(Sáng kiến kinh nghiệm) ỨNG DỤNG đạo hàm để GIÚP học SINH GIẢI QUYẾT các bài TOÁN THỰC tế TRONG đề THI THPT QUỐC GIA

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIÚP HỌC SINH GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA Người thực hiện: Hoàng Thị Xuân Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn THANH HỐ, NĂM 2019 MỤC LỤC TT I Mục Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận 2.2 Thực trạng 2.3 Cơ sở lý thuyết Ứng dụng đạo hàm toán chuyển động 2.6 Ứng dụng đạo hàm tốn tính diện tích, tính thể tích Ứng dụng đạo hàm toán kinh tế 13 2.7 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 20 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 22 3.1 Kết luận 22 3.2 Kiến nghị 22 2.4 2.5 TÀI LIỆU THAM KHẢO I.MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Mục tiêu giáo dục phổ thông phải phục vụ sống Do kiến thức học sinh học phải gắn liền với thực tế Chính lẽ mà nhà giáo dục khơng ngừng chỉnh sửa cải cách nội dung giảng dạy cho phù hợp với yêu cầu xã hội Toán học bắt nguồn từ thực tiễn, lí thuyết tốn học dù trừu tượng đến đâu tìm thấy ứng dụng chúng thực tế sống: có nhiều tốn liên quan đến tối ưu hóa nhằm đạt lợi ích cao phải tính tốn thể để làm cho chi phí sản xuất thấp mà lợi nhuận đạt cao , tốn tính tốn vận tốc,và tốn kinh tế Chính lẽ mà viết sáng kiến: “ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIÚP HỌC SINH GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA” Trong phạm vi sáng kiến mình, tơi đề cập tới áp dụng đạo hàm vào toán thực tiễn, cụ thể dùng cơng cụ đạo hàm để xét tính tối ưu tốn vận tốc, diện tích, thể tích, khoảng cách, góc tốn kinh tế 1.2 Mục đích nghiên cứu - Cung cấp số tập tương đối phong phú, đa dạng về ứng dụng đạo hàm có tác dụng tốt để rèn luyện tư mềm dẻo, linh hoạt, khéo léo cho học sinh - Thơng qua học sinh làm tốt tập liên quan 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế - Áp dụng vào giảng dạy cho học sinh lớp 12 năm học 2017-2018 trường THPT Nguyễn Trãi 1.4 Phương pháp nghiên cứu Tìm hiểu đọc sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí, mạng internet, đề thi thử THPT Quốc Gia trường THPT, chuyên đề có liên quan Quan sát việc học tập học sinh, tham khảo ý kiến thầy cô giáo tổ môn II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận Công cụ đạo hàm dùng hiệu toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hay tính tốn tối ưu tốn kinh tế Để giúp học sinh tích cực, chủ động học mơn Tốn - mơn Khoa học tự nhiên khơ khan người giáo viên cần phải sáng tạo phương pháp giảng dạy, dạy học gắn với thực tế; từ kết dạy học đạt cao 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Khi dạy học sinh trung học phổ thơng lớp 12, tơi nhận thấy em có phần hạn chế việc giải toán thực tế, em ngại tập dạng Hơn nhận thấy công cụ đạo hàm giải phần lớn tốn thực tế Xuất phát từ thực trạng tơi thiết nghĩ cần tăng cường rèn luyện cho học sinh khả giải tình thực tiễn liên quan đến việc ứng dụng đạo hàm 2.3 Cơ sở lý thuyết 2.3.1 Phương pháp giải