên khác biệt hai gia tốc cho hệ thức[31]: 23 am  ae  1013 aN (35) am ae gia tốc Mặt Trăng Trái Đất, aN gia tốc Newton Mặt Trời Mặt Trăng có điều kiện tầng m ng dáng điệu trường bên vật cho công thức(25) với thay đại lượng tương ứng thích hợp Gia tốc ae am cho bởi: ae  aN {1  1812 ( Re  e ) } Re  s am  aN {1  1812 ( 10 11 e  6.9 10 , m  3.14 10 Re  e ) } Re  s  m (36) s  2.12 10 Newton bề mặt Trái 6 Đất, Mặt Trăng Mặt Trời Lấy hiệu số gia tốc rơi tự ta được: am  ae aN  R   (0.13)   e   Re  2 (37) Kết hợp với (26) ta kết quả: Re  2,14 106 Re (38) Với trường hợp giống điều kiện khí (25) điều kiện tầng m ng Trên ràng buộc nguyên lý tương đương kết hợp với (23) ta thu được:   0.076 (39) Giá tr nh giá tr (33) hai bậc độ lớn 3.2.3 Lực thứ năm Lực thứ năm tham số hoa Yukawa sau: m1m2 e r /  U (r )   8 r (40) m1, m2 khối lượng hai vật, r khoảng cách hai vật,  cường độ tương tác, λ bậc kích thước buồng chân khơng [32], tứcàlà   Rv a c Ràng buộc mạnh lên cường độ tương tác   103 [33] Bên buồng, ta xét hai vật đồng nhất, 24 mật độ c , bán kính rc khối lượng mc Nếu hai vật th a điều kiện tầng m ng, dáng điệu trường bên vật cho bởi:  3re mc e r / R  (r )   vac 4 re r vac (41) Thế tương tác là: 3rc mc2e r / Rvac V (r )  2 ( ) rc 8 r (43) Giới hạn lên cường độ tương tác trở thành: 212 ( 3re )  103 re (44) Từ (44), (28) ta có:   7.67 1015 (45) 3.3 Ràng buộc tham số alpha 3.3.1 Ràng buộc t kiện quan sát hệ M t Tr i Từ thực nghiệm hệ mặt trời, Gu Lin[34] thu ràng buộc lên lý thuyết f(R) với chế Chameleon sau: 1015  FR   Rf RR  0.4 với R 105 H 02 (40) R  105 H 02 (41) với H 02  1035 m2  R  1030 m2 Do từ f(R) cơng thức (2), ta có: Khai triển Euler lấy gần : e  R    R   f R    3 R      1 R  1  R     f RR  2      3 R  1 R   Do R