Chứng minh rằng: mpAHB mpSCD c Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SC và AB II.. Theo chương trình Nâng cao Câu 4b 1,0 điểm Dân số của thành phố A hiện nay là [r]
(1)SỞ GD& ĐT BẠC LIÊU ĐỀ ĐỀ XUẤT KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN: TOÁN 11 Thời gian làm bài 90 phút I PHẦN CHUNG ( 8,0 điểm ) Câu (2,0 điểm) Tính các giới hạn sau: 3n 2012 lim 4n a) lim x2 x b) x x x neáu x f ( x ) neáu x 1 3 x Câu (1,0 điểm) Cho hàm số Xét tính liên tục hàm số f ( x ) trên tập xác định nó Câu (2,0 điểm) 2x y 4x a) Tìm đạo hàm hàm số x2 sin5x cos x f '(x) cos x 2 b) Cho hàm số Giải phương trình Câu (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, a SA (ABCD) và SA = a) Chứng minh SA DC b) Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SD Chứng minh rằng: mp(AHB) mp(SCD) c) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng SC và AB II PHẦN RIÊNG (2,0 điểm) Phần A Theo chương trình chuẩn Câu 4a (1,0 điểm) Chứng minh phương trình x 3x 0 luôn có nghiệm Câu 5a (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x 3x 4x biết tiếp f (x) y x3 tuyến vuông góc với đường thẳng có phương trình Phần B Theo chương trình Nâng cao Câu 4b (1,0 điểm) Dân số thành phố A là triệu người Biết tỉ lệ tăng dân số năm thành phố A là 2% Hỏi dân số thành phố A sau năm là bao nhiêu? Câu 5b (1,0 điểm) Cho hàm số y x 3x có đồ thị ( C) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) song song với đường thẳng có phương trình y 3x - Hết - (2) SỞ GD& ĐT BẠC LIÊU KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN: TOÁN 11 Thời gian làm bài 90 phút ĐỀ ĐỀ XUẤT I Câu (2,0 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM ( Gồm trang kể từ trang trở đi) PHẦN CHUNG (8,0 điểm) 2012 n lim 3n 2012 lim 4 4n = n a) = 3 (0,5đ) (0,5đ) x lim lim x x x x x x 4x b) x = x x lim lim x x x x x x x2 x x2 = 1 x lim x 1 1 x x = Câu (1,0điểm) Tập xác định hàm số là D = Trên khoảng ( ;1) , f ( x ) 3 x là hàm đa thức nên liên tục Trên khoảng (1; ) , f ( x ) x x là hàm đa thức nên liên tục 2 Tại x0 1 Ta có f (1) 5 lim f (x) lim(3x 2) 5 x x lim f (x) lim(x x 4) 4 x Vì x lim f (x) lim f (x) x 1 x lim f (x) x Vậy f ( x ) không liên tục x0 1 (0,25đ) không tồn (0,25đ) (0,25đ) (0,5đ) (0,25đ) (0,25đ) (3) Tóm lại f ( x ) liên tục trên khoảng ( ;1) và trên (1; ) gián đoạn điểm x0 1 Câu (2,0 điểm) (2x 1)'(4x 5) (2x 1)(4x 5)' y' (4x 5)2 a) (1,0đ) 2(4x 5) 4(2x 1) (4x 5)2 = (0,25đ) (0,25đ) x 10 8x (4x 5)2 = (0,25đ) 14 (4x 5) = f '( x ) cos5 x (0,25đ) sinx b) (1,0đ) 1 f '(x) cos x cos5x sinx cos x cos5x cos x sinx 2 2 cos5x cos x.cos sin xsin cos5x cos x 3 3 5x x k2 5x x k2 x k 12 x k 18 (0,25đ) Câu (3,0 điểm) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (k Z) Hình vẽ 0,5 điểm S H A K D (4) B a) (0,5đ) Ta có C SA (ABCD) (gt) SA CD CD (ABCD) (0,5đ) CD AD (Vì ABCD laø hình vuoâng CD (SAD) CD SA (Vì SA (ABCD) ) b) (1,0đ) Ta có (0,25đ) CD AH (Vì AH (SAD) ) (1) (0,25đ) Mặt khác AH SD (gt) (2) Từ (1) và (2) suy AH (SCD) (0,25đ) mà AH (AHB) Vậy (AHB) (SCD) (0,25đ) c) (1,0đ) Do AB//CD nên giao tuyến (AHB) và (SCD) là đường thẳng qua H và cắt SC K HK // AB và CD Trên mặt phẳng (HK,AB) dựng KM // AH cắt AB M Do AH (SCD) AH SC (3) BA AD (Do ABCD laø hình vuoâng BA (SAD) BA AH BA SA (Do SA (ABCD) ) (4) Từ (3) và (4) AH AB và AH SC (5) (0,25đ) Từ (5) và KM // AH KM AB và KM SC Vậy KM là đoạn vuông góc chung hai đường thẳng AB và SC (0,25đ) Theo chứng minh trên suy AHKM là hình chữ nhật nên KM = AH Trong tam giác vuông SAD, AH là đường cao nên ta có: AH.SD = SA.AD = lần dt tam giác SAD (0,25đ) a a SA.AD SA.AD a2 a 2.2a KM = AH = SD SA2 AD 3a a a Vậy độ dài đoạn vuông góc chung cần tìm là KM = II PHẦN RIÊNG (2,0 điểm) Phần A Theo chương trình Chuẩn Câu 4.a (1,0đ) Đặt f (x) x 3x là hàm đa thức nên liên tục trên R f (x) liên tục trên đoạn [ 0; 2] Ta có f (0) 7, f (2) 19 f (0).f (2) 133 Suy phương trình có ít nghiệm thuộc khoảng (0; 2) (0,25đ) Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm Câu 5.a (1,0đ) Ta có y' 3x x (0,25đ) (0,25đ) (0,5đ) (5) K Hệ số góc đường thẳng là x y'(x0 ) 3x02 x0 Gọi là hoành độ tiếp điểm thì hệ số góc tiếp tuyến là y'(x0 ).K y'(x0 ) K Do tiếp tuyến vuông góc với nên (0,25đ) x 0 3x0 x0 3x0 x0 0 x0 2 (0,25đ) Với x0 0 y0 2 ptt caàn tìm laø: y 4(x 0) y 4x (0,25đ) x 2 y0 ptt caàn tìm laø: y 4(x 2) y 4x Với Vậy có hai tiếp tuyến thoả yêu cầu bài toán có phương trình là: y = – 4x + và y = – 4x + Phần B Theo chương trình Nâng cao Câu 4.b.(1,0đ) u Theo giả thiết thì số dân n theo các năm liên tiếp lập thành cấp số nhân u 3.10 Có và công bội q = + 0,02 un 3.10 (1 0,02)n Ta có u 3.10 (1,02)3 3183624 Nên (người) Câu 5.b (1,0đ) Ta có y' 3x x Hệ số góc đường thẳng là K = – M (x ; y ) Gọi 0 là tiếp điểm y'(x0 ) 3x0 x0 Hệ số góc tiếp tuyến là Do tiếp tuyến song song với nên y'(x0 ) K 3x02 x0 x02 2x0 0 x0 1 Với x0 1 y0 0 , y'(x0 ) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = – 3x + Hết (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (6)