tốn: Tìm GTNN, GTLN hàm số y = f(x) tập số D đạo hàm Phương pháp chung: Lập bảng biến thiên hàm số tập số D Căn vào bảng biến thiên để kết luận Trong trường hợp D đoạn [a; b] f(x) liên tục D làm sau: Tính đạo hàm y’ Tìm nghiệm y’ đoạn [a; b] giả sử nghiệm x1, x2 Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2) KL: Số lớn (nhỏ nhất) số GTLN, (NN) f(x) [a; b] 2.3.2 Các bước làm toán thực tế ứng dụng đạo hàm Bước 1: Dựa giả thiết yếu tố đề bài, ta diễn tả tốn“dưới dạng ngơn ngữ Tốn học” Đặt biến , biểu diễn đại lượng theo biến, tìm điều kiện tồn chúng ràng buộc, liên hệ với giả thiết đề Trong mục 2.3.1: Cơ sở lý thuyết tham khảo từ TLTK số 1,2 Bước 2: Dựa vào kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế kinh tế, đời sống, khoa học kỹ thuật Vật lý, Hóa học, Sinh học, Ta thiết lập hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo biến Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm hàm số để khảo sát giải tốn hình thành bước Lưu ý điều kiện ràng buộc biến số kết thu có phù hợp với toán thực tế cho chưa 2.4 Ứng dụng đạo hàm toán chuyển động 2.4.1 Một số ví dụ: Bài 1: Một đồn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ nhà ga Quãng đường (theo đơn vị mét  m  ) đoàn tàu hàm số thời gian t (theo đơn vị giây  s  ) cho phương trình s  6t  t Tìm thời điểm t mà vận tốc v  m/s  đoàn tàu đạt giá trị lớn nhất ? Bài giải v  t   12t  3t Vận tốc đoàn tàu là: v ' t   v ' t    12-3t t=4 v t Lập BBT ta có   đạt gía trị lớn t=4 Vậy thời điểm t=4 vận tốc đoàn tàu đạt giá trị lớn nhất  Bài 2: Độ giảm2 huyết áp bệnh nhân xác định công thức G  x   0, 024x  30  x  , x liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp (x tính mg) Tìm lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều Bài giải Bài tốn trở thành: Tìm GTLN hàm số G  x 0;30 đoạn  Ta có: x  G '  x   0, 024x  30  x   '  1, 44x  0, 072x  G '  x    1, 44x  0, 072x     x  20 G     G  20   96  max G  x   G  20   96  G 30  Suy    Vậy lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều là: 20 mg Trong mục 2.4.1: Bài1,2 tham khảo từ TLTK số 2.4.2 Một số vận dụng Bài 1: Một vật chuyển động theo quy luật s  9t  t với t (giây) khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động s (mét) quãng đường vật di chuyển khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian giây, kể từ bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt ? A 27 m/s B 15 m/s C.100 m/s D.541m/s s   t  6t Bài 2: Một vật chuyển động theo quy luật với t (giây) khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động s (mét) quãng đường vật di chuyển khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian giây, kể từ bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt ? A 144 (m/s) B 36 (m/s) C 243 (m/s) D 27 (m/s) Bài 3: Một chất điểm chuyển động theo phương trình s  2t  18t  2t  1, s S m t tính giây   tính mét   Tính thời gian vận tốc chất điểm đạt giá trị lớn A t  5s B t  6s C t 13s D t  1s s   t +9t , Bài 4: Một vật chuyển động theo quy luật với