Nhận biết đường bậc hai nhờ các bất biến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2015-2016 NHẬN BIẾT ĐƯỜNG BẬC HAI NHỜ CÁC DẤU HIỆU BẤT BIẾN Thuộc nhóm ngành khoa học : Khoa học Tự nhiên i TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2015-2016 NHẬN BIẾT ĐƯỜNG BẬC HAI NHỜ CÁC DẤU HIỆU BẤT BIẾN Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học Tự nhiên Sinh viên thực hiện: Huỳnh Hương Thảo Nữ Võ Minh Long Nam Trần Chí Công Nam Lớp, khoa: C14TO01, KHTN Năm thứ: Số năm đào tạo: Ngành học: Sư Phạm Toán Học Người hướng dẫn: Ths Mai Quang Vinh ii UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT Độc lập – Tự – Hạnh phúc THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI Thông tin chung: - Tên đề tài: Nhận biết đường bậc hai nhờ bất biến - Sinh viên thực hiện: - Lớp: C14TO01 Huỳnh Hương Thảo Nữ Võ Minh Long Nam Trần Chí Cơng Nam Khoa: KHTN Năm thứ: Số năm đào tạo: - Người hướng dẫn: Ths Mai Quang Vinh Mục tiêu đề tài: - Tìm hiểu đường bậc hai mặt phẳng với phương trình tổng quát, trình bày bất biến đa thức bậc hai cách nhận biết đường bậc hai nhờ dấu hiệu bất biến Bên cạnh đó, tự đưa chín ví dụ đường bậc hai để minh họa cho dấu hiệu Tính sáng tạo: - Đây đề tài tương đối Nó lơi em thơng thường để nhận biết đường bậc, hai phải thực qua nhiều bước biến đổi biết đường gì? Thậm chí đơi cịn tính tốn sai khơng biết hướng biến đổi - Nhưng với cách nhận biết đường bậc hai nhờ bất biến, tính tốn cách nhanh hơn, nhận biết đường bậc hai cách xác Kết nghiên cứu: - Trình bày lại số kiến thức vectơ tọa độ - Trình bày lại bất biến đa thức bậc hai nhận biết đường bậc hai nhờ bất biến - Tự đưa ví dụ nhận biết đường bậc hai nhờ bất biến Đóng góp mặt kinh tế - xã hội, giáo dục đào tạo, an ninh, quốc phòng khả áp dụng đề tài: iii - Đề tài tài liệu tham khảo bổ ích cho cho sinh viên ngành sư phạm Tốn việc học mơn học Hình học giải tích - Và tài liệu thú vị cho muốn tìm hiểu Hình học giải tích phần nhận biết đường bậc hai cách nhanh Ngày tháng năm 2016 Sinh viên chịu trách nhiệm thực đề tài (ký, họ tên) Huỳnh Hương Thảo Nhận xét người hướng dẫn đóng góp khoa học sinh viên thực đề tài (phần người hướng dẫn ghi): Ngày tháng năm 2016 Xác nhận lãnh đạo khoa Người hướng dẫn (ký, họ tên) (ký, họ tên) Mai Quang Vinh iv UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT Độc lập – Tự – Hạnh phúc THÔNG TIN VỀ SINH VIÊN CHỊU TRÁCH NHIỆM CHÍNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI I SƠ LƯỢC VỀ SINH VIÊN: Ảnh 4x6 Họ tên: Huỳnh Hương Thảo Sinh ngày: 01 tháng 06 năm 1996 Nơi sinh: Bình Dương Lớp: C14TO01 Khóa: 2014 - 2017 Khoa: KHTN Địa liên hệ: ấp Tân Lập, xã An Điền, thị xã Bến Cát, tỉnh Bình Dương Điện thoại: 01634664279 Email: huongthaohuynh1996@gmail.com II QUÁ TRÌNH HỌC TẬP * Năm thứ 1: Ngành học: Sư phạm Toán Học Khoa: KHTN Kết xếp loại học tập: Khá Sơ lượt thành tích: Ngày Xác nhận lãnh đạo khoa (ký, họ tên) tháng năm 2016 