Thí dụ 7: Các phần tử của A sơn xanh, các phần tử của B sơn đỏ. Ngời ta xếp các phần tử của A và B lên một trục số. Tìm m để A B có 4 phần tử và 2 phần tử cùng màu của chúng không đứng kề nhau, với: 1) ( ) ( ) 2}05|{;1}06|{ 22 ===+= mxxRxBmxxRxA 2) }02|{};02|{ 22 =++==+= mxxRxBmxxRxA Lời giải Câu 1: Cách 1: (Định lý đảo của tam thức bậc 2) Gọi f 1 (x) = x 2 -6x + m; g 1 (x) = x 2 5x-m. ( ) ( ) = 2111 xfxf Rõ ràng f 1 (x) = g 1 (x)-x + 2m Hai phơng trình có nghiệm xen kẽ phơng trình g 1 (x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 thoả mãn ( ) ( ) = 2111 xfxf < 0 Ta có: ( ) { } 2;1;2. 4 25 0.425 1 =<>+= ixmxfmm iig ( )( ) ( ) ++== 2 212121 4222 mxxmxxxmxm (3) Thay x 1 x 2 = -m; x 1 + x 2 = 5 vào (3) có: = mm 114 2 Bởi thế: <<<< 4 11 001140 2 mmm Cách 2: (Dùng đồ thị để tìm miền gía trị) Viết lại ( ) ( ) xxxfm 61 2 +== ( ) ( ) xxxhm 52 2 == Vẽ các parabol (P): y = f(x); (Q): y = h(x) Thấy rằng (P) ( Q) = ( ) } 4 11 ; 2 11 ,0;0{ AO Căn cứ vào đồ thị suy ra tập hợp giá trị phải tìm của m là 0 < m < 4 11 Cách 3: (Tung độ giao điểm 2 parabol âm) Vẽ các parabol (P): y = x 2 -6x + m; (Q): y = g(x) = x 2 5x-m (4) Phơng trình hoành độ giao điểm của (P) và (Q) là: x 2 -6x + m = x 2 -5x-m x = 2m Thay vào (4) có tung độ giao điểm là y = 4m 2 -11m (P) và (Q) đều lõm nên 2 phơng trình có nghiệm xen kẽ Tung độ giao điểm của (P) và (Q) có giá trị âm h(2m) < 0 4 11 00114 2 <<< mmm Câu 2: Gọi ( ) ( ) ( ) ( ) =+=++= 2111 2 1 2 1 ;2;2 xfxfmxxxgmxxxf Rõ ràng ( ) ( ) 22 11 ++= mxxgxf Hai phơng trình có nghiệm xen kẽ Phơng trình g 1 (x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 thoả mãn ( ) ( ) = 2111 xfxf < 0 Ta có ( ) { } 2;1;22. 8 1 0.81 1 +=<>= imxxfmm iigg ( )( ) ( )( ) ( ) 2 212121 22242222 +++=++= mxxmxxmxmx (3) Thay x 1 x 2 = 2m; x 1 + x 2 = 1 vào (3) có: = m 2 -6m Bởi thế: <<<< 60060 2 mmm Thí dụ 8: 1. Tìm a để phơng trình 02||24 2 =++ aaxxx có đúng 2 nghiệm phân biệt. 2. Tìm a để phơng trình 01|2| =++ aaxx có 1 nghiệm duy nhất. Lời giải Câu 1: 02||24 2 =++ aaxxx (1) Tập xác định: R ( ) ( ) ( ) < =++ =+ < =++ =+++ ax ax ax ax ax ax x ax axx 3 7 3 3 1 11 0 3 2 2 3 022 1 2 2 2 2 Vẽ các parabol ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 7 3 3 1 : ;11: 2 2 2 1 +== +== xxgyP xxfyP Thấy rằng (P 1 ) (P 2 ) = {A; B}, trong đó A = (-2; -2), B = (-1; -1) Căn cứ vào đồ thị suy ra phơng trình có đúng hai nghiệm phân biệt > < 2 7 a a Câu 2: 01|2| =++ aaxx TXĐ: R Ta có ( ) < =+ =++ ax aaxx ax aaxx 2 012 2 012 1 2 2 Gọi ( ) ( ) ( ) ;1;12;12;1|2| 2' 1 2 2 2 1 +=+=++=++= aaaxxxfaxxxfaaxxxf aaaa >+= == ,0,1, 2 51 0 ' 2 2' 2 ' 1 Ta có f(-2a) = f 1 (-2a) = f 2 (-2a)= 1 a Hoành độ đỉnh của các parabol (P 1 ): y = f 1 (x), (P 2 ): y = f 2 (x) đều bằng a. Ta có bảng biến thiên của các hàm số f(x), f 1 (x), f 2 (x) trong từng trờng hợp nh sau: Trờng hợp 1: a < 0 ( -a < -2a) x - -a -2a + f 1 (x) f 2 (x) f(x) - ' 1 + 1- a Bảng biến thiên cho thấy phơng trình có đúng một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi ;00 ' 1 ' 1 <> << + + << + < <+ 0 2 51 2 51 2 51 0 01 2 ma a aa ( ) 2 Trờng hợp 2: ( ) .20 aaa <> do a<> ,0,0 ' 2 ' 2 x - -2a -a + f 1 (x ) f 2 (x ) f(x) 1-a + + ' 2 Bảng biến thiên cho thấy phơng trình có đúng một nghiệm duy nhất. Trờng hợp 3: ( ) 101||:,0 ==+= xxxxfa (3) a = 0 là một giá trị phải tìm. (4) Từ (2), (3), (4) suy ra: Tập hợp các giá trị phải tìm của a là a > - 2 51+ . trình g 1 (x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 thoả mãn ( ) ( ) = 21 11 xfxf < 0 Ta có ( ) { } 2; 1 ;22 . 8 1 0.81 1 +=<>= imxxfmm iigg ( )( ) ( )( ) ( ) 2 2 121 21 22 2 422 22 +++=++= mxxmxxmxmx . x 1 ; x 2 thoả mãn ( ) ( ) = 21 11 xfxf < 0 Ta có: ( ) { } 2; 1 ;2. 4 25 0. 425 1 =<>+= ixmxfmm iig ( )( ) ( ) ++== 2 2 121 21 422 2 mxxmxxxmxm (3) Thay x 1 x 2 = -m; x 1 + x 2 = 5. trình có đúng hai nghiệm phân biệt > < 2 7 a a Câu 2: 01 |2| =++ aaxx TXĐ: R Ta có ( ) < =+ =++ ax aaxx ax aaxx 2 0 12 2 0 12 1 2 2 Gọi ( ) ( ) ( ) ;1; 12; 12; 1 |2| 2& apos; 1 2 2 2 1 +=+=++=++=