t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động s (mét) quãng đường vật thời gian Hỏi khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt ? A 216 (m/s) B 30 (m/s) C 400 (m/s) D 54 (m/s) Bài 5: Có hố rộng 50m, dài 200m Một vận động viên chạy phối hợp với bơi (bắt buộc hai) cần từ góc qua góc đối diện cách chạy bơi Sau chạy bao xã (quảng đường x) nên chạy xuống bơi để đến đích nhan nhất? Biết vận tốc bơi 1.5m/s, vận tốc chạy 4.5m/s Giá trị x gần bằng: A 100 B 153 C 160 D 182 2.5 Ứng dụng đạo hàm tốn diện tích, thể tích 2.5.1 Một số ví dụ: Bài 1: Cho nhơm hình vng cạnh a Người ta cắt bốn góc bốn hình vng nhau, gập nhơm lại hình vẽ để hộp Trong không mục nắp.Tìm 2.4.2: Bài cạnh 3,4,5của đượchình thamvng khảo từbịTLTK cắt số7 cho thể tích khối hộp lớn Trong mục 2.5.1: Bài tham khảo từ TLTK số Bài giải 0 x Gọi x độ dài cạnh hình vng bị cắt V  x   x  a  2x  Thể tích khối hộp là: Bài tốn trở thành: Tìm Ta có:  a x   0;   2 a 2 cho 0 x V ( x) a lớn V '( x)   a  x   a  x  V '( x )   x  a 0 x a Bảng biến thiên: Từ BBT ta có V(x) lớn x a Bài 2: Cho bìa hình chữ nhật có chiều dài AB = 60cm chiều rộng BC = 40cm Người ta cắt hình vng, hình vng có cạnh x cm, gập bìa lại để hộp có nắp đậy (tham khảo hình vẽ bên dưới) Giá trị x cho thể tích khối hộp lớn Bài giải Điều kiện: < x < 20 Thể tích khối hộp c hữ nhật: Xét hàm số: V = x.( 40 - 2x) f ( x) = 3x3 - 120x2 + 1200x 60 - 3x = 3x3 - 120x2 + 1200x khoảng éx = 20 ( l ) ê f '( x) = 9x - 240x + 1200 = Û ê 20 êx = ( n) ê ë ( 0;20) Ta có: Hàm số đạt giá trị lớn x= 20 khoảng ( 0;20) Bình luận: Qua hai toán ta cần lưu ý: Một là, khâu tìm điều kiện cho biến cần đặt quan trọng Chúng ta khơng nên ghi theo cách hiểu số đo đại số số dương mà phải tìm điều kiện xác định ẩn Hai là, khơng thuộc cơng thức tính thể tích khối hộp xem tốn khơng thể giải tiếp Điều đòi hỏi người giải phải biết cách vận dụng kiến thức học vào toán thực tế Ba là, biết chuyển sang tốn tìm GTLN,NN Bài 3: Bạn A muốn làm thùng hình trụ khơng đáy từ ngun liệu mảnh tơn hình tam giác ABC có cạnh 90 (cm) Bạn muốn cắt mảnh tơn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu ( với M, N thuộc cạnh BC; P Q tương ứng thuộc cạnh AC AB) để tạo thành hình trụ có chiều cao MQ Thể tích lớn thùng mà bạn A làm là: A Q B P M N C Bài giải Gọi I trung điểm BC Suy I trung điểm MN Đặt MN = x (  x  90 ); Gọi R bán kính trụ f ( x)   MQ BM   MQ  (90  x ) AI BI R x 3 x  VT   ( )2 (90  x)  ( x3  90 x ) 2 8 2 ( x3  90 x ) 8 với  x  90 13500 max f ( x)   Khi đó: x(0;90) x= 60 13500  Vậy thể tích lớn đạt là: Xét Bài 4: Từ bìa hình vng ABCD có cạnh 5dm , người ta cắt bỏ bốn tam giác cân AMB , BNC , CPD DQA Với phần lại, người ta gấp lên ghép lại để thành hình chóp tứ giác Hỏi cạnh đáy khối chóp để thể tích lớn nhất?  3x Cạnh hình vng x   3x  S     Tổng diện tích tam giác hình vng S' 4 x   x  18 S' S - S'0 x  18 9 18 9 + Smin Vậy cạnh tam giác cần tìm là : 18 9+4 Bài 6: Từ khúc gỗ trịn hình trụ có đường kính 40 cm , cần xả thành xà có tiết diện ngang hình vng bốn miếng phụ tơ màu xám hình vẽ Tìm chiều rộng x miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn Bài giải Gọi x, y chiều rộng dài miếng phụ Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang Cạnh hình vng   S  20  MN  S  S MNPQ  xy MP 40   20  cm  2  xy  800  xy (1) Ta có x  AB  MN  AB  20  BD  20  40  20 14 Trong mục 2.5.1: Bài tham khảo từ TLTK số   x  20  10 Lại có  AB  AD  BD  402  x  20   y  1600  y  800  80 x  x  y  800  80 x  x 2 Thế vào  1  S  800  x 800  80 x  x  800  800 x  80 x  x x   0; 20  10  Xét hàm số f  x   800 x  80 x  x , với có  f   x   1600 x  240 x 2  16 x  16 x 100  15 x  x         x  0; 20  10 34  15  x  0; 20  10   x  2  f  x  16 x 100  15 x  x   Ta có  Khi x  34  15 2 giá trị thỏa mãn toán Bài 7: Cho gỗ hình vng cạnh 200cm Người ta cắt gỗ có hình tam giác vng ABC từ gỗ hình vng cho hình vẽ sau AB  x   x  60cm  Biết cạnh góc vng tam giác ABC tổng độ dài cạnh góc vng AB với cạnh huyền BC 120cm Tìm x để tam giác ABC có diện tích lớn 200 B x 120-x A C Bài giải Ta có độ dài cạnh AC  BC  AB  Diện tích tam giác ABC là: S  120  x   x  14400  240 x 1 AB AC  x 14400  240 x 2 15 Xét hàm số f  x   x 14400  240 x với  x  60 Ta có: f   x   14400  240 x   f   x    x  40   0;60  120 x 14400  360 x  14400  240 x 14400  240 x ; Bảng biến thiên: Vậy S max  f  x  max  x  40 Vậy tam giác ABC có diện tích lớn x  40cm 2.5.2 Một số vận dụng Bài 1: Với đĩa phẳng hình trịn thép bán kính R, phải làm phễu cách cắt hình quạt đĩa gấp phần lại thành hình nón Gọi độ dài cung trịn hình quạt cịn lại x Tìm x để thể tích khối nón tạo thành nhận giá trị lớn A x 2R B x 2R C x 2R 3 D x R Bài 2: Trong số hình trụ có diện tích tồn phần S bán kính R chiều cao h khối trụ tích lớn 2S 2S ;h  3 3 A S S R ;h  4 4 C R S S ;h  2 2 B S S R ;h  6 6 D R Bài 3: Cho miếng tơn hình trịn có bán kính 50 cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy là: 20 cm 25 cm A 10  cm  B 50  cm  C   D   Bài 4: Một công ty mỹ phẩm chuẩn bị mẫu sản phẩm dưỡng da mang tên Ngọc Trai với thiết kế khối cầu viên ngọc trai, bên khối trụ nằm nửa khối cầu để đựng kem dưỡng hình vẽ Theo 16 Trong mục 2.5.2: Bài 1,2,3,4 tham khảo từ TLTK số 5,6 dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính R  3cm Tìm thể tích lớn khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi bìa hộp lớn (với mục đích thu hút khách hàng) A 108 cm 3 B 54 cm C 18 cm 3 D 45 cm 2.6 Ứng dụng đạo hàm tốn kinh tế 2.6.1 Một số ví dụ: Bài 1: Một cửa hàng bán long Châu Thành với giá bán 50.000 đồng Với giá bán hàng bán khoảng 40 Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính cửa hàng giảm 5000 đồng số long bán tăng thêm 50 Xác định giá bán để hàng thu lợi nhuận lớn nhất, biết giá nhập ban đầu 30.000 đồng Bài giải Gọi 5x số tiền cần giảm bưởi bán để đạt lợi nhuận lớn Khi đó, lợi nhuận thu tính cơng thức f  x    50  x   50 x  40   30  50 x  40   16  f  x    20  x   50 x  40   50   x   3x    50  16  16 x  x   max f  x   f    10  Ta có 16 50  x  50   42 10 Vậy giá bán bưởi nghìn đồng Bài 2: Ơng Bình có tất 20 hộ cho thuê Biết cho thuê hộ với giá triệu đồng tháng hộ có người thuê Nhưng lần tăng giá cho thuê hộ thêm chẵn 200 nghìn đồng có thêm 17 hộ bị bỏ trống Hỏi tăng giá lên mức tiền tháng ơng Bình thu tổng số tiền nhiều tháng? Trong mục 2.6.1.x: Bài 1,2 tham200 từ TLTK số 7( x,8.