Sinh viên chịu trách nhiệm thực đề tài (ký, họ tên) Huỳnh Hương Thảo v TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN Thủ Dầu Một, ngày tháng năm 2016 Kính gửi: Ban tổ chức Giải thưởng “Tài khoa học trẻ Đại học Thủ Dầu Một” Tên chúng em là: Huỳnh Hương Thảo Sinh ngày 01 tháng 06 năm 1996 Sinh viên năm thứ: Tổng số năm đào tạo: Lớp, khoa : Lớp C14TO01, Khoa KHTN Ngành học: Sư phạm Toán Học Võ Minh Long Sinh ngày 16 tháng 05 năm 1996 Sinh viên năm thứ: Tổng số năm đào tạo: Lớp, khoa : Lớp C14TO01, Khoa KHTN Ngành học: Sư phạm Tốn Học Trần Chí Cơng Sinh ngày 25 tháng năm 1996 Sinh viên năm thứ: Tổng số năm đào tạo: Lớp, khoa : Lớp C14TO01, Khoa KHTN Ngành học: Sư phạm Toán Học Thông tin cá nhân sinh viên chịu trách nhiệm chính: Họ tên: Huỳnh Hương Thảo Địa liên hệ: ấp Tân Lập, xã An Điền, thị xã Bến Cát, tỉnh Bình Dương Điện thoại: 01634664279 Email: huongthaohuynh1996@gmail.com vi Chúng em làm đơn kính đề nghị Ban tổ chức cho chúng em gửi đề tài nghiên cứu khoa học để tham gia xét Giải thưởng “Tài khoa học trẻ Đại học Thủ Dầu Một” năm 2016 Tên đề tài: Nhận biết đường bậc hai nhờ bất biến Em (chúng em) xin cam đoan đề tài em (chúng em) thực hướng dẫn Ths Mai Quang Vinh; đề tài chưa trao giải thưởng khác thời điểm nộp hồ sơ luận văn, đồ án tốt nghiệp Nếu sai, em (chúng em) xin chịu trách nhiệm trước khoa Nhà trường Xác nhận lãnh đạo khoa Người làm đơn (ký, họ tên) Huỳnh Hương Thảo DANH SÁCH NHỮNG THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI STT Họ tên MSSV Lớp Khoa Võ Minh Long 1411402090046 C14TO01 KHTN Trần Chí Cơng 1411402090007 C14TO01 KHTN vii MỤC LỤC Mở đầu Lí chọn đề tài .1 Mục tiêu đề tài .1 Phương pháp nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bố cục đề tài Chương 1.Một số kiến thức vectơ tọa độ 1.1 Khái niệm vectơ Các phép toán vectơ 1.2 Hệ tọa độ trực chuẩn mặt phẳng 1.3 Hệ tọa độ trực chuẩn không gian .8 Chương 2.Nhận biết đường bậc hai nhờ dấu hiệu bất biến 10 2.1 Đường bậc hai mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn .10 2.2 Các bất biến đa thức bậc hai .14 2.3 Nhận biết đường bậc hai nhờ bất biến 21 Một số ví dụ 24 Kết luận kiến nghị 33 Tài liệu tham khảo 33 viii ix Mở đầu Lý chọn đề tài Đường bậc hai đối tượng nghiên cứu học phần Hình học giải tích Và việc nhận biết đường bậc hai với phương trình tổng qt tốn quan trọng cần thiết Thông thường phải đưa phương trình tổng quát đường bậc hai dạng tắc nhận dạng Đây công việc không đơn giản cồng kềnh mà đa phần người học gặp khó khăn Vì vậy, chúng em thực đề tài nghiên cứu “nhận biết đường bậc hai nhờ dấu hiệu bất biến” với mục tiêu nhận biết đường bậc hai với phương trình tổng qt mà khơng cần đưa phương trình tắc Nội dung người học khơng học chương trình Hình học giải tích Mục tiêu đề tài Tìm hiểu đường bậc hai mặt phẳng với phương trình tổng quát, trình bày bất biến đa thức bậc hai cách nhận biết đường bậc hai nhờ dấu hiệu bất biến Bên cạnh đó, tự đưa chín ví dụ đường bậc hai để minh họa cho dấu hiệu Phương pháp nghiên cứu Đọc thật kĩ tài liệu liên quan nắm vững dấu hiệu nhận biết đường bậc hai Từ đó, tự đưa ví dụ để minh họa Đối tượng phạm vi nghiên cứu  Đối tượng: Đường bậc hai, bất biến đa thức bậc hai, nhận biết đường bậc hai nhờ dấu hiệu bất biến  Phạm vi: Đường bậc hai mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Bố cục đề tài Đề tài chia làm chương: Chương Một số kiến thức vectơ tọa độ Chương Nhận biết đường bậc hai nhờ dấu hiệu bất biến Tóm lại a11, a12, a22, I3 bất biến vế trái phương trình (C) ứng với phép tịnh tiến hệ tọa độ Các bất biến ứng với phép dời Vì phép dời xem tích (hợp thành) phép quay phép tịnh tiến (hoặc phép tịnh tiến phép quay) nên bất biến ứng với phép dời bất biến vừa ứng với phép quay vừa ứng với phép tịnh tiến Ta thấy bất biến ứng với phép dời | | I1 = a 11 + a 22 , | a11 a 12 a I3 = a 21 a 22 a a1 a2 a0 | a11 a 12 I2 = , a 21 a 22 Hai bất biến a0 , K1 = | | | | a11 a a 22 a + a1 a0 a2 a0 ứng với phép quay không bất biến ứng với phép tịnh tiến Người ta gọi K1, a0 nửa bất biến Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy, cho đường bậc hai (C) có phương trình x + xy+ y 2+ x +8 y+ 3=0 (1) Khi đó, ta có a =3, I 1=1+1=2, | | I 2= 1 =0 , 1 | | 1 I 3= 1 =−4 , | || | K 1= + =−14 Phép quay Đặt công thức phép đổi tọa độ sau 20 { 2 x = √ x' + √ y' 2 √ x'− √ y' y= 2 Thay vào (1), ta phương trình x' 2+6 √ x' −2 √ y ' + 3=0 (2) Khi đó, ta có a '0 =3=a0 , I '1=2+ 0=2=I 1, | | I '2= =0=I 2, 0 | | 3√ I '3= 0 − √ =−4=I , √ −√ | || | −√ + √ =−14= K K '1= − √2 3 √2 Phép tịnh tiến Đặt công thức phép đổi tọa độ sau ' = X +1 { yx'=Y −1 Thay vào (2), ta phương trình X +( 4+6 √ 2) X −2 √ 2Y +8 √ 2+5=0 Khi đó, ta có a '0' =8 √ 2+5 ≠ a 0=3, I '1' =2=I , | | I '2' = =0=I 2, 0 | I '3' = | | 2+ √ 0 − √ =−4= I , 2+ √ −√ √ 2+5 || | −√2 + 2+3 √ = 2−14 ≠ K =−14 K '1' = √ − √ √ 2+5 2+3 √ √ 2+5 2.3 Xác định dấu hiệu loại đường bậc hai nhờ bất biến Cho đường bậc hai (C) có phương trình f(x,y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a1x + 2a2y + a0 = 21 Các bất biến | | a a I 1=a 11+ a 22 , I 2= 11 12 , a 12 a 22 | | a11 a 12 a I 3= a12 a 22 a a1 a2 a0 Nửa bất biến | a , K 1= || | a 11 a a 22 a + a1 a0 a2 a0 Theo phần trước chín dạng đường bậc hai chia làm loại • Đường loại I: ứng với s 2=0 a '2 ≠ • Đường loại II: ứng với s 2=0 a '2 =0 • Đường loại III: ứng với s1= s2 = Ta tìm dấu hiệu đường thuộc loại Đường loại I Phương trình đặc trưng (2.9) viết lại thành s2 − I1s + I2 = Từ điều kiện s2 = 0, ta suy I2 = I2 = s1s2 Bây ta xét xem điều kiện a '2 ≠ tác động đến bất biến nào? Khi s2 = a '2 ≠ phương trình (C) hệ tọa độ s x ' + a ' x '+ a ' y +a ' 0=0 | | s1 a'1 Ta có I 3= 0 a ' = −a '22 s1 ≠ a '1 a '2 a'0 Như vậy, điều kiện s2 = a '2 ≠ 0đưa đến I2 = I3 = Ngược lại, I2 = I3 = I2 = s1s2 nên suy s1 s2 Chẳng hạn, s2 = 0, lúc phương trình (C) trở thành s x ' + a ' x '+ a ' y +a ' 0=0 Suy | | s1 a'1 I 3= 0 a ' = −a '22 s1 a '1 a '2 a '0 Vì I3 = nên a '2 ≠ Ta nói I2 = I3 = dấu hiệu đường loại I Và đường loại I có parabol Đường loại II Ta thấy điều kiện s2 = a '2 =0 đưa đến I2 = I3 = 22 Vậy I2 = I3 = dấu hiệu đường loại II Lúc phương trình (C) hệ tọa độ s x ' + a ' x '+ a ' =0 Ta có ∆' =a '12=a ' s Tùy theo ∆' > 0, ∆' = 0, ∆' < mà ta có đường bậc hai suy biến thuộc loại II Xét K1, K1 bất biến ứng với phép quay hệ tọa độ, ta có K1 = | | | | s1 a ' 0 + a ' = a ' s 1−a'12 a '1 a '0 Như vậy, K1 = − ∆' Ta nhận thấy có trường hợp (i) K1 < ( ∆' > 0): (C) cặp đường thẳng thực song song (ii) K1 = ( ∆' = 0): (C) cặp đường thẳng thực trùng (iii) K1 > ( ∆' < 0): (C) cặp đường thẳng ảo song song Đường loại III Điều kiện s1 ≠ s2 ≠ cần đủ để I2 ≠ Ta nói I2 ≠ dấu hiệu đường loại III Sau phép quay phép tịnh tiến thích hợp hệ tọa độ, ta thu phương trình (C) s1x' ' + s2y' ' + a '0' = Ta có | | s1 0 I3 = s = a '0' s1s2 = I2 a '0' 0 a0 Từ a '0' = I3 I2 Như phương trình đường (C) thuộc loại III viết s1 x' ' + s2 y' ' + I3 I2 (2.14) Nghiên cứu phương trình (2.14) ta thấy có trường hợp sau Trường hợp s1s2 > (i) s1 khác dấu với I3: (C) ellipse Trong trường hợp này, I2 = s1s2 > Ngồi ra, I1 = s1 + s2 nên I1 I3 khác dấu, tức I1.I3 < Do đó, I2 > 0, I1.I3 < đường (C) ellipse Ngược lại, (C) ellipse từ (2.14) ta có s1s2 > 0, tức I2 > 0, s1, s2 khác dấu với I3 nên I1I3 < 23 Vậy, dấu hiệu đường ellipse I2 > I1I3 < (ii) s1 I3 dấu Tương tự trên: I2 > I1I3 > điều kiện cần đủ để (C) ellipse ảo (iii) I3 = Tương tự trên: I2 > I3 = điều kiện cần đủ để (C) cặp đường thẳng ảo cắt (hay ellipse điểm) Trường hợp s1s2 < (i) I3 ≠ điều kiện cần đủ để (C) hyperbol Như vậy, dấu hiệu hyperbol I2 < I3 ≠ (ii) I3 = điều kiện cần đủ để (C) cặp đường thẳng thực cắt Như vậy, dấu hiệu cặp đường thẳng thực cắt I2 < I3 = Ta có bảng phân loại dấu hiệu nhận biết sau Loạ i Dấu hiệu Dấu hiệu đường Tên đường I2 = 0, I3 ≠ Parabol K1 < Cặp đường thẳng thực song K1 = K1 > I2 > I1I3 < I1I3 > 0 I3 = song Cặp đường thẳng trùng Cặp đường thẳng ảo song song ellipse ellipse ảo cặp đường thẳng ảo cắt loại đườn g I I2 = 0, I3 ≠ II I2 = I3 = III I2 ≠ 24 I2 < I3 ≠ I3 = 0 hyperbol Cặp đường thẳng thực cắt  Sau số ví dụ minh họa nhận biết đường bậc hai nhờ dấu hiệu bất biến Ví dụ Xác định đường bậc hai sau đường gì? (C1): x2 + 2xy + y2 + x + 3y + = Ta có |1 1| I2 = 1 = 0, | | 1 I3 = 1 Vậy (C1) parabol = -1 ≠ (C2): x −6 xy +9 y 2+ x−6 y +1=0 Ta có | | I 2= −3 =0, −3 | | −3 I 3= −3 −3 =0 , −3 | || | K 1= 1 + −3 =0 1 −3 Vậy (C2) cặp đường thẳng trùng (C3): x 2−8 xy +2 y +6 x −3 y +1=0 Ta có | | I 2= −4 =0 , −4 | | I 3= −4 −4 −3 −3 =0 , 25 | | | | −3 =−5 0 Vậy (C4) cặp đường thẳng ảo cắt (C5): 4x2 + 6xy + 4y2 + 4x -2y +3 = Ta có |4 3| I2 = = > 0, | | I3 = −1 = -11 < 0, −1 I1I3 = -88 < Vậy (C5) ellipse (C6): 3x2 + 4xy + 4y2 + 2x +2y+1= Ta có |3 2| I2 = = > 0, | | I3 = = > 0, 1 I1I3 = 35 > Vậy (C6) ellipse ảo 26 (C7): 3x2 + 4xy + 2y2+ (2+√ ¿ x +2 y +1=0 Ta có |3 2| I2 = 2 = > 0, | I3 = 2 2+ √ 2 | 2+ √ 2 = 1 Vậy (C7) cặp đường thẳng ảo cắt (C8): 2x2 + 6xy + 2y2 +2x +3y +1 = Ta có |2 3| I2 = = - 5, | | I3 = 3 3 = - < Vậy (C8) hyperbol (C9): x2 + 4xy + y2+ 6x + (12 - 6√ ¿y +3 = Ta có |1 2| I2 = = -3 < 0, | | 6−3 √ = I3 ¿ 6−3 √ Vậy (C9) cặp đường thẳng thực cắt (C10): -2x2 + 4xy -3y2 -2x +10y -1=0 Ta có I1 = -5, |−2 −32 | = > 0, I2 = | −2 I3 ¿ | −2 = 31, −1 I1I3 = -155 < 27 Vậy (C10) ellipse (C11): -2x2 - 2xy -y2 + 6y + 2y -7 = Ta có I1 = -3, |−2 −1| I2 = −1 −1 = > 0, | | −2 −1 I3 = −1 −1 = -2, I1I3 = > Vậy (C11) ellipse ảo Ví dụ Với giá trị m đường bậc hai có phương trình sau (C12): 5x2 + 8xy + 2y2 + 2x + 2y + m =0 hyperbol (C13): 7x2 + 2xy + y2 + 3mx + 4y +1 = ellipse (C14): 11x2 + 2xy + 3y2 + 5mx +3y +2 = cặp đường thẳng ảo cắt (C15): x2 + 4xy + 3y2 + 6x + 8y + m = cặp đường thẳng thực cắt Giải (C12): 5x2 + 8xy + 2y2 + 2x + 2y + m = Ta có I1 = 7, |5 4| I2 = = - < 0, | | I3 = = - 6m + 1 m (C12) hyperbol { I 0, | | I3 = 1 3m 2 3m −9 m2 = +6 m−22 0, I2 = | | 11 I3 = 5m 5m −75 m2 15 m 157 = + + 4 (C14) cặp đường thẳng ảo cắt { I 2> 0(luôn ) I 3=0 [ 3+ √ 30 −75 m 15 m 157 15 ⇔ + + ⇔ 4 3−4 √ 30 m= 15 Vậy m= m= 3+ √ 30 3−4 √ 30 m= (C14) cặp đường thẳng ảo cắt 15 15 (C15): x2 + 4xy + 3y2 + 6x + 8y + m = Ta có I1 = 4, |1 2| I2 = =−1< 0, | | I3 = =5−m m 29 (C15) cặp đường thẳng thực cắt { I 0 1−m2 >0 ⟺ I I m> ⟺ 20 (C ) ellipse ảo 20 18  (C18) cặp đường thẳng ảo cắt { Vậy m= {[ 12 I 2> ⟺ m=−3 ⟺ I 3=0 m= 20 m> 20 m= (C ) cặp đường thẳng ảo cắt 20 18  (C18) hyperbol { Vậy m< { I 2< ⟺ 12 ⟺ I3 ≠ m− ≠ m< { 12 ⟺ m≠ 20 m< m< 12 (C ) hyperbol 12 18  (C18) cặp đường thẳng thực cắt { I 2< ⟺ I 3=0 { { 1 m< 12 12 ⟺ ⟺ 7 m− =0 m− =0 4 m< { 12 (vô nghiệm) m= 20 m< Vậy khơng có giá trị m để (C18) cặp đường thẳng thực cắt 33 Kết luận kiến nghị  Kết luận - Đề tài hoàn thành với mục tiêu đặt Đó nghiên cứu lý thuyết đường bậc hai, nhận biết đường bậc hai nhờ dấu hiệu bất biến - Các em tự đưa số ví dụ nhận biết đường bật hai nhờ bất biến  Kiến nghị - Nếu có thể, chúng em xin tiếp tục nghiên cứu nhận biết mặt bậc hai Tài liệu tham khảo 1) Lê Khắc Bảo 1982 Hình Học Giải Tích Nhà xuất Giáo Dục 2) Văn Như Cương 1998 Hình Học Giải Tích Nhà xuất Giáo Dục 3) Mai Quang Vinh Hình Học Giải Tích 34 ... thuyết đường bậc hai, nhận biết đường bậc hai nhờ dấu hiệu bất biến - Các em tự đưa số ví dụ nhận biết đường bật hai nhờ bất biến  Kiến nghị - Nếu có thể, chúng em xin tiếp tục nghiên cứu nhận biết. .. hiệu nhận biết đường bậc hai Từ đó, tự đưa ví dụ để minh họa Đối tượng phạm vi nghiên cứu  Đối tượng: Đường bậc hai, bất biến đa thức bậc hai, nhận biết đường bậc hai nhờ dấu hiệu bất biến ... tính tốn cách nhanh hơn, nhận biết đường bậc hai cách xác Kết nghiên cứu: - Trình bày lại số kiến thức vectơ tọa độ - Trình bày lại bất biến đa thức bậc hai nhận biết đường bậc hai nhờ bất biến -