> 0) Lời giải Gọi số lần tăng khảonghìn đồng để ơng Bình thu tổng số tiền nhiều tháng Khi ơng Bình cho th số phòng là: ( 20 - x ) phòng Tổng số tiền ơng Bình thu tháng là: f ( x ) = ( 20 - x ) ( 2.000.000 + 200.000 x ) = 200.000 ( - x +10 x + 200 ) max f  x   f (5) Dấu '' = '' xảy x = Vậy ông Bình thu tổng số tiền nhiều tháng ông tăng giá lên mức triệu đồng tháng Bài 3: Ơng Bình đặt thợ làm bể cá, nguyên liệu kính suốt, khơng có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật tích chứa 220500 cm nước Biết tỉ lệ chiều cao chiều rộng bể Xác định diện tích đáy bể cá để tiết kiệm nguyên vật liệu Bài giải Gọi a, b, h chiều rộng, chiều dài đáy chiều cao hình hộp chữ nhật h   h  3a Theo ra, ta có a thể tích V  abh  220500  a 2b  73500  b  Diện tích cần để làm bể 6a  73500 a2 S  ab  2bh  a 73500 73500  2a.3a  2 3a a a 14500 257250 257250 257250 257250  6a    3 6a    7350 a a a a a 257250  6a   a  35  b  60 a Vậy S  a.b  2100 cm Dấu “=” xảy Bài 4: Ơng An có ao diện tích 500m dùng để nuôi cá Vụ cá năm ông nuôi với mật độ 20 m tổng khối lượng cá thu 15 Biết thả giảm m khối lượng cá tăng lên 0,5kg Hỏi vụ tới ông An cần phải thả cá giống để tổng 18 khối lượng cá thu cao nhất ? (Giả sử khơng có hao hụt q trình chăn ni khối lượng cá nhau) Bài giải Trong mục 2.6.1 : Bài 3,4 tham khảo từ TLTK số ,8 Theo giả thiết: Giảm mật độ / m2 tăng 0,5 kg/con Suy giảm x con/m2 (0 < x < 20, x số nguyên) tăng 0,125.x kg f (x)  500.(20  x).(1,5 0,125x) Và tổng khối lượng cá thu là: Lập bảng biến thiên thấy f(x) đạt giá trị lớn x = Vậy ông An cần phải thả 8000 cá giống để tổng khối lượng cá thu cao Bài 5: Một người bán gạo muốn đóng thùng tơn đựng gạo tích khơng đổi m , thùng tơn hình hộp chữ nhật có đáy hình vng, khơng nắp Trên thị trường, giá tôn làm đáy thùng 100000 / m , giá tôn làm thành xung quanh thùng 50000 / m Hỏi người bán gạo cần đóng thùng đựng gạo với cạnh đáy để chi phí mua nguyên liệu nhỏ nhất? Bài giải: Gọi cạnh đáy cạnh bên thùng tôn a b (điều kiện: a  b  ) Ta tích thùng tôn là: V  a b  Suy ra: b a2 Chi phí để sản xuất thùng tôn là: 4ab.50000  100000a  1600000  100000a a 1600000  100000a a Khảo sát hàm với a  1600000 y    200000a   a  a2 Suy ra: Khi đó, ta có bảng biến thiên sau: y Dựa vào bảng biến thiên ta có ymin  a  19 Vậy người bán gạo cần đóng thùng đựng gạo với cạnh đáy m Bài 6: Một người cần từ khách sạn A bên bờ biển đến đảo C Biết khoảng cách từ đảo C đến bờ biển 10km khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B bờ gần đảo C 40km Người đường thủy đường đường thủy (như hình vẽ) Biết kinh phí đường thủy 5USD/km, đường 3USD/km Hỏi người phải đường khoảng để kinh phí nhỏ nhất? (AB=40km, BC=10km) Bài giải: Giả sử người phải đường khoảng x (km